Definición de series numéricas. Series geométricas y aritméticas.

Respuesta: la serie diverge.

Ejemplo No. 3

Encuentra la suma de la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Dado que el límite de suma inferior es 1, entonces miembro común La serie se escribe bajo el signo de suma: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. vamos a componer enésimo parcial la suma de la serie, es decir Sumemos los primeros $n$ términos de una serie numérica determinada:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Por qué escribo exactamente $\frac(2)(3\cdot 5)$, y no $\frac(2)(15)$, quedará claro a partir de la narración adicional. Sin embargo, anotar una cantidad parcial no nos acercó ni un ápice a nuestro objetivo. Necesitamos encontrar $\lim_(n\to\infty)S_n$, pero si solo escribimos:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

entonces este registro, completamente correcto en su forma, no nos dará nada en esencia. Para encontrar el límite, primero se debe simplificar la expresión de la suma parcial.

Existe una transformación estándar para esto, que consiste en descomponer la fracción $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, que representa el término general de la serie, en fracciones elementales. El problema de la descomposición. fracciones racionales dedicado a la primaria tema separado(ver, por ejemplo, el ejemplo No. 3 en esta página). Desarrollando la fracción $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ en fracciones elementales, tendremos:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Igualamos los numeradores de las fracciones de la izquierda y partes correctas la igualdad resultante:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Hay dos formas de encontrar los valores de $A$ y $B$. Puede abrir los corchetes y reorganizar los términos, o simplemente sustituir algunos valores adecuados en lugar de $n$. Solo para variar, en este ejemplo seguiremos el primer camino y en el siguiente sustituiremos los valores privados $n$. Abriendo los corchetes y reordenando los términos, obtenemos:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

En el lado izquierdo de la igualdad, $n$ está precedido por un cero. Si quieres, lado izquierdo Para mayor claridad, la igualdad se puede representar como $0\cdot n+ 2$. Dado que en el lado izquierdo de la igualdad $n$ está precedido por cero, y en el lado derecho de la igualdad $n$ está precedido por $2A+2B$, tenemos la primera ecuación: $2A+2B=0$. Dividamos inmediatamente ambos lados de esta ecuación por 2, después de lo cual obtenemos $A+B=0$.

Dado que en el lado izquierdo de la igualdad miembro gratis es igual a 2, y en el lado derecho de la igualdad el término libre es igual a $3A+B$, entonces $3A+B=2$. Entonces tenemos un sistema:

$$ \left\(\begin(alineado) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(alineado)\right. $$

Realizaremos la prueba utilizando el método inducción matemática. En el primer paso, debe verificar si la igualdad que se está demostrando es verdadera $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ para $n=1$. Sabemos que $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, pero la expresión $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dará el valor $\frac( 2 )(15)$, si sustituimos $n=1$ en él? Comprobemos:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Entonces, para $n=1$ se satisface la igualdad $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Esto completa el primer paso del método de inducción matemática.

Supongamos que para $n=k$ se cumple la igualdad, es decir $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Demostremos que se cumplirá la misma igualdad para $n=k+1$. Para hacer esto, considere $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Dado que $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, entonces $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. De acuerdo con el supuesto anterior $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, por lo tanto la fórmula $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ tomará la forma:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Conclusión: la fórmula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ es correcta para $n=k+1$. Por lo tanto, de acuerdo con el método de inducción matemática, la fórmula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ es cierta para cualquier $n\in N$. La igualdad ha quedado demostrada.

En el curso estándar matemáticas superiores normalmente se contentan con “tachar” las condiciones de cancelación, sin exigir ninguna prueba. Entonces tenemos una expresión para enésimo parcial sumas: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Encontremos el valor de $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Conclusión: serie dada converge y su suma $S=\frac(1)(3)$.

La segunda forma de simplificar la fórmula para una suma parcial.

Sinceramente, yo prefiero este método :) Anotemos el importe parcial en una versión abreviada:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Obtuvimos anteriormente que $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, por lo tanto:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

La suma $S_n$ contiene un número finito de términos, por lo que podemos reorganizarlos como queramos. Primero quiero sumar todos los términos de la forma $\frac(1)(2k+1)$, y solo luego pasar a los términos de la forma $\frac(1)(2k+3)$. Esto significa que presentaremos el monto parcial de la siguiente manera:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Por supuesto, la notación expandida es extremadamente inconveniente, por lo que la igualdad presentada anteriormente se puede escribir de manera más compacta:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Ahora transformemos las expresiones $\frac(1)(2k+1)$ y $\frac(1)(2k+3)$ en una sola forma. Me parece conveniente señalar fracción mayor(aunque puede ser menos, es cuestión de gustos). Dado que $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (cuanto mayor sea el denominador, menos fracción), luego reduciremos la fracción $\frac(1)(2k+3)$ a la forma $\frac(1)(2k+1)$.

Presentaré la expresión en el denominador de la fracción $\frac(1)(2k+3)$ de la siguiente manera:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Y la suma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ahora se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Si la igualdad $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ no plantea ninguna pregunta, entonces sigamos adelante. Si tiene alguna pregunta, amplíe la nota.

¿Cómo obtuvimos la cantidad convertida? mostrar\ocultar

Teníamos una serie $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Introduzcamos una nueva variable en lugar de $k+1$, por ejemplo, $t$. Entonces $t=k+1$.

¿Cómo cambió la antigua variable $k$? Y cambió de 1 a $n$. Averigüemos cómo cambiará la nueva variable $t$. Si $k=1$, entonces $t=1+1=2$. Si $k=n$, entonces $t=n+1$. Entonces, la expresión $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ahora se convierte en: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Tenemos la suma $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pregunta: ¿importa qué letra se utiliza en esta cantidad? :) Simplemente escribiendo la letra $k$ en lugar de $t$, obtenemos lo siguiente:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Así es como obtenemos la igualdad $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Así, la suma parcial se puede representar de la siguiente manera:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Tenga en cuenta que las sumas $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ y $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ difieren solo en los límites de suma. Hagamos que estos límites sean iguales. “Quitando” el primer elemento de la suma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ tendremos:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

“Quitando” el último elemento de la suma $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, obtenemos:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Entonces la expresión para la suma parcial tomará la forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Si omite todas las explicaciones, entonces el proceso de encontrar una fórmula abreviada para la enésima suma parcial tomará la siguiente forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Déjame recordarte que reducimos la fracción $\frac(1)(2k+3)$ a la forma $\frac(1)(2k+1)$. Por supuesto, puedes hacer lo contrario, es decir. representar la fracción $\frac(1)(2k+1)$ como $\frac(1)(2k+3)$. La expresión final de la suma parcial no cambiará. En este caso, ocultaré el proceso de búsqueda del monto parcial debajo de una nota.

¿Cómo encontrar $S_n$ si se convierte a otra fracción? mostrar\ocultar

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Entonces, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Encuentre el límite $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

La serie dada converge y su suma $S=\frac(1)(3)$.

Respuesta: $S=\frac(1)(3)$.

La continuación del tema de encontrar la suma de una serie se discutirá en la segunda y tercera parte.

Sea dada una secuencia infinita de números u1, u2, u3….

La expresión u1+ u2+ u3…+ un (1) se llama serie de números, y los números que lo componen son miembros de la serie.

La suma de un número finito n de los primeros términos de la serie se llama enésima suma parcial de la serie: Sn = u1+..+un

si sustantivo límite finito: entonces se llama suma de la serie y dicen que la serie converge; si no existe tal límite, entonces dicen que la serie diverge y no tiene suma.

2 Series geométricas y aritméticas

Una serie formada por miembros de un infinito. progresión geométrica llamado geométrico:
o

a+ aq +…+aq n -1

a  0 el primer término q es el denominador. Suma de filas:

por lo tanto, el límite final de la secuencia de sumas parciales de la serie depende del valor de q

Posibles casos:

1 |q|<1

es decir, la serie y su suma
2 |q|>1
y el límite de la suma también es igual al infinito

es decir, la serie diverge.

3 en q = 1 se obtiene la serie: a+a+…+a… Sn = na
la serie diverge

4 para q1 la serie tiene la forma: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 para n par, Sn=a para n impar no hay límite en las sumas parciales. la fila diverge.

Considere una serie de términos infinitos de una progresión aritmética:
u es el primer término, d es la diferencia. Suma de series

para cualquier u1 y d al mismo tiempo  0 y la serie siempre diverge.

3 series convergentes S-va

Sean dadas dos series: u1+u2+…un = (1) yv1+v2+…vn = (2)

El producto de la serie (1) por el número   R se llama serie: u1+u2+…un = (3)

La suma de las series (1) y (2) se llama serie:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(para diferenciar solo hay una apariencia)

T1 Sobre el factor común

Si la serie (1) converge y su suma = S, entonces para cualquier número  serie = también converge y su suma S’ = S Si la serie (1) diverge y   0, entonces la serie también diverge. Es decir, el factor común no afecta las divergencias de la serie.

T2 Si las series (1) y (2) convergen, y sus sumas = S y S’, respectivamente, entonces la serie:
también converge y si  es su suma, entonces  = S+S’. Es decir, las series convergentes se pueden sumar y restar término a término. Si la serie (1) converge y la serie (2) diverge, entonces su suma (o diferencia) también diverge. Pero si ambas filas divergen. entonces su suma (o diferencia) puede divergir (si un=vn) o converger (si un=vn)

Para fila (1) fila
llamado el enésimo resto de la serie. Si este resto de la serie converge, entonces su suma se denotará por: r n =

T3 Si una serie converge, entonces converge cualquier resto de ella; si converge cualquier resto de la serie, entonces la serie misma converge. Además, la suma total = suma parcial de la serie Sn + r n

Cambiar, eliminar o agregar un número finito de términos no afecta la convergencia (divergencia) de la serie.

4 Signo necesario de convergencia de series.

Si una serie converge, entonces el límite de su término común es cero:

Documento:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, por lo tanto:

Esta característica sólo es necesaria, pero no suficiente, es decir, si el límite del término común y es igual a cero, no es en absoluto necesario que la serie converja. En consecuencia, esta condición, si no se cumple, es condición suficiente divergencia de la serie.

5 Prueba integral para la convergencia de una serie. serie dirichlet

T1 Que se dé en fila (1), cuyos términos no son negativos y no aumentan: u1>=u2>=u3...>=un

Si existe una función f(x) que es no negativa, continua y no creciente de modo que f(n) = Un,  n  N, entonces para que la serie (1) converja es necesario y suficiente para la convergencia. integral impropia:
, y para la divergencia es suficiente y necesario que esta integral, por el contrario, diverja (¡GUAU!).

Usemos esta característica para estudiar la serie de Dirichlet: Aquí está: ( x>=1) esta función satisface las condiciones del Teorema 1, por lo tanto la convergencia (divergencia) de la serie de Dirichlet es equivalente a la convergencia de la divergencia de la integral:

Son posibles tres casos:

1  >1,

La integral y por tanto la serie convergen.

Integral y serie divergen

Integral y serie divergen

Definiciones básicas.

Definición. La suma de los términos de una secuencia numérica infinita se llama serie de números.

Al mismo tiempo, los números
los llamaremos miembros de la serie, y tu norte– un miembro común de la serie.

Definición. Cantidades
,norte = 1, 2, … son llamados cantidades privadas (parciales) fila.

Así, es posible considerar sucesiones de sumas parciales de la serie. S 1 , S 2 , …, S norte , …

Definición. Fila
llamado convergente, si la secuencia de sus sumas parciales converge. Suma de series convergentes es el límite de la secuencia de sus sumas parciales.

Definición. Si la secuencia de sumas parciales de una serie diverge, es decir no tiene límite, o tiene límite infinito, entonces la serie se llama divergente y no se le asigna ninguna cantidad.

Propiedades de las filas.

1) La convergencia o divergencia de la serie no se violará si se cambia, descarta o agrega número final miembros de la serie.

2) Considere dos filas
Y
, donde C – numero constante.

Teorema. si la fila
converge y su suma es igualS, entonces la serie
también converge, y su suma es igual a CS. (do  0)

3) Considere dos filas
Y
.Cantidad o diferencia de estas series se llamará serie
, donde los elementos se obtienen sumando (restando) los elementos originales con los mismos números.

Teorema. si las filas
Y
convergen y sus sumas son iguales respectivamenteSY , entonces la serie
también converge y su suma es igualS +  .

La diferencia de dos series convergentes también será una serie convergente.

La suma de una serie convergente y otra divergente es una serie divergente.

Es imposible hacer una afirmación general sobre la suma de dos series divergentes.

Al estudiar series, resuelven principalmente dos problemas: estudiar la convergencia y encontrar la suma de la serie.

Criterio de Cauchy.

(condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la serie)

Para que la secuencia
fue convergente, es necesario y suficiente que para cualquier
habia tal numeronorte, que ennorte > nortey cualquierpag> 0, donde p es un número entero, se cumpliría la siguiente desigualdad:

.

Prueba. (necesidad)

Dejar
, entonces para cualquier número
hay un número N tal que la desigualdad

se cumple cuando n>N. Para n>N y cualquier número entero p>0 la desigualdad también se cumple
. Teniendo en cuenta ambas desigualdades, obtenemos:

La necesidad ha sido probada. No consideraremos la prueba de suficiencia.

Formulemos el criterio de Cauchy para la serie.

Para que la serie
fue convergente, es necesario y suficiente que para cualquier
habia un numeronortetal que ennorte> nortey cualquierpag>0 la desigualdad se mantendría

.

Sin embargo, en la práctica, utilizar directamente el criterio de Cauchy no es muy conveniente. Por tanto, como regla general, se utilizan pruebas de convergencia más simples:

1) Si la fila
converge, entonces es necesario que el término común tu norte tendía a cero. Sin embargo, esta condición no es suficiente. Sólo podemos decir que si el término común no tiende a cero, entonces la serie definitivamente diverge. Por ejemplo, la llamada serie armónica. es divergente, aunque su término común tiende a cero.

Ejemplo. Investigar la convergencia de la serie.

encontraremos
- señal necesaria la convergencia no se satisface, lo que significa que la serie diverge.

2) Si una serie converge, entonces la secuencia de sus sumas parciales es acotada.

Sin embargo, este signo tampoco es suficiente.

Por ejemplo, la serie 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… diverge, porque la secuencia de sus sumas parciales diverge debido al hecho de que

Sin embargo, la secuencia de sumas parciales es limitada, porque
en cualquier norte.

Series con términos no negativos.

Al estudiar series de signo constante, nos limitaremos a considerar series con términos no negativos, porque simplemente multiplicar por –1 estas series puede dar como resultado series con términos negativos.

Teorema. Para la convergencia de la serie.
con términos no negativos es necesario y suficiente que las sumas parciales de la serie estén acotadas.

Un signo para comparar series con términos no negativos.

Deja que se den dos filas.
Y
en tu norte , v norte  0 .

Teorema. Si tu norte  v norte en cualquier norte, entonces de la convergencia de la serie
la serie converge
, y de la divergencia de la serie
la serie diverge
.

Prueba. Denotemos por S norte Y  norte sumas parciales de series
Y
. Porque según las condiciones del teorema, la serie
converge, entonces sus sumas parciales están acotadas, es decir delante de todos norte n  M, donde M es un número determinado. Pero porque tu norte  v norte, Eso S norte   norte entonces las sumas parciales de la serie
también son limitados, y esto es suficiente para la convergencia.

Ejemplo. Examinar la serie para la convergencia.

Porque
, y la serie armónica diverge, entonces la serie diverge
.

Ejemplo.

Porque
y la serie
converge (como una progresión geométrica decreciente), entonces la serie
también converge.

También se utiliza el siguiente signo de convergencia:

Teorema. Si
y hay un límite
, Dóndeh– un número distinto de cero, entonces la serie
Y
se comportan de manera idéntica en términos de convergencia.

Signo de D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matemático francés)

si para una serie
con términos positivos existe tal númeroq<1, что для всех достаточно больших nortela desigualdad se mantiene

luego una serie
converge, si para todos hay suficientesnortese cumple la condición

luego una serie
diverge.

Signo limitante de D'Alembert.

El criterio limitante de D'Alembert es una consecuencia del criterio de D'Alembert anterior.

Si hay un límite
, entonces cuando < 1 ряд сходится, а при  > 1 – diverge. Si = 1, entonces no se puede responder a la cuestión de la convergencia.

Ejemplo. Determinar la convergencia de la serie. .

Conclusión: la serie converge.

Ejemplo. Determinar la convergencia de la serie.

Conclusión: la serie converge.

Signo de Cauchy. (signo radical)

si para una serie
con términos no negativos existe tal númeroq<1, что для всех достаточно больших nortela desigualdad se mantiene

,

luego una serie
converge, si para todos hay suficientesnortela desigualdad se mantiene

luego una serie
diverge.

Consecuencia. Si hay un límite
, entonces cuando<1 ряд сходится, а при >La fila 1 diverge.

Ejemplo. Determinar la convergencia de la serie.
.

Conclusión: la serie converge.

Ejemplo. Determinar la convergencia de la serie.
.

Aquellos. La prueba de Cauchy no responde a la cuestión de la convergencia de la serie. Comprobemos que se cumplen las condiciones de convergencia necesarias. Como se mencionó anteriormente, si una serie converge, entonces el término común de la serie tiende a cero.

,

De este modo, condición necesaria la convergencia no se satisface, lo que significa que la serie diverge.

Prueba integral de Cauchy.

Si (x) es una función positiva continua que decrece en el intervalo Y
entonces las integrales
Y
se comportan de manera idéntica en términos de convergencia.

Serie alterna.

Filas alternas.

Una serie alterna se puede escribir como:

Dónde

El signo de Leibniz.

Si el signo de la fila alterna valores absolutostu i están disminuyendo
y el término común tiende a cero
, entonces la serie converge.

Convergencia absoluta y condicional de series.

Consideremos algunas series alternas (con términos de signos arbitrarios).

(1)

y una serie compuesta por valores absolutos miembros de la fila (1):

(2)

Teorema. De la convergencia de la serie (2) se sigue la convergencia de la serie (1).

Prueba. La serie (2) es una serie con términos no negativos. Si la serie (2) converge, entonces según el criterio de Cauchy para cualquier >0 hay un número N tal que para n>N y cualquier entero p>0 la siguiente desigualdad es verdadera:

Según la propiedad de los valores absolutos:

Es decir, según el criterio de Cauchy, de la convergencia de la serie (2) se sigue la convergencia de la serie (1).

Definición. Fila
llamado absolutamente convergente, si la serie converge
.

Es obvio que para series de signo constante coinciden los conceptos de convergencia y convergencia absoluta.

Definición. Fila
llamado condicionalmente convergente, si converge y la serie
diverge.

Los signos de D'Alembert y Cauchy para series alternas.

Dejar
- series alternas.

Signo de D'Alembert. Si hay un límite
, entonces cuando<1 ряд
será absolutamente convergente, y cuando>

Signo de Cauchy. Si hay un límite
, entonces cuando<1 ряд
será absolutamente convergente, y si >1 la serie será divergente. Cuando =1, el signo no da respuesta sobre la convergencia de la serie.

Propiedades de series absolutamente convergentes.

1) Teorema. Para la convergencia absoluta de la serie.
es necesario y suficiente que pueda representarse como la diferencia de dos series convergentes con términos no negativos.

Consecuencia. Una serie condicionalmente convergente es la diferencia de dos series divergentes con términos no negativos que tienden a cero.

2) En una serie convergente, cualquier agrupación de los términos de la serie que no cambie su orden conserva la convergencia y magnitud de la serie.

3) Si una serie converge absolutamente, entonces la serie obtenida a partir de ella mediante cualquier permutación de términos también converge absolutamente y tiene la misma suma.

Al reorganizar los términos de una serie condicionalmente convergente, se puede obtener una serie condicionalmente convergente que tenga cualquier avance cantidad especificada, e incluso una serie divergente.

4) Teorema. Para cualquier agrupación de miembros de una serie absolutamente convergente (en este caso, el número de grupos puede ser finito o infinito, y el número de miembros de un grupo puede ser finito o infinito), se obtiene una serie convergente, la suma del cual es igual a la suma de la serie original.

5) Si las filas Y convergen absolutamente y sus sumas son iguales respectivamente S y , entonces una serie compuesta por todos los productos de la forma
tomado en cualquier orden, también converge absolutamente y su suma es igual a S - el producto de las sumas de la serie multiplicada.

Si multiplicas series condicionalmente convergentes, puedes obtener como resultado una serie divergente.

Secuencias funcionales.

Definición. Si los miembros de la serie no son números, sino funciones de incógnita, entonces la serie se llama funcional.

El estudio de la convergencia de series funcionales es más complicado que el estudio de series numéricas. El mismo rango funcional tal vez con los mismos valores de variable incógnita convergen, y con otros - divergen. Por tanto, la cuestión de la convergencia de series funcionales se reduce a determinar aquellos valores de la variable. incógnita, en el que la serie converge.

El conjunto de tales valores se llama área de convergencia.

Dado que el límite de cada función incluida en la región de convergencia de la serie es un número determinado, el límite de la secuencia funcional será una función determinada:

Definición. Subsecuencia ( F norte (incógnita) } converge funcionar F(incógnita) en el segmento si para cualquier número >0 y cualquier punto incógnita del segmento considerado hay un número N = N(, x), tal que la desigualdad

se cumple cuando n>N.

Con el valor seleccionado >0, cada punto del segmento tiene su propio número y, por tanto, habrá una infinidad de números correspondientes a todos los puntos del segmento. Si elige el mayor de todos estos números, entonces este número será adecuado para todos los puntos del segmento, es decir, será común a todos los puntos.

Definición. Subsecuencia ( F norte (incógnita) } converge uniformemente funcionar F(incógnita) en el segmento , si para cualquier número >0 existe un número N = N() tal que la desigualdad

se cumple para n>N para todos los puntos del segmento.

Ejemplo. Considere la secuencia

Esta secuencia converge en toda la recta numérica a la función F(incógnita)=0 , porque

Construyamos gráficos de esta secuencia:

pecado

Como se puede observar, a medida que aumenta el número norte el gráfico de secuencia se acerca al eje incógnita.

Serie funcional.

Definición. Montos privados (parciales) rango funcional
las funciones se llaman

Definición. Rango funcional
llamado convergente en el punto ( x=x 0 ), si la secuencia de sus sumas parciales converge en este punto. Límite de secuencia
llamado cantidad fila
en el punto incógnita 0 .

Definición. Conjunto de todos los valores incógnita, para lo cual la serie converge
llamado área de convergencia fila.

Definición. Fila
llamado uniformemente convergente en el intervalo si la secuencia de sumas parciales de esta serie converge uniformemente en este intervalo.

Teorema. (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de series)

Para la convergencia uniforme de la serie.
es necesario y suficiente que para cualquier número >0 tal número existíanorte( ), que ennorte> nortey cualquier conjuntopag>0 desigualdad

sería válido para todo x en el intervalo [a, b].

Teorema. (Prueba de Weierstrass para convergencia uniforme)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – matemático alemán)

Fila
converge uniformemente y, además, absolutamente en el intervalo [a, b], si los módulos de sus términos en un mismo segmento no exceden los términos correspondientes de una serie numérica convergente con términos positivos:

aquellos. hay una desigualdad:

.

También dicen que en este caso la serie funcional
esta mayorizado serie de números
.

Ejemplo. Examinar la serie para la convergencia.
.

Porque
siempre es obvio que
.

Además, se sabe que la serie armónica general cuando=3>1 converge, entonces, de acuerdo con la prueba de Weierstrass, la serie en estudio converge uniformemente y, además, en cualquier intervalo.

Ejemplo. Examinar la serie para la convergencia. .

En el intervalo [-1,1] se cumple la desigualdad
aquellos. Según el criterio de Weierstrass, la serie en estudio converge en este segmento, pero diverge en los intervalos (-, -1)  (1, ).

Propiedades de series uniformemente convergentes.

1) Teorema de la continuidad de la suma de una serie.

Si los miembros de la serie.
- continuo en el segmento [a, b] función y la serie converge uniformemente, entonces su sumaS(incógnita) Hay función continua en el segmento [a, b].

2) Teorema de la integración término a término de una serie.

Convergiendo uniformemente en el segmento [a, b] una serie con términos continuos se puede integrar término a término en este intervalo, es decir una serie compuesta de integrales de sus términos sobre el segmento [a, b] , converge a la integral de la suma de la serie sobre este segmento.

3) Teorema sobre la diferenciación término por término de una serie.

Si los miembros de la serie.
convergiendo en el segmento [a, b] representan funciones continuas que tienen derivadas continuas y una serie compuesta por estas derivadas
converge uniformemente en este segmento, entonces esta serie converge uniformemente y puede diferenciarse término por término.

Basado en el hecho de que la suma de la serie es alguna función de la variable. incógnita, puede realizar la operación de representar una función en forma de serie (expansión de una función en una serie), que se usa ampliamente en integración, diferenciación y otras operaciones con funciones.

En la práctica, a menudo se utiliza la expansión de funciones en series de potencias.

Serie de potencia.

Definición. Serie de potencia llamada una serie de la forma

.

Para estudiar la convergencia de series de potencias es conveniente utilizar la prueba de D'Alembert.

Ejemplo. Examinar la serie para la convergencia.

Aplicamos el signo de d'Alembert:

.

Encontramos que esta serie converge en
y diverge en
.

Ahora determinamos la convergencia en los puntos límite 1 y –1.

Para x = 1:
La serie converge según el criterio de Leibniz (ver El signo de Leibniz.).

En x = -1:
la serie diverge (serie armónica).

Los teoremas de Abel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matemático noruego)

Teorema. Si la serie de potencias
converge enincógnita = incógnita 1 , entonces converge y, además, para absolutamente todos
.

Prueba. Según las condiciones del teorema, dado que los términos de la serie son limitados, entonces

Dónde k- algún número constante. La siguiente desigualdad es cierta:

De esta desigualdad se desprende claramente que cuando incógnita< incógnita 1 Los valores numéricos de los términos de nuestra serie serán menores (al menos no más) que los términos correspondientes de la serie en el lado derecho de la desigualdad escrita arriba, que forman una progresión geométrica. El denominador de esta progresión según las condiciones del teorema, es menor que uno, por tanto, esta progresión es una serie convergente.

Por lo tanto, con base en el criterio de comparación, concluimos que la serie
converge, lo que significa que la serie
converge absolutamente.

Por tanto, si la serie de potencias
converge en un punto incógnita 1 , entonces converge absolutamente en cualquier punto del intervalo de longitud 2 centrado en un punto incógnita = 0.

Consecuencia. si en x = x 1 la serie diverge, luego diverge para todos
.

Por tanto, para cada serie de potencias existe un número positivo R tal que para todas incógnita tal que
la serie es absolutamente convergente, y para todos
la fila diverge. En este caso, el número R se llama radio de convergencia. El intervalo (-R, R) se llama intervalo de convergencia.

Tenga en cuenta que este intervalo puede estar cerrado en uno o ambos lados, o no estar cerrado.

El radio de convergencia se puede encontrar mediante la fórmula:

Ejemplo. Encuentra el área de convergencia de la serie.

Encontrar el radio de convergencia
.

Por lo tanto, esta serie converge para cualquier valor. incógnita. El término común de esta serie tiende a cero.

Teorema. Si la serie de potencias
converge para un valor positivo x=x 1 , entonces converge uniformemente en cualquier intervalo dentro
.

Acciones con series de potencias.

Este artículo es un libro estructurado y información detallada, que puede resultar útil a la hora de analizar ejercicios y tareas. Analizaremos el tema de las series numéricas.

Este artículo comienza con definiciones y conceptos básicos. A continuación estudiaremos las opciones estándar. fórmulas básicas. Para consolidar el material, el artículo proporciona ejemplos y tareas básicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tesis basicas

Primero, imaginemos el sistema: a 1, a 2. . . , un , . . . , donde a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Por ejemplo, tomemos números como: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16,. . . .

Definición 1

Una serie numérica es la suma de los términos ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + un norte + . . . .

Para comprender mejor la definición, considere el caso dado en el que q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Definición 2

ak es general o k –ésimo miembro de la serie.

Se parece a esto: 16 · - 1 2 k.

Definición 3

Suma parcial de series se parece a esto S n = a 1 + a 2 + . . . + una norte , en la que norte– cualquier número. Sn es enésimo la suma de la serie.

Por ejemplo, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k es S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S1, S2,. . . , S norte , . . . formar una secuencia infinita de números.

por una fila enésimo la suma se calcula mediante la fórmula S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. Usamos la siguiente secuencia de sumas parciales: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 · 1 - - 1 2 norte , . . . .

Definición 4

La serie ∑ k = 1 ∞ a k es convergente cuando la secuencia tiene límite finito S = lim S norte norte → + ∞ . Si no hay límite o la secuencia es infinita, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ a k se llama divergente.

Definición 5

La suma de una serie convergente.∑ k = 1 ∞ a k es el límite de la secuencia ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

EN en este ejemplo lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , serie ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k converge. La suma es 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Ejemplo 1

Un ejemplo de serie divergente es la suma de una progresión geométrica con denominador mayor que uno: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 norte - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

La enésima suma parcial viene dada por S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, y el límite de sumas parciales es infinito: lim n → + ∞ S norte = lim norte → + ∞ (2 norte - 1) = + ∞ .

Otro ejemplo de una serie numérica divergente es una suma de la forma ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . En este caso, la enésima suma parcial se puede calcular como Sn = 5n. El límite de sumas parciales es infinito lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Definición 6

Una suma de la misma forma que ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 norte + . . . - Este armónico serie numérica.

Definición 7

Suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 norte s + . . . , Dónde s –numero real, es una serie de números armónicos generalizados.

Las definiciones analizadas anteriormente le ayudarán a resolver la mayoría de los ejemplos y problemas.

Para completar las definiciones es necesario probar ciertas ecuaciones.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergente.

Usamos el método inverso. Si converge, entonces el límite es finito. Podemos escribir la ecuación como lim n → + ∞ S n = S y lim n → + ∞ S 2 n = S . Después de ciertas acciones obtenemos la igualdad l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Contra,

S 2 norte - S norte = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 norte + 1 norte + 1 + 1 norte + 2 + . . . + 1 2 norte - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 norte = 1 norte + 1 + 1 norte + 2 + . . . + 1 2 norte

Justo las siguientes desigualdades 1 norte + 1 > 1 2 norte , 1 norte + 1 > 1 2 norte , . . . , 1 2 norte - 1 > 1 2 norte . Obtenemos que S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 norte > 1 2 norte + 1 2 norte + . . . + 1 2 norte = norte 2 norte = 1 2 . La expresión S 2 n - S n > 1 2 indica que lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 no se logra. La serie es divergente.

1. segundo 1 + segundo 1 q + segundo 1 q 2 + . . . + segundo 1 q norte + . . . = ∑ k = 1 ∞ segundo 1 q k - 1

Es necesario confirmar que la suma de una secuencia de números converge en q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Según las definiciones anteriores, la cantidad norte términos se determina según la fórmula S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

si q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = segundo 1 q - 1

Hemos demostrado que la serie numérica converge.

Para q = 1 segundo 1 + segundo 1 + segundo 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ segundo 1 . Las sumas se pueden encontrar usando la fórmula S n = b 1 · n, el límite es infinito lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. En la versión presentada, la serie diverge.

Si q = - 1, entonces la serie se ve como b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ segundo 1 (- 1) k + 1 . Las sumas parciales se ven como S n = b 1 para impares norte, y S n = 0 para par norte. Considerando este caso, nos aseguraremos de que no hay límite y que la serie es divergente.

Para q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = segundo 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Hemos demostrado que la serie numérica diverge.

1. La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge si s > 1 y diverge si s ≤ 1.

Para s = 1 obtenemos ∑ k = 1 ∞ 1 k , la serie diverge.

cuando< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,número natural. Como la serie es divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k , no hay límite. Después de esto, la secuencia ∑ k = 1 ∞ 1 k s es ilimitada. Concluimos que la serie seleccionada diverge cuando s< 1 .

Es necesario proporcionar evidencia de que la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge para s > 1.

Imaginemos S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 norte - 1 - S norte - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Supongamos que 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Imaginemos la ecuación para números naturales e pares n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Obtenemos:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

La expresión es 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . es la suma de la progresión geométrica q = 1 2 s - 1. Según los datos iniciales de s > 1, entonces 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 aumenta y está limitado desde arriba 1 1 - 1 2 s - 1 . Imaginemos que hay un límite y la serie es convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Definición 8

Serie ∑ k = 1 ∞ a k es positivo en ese caso, si sus miembros > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Serie ∑ k = 1 ∞ b k señalinterna, si los signos de los números son diferentes. Este ejemplo se presenta como ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k o ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , donde a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Serie ∑ k = 1 ∞ b k alterno, ya que contiene muchos números, negativos y positivos.

La opción de la segunda fila es caso especial tercera opción.

A continuación se muestran ejemplos para cada caso, respectivamente:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Para la tercera opción, también se puede determinar la convergencia absoluta y condicional.

Definición 9

La serie alterna ∑ k = 1 ∞ b k es absolutamente convergente en el caso en que ∑ k = 1 ∞ b k también se considera convergente.

Consideremos en detalle varias opciones típicas.

Ejemplo 2

Si las filas son 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . y 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . se definen como convergentes, entonces es correcto suponer que 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Definición 10

Una serie alterna ∑ k = 1 ∞ b k se considera condicionalmente convergente si ∑ k = 1 ∞ b k es divergente, y la serie ∑ k = 1 ∞ b k se considera convergente.

Ejemplo 3

Examinemos en detalle la opción ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, que consta de valores absolutos, se define como divergente. Esta opción se considera convergente ya que es fácil de determinar. De este ejemplo aprendemos que la serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . se considerará condicionalmente convergente.

Características de las series convergentes.

Analicemos las propiedades para ciertos casos.

1. Si ∑ k = 1 ∞ a k converge, entonces la serie ∑ k = m + 1 ∞ a k también se considera convergente. Se puede observar que la fila sin metro Los términos también se consideran convergentes. Si sumamos varios números a ∑ k = m + 1 ∞ a k, entonces el resultado resultante también será convergente.
2. Si ∑ k = 1 ∞ a k converge y la suma = S, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S también converge, donde A-constante.
3. Si ∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son convergentes, las sumas A Y B Además, entonces las series ∑ k = 1 ∞ a k + b k y ∑ k = 1 ∞ a k - b k también convergen. Las cantidades serán iguales A+B Y A-B respectivamente.

Determina que la serie converge ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Cambiemos la expresión ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 se considera convergente, ya que la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge cuando s > 1. Según la segunda propiedad, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Ejemplo 5

Determina si la serie ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 converge.

Transformemos la versión original ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

Obtenemos la suma ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 y ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Cada serie se considera convergente según la propiedad. Entonces, a medida que la serie converge, también lo hace la versión original.

Ejemplo 6

Calcula si la serie 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + converge. . . y calcular la cantidad.

Ampliemos la versión original:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Cada serie converge porque es uno de los términos. secuencia numérica. Según la tercera propiedad, podemos calcular que la versión original también es convergente. Calculamos la suma: El primer término de la serie ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, y el denominador = 0. 5, a esto le sigue, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. El primer término es ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , y el denominador de la secuencia numérica descendente = 1 3 . Obtenemos: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Usamos las expresiones obtenidas anteriormente para determinar la suma 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Una condición necesaria para determinar si una serie es convergente

Si la serie ∑ k = 1 ∞ a k es convergente, entonces su límite kth término = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Si marcamos alguna opción, no debemos olvidarnos de la condición indispensable. Si no se cumple, entonces la serie diverge. Si lim k → + ∞ a k ≠ 0, entonces la serie es divergente.

Cabe aclarar que la condición es importante, pero no suficiente. Si se cumple la igualdad lim k → + ∞ a k = 0, entonces esto no garantiza que ∑ k = 1 ∞ a k sea convergente.

Pongamos un ejemplo. Para la serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k se cumple la condición lim k → + ∞ 1 k = 0 , pero la serie aún diverge.

Ejemplo 7

Determine la convergencia ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Comprobemos la expresión original para comprobar el cumplimiento de la condición lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Límite enésimo miembro no es igual a 0. Hemos demostrado que esta serie diverge.

Cómo determinar la convergencia de una serie positiva.

Si utiliza constantemente estas características, tendrá que calcular los límites constantemente. Esta sección Te ayudará a evitar dificultades a la hora de resolver ejemplos y problemas. Para determinar la convergencia de una serie positiva, existe una determinada condición.

Para convergencia de signo positivo ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . necesita ser determinado secuencia limitada sumas

Cómo comparar series

Hay varios signos de comparar series. Comparamos la serie cuya convergencia se propone determinar con la serie cuya convergencia se conoce.

Primera señal

∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son series de signos positivos. La desigualdad a k ≤ b k es válida para k = 1, 2, 3, ... De esto se deduce que de la serie ∑ k = 1 ∞ b k podemos obtener ∑ k = 1 ∞ a k . Dado que ∑ k = 1 ∞ a k es divergente, la serie ∑ k = 1 ∞ b k se puede definir como divergente.

Esta regla se utiliza constantemente para resolver ecuaciones y es un argumento serio que ayudará a determinar la convergencia. La dificultad puede radicar en el hecho de que no es posible encontrar un ejemplo adecuado para comparar en todos los casos. Muy a menudo, se selecciona una serie según el principio de que el indicador kth término será igual al resultado de restar los exponentes del numerador y denominador kth miembro de la serie. Supongamos que a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , la diferencia será igual a 2 – 3 = - 1 . EN en este caso se puede determinar que para comparar una serie con k-ésimo término b k = k - 1 = 1 k , que es armónico.

Para consolidar el material obtenido, consideraremos en detalle un par de opciones típicas.

Ejemplo 8

Determina cuál es la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Como el límite = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, hemos cumplido la condición necesaria. La desigualdad será justa 1 k< 1 k - 1 2 для k, que son naturales. De los párrafos anteriores aprendimos que la serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k es divergente. Según el primer criterio, se puede demostrar que la versión original es divergente.

Ejemplo 9

Determina si la serie es convergente o divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

En este ejemplo, se cumple la condición necesaria, ya que lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Lo representamos como la desigualdad 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 es convergente, ya que la serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge para s > 1. Según el primer criterio, podemos concluir que la serie numérica es convergente.

Ejemplo 10

Determina cuál es la serie ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

En esta opción se puede marcar el cumplimiento de la condición deseada. Definamos una serie para comparar. Por ejemplo, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Para determinar cuál es el grado, considere la secuencia (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Miembros de la secuencia ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5), . . . aumenta hasta el infinito. Analizada la ecuación, podemos observar que, tomando como valor N = 1619, entonces los términos de la sucesión > 2. Para esta secuencia la desigualdad 1 k ln (ln k) será cierta< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Segunda señal

Supongamos que ∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son series de números positivos.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , entonces la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge, y ∑ k = 1 ∞ a k también converge.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, entonces dado que la serie ∑ k = 1 ∞ b k diverge, entonces ∑ k = 1 ∞ a k también diverge.

Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ y lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, entonces la convergencia o divergencia de una serie significa la convergencia o divergencia de otra.

Considere ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 usando el segundo signo. Para comparar ∑ k = 1 ∞ b k tomamos la serie convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Definamos el límite: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Según el segundo criterio, se puede determinar que la serie convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 significa que la versión original también converge.

Ejemplo 11

Determina cuál es la serie ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Analicemos la condición necesaria lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, que se cumple en esta versión. Según el segundo criterio, tome la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k . Buscamos el límite: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Según las tesis anteriores, una serie divergente implica la divergencia de la serie original.

Tercer signo

Consideremos el tercer signo de comparación.

Supongamos que ∑ k = 1 ∞ a k y _ ∑ k = 1 ∞ b k son series de números positivos. Si la condición se cumple para un cierto número a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , entonces la convergencia de esta serie ∑ k = 1 ∞ b k significa que la serie ∑ k = 1 ∞ a k también es convergente. La serie divergente ∑ k = 1 ∞ a k conlleva la divergencia ∑ k = 1 ∞ b k .

signo de d'alembert

Imaginemos que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie de números positivos. Si lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, luego divergente.

Nota 1

La prueba de D'Alembert es válida si el límite es infinito.

Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , entonces la serie es convergente, si lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , entonces es divergente.

Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, entonces el signo de d'Alembert no ayudará y será necesario realizar más investigaciones.

Ejemplo 12

Determina si la serie es convergente o divergente ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k usando el criterio de d’Alembert.

Es necesario comprobar si se cumple la condición de convergencia necesaria. Calculemos el límite usando la regla de L'Hopital: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ en 2 = 0

Podemos ver que se cumple la condición. Usemos la prueba de d'Alembert: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

La serie es convergente.

Ejemplo 13

Determina si la serie es divergente ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Usemos la prueba de d'Alembert para determinar la divergencia de la serie: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! ¡kkk! = lím k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = mi > 1

Por tanto, la serie es divergente.

Signo de Cauchy radical

Supongamos que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie con signo positivo. Si lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, luego divergente.

Nota 2

Si lim k → + ∞ a k k = 1, entonces este signo no proporciona ninguna información; se requiere un análisis adicional.

Esta característica se puede utilizar en ejemplos que sean fáciles de identificar. El caso será típico cuando un miembro de una serie numérica sea una expresión de potencia exponencial.

Para consolidar la información recibida, consideremos varios ejemplos típicos.

Ejemplo 14

Determina si la serie de signos positivos ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k es convergente.

Condición necesaria se considera cumplido, ya que lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Según el criterio comentado anteriormente, obtenemos lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . esta serie es convergente.

Ejemplo 15

¿Converge la serie numérica ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2?

Usamos la característica descrita en el párrafo anterior lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Prueba integral de Cauchy

Supongamos que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie con signo positivo. Es necesario denotar la función de un argumento continuo. y = f(x), que coincide con a n = f (n) . Si y = f(x)mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [ a ; + ∞), donde a ≥ 1

Entonces, si la integral impropia ∫ a + ∞ f (x) d x es convergente, entonces la serie considerada también converge. Si diverge, entonces en el ejemplo considerado la serie también diverge.

Al comprobar si una función es decreciente, puede utilizar el material cubierto en lecciones anteriores.

Ejemplo 16

Considere el ejemplo ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k para la convergencia.

La condición de convergencia de la serie se considera cumplida, ya que lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Considere y = 1 x ln x. Es mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [ 2 ; + ∞) . Los dos primeros puntos se conocen con certeza, pero el tercero debería analizarse con más detalle. Encontramos la derivada: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. menos de cero en [ 2 ; + ∞) . Esto prueba la tesis de que la función es decreciente.

En realidad, la función y = 1 x ln x corresponde a las características del principio que consideramos anteriormente. Usémoslo: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln (ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Según los resultados obtenidos, ejemplo original diverge porque la integral impropia es divergente.

Ejemplo 17

Demuestre la convergencia de la serie ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Dado que lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, entonces la condición se considera satisfecha.

Comenzando con k = 4, la expresión correcta es 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Si la serie ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 se considera convergente, entonces, según uno de los principios de comparación, la serie ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 también se considerará convergente. De esta forma podemos determinar que la expresión original también es convergente.

Pasemos a la demostración: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Dado que la función y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 es mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [ 4 ; + ∞) . Utilizamos la característica descrita en el párrafo anterior:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · en 28 2

En la serie convergente resultante, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, podemos determinar que ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 también converge.

signo de raabe

Supongamos que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie de números positivos.

Si lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, entonces converge.

Este método de determinación se puede utilizar si las técnicas descritas anteriormente no dan resultados visibles.

Estudio de convergencia absoluta

Para el estudio tomamos ∑ k = 1 ∞ b k . Usamos signo positivo ∑ k = 1 ∞ b k . Podemos utilizar cualquiera de las funciones adecuadas que describimos anteriormente. Si la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge, entonces la serie original es absolutamente convergente.

Ejemplo 18

Investiga la serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 para determinar la convergencia ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

Se cumple la condición lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Usamos ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 y usamos el segundo signo: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 converge. La serie original también es absolutamente convergente.

Divergencia de series alternas.

Si la serie ∑ k = 1 ∞ b k es divergente, entonces la serie alterna correspondiente ∑ k = 1 ∞ b k es divergente o condicionalmente convergente.

Sólo la prueba de d'Alembert y la prueba radical de Cauchy ayudarán a sacar conclusiones sobre ∑ k = 1 ∞ b k a partir de la divergencia de los módulos ∑ k = 1 ∞ b k. La serie ∑ k = 1 ∞ b k también diverge si no se satisface la condición de convergencia necesaria, es decir, si lim k → ∞ + b k ≠ 0.

Ejemplo 19

Compruebe la divergencia 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .

Módulo kth El término se representa como b k = k ! 7k.

¡Examinemos la serie ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k para convergencia usando el criterio de d'Alembert: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! ¡7 mil + 1 mil! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ segundo k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7k diverge de la misma manera que la versión original.

Ejemplo 20

¿Es ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) convergente?

Consideremos la condición necesaria lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . La condición no se cumple, por lo tanto ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) la serie es divergente. El límite se calculó utilizando la regla de L'Hopital.

Criterios de convergencia condicional

La prueba de Leibniz

Si los valores de los términos de la serie alterna disminuyen b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . y el límite del módulo = 0 cuando k → + ∞, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge.

Ejemplo 17

Considere ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) para la convergencia.

La serie se representa como ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Se cumple la condición necesaria: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Considere ∑ k = 1 ∞ 1 k según el segundo criterio de comparación lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Encontramos que ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverge. La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) converge según el criterio de Leibniz: secuencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . disminuye y lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

La serie converge condicionalmente.

Prueba de Abel-Dirichlet

∑ k = 1 + ∞ u k · v k converge si ( u k ) no aumenta y la secuencia ∑ k = 1 + ∞ v k es acotada.

Ejemplo 17

Explora 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . para la convergencia.

imaginemos

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

donde (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . no es creciente y la secuencia (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . limitado (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . La serie converge.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter