Propósito: Dar el concepto, definición de secuencia, finita, infinita, varias formas de definir secuencias, sus diferencias, enseñar cómo usarlas al resolver ejemplos.
Equipamiento: Mesas.
Progreso de la lección
II. control frontal tarea:
1) tarea de estudiante en la pizarra No. 2.636 (de la parte II de la “Colección de tareas para el examen escrito en el noveno grado)
2) estudiante. construir un gráfico
3) frontalmente con toda la clase N° 2.334 (a).
III. Explicación de material nuevo.
Una conferencia escolar es una forma de organizar el proceso educativo que orienta a los estudiantes al estudiar un tema en particular hacia lo principal e implica una amplia demostración de la actitud personal del profesor y de los estudiantes hacia el material educativo. Porque La lección-conferencia prevé una presentación en bloque grande del material por parte del maestro, luego la comunicación verbal entre el maestro y los estudiantes es lo principal en su tecnología. La palabra del profesor tiene un impacto emocional, estético y crea una determinada actitud hacia el tema. Con la ayuda de una conferencia, se guían varios tipos de actividades de los estudiantes en el aula y, a través de conocimientos, destrezas y habilidades, se forma la cognición como base de la actividad educativa.
I. Escriba números de dos dígitos terminados en 3 en orden ascendente.
13; 23; 33;………….93.
Haga coincidir cada número de serie del 1 al 9 con un número específico de dos dígitos:
1->13; 2->23;………9->93.
Entre el conjunto de los nueve primeros números naturales y el conjunto números de dos dígitos terminando con el número 3, se ha establecido un partido. Esta correspondencia es una función.
El dominio de definición es (1; 2; 3;……..9)
Muchos valores (13; 23; 33;…….93).
Si la correspondencia se denota por f, entonces
Esta secuencia se puede especificar utilizando el par.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
segundo) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Cuadro No. 1
A) b)
II. 
O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)
M.z.f.  g(1) = ; |
g(3) =; | ... |
g(60) =
Una función definida sobre el conjunto de los números naturales se llama secuencia infinita.
c) 2; 4; 6; 8; 10;……..
1 -> 2; 2 -> 4; ……. norte -> 2norte
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- miembros de la secuencia.
Nota: es necesario distinguir entre el concepto de conjunto y el concepto de secuencia.
a) (10; 20; 30; 40)
{40; 30; 20; 10}
El mismo conjunto.
b) sin embargo, las secuencias 10; 20; 30; 40
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
Varios:
III. Considere la secuencia:
1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> infinito, creciente
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> final, decreciente. 
Una secuencia se llama creciente si cada miembro, a partir del segundo, es mayor que el anterior.
b) 
Se da la definición de una secuencia decreciente.
Las secuencias crecientes o decrecientes se llaman monótonas.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - fluctuante;
5; 5; 5; 5; ….. - constante.
IV. Las secuencias se pueden representar geométricamente. Porque la secuencia es una función cuyo dominio de definición es el conjunto N, entonces la gráfica, aparentemente, es el conjunto de puntos del plano (x; y).
Ejemplo: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Tracemos esta secuencia
Figura 1.
Ejemplo: demostrar que una secuencia dada en esta forma
99; 74; 49; 24; -1;……………
está disminuyendo.
V. Métodos para especificar secuencias.
Porque Una secuencia es una función definida en el conjunto N, entonces hay cinco formas de definir secuencias:
I. tabular
II. Método de descripción
III. Analítico
IV. Gráfico
V. Recurrente
I. Tabular: muy inconveniente. Elaboramos una tabla y la usamos para determinar ¿qué miembro? ¿Qué lugar ocupa?...
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Método de descripción.
Ejemplo: La secuencia es tal que cada miembro se escribe usando el número 4 y el número de dígitos es igual al número de la secuencia.
III. Método analítico(usando fórmula).
Una fórmula que expresa cada miembro de una secuencia en términos de su número n se llama fórmula para los n miembros de la secuencia.
Por ejemplo:
y los estudiantes forman estas sucesiones, y viceversa: elige una fórmula para los términos de las sucesiones:
| a) 1; ; | |
b)  ...
|
|
;…………..  |
|
V)  |
 |
| GRAMO) |
e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Método gráfico
- Tampoco es muy conveniente, normalmente no lo usan..
– la serie de Fibonacci tiene su propia lógica y belleza, cuya comprensión sólo es posible con un estudio específico. NÚMEROS DE FIBONACCI. Leonardo Fibonacci (). Destacado matemático italiano, autor de El libro del ábaco. Este libro siguió siendo el principal depósito de información sobre aritmética y álgebra durante varios siglos. Fue a través de las obras de L. Fibonacci que toda Europa dominó, sistema de conteo, así como geometría práctica. Siguieron siendo libros de texto de escritorio casi hasta la era de Descartes (¡y ya estamos en el siglo XVII!).
La regla de secuencia se expresa. descripción verbal. Ejemplos. 1) La secuencia de números simples de dos dígitos menores que 50 es una secuencia finita: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Una secuencia infinita de aproximaciones numero irracional= =1, ...: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1, 7321, ... Verbal
Se especifica una regla que permite calcular el enésimo miembro de una secuencia dada si se conocen todos sus miembros anteriores. Ejemplo. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, si n2. Calculemos los primeros términos de esta secuencia: 1, 2, 6, 24, 120,…. Puedes verificar que el enésimo término de esta secuencia igual al producto primeros n números naturales: y n = n ! Recurrente
Problema 2 Encuentra los primeros cinco términos de la secuencia dada de forma recurrente: y 1 = 2, y n = y n Respuesta: 2, 7, 12, 17, 22. Dictado de entrenamiento Opción 1 (2) 1. ¿La secuencia de divisores del número 1200 es finita o infinita? (¿Múltiplos de 8?) 2. ¿La secuencia de números que son múltiplos de 6 es finita o infinita? (¿Divisores del número 2400?) 3. La secuencia viene dada por la fórmula a n =5n+2 (b n =n 2 -3). ¿A qué equivale su tercer término? 4. Escriba el último miembro de la secuencia de todos los números de tres (dos dígitos). 5. Dada una fórmula recurrente para la secuencia a n+1 =a n -4, y 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Encuentra a 2 (b 2).
Opción definitiva. 2. Opción Infinita Infinita. 2. último
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Las secuencias finitas de símbolos básicos se denominan expresiones de la teoría S.
Una secuencia finita arbitraria de símbolos alfabéticos (incluidos los vacíos) se llama cadena. Un subconjunto arbitrario LA del conjunto de todas las cadenas posibles, un cheque se llama lenguaje sobre A.
El SPD considerado implementa un modo de conmutación de paquetes, que es un método de transmisión en el que los datos de los mensajes del usuario se dividen en paquetes separados, cuyas rutas de transmisión en la red desde el origen al destinatario se determinan en cada centro de control donde se encuentran los paquetes. son recibidos. Los mensajes se entienden como una secuencia finita de símbolos que tienen contenido semántico. Un paquete es un bloque de datos con un encabezado, presentado en un formato específico y con un alcance limitado. longitud máxima. Tenga en cuenta que los sistemas de transmisión de datos con conmutación de paquetes son altamente eficientes debido a la capacidad de reorganizar rápidamente las rutas de transmisión de datos (enrutamiento) en caso de sobrecargas y daños a los elementos de transmisión de datos. La efectividad de varias opciones para construir un sistema de transmisión de datos y sus fragmentos se evalúa mediante los tiempos promedio de entrega de datos a los usuarios y las probabilidades de que no se pueda establecer la conexión requerida por el usuario en en este momento tiempo.
Por supuesto, no toda secuencia finita de símbolos es un enunciado; por ejemplo, (S0 L (55)) es una afirmación, pero l l) S3 y S0 l no lo son.
F es el conjunto de todas las secuencias finitas de símbolos que son generadores o sus inversas. Todas las palabras de F se dividen en clases de la siguiente manera: si Wi y W2 son palabras equivalentes de F, entonces Wi y W2 pertenecen a la misma clase; Si Wi y W2 no son palabras equivalentes de F, entonces Wi y W2 no están en la misma clase. En otras palabras, las palabras Wi y W2 están en la misma clase si y sólo si son equivalentes. Problema común, consistente en resolver en el caso grupo arbitrario si las dos palabras son equivalentes es extremadamente difícil.
La metamatemática es una teoría que estudia las teorías matemáticas formalizadas. Una teoría formalizada es, en términos generales, un conjunto de algunas secuencias finitas de símbolos llamadas fórmulas y términos, y un conjunto de algunas operaciones simples, producido en estas secuencias. Fórmulas y términos obtenidos usando pastel: ¿cuántos? reglas simples, sirve como reemplazo de sugerencias y funciones intuitivas teoría matemática. Las operaciones sobre fórmulas corresponden a los pasos elementales de la deducción en el razonamiento matemático. Fórmulas correspondientes a los axiomas de la teoría intuitiva del juego. papel especial- son axiomas de una teoría formalizada. Las fórmulas que pueden derivarse de los axiomas mediante las operaciones adoptadas corresponden a los teoremas de la teoría.
La metamatemática es una teoría que estudia las teorías matemáticas formalizadas. Una teoría formalizada es, en términos generales, un conjunto de algunas secuencias finitas de símbolos, llamadas fórmulas y términos, y un conjunto de algunas operaciones simples realizadas sobre estas secuencias. Las fórmulas y términos derivados de unas pocas reglas simples sirven como sustitutos de las proposiciones y funciones de la teoría matemática intuitiva. Las operaciones sobre fórmulas corresponden a los pasos elementales de la deducción en el razonamiento matemático. Las fórmulas correspondientes a los axiomas de la teoría intuitiva juegan un papel especial: son axiomas de la teoría formalizada.
En segundo lugar, podemos abandonar el requisito de que la firma sea contable y decir esto: para cada subconjunto A C M existe una subestructura elemental M C M que contiene A cuya cardinalidad no excede el máximo de NQ, la cardinalidad del conjunto A y la cardinalidad de la firma. . De hecho, tanto la construcción de un cierre con respecto a las operaciones de firma, como la construcción de un cierre existencial y la unión contable de una cadena creciente no llevan la potencia más allá del máximo especificado, ya que tanto las fórmulas como los términos son secuencias finitas de símbolos de firma. y un número contable de otros símbolos (ver más detalles en ); Lo mismo puede decirse del número de posibles conjuntos de valores de parámetros.
En el IVS considerado, se implementa un modo de conmutación de paquetes, que proporciona un método de transmisión en el que los datos de los mensajes del usuario se dividen en paquetes separados. Las rutas de transmisión de paquetes en la red desde el origen al destinatario se determinan en cada empresa gestora a la que llegan. Los mensajes se entienden como una secuencia finita de símbolos que tienen contenido semántico. Un paquete es un bloque de datos con un encabezado, presentado en un formato específico y con una longitud máxima limitada. Tenga en cuenta que los IVS con conmutación de paquetes son muy eficientes debido a la capacidad de reorganizar rápidamente las rutas de transmisión de datos (enrutamiento) en caso de sobrecargas y daños a los elementos del IVS. La efectividad de varias opciones para construir un IVS y sus fragmentos se evalúa mediante los tiempos promedio de entrega de datos a los usuarios y las probabilidades de que no se pueda establecer la conexión requerida por el usuario en un momento dado.
Al considerar un conjunto contable (finito o infinito), los números correspondientes a sus elementos en alguna conversión fija se pueden utilizar como designaciones o nombres individuales de estos elementos. Pero viceversa, si un nombre o expresión explícita en algún sistema de notación inequívoco preestablecido puede ser individualmente asociado con cada elemento de un determinado conjunto, entonces este conjunto (finito o infinito) es contable, siempre que el nombre o expresión deba ser una secuencia finita de símbolos elegidos de un alfabeto finito de símbolos disponible para nosotros. Por ejemplo, ecuaciones algebraicas con probabilidades enteras se puede escribir usando notación decimal para probabilidades y exponentes. Escribir exponentes en la parte superior es una característica sin importancia de nuestra notación que puede eliminarse con una convención adecuada.
Consideremos, por ejemplo, el problema de multiplicar dos polinomios con coeficientes enteros. El problema es cómo escribir estos polinomios para poder ingresarlos en una computadora. Las máquinas de Turing, que consideramos a continuación, entienden sólo secuencias finitas de símbolos (palabras) de algunos conjunto finito A, llamado alfabeto externo. Por tanto, una formulación rigurosa de un problema computacional debe incluir un alfabeto y un método para codificar los datos de entrada.
Cada operador alfabético está asociado a una idea intuitiva de su complejidad. Los más simples son los operadores alfabéticos que realizan asignaciones carácter por carácter. El mapeo carácter por carácter consiste en reemplazar cada carácter de la palabra de entrada A con algún carácter del alfabeto de salida B. Gran valor tienen los llamados mapeos de codificación. Por mapa de codificación nos referimos a una correspondencia que asocia cada símbolo del alfabeto de entrada con una determinada secuencia finita de símbolos en el alfabeto de salida, llamada código.
Forman un conjunto incontable. Las funciones computables forman un subconjunto muy importante que comenzamos a estudiar. De hecho, cuando se utiliza cualquier lenguaje algorítmico, cada programa consta de secuencia finita caracteres de un alfabeto finito o contable. De ello se deduce que el conjunto de programas es contablemente infinito.
Consideremos una forma ligeramente diferente de problemas de inferencia inductiva. Supongamos que tenemos una secuencia de símbolos suficientemente larga y que la tarea es predecir los símbolos posteriores de esta secuencia. Este tarea normal para aquellos casos en los que es necesario estimar probabilidades por inducción. Esta tarea se refresca un poco con la introducción. concepto moderno universal computadora y un lenguaje de programación compilado para ello. Se dice que un programa es válido si, una vez recibido, la máquina imprime una secuencia, incluso infinita, que comienza con una secuencia finita dada de caracteres. Por tanto, todo programa válido hace una predicción.
si todos número natural n está asignado a algunos numero real x n , entonces dicen que está dado secuencia numérica
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
Número incógnita 1 se llama miembro de la secuencia. con el numero 1 o primer término de la secuencia, número incógnita 2 - miembro de la secuencia con el numero 2 o el segundo miembro de la secuencia, etc. El número x n se llama miembro de la secuencia con número norte.
Hay dos formas de especificar secuencias numéricas: con y con fórmula recurrente.
Secuencia usando fórmulas para el término general de una secuencia– esta es una tarea de secuencia
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
utilizando una fórmula que expresa la dependencia del término x n de su número n.
Ejemplo 1. secuencia numérica
1, 4, 9, … norte 2 , …
dado usando la fórmula del término común
xn = norte 2 , norte = 1, 2, 3, …
Especificar una secuencia usando una fórmula que expresa un miembro de secuencia x n a través de los miembros de secuencia con números anteriores se llama especificar una secuencia usando fórmula recurrente.
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
llamado en secuencia creciente, más miembro anterior.
En otras palabras, para todos norte
incógnita norte + 1 >incógnita norte
Ejemplo 3. Secuencia de números naturales
1, 2, 3, … norte, …
es secuencia ascendente.
Definición 2. Secuencia numérica
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
llamado secuencia descendente si cada miembro de esta secuencia menos miembro anterior.
En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad
incógnita norte + 1 < incógnita norte
Ejemplo 4. Subsecuencia
dado por la fórmula
es secuencia descendente.
Ejemplo 5. secuencia numérica
1, - 1, 1, - 1, …
dado por la fórmula
xn = (- 1) norte , norte = 1, 2, 3, …
no es ni creciente ni decreciente secuencia.
Definición 3. Las secuencias numéricas crecientes y decrecientes se llaman secuencias monótonas.
Secuencias acotadas e ilimitadas
Definición 4. Secuencia numérica
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
llamado limitado desde arriba, si hay un número M tal que cada miembro de esta secuencia menos números m.
En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad
Definición 5. Secuencia numérica
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
llamado delimitado abajo, si hay un número m tal que cada miembro de esta secuencia más números m.
En otras palabras, para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad
Definición 6. Secuencia numérica
incógnita 1 , incógnita 2 , … xn , …
se llama limitado si limitado tanto arriba como abajo.
En otras palabras, hay números M y m tales que para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad
metro< x n < M
Definición 7. Secuencias numéricas que no están limitados, llamado secuencias ilimitadas.
Ejemplo 6. secuencia numérica
1, 4, 9, … norte 2 , …
dado por la fórmula
xn = norte 2 , norte = 1, 2, 3, … ,
delimitado por debajo, por ejemplo, el número 0. Sin embargo, esta secuencia ilimitado desde arriba.
Ejemplo 7. Subsecuencia
dado por la fórmula
es secuencia limitada, porque para todos norte= 1, 2, 3, … se satisface la desigualdad
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La secuencia es uno de los conceptos básicos de las matemáticas. La secuencia puede estar formada por números, puntos, funciones, vectores, etc. Una secuencia se considera dada si se especifica una ley según la cual cada número natural está asociado a un elemento de un determinado conjunto. La secuencia se escribe de forma breve o breve. Los elementos se denominan miembros de la secuencia, - el primero, - el segundo, - el (ésimo) miembro común de la secuencia.
Las secuencias numéricas se consideran con mayor frecuencia, es decir secuencias cuyos miembros son números. El método analítico es la forma más sencilla de especificar una secuencia numérica. Esto se hace usando una fórmula que expresa el enésimo miembro de la secuencia a través de su número. Por ejemplo, si
Otro método es recurrente (de palabra latina recurre - “regresa”), cuando se especifican los primeros miembros de la secuencia y una regla que permite calcular cada miembro posterior utilizando los anteriores. Por ejemplo:
Ejemplos de secuencias numéricas - progresión aritmética y progresión geométrica.
Es interesante rastrear el comportamiento de los miembros de la secuencia a medida que el número aumenta indefinidamente (lo que aumenta indefinidamente se escribe en la forma y se lee: “tiende al infinito”).
Considere la secuencia con miembro común: , , , …, , …. Todos los términos de esta secuencia son diferentes de cero, pero cuanto más, menos diferentes de cero. Los términos de esta secuencia tienden a cero a medida que aumentan indefinidamente. Dicen que el número cero es el límite de esta secuencia.
Otro ejemplo: - define una secuencia
Los términos de esta secuencia también tienden a cero, pero son mayor que cero, luego menos que cero: su límite.
Veamos otro ejemplo: 
. Si se representa en la forma
entonces quedará claro que esta secuencia tiende a la unidad.
Definamos el límite de una secuencia. Un número se llama límite de una secuencia si para cualquier número positivo es posible especificar un número tal que la desigualdad sea válida para todos.
Si hay un límite en la secuencia, entonces escriben o (las primeras tres letras de la palabra latina limes - "límite").
Esta definición quedará más clara si le damos significado geométrico. Incluyamos el número en un intervalo (Fig. 1). Un número es un límite de una secuencia si, independientemente de lo pequeño del intervalo, todos los miembros de la secuencia con números mayores que algunos se encuentran en este intervalo. En otras palabras, sólo un número finito de términos de la secuencia pueden estar fuera de cualquier intervalo.
Para la secuencia considerada, la vecindad del punto cero en incluye todos los términos de la secuencia excepto los primeros diez, y en - todos los términos de la secuencia excepto los primeros cien.
Una sucesión que tiene límite se llama convergente y una sucesión que no tiene límite se llama divergente. A continuación se muestra un ejemplo de una secuencia divergente: . Sus miembros son alternativamente iguales y no tienden a límite alguno.
Si la secuencia converge, entonces está acotada, es decir hay números y tales que todos los términos de la secuencia satisfacen la condición. De ello se deduce que todas las secuencias ilimitadas son divergentes. Estas son las secuencias:
"Un estudio minucioso y profundo de la naturaleza es la fuente de los descubrimientos más fructíferos en matemáticas". J. Fourier
Una sucesión que tiende a cero se llama infinitesimal. El concepto de infinitesimal se puede utilizar como base. definición general límite de una secuencia, ya que el límite de una secuencia es igual si y sólo si es representable como una suma, donde es infinitesimal.
Las secuencias consideradas son infinitesimales. La secuencia , como se desprende de (2), difiere de 1 en infinitesimal y, por tanto, el límite de esta secuencia es 1.
Gran valor en análisis matemático También tiene el concepto de una secuencia infinitamente grande. Se dice que una secuencia es infinitamente grande si la secuencia es infinitesimal. Una secuencia infinitamente grande se escribe en la forma , o , y se dice que "tiende al infinito". Aquí hay ejemplos de secuencias infinitamente grandes:
Destacamos que una secuencia infinitamente grande no tiene límite.
Consideremos las secuencias y . Es posible definir secuencias con términos comunes , y (if). El siguiente teorema es verdadero, al que a menudo se le llama teorema sobre operaciones aritméticas con límites: si las sucesiones son convergentes, entonces las sucesiones , , , y también son convergentes, y se cumplen las siguientes igualdades:
En este último caso, es necesario exigir, además de que todos los miembros de la secuencia sean diferentes de cero, que se cumpla la condición.
Al aplicar este teorema, se pueden encontrar muchos límites. Encontremos, por ejemplo, el límite de una sucesión con término común y no crecientes. Es bastante obvio que esta secuencia tiende a algún número que es menor o igual a . En el curso del análisis matemático, se demuestra el teorema de que una secuencia no decreciente y acotada por arriba tiene un límite (una afirmación similar es cierta para una secuencia no creciente y acotada por debajo). Este maravilloso teorema da condiciones suficientes existencia de un límite. De ello, por ejemplo, se deduce que la secuencia de áreas de triángulos regulares inscritas en un círculo de radio unitario tiene un límite, ya que aumenta monótonamente y está delimitada desde arriba. El límite de esta secuencia está indicado por .
Usando el límite monótono secuencia limitada Se determina un número que juega un papel importante en el análisis matemático: la base de los logaritmos naturales:
.
La secuencia (1), como ya se señaló, es monótona y, además, está limitada desde arriba. Tiene un límite. Podemos encontrar fácilmente este límite. Si es igual, entonces el número debe satisfacer la igualdad. Resolviendo esta ecuación, obtenemos.
