Coseno tres x. ¿Qué son el seno y el coseno?

Si construimos un círculo unitario con el centro en el origen y establecemos un valor arbitrario para el argumento x0 y contar desde el eje Buey esquina X 0, entonces esta esquina en circulo unitario corresponde a algún punto A(Figura 1) y su proyección sobre el eje Oh habrá un punto METRO. Longitud de la sección om igual a valor absoluto puntos de abscisa A. Valor del argumento dado x0 valor de función mapeado y= porque X 0 como puntos de abscisas A. En consecuencia, punto EN(X 0 ;en 0) pertenece a la gráfica de la función en= porque X(Figura 2). si el punto A está a la derecha del eje UNED, El seno actual será positivo, pero si está hacia la izquierda será negativo. Pero de todos modos, punto A no puede salir del círculo. Por tanto, el coseno se encuentra en el rango de –1 a 1:

–1 = porque X = 1.

Rotación adicional en cualquier ángulo, múltiplo de 2 pag, punto de retorno A al mismo lugar. Por lo tanto la función y = porque Xpag:

porque( X+ 2pag) = porque X.

Si tomamos dos valores del argumento, iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto, X Y - X, encontrar los puntos correspondientes en el círculo una x Y A-x. Como se puede observar en la Fig. 3 su proyección sobre el eje Oh es el mismo punto METRO. Es por eso

porque(– X) = porque ( X),

aquellos. coseno – incluso función, F(–X) = F(X).

Esto significa que podemos explorar las propiedades de la función. y= porque X en el segmento , y luego tener en cuenta su paridad y periodicidad.

En X= 0 punto A se encuentra en el eje Oh, su abscisa es 1 y, por lo tanto, cos 0 = 1. Al aumentar X punto A se mueve alrededor del círculo hacia arriba y hacia la izquierda, su proyección, naturalmente, es solo hacia la izquierda, y en x = pag/2 coseno se vuelve igual a 0. Punto A en este momento sube a altura máxima, y luego continúa moviéndose hacia la izquierda, pero ya descendiendo. Su abscisa va disminuyendo hasta llegar a valor más bajo, igual a –1 en X= pag. Así, en el intervalo la función en= porque X disminuye monótonamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).

De la paridad del coseno se deduce que en el intervalo [– pag, 0] la función aumenta monótonamente de –1 a 1, tomando un valor cero en x =–pag/2. Si toma varios períodos, obtendrá una curva ondulada (Fig. 6).

Entonces la función y= porque X toma valores cero en los puntos X= pag/2 + kp, Dónde k – cualquier número entero. Se alcanzan máximos iguales a 1 en los puntos X= 2kp, es decir. en pasos de 2 pag, y mínimos iguales a –1 en los puntos X= pag + 2kp.

Función y = sen x.

En la esquina del círculo unitario X 0 corresponde a un punto A(Figura 7), y su proyección sobre el eje UNED habrá un punto norte.z valor de la función y 0 = pecado x0 definida como la ordenada de un punto A. Punto EN(esquina X 0 ,en 0) pertenece a la gráfica de la función y= pecado X(Figura 8). Está claro que la función y = pecado X periódico, su período es 2 pag:

pecado( X+ 2pag) = pecado ( X).

Para dos valores de argumento, X Y - , proyecciones de sus puntos correspondientes una x Y A-x por eje UNED ubicado simétricamente con respecto al punto ACERCA DE. Es por eso

pecado(- X) = –pecado ( X),

aquellos. el seno es una función impar, f(– X) = –f( X) (Figura 9).

si el punto A rotar respecto a un punto ACERCA DE en un angulo pag/2 en sentido antihorario (en otras palabras, si el ángulo X aumentado por pag/2), entonces su ordenada en la nueva posición será igual a la abscisa en la antigua. Lo que significa

pecado( X+ pag/2) = porque X.

De lo contrario, el seno es un coseno “tarde” por pag/2, ya que cualquier valor del coseno se “repetirá” en el seno cuando el argumento aumente en pag/2. Y para construir una gráfica de seno, basta con desplazar la gráfica de coseno en pag/2 hacia la derecha (Fig. 10). Extremadamente propiedad importante el seno se expresa por igualdad

El significado geométrico de igualdad se puede ver en la Fig. 11. Aquí X - esto es medio arco AB, como en X - la mitad del acorde correspondiente. Es obvio que a medida que los puntos se acercan A Y EN la longitud de la cuerda se acerca cada vez más a la longitud del arco. De la misma figura es fácil derivar la desigualdad.

|pecado X| x|, verdadero para cualquier X.

Los matemáticos llaman fórmula (*) límite notable. De ahí, en particular, se sigue que el pecado X» X en pequeño X.

Funciones en= tg x,y=ctg X. Las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, se definen más fácilmente como las razones del seno y el coseno que ya conocemos:

Al igual que el seno y el coseno, la tangente y la cotangente son funciones periódicas, pero sus períodos son iguales. pag, es decir. son la mitad del tamaño del seno y el coseno. La razón de esto es clara: si el seno y el coseno cambian de signo, entonces su relación no cambiará.

Dado que el denominador de la tangente contiene un coseno, la tangente no está definida en aquellos puntos donde el coseno es 0, cuando X= pag/2 +kp. En todos los demás puntos aumenta monótonamente. Directo X= pag/2 + kp para tangente son asíntotas verticales. En puntos kp tangente y pendiente son 0 y 1, respectivamente (Fig. 12).

La cotangente no está definida donde el seno es 0 (cuando x = kp). En otros puntos disminuye monótonamente y las líneas rectas x = kp – su asíntotas verticales. En puntos x = pag/2 +kp la cotangente se vuelve 0 y la pendiente en estos puntos es igual a –1 (Fig. 13).

Paridad y periodicidad.

Se llama a una función incluso si F(–X) = F(X). Las funciones coseno y secante son pares, y las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares:

Las propiedades de paridad se derivan de la simetría de puntos. PAG un y R-a (Fig. 14) respecto al eje X. Con tal simetría, la ordenada del punto cambia de signo (( X;en) va a ( X; –у)). Todas las funciones: periódica, seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2 pag, y tangente y cotangente - pag:

La periodicidad del seno y el coseno se deriva del hecho de que todos los puntos PAG un+2 kp, Dónde k= 0, ±1, ±2,…, coinciden, y la periodicidad de la tangente y cotangente se debe a que los puntos PAG un + kp caen alternativamente en dos puntos diametralmente opuestos del círculo, dando el mismo punto en el eje tangente.

Las principales propiedades de las funciones trigonométricas se pueden resumir en una tabla:

Fórmulas de reducción.

Según estas fórmulas, el valor de la función trigonométrica del argumento a, donde pag/2 a p , se puede reducir al valor de la función argumento a , donde 0 a p /2, ya sea igual o complementario.

Argumento b	-a	+a	pag-a	pag+a	+a	+a	2pag-a
pecado b	porque un	porque un	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un
porque b	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un	pecado un	porque un

Por lo tanto, en las tablas de funciones trigonométricas, los valores se dan solo para ángulos agudos, y basta con limitarnos, por ejemplo, al seno y la tangente. La tabla muestra solo las fórmulas más utilizadas para seno y coseno. A partir de estos es fácil obtener fórmulas para tangente y cotangente. Al convertir una función a partir de un argumento de la forma kp/2 ± a, donde k– un número entero, a una función del argumento a:

1) el nombre de la función se guarda si k incluso, y cambia a “complementario” si k extraño;

2) el signo del lado derecho coincide con el signo de la función reducible en el punto kp/2 ± a si el ángulo a es agudo.

Por ejemplo, al emitir ctg (a – pag/2) nos aseguramos de que a – pag/2 en 0 a p /2 está en el cuarto cuadrante, donde la cotangente es negativa y, según la regla 1, cambiamos el nombre de la función: ctg (a – pag/2) = –tg a .

Fórmulas de suma.

Fórmulas para múltiples ángulos.

Estas fórmulas se derivan directamente de las fórmulas de suma:

sen 2a = 2 sen a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sen 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sen 2 a ;

pecado 3a = 3 pecado a – 4 pecado 3 a ;

porque 3a = 4 porque 3 a – 3 porque a ;

La fórmula para cos 3a fue utilizada por François Viète al resolver ecuación cúbica. Fue el primero en encontrar expresiones para cos. norte un y pecado norte a, que luego se obtuvieron de forma más sencilla a partir de la fórmula de Moivre.

Si reemplaza a con /2 en fórmulas de doble argumento, se pueden convertir en fórmulas de medio ángulo:

Fórmulas de sustitución universales.

Usando estas fórmulas, una expresión que involucra diferentes funciones trigonométricas del mismo argumento se puede reescribir como expresión racional a partir de una función tg (a /2), esto puede resultar útil a la hora de resolver algunas ecuaciones:

Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.

Antes de la llegada de las computadoras, estas fórmulas se utilizaban para simplificar los cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando tablas logarítmicas, y después - regla de cálculo, porque los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números, por lo que todas las expresiones originales se llevaron a una forma conveniente para la logaritmización, es decir a obras, por ejemplo:

2 pecado a pecado b = porque ( a–b) – porque ( a+b);

2cos a porque b=cos( a–b) + porque ( a+b);

2 pecado a porque b= pecado( a–b) + pecado ( a+b).

Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se pueden obtener a partir de lo anterior.

Fórmulas de reducción de grados.

De las fórmulas de argumentos múltiples se derivan las siguientes fórmulas:

Usando estas fórmulas ecuaciones trigonométricas se puede reducir a ecuaciones de grados inferiores. De la misma manera, podemos derivar fórmulas de reducción para más altos grados seno y coseno.

Cada función trigonométrica en cada punto de su dominio de definición es continua e infinitamente diferenciable. Además, las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas y, cuando se integran, también se obtienen funciones trigonométricas o sus logaritmos. Las integrales de combinaciones racionales de funciones trigonométricas son siempre funciones elementales.

Representación de funciones trigonométricas en forma de series de potencias y productos infinitos.

Todas las funciones trigonométricas se pueden desarrollar en serie de potencias. En este caso, las funciones sen X bcos X se presentan en filas. convergente para todos los valores X:

Estas series se pueden utilizar para obtener expresiones aproximadas del pecado. X y porque X en valores pequeños X:

en | x| p/2;

en 0x| pag

(B norte – números de Bernoulli).

funciones de pecado X y porque X se puede representar en forma de infinitos productos:

Sistema trigonométrico 1, cos X,pecado X, porque 2 X, pecado 2 X,¼,porque nx,pecado nx, ¼, se forma en el segmento [– pag, pag] sistema ortogonal funciones, lo que permite representar funciones en forma de series trigonométricas.

se definen como continuaciones analíticas de las funciones trigonométricas correspondientes del argumento real en plano complejo. si, pecado z y porque z se puede definir usando series para el pecado X y porque X, si en cambio X poner z:

Estas series convergen en todo el plano, por lo que sen z y porque z- funciones completas.

La tangente y la cotangente están determinadas por las fórmulas:

funciones tg z y ctg z– funciones meromórficas. postes tg z y segundo z– simple (1er orden) y ubicado en puntos z = pag/2 + pn, Polos CTG z y cosec z– también simple y ubicado en puntos z = pn, norte = 0, ±1, ±2,…

Todas las fórmulas que son válidas para funciones trigonométricas de un argumento real también lo son para una compleja. En particular,

pecado(- z) = –pecado z,

porque(– z) = porque z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

aquellos. Se conservan las paridades pares e impares. Las fórmulas también se guardan.

pecado( z + 2pag) = pecado z, (z + 2pag) = porque z, (z + pag) = tg z, (z + pag) = ctg z,

aquellos. también se conserva la periodicidad y los períodos son los mismos que para las funciones de un argumento real.

Las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de una función exponencial de un argumento puramente imaginario:

Atrás, e iz expresado en términos de cos z y el pecado z según la fórmula:

e iz= porque z + i pecado z

Estas fórmulas se llaman fórmulas de Euler. Leonhard Euler los desarrolló en 1743.

Las funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de funciones hiperbólicas:

z = –i sh es, cos z = ch iz, z = –i th iz.

donde sh, ch y th – seno hiperbólico, coseno y tangente.

Funciones trigonométricas de argumento complejo. z = x + iy, Dónde X Y y– los números reales, se pueden expresar mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reales, por ejemplo:

pecado( x + iy) = pecado X ch y + i porque X sh y;

porque( x + iy) = porque X ch y + i pecado X sh y.

El seno y el coseno de un argumento complejo pueden tomar valores reales, superior a 1 en valor absoluto. Por ejemplo:

Si un ángulo desconocido entra en una ecuación como argumento de funciones trigonométricas, entonces la ecuación se llama trigonométrica. Estas ecuaciones son tan comunes que sus métodos Las soluciones son muy detalladas y cuidadosamente desarrolladas. CON Con ayuda varias técnicas y las fórmulas reducen las ecuaciones trigonométricas a ecuaciones de la forma F(X)=un, Dónde F– cualquiera de las funciones trigonométricas más simples: seno, coseno, tangente o cotangente. Luego expresa el argumento. X esta función a través de su valor conocido A.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, lo mismo A del rango de valores hay infinitos valores del argumento, y las soluciones de la ecuación no se pueden escribir como una única función de A. Por tanto, en el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas principales, se selecciona un apartado en el que toma todos sus valores, cada uno una sola vez, y en este apartado se encuentra la función inversa a la misma. Estas funciones se denotan agregando el prefijo arco (arco) al nombre de la función original y se denominan trigonométrica inversa. funciones o simplemente funciones de arco.

Funciones trigonométricas inversas.

Por el pecado X, porque X, tg X y ctg X puede ser determinado funciones inversas. En consecuencia, se denotan por arcoseno. X(lea "arcoseno" X"), arcos X, arctán X y arcctg X. Por definición, arcosen X hay tal numero y, Qué

pecado en = X.

Lo mismo ocurre con otras funciones trigonométricas inversas. Pero esta definición adolece de cierta inexactitud.

Si reflejas el pecado X, porque X, tg X y ctg X relativo a la bisectriz del primer y tercer cuadrante Plano coordinado, entonces las funciones, por su periodicidad, se vuelven ambiguas: el mismo seno (coseno, tangente, cotangente) corresponde a número infinito esquinas

Para eliminar la ambigüedad, una sección de la curva con un ancho de pag, en este caso es necesario que se mantenga una correspondencia uno a uno entre el argumento y el valor de la función. Se seleccionan áreas cercanas al origen de las coordenadas. Para seno en Como “intervalo uno a uno” tomamos el segmento [– pag/2, pag/2], en el que el seno aumenta monótonamente de –1 a 1, para el coseno – el segmento, para la tangente y cotangente, respectivamente, los intervalos (– pag/2, pag/2) y (0, pag). Cada curva en el intervalo se refleja con respecto a la bisectriz y ahora se pueden determinar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, supongamos que se dé el valor del argumento. x0, tal que 0 Ј X 0 Ј 1. Entonces el valor de la función. y 0 = arcosen X 0 solo habrá un significado en 0 , tal que - pag/2 Ј en 0 Ј pag/2 y X 0 = pecado y 0 .

Por tanto, el arcoseno es función del arcosen. A, definido en el intervalo [–1, 1] e igual para cada A a tal valor a , – pag/2 a p /2 que sen a = A. Es muy conveniente representarlo mediante un círculo unitario (Fig. 15). Cuando | un| 1 en una circunferencia hay dos puntos con ordenada a, simétrico respecto al eje Ud. Uno de ellos corresponde al ángulo a= arcosen A, y el otro es la esquina pag - a. CON teniendo en cuenta la periodicidad del seno, la solución ecuaciones de pecado X= A está escrito de la siguiente manera:

x =(–1)norte arcosin a + 2pn,

Dónde norte= 0, ±1, ±2,...

Otras ecuaciones trigonométricas simples se pueden resolver de la misma forma:

porque X = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2pn,

Dónde PAG= 0, ±1, ±2,... (Fig.16);

tg X = a;

X= arctán a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.17);

ctg X= A;

X= arcctg a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.18).

Propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas:

arcosin X(Fig. 19): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - [- pag/2, pag/2], función monótonamente creciente;

arccos X(Fig. 20): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango de valores – ; función monótonamente decreciente;

arctg X(Fig. 21): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (– pag/2, pag/2); función monótonamente creciente; derecho en= –pag/2 y y = pag /2 – asíntotas horizontales;

arcctg X(Fig. 22): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (0, pag); función monótonamente decreciente; derecho y= 0 y y = pag– asíntotas horizontales.

Para cualquiera z = x + iy, Dónde X Y y son números reales, las desigualdades se mantienen

½| e\e y–e-y| ≤|pecado z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

de los cuales en y® Ґ siguen fórmulas asintóticas (uniformemente con respecto a X)

|pecado z| » 1/2 mi |y| ,

|porque z| » 1/2 mi |y| .

Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez en relación con la investigación en astronomía y geometría. Las razones de los segmentos de un triángulo y un círculo, que son esencialmente funciones trigonométricas, se encuentran ya en el siglo III. antes de Cristo mi. en las obras de los matemáticos de la antigua Grecia. – Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga y otros, sin embargo, estas relaciones no eran un objeto de estudio independiente, por lo que no estudiaron las funciones trigonométricas como tales. Inicialmente fueron considerados como segmentos y en esta forma fueron utilizados por Aristarco (finales del siglo IV - segunda mitad del siglo III a. C.), Hiparco (siglo II a. C.), Menelao (siglo I d. C.) y Ptolomeo (siglo II d. C.) cuando. Resolver triángulos esféricos. Ptolomeo compiló la primera tabla de cuerdas para ángulos agudos cada 30" con una precisión de 10 -6. Esta fue la primera tabla de senos. Como proporción función pecado a ya se encuentra en Aryabhata (finales del siglo V). Las funciones tg a y ctg a se encuentran en al-Battani (segunda mitad del siglo IX - principios del X) y Abul-Wef (siglo X), quien también usa sec a y cosec a. Aryabhata ya conocía la fórmula (sin 2 a + cos 2 a) = 1, y también fórmulas de pecado y cos de un medio ángulo, con la ayuda de las cuales construyó tablas de senos para ángulos de hasta 3°45"; basándose en los valores conocidos de funciones trigonométricas para los argumentos más simples. Bhaskara (siglo XII) dio un método para construir tablas hasta 1 usando fórmulas de suma. Las fórmulas para convertir la suma y las diferencias de funciones trigonométricas de varios argumentos en un producto fueron derivadas por Regiomontanus (siglo XV) y J. Napier en relación con la invención de los logaritmos por parte de este último (1614 Regiomontanus dio una tabla). de valores sinusoidales en incrementos de 1"). La expansión de funciones trigonométricas en series de potencias fue obtenida por I. Newton (1669). EN forma moderna La teoría de las funciones trigonométricas fue introducida por L. Euler (siglo XVIII). Él es dueño de su definición de verdad y argumentos complejos, el simbolismo actualmente aceptado, estableciendo una conexión con funcion exponencial y ortogonalidad del sistema de senos y cosenos.

En este artículo echaremos un vistazo completo. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una conexión entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.

Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas que analizaremos en este artículo. Anotémoslos en una tabla y, a continuación, daremos el resultado de estas fórmulas y brindaremos las explicaciones necesarias.

Navegación de páginas.

Relación entre seno y coseno de un ángulo

A veces no hablan de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola. identidad trigonométrica básica amable . La explicación de este hecho es bastante sencilla: las igualdades se obtienen a partir de la base identidad trigonométrica después de dividir ambas partes por y respectivamente, y la igualdad Y se desprende de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.

Eso es, interés especial representa precisamente la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.

Antes de demostrar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.

La identidad trigonométrica básica se utiliza muy a menudo cuando transformación expresiones trigonométricas . Permite sustituir por uno la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo. No menos a menudo se utiliza la identidad trigonométrica básica en orden inverso: unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y coseno de cualquier ángulo.

Tangente y cotangente mediante seno y coseno

Identidades que conectan tangente y cotangente con seno y coseno de un ángulo de visión y sigue inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la relación entre la ordenada y la abscisa, es decir, , y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, .

Gracias a tal obviedad de las identidades y La tangente y la cotangente a menudo no se definen mediante la proporción de abscisas y ordenadas, sino mediante la proporción de seno y coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón entre el coseno y el seno.

Como conclusión de este párrafo, cabe señalar que las identidades y tienen lugar para todos los ángulos en los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces la fórmula es válida para cualquier distinto de (de lo contrario, el denominador tendrá cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos, diferentes de, donde z es cualquiera.

Relación entre tangente y cotangente

Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que es válido para cualquier ángulo distinto de , de lo contrario, ni la tangente ni la cotangente no están definidas.

Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde . La prueba podría haberse llevado a cabo de forma un poco diferente. Desde , Eso .

Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son.

vamos a tratar con conceptos simples: seno y coseno y calculo coseno al cuadrado y seno al cuadrado.

El seno y el coseno se estudian en trigonometría (el estudio de los triángulos rectángulos).

Por eso, primero, recordemos los conceptos básicos de un triángulo rectángulo:

Hipotenusa- el lado que siempre está opuesto ángulo recto(ángulo de 90 grados). La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

Los dos lados restantes triángulo rectángulo son llamados piernas.

También debes recordar que tres ángulos en un triángulo siempre suman 180°.

Ahora pasemos a coseno y seno del ángulo alfa (∠α)(esto puede llamarse cualquier ángulo indirecto en un triángulo o usarse como designación x - "x", lo que no cambia la esencia).

Seno del ángulo alfa (sin ∠α)- esta es una actitud opuesto cateto (el lado opuesto al ángulo correspondiente) a la hipotenusa. Si nos fijamos en la figura, entonces sen ∠ABC = AC / BC

Coseno del ángulo alfa (cos ∠α)- actitud adyacente al ángulo del cateto con respecto a la hipotenusa. Mirando nuevamente la figura anterior, cos ∠ABC = AB / BC

Y solo como recordatorio: el coseno y el seno nunca serán mayores que uno, ya que cualquier rollo es más corto que la hipotenusa (y la hipotenusa es el lado más largo de cualquier triángulo, porque el lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande del triángulo) .

Coseno al cuadrado, seno al cuadrado

Ahora pasemos a los principales. fórmulas trigonométricas: Calcula el coseno al cuadrado y el seno al cuadrado.

Para calcularlos conviene recordar la identidad trigonométrica básica:

pecado 2 α + cos 2 α = 1(El seno cuadrado más el coseno cuadrado de un ángulo siempre es igual a uno).

De la identidad trigonométrica sacamos conclusiones sobre el seno:

pecado 2 α = 1 - cos 2 α

seno cuadrado alfa igual a uno menos coseno doble angulo alfa y dividirlo todo por dos.

sen 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​De la identidad trigonométrica sacamos conclusiones sobre el coseno:

cos 2 α = 1 - sen 2 α

o más opcion dificil fórmulas: coseno cuadrado alfa es igual a uno más el coseno del doble ángulo alfa y además dividir todo por dos.

porque 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Estos dos son más fórmulas complejas El seno al cuadrado y el coseno al cuadrado también se denominan "reducir el grado de los cuadrados de funciones trigonométricas". Aquellos. había un segundo grado, lo bajaron al primero y los cálculos se volvieron más convenientes.

Trigonometría - sección ciencia matemática, que explora funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la época. antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.

Este artículo está dedicado a conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.

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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.

Definiciones de funciones trigonométricas

El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.

Coseno del ángulo (cos α): la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Ángulo tangente (t g α) - relación pierna opuesta al adyacente.

Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Estas definiciones se dan para ángulo agudo¡triángulo rectángulo!

Pongamos una ilustración.

EN triangulo abc con ángulo recto C seno del ángulo A igual a la proporción cateto BC a la hipotenusa AB.

Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.

¡Importante recordar!

El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.

Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞. .

EN en este contexto Puede definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de tamaño arbitrario. Imaginemos un círculo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.

El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario en un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).

Seno (pecado) del ángulo de rotación.

El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y

Coseno (cos) del ángulo de rotación.

El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x

Tangente (tg) del ángulo de rotación

La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x

Cotangente (ctg) del ángulo de rotación

La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.

¡Importante recordar!

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.

La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.

Números

¿Qué pasa si determinamos el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número, en lugar del ángulo de rotación?

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.

Por ejemplo, el seno del número 10 π es igual al seno del ángulo de rotación de 10 π rad.

Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.

Alguien Número Real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.

El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).

Numero positivo t

Numero negativo t corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y seguirá el camino t.

Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y

Coseno (cos) de t

coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x

Tangente (tg) de t

tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t

Las últimas definiciones están de acuerdo con y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.

Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.

De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones. argumento numérico. cada número real t corresponde a un cierto valor del seno o coseno de un número t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.

Funciones básicas de trigonometría.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, del contexto queda claro con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.

Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Definiciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente son completamente consistentes con definiciones geométricas, dado usando las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.

Tome un círculo unitario con centro en un rectángulo sistema cartesiano coordenadas vamos a darle la vuelta punto de partida A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibuja una perpendicular a la abscisa desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H igual al ángulo gire α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.

De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.

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En este artículo mostraremos cómo dar definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo y número en trigonometría. Aquí hablaremos sobre notaciones, daremos ejemplos de entradas y daremos ilustraciones gráficas. En conclusión, establezcamos un paralelo entre las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente en trigonometría y geometría.

Navegación de páginas.

Definición de seno, coseno, tangente y cotangente

Veamos cómo se forma la idea de seno, coseno, tangente y cotangente en curso escolar matemáticas. En las lecciones de geometría se da la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Y posteriormente se estudia la trigonometría, que habla del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación y número. Presentemos todas estas definiciones, demos ejemplos y demos los comentarios necesarios.

Ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

Del curso de geometría conocemos las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Se dan como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Demos sus formulaciones.

Definición.

Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

Definición.

Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Definición.

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo– esta es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Definición.

Cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo- esta es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Allí también se introducen las designaciones de seno, coseno, tangente y cotangente: sin, cos, tg y ctg, respectivamente.

Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C, entonces el seno del ángulo agudo A es igual a la razón entre el lado opuesto BC y la hipotenusa AB, es decir, sen∠A=BC/AB.

Estas definiciones le permiten calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo rectángulo, así como de valores conocidos encuentra las longitudes de los otros lados usando seno, coseno, tangente, cotangente y la longitud de uno de los lados. Por ejemplo, si supiéramos que en un triángulo rectángulo el cateto AC es igual a 3 y la hipotenusa AB es igual a 7, entonces podríamos calcular el valor del coseno del ángulo agudo A por definición: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Ángulo de rotación

En trigonometría, comienzan a considerar el ángulo de manera más amplia: introducen el concepto de ángulo de rotación. La magnitud del ángulo de rotación, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados; el ángulo de rotación en grados (y en radianes) se puede expresar mediante cualquier número real de −∞ a +∞.

En este sentido, las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente no se dan para un ángulo agudo, sino para un ángulo de tamaño arbitrario: el ángulo de rotación. Se dan a través de las coordenadas xey del punto A 1, al que va el llamado punto inicial A(1, 0) después de su rotación en un ángulo α alrededor del punto O, el comienzo del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. y el centro del círculo unitario.

Definición.

Seno de ángulo de rotaciónα es la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y.

Definición.

Coseno del ángulo de rotación.α se llama abscisa del punto A 1, es decir, cosα=x.

Definición.

Tangente del ángulo de rotaciónα es la relación entre la ordenada del punto A 1 y su abscisa, es decir, tanα=y/x.

Definición.

Cotangente del ángulo de rotación.α es la relación entre la abscisa del punto A 1 y su ordenada, es decir, ctgα=x/y.

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α, ya que siempre podemos determinar la abscisa y la ordenada del punto, que se obtiene girando el punto inicial en el ángulo α. Pero la tangente y la cotangente no están definidas para ningún ángulo. La tangente no está definida para los ángulos α en los que el punto inicial va a un punto con abscisa cero (0, 1) o (0, −1), y esto ocurre en los ángulos 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). De hecho, en tales ángulos de rotación, la expresión tgα=y/x no tiene sentido, ya que contiene división por cero. En cuanto a la cotangente, no está definida para los ángulos α en los que el punto inicial va al punto de ordenada cero (1, 0) o (−1, 0), y esto ocurre para los ángulos de 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Entonces, el seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación, la tangente se define para todos los ángulos excepto 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), y la cotangente se define para todos los ángulos excepto 180°·k , k∈Z (π·k rad).

Las definiciones incluyen las designaciones que ya conocemos sin, cos, tg y ctg, también se utilizan para designar seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación (a veces puede encontrar las designaciones tan y cot correspondientes a tangente y cotangente) . Entonces, el seno de un ángulo de rotación de 30 grados se puede escribir como sin30°, las entradas tg(−24°17′) y ctgα corresponden a la tangente del ángulo de rotación −24 grados 17 minutos y la cotangente del ángulo de rotación α . Recuerde que al escribir la medida en radianes de un ángulo, a menudo se omite la designación "rad". Por ejemplo, el coseno de un ángulo de rotación de tres pi rad normalmente se denota como cos3·π.

Como conclusión de este punto, vale la pena señalar que cuando se habla de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación, a menudo se omite la frase "ángulo de rotación" o la palabra "rotación". Es decir, en lugar de la frase "seno del ángulo de rotación alfa", se suele utilizar la frase "seno del ángulo alfa" o, más brevemente, "seno alfa". Lo mismo se aplica al coseno, la tangente y la cotangente.

También diremos que las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son consistentes con las definiciones que se acaban de dar para seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de rotación que oscila entre 0 y 90 grados. Lo justificaremos.

Números

Definición.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número igual al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en t radianes, respectivamente.

Por ejemplo, el coseno del número 8 π por definición es el número igual al cosenoángulo de 8·π rad. Y el coseno de un ángulo de 8·π rad es igual a uno, por tanto, el coseno del número 8·π es igual a 1.

Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Consiste en que cada número real t está asociado a un punto de la circunferencia unitaria cuyo centro está al principio sistema rectangular Las coordenadas, y el seno, coseno, tangente y cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto. Veamos esto con más detalle.

Demostremos cómo se establece una correspondencia entre números reales y puntos de una circunferencia:

• al número 0 se le asigna el punto de partida A(1, 0);
• el número positivo t está asociado con un punto en el círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto inicial en sentido antihorario y caminemos el camino longitud t;
• numero negativo t está asociado con el punto del círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto inicial en el sentido de las agujas del reloj y recorremos un camino de longitud |t| .

Pasemos ahora a las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del número t. Supongamos que el número t corresponde a un punto del círculo A 1 (x, y) (por ejemplo, el número &pi/2; corresponde al punto A 1 (0, 1)).

Definición.

Seno del numero t es la ordenada del punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, sint=y.

Definición.

coseno del numero t se llama abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, costo = x.

Definición.

tangente del numero t es la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, tgt=y/x. En otra formulación equivalente, la tangente de un número t es la relación entre el seno de este número y el coseno, es decir, tgt=sint/cost.

Definición.

Cotangente del numero t es la relación entre la abscisa y la ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t, es decir, ctgt=x/y. Otra formulación es esta: la tangente del número t es la relación entre el coseno del número t y el seno del número t: ctgt=cost/sint.

Aquí observamos que las definiciones que se acaban de dar son consistentes con la definición dada al comienzo de este párrafo. De hecho, el punto del círculo unitario correspondiente al número t coincide con el punto obtenido girando el punto inicial en un ángulo de t radianes.

Todavía vale la pena aclarar este punto. Digamos que tenemos la entrada sin3. ¿Cómo podemos saber si estamos hablando del seno del número 3 o del seno del ángulo de rotación de 3 radianes? Esto suele quedar claro en el contexto; de lo contrario, probablemente no tenga una importancia fundamental.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.

Según las definiciones dadas en el párrafo anterior, cada ángulo de rotación α corresponde a un valor muy específico sinα, así como al valor cosα. Además, todos los ángulos de rotación distintos de 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corresponden a valores de tgα, y los valores distintos de 180°k, k∈Z (πk rad ) – valores ​​de ctgα. Por tanto sinα, cosα, tanα y ctgα son funciones del ángulo α. En otras palabras, éstas son funciones del argumento angular.

Podemos hablar de manera similar de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un argumento numérico. De hecho, cada número real t corresponde a un valor sint muy específico, así como a un costo. Además, todos los números distintos de π/2+π·k, k∈Z corresponden a valores tgt, y los números π·k, k∈Z - valores ctgt.

Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se llaman funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, del contexto queda claro si se trata de funciones trigonométricas de un argumento angular o de un argumento numérico. De lo contrario, podemos considerar la variable independiente como una medida del ángulo ( argumento del ángulo) y un argumento numérico.

Sin embargo, en la escuela estudian principalmente funciones numéricas, es decir, funciones cuyos argumentos, al igual que sus valores de función correspondientes, son números. Por lo tanto, si estamos hablando acerca de específicamente sobre funciones, es recomendable considerar las funciones trigonométricas como funciones de argumentos numéricos.

Relación entre definiciones de geometría y trigonometría

Si consideramos que el ángulo de rotación α varía de 0 a 90 grados, entonces las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en el contexto de la trigonometría son totalmente consistentes con las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, que se dan en el curso de geometría. Justifiquemos esto.

Representaremos el círculo unitario en el sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy. Marquemos el punto de partida A(1, 0) . Girémoslo en un ángulo α que oscila entre 0 y 90 grados, obtenemos el punto A 1 (x, y). Dejemos caer la perpendicular A 1 H desde el punto A 1 al eje Ox.

Es fácil ver que en un triángulo rectángulo, el ángulo A 1 OH es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto OH adyacente a este ángulo es igual a la abscisa del punto A 1, es decir, |OH |=x, la longitud del cateto A 1 H opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, |A 1 H|=y, y la longitud de la hipotenusa OA 1 es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario. Entonces, por definición de geometría, el seno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo A 1 OH es igual a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Y por definición de trigonometría, el seno del ángulo de rotación α es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y. Esto muestra que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α cuando α es de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede demostrar que las definiciones de coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo α son consistentes con las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α.

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