Después de estudiar los monomios, pasamos a los polinomios. Este artículo te informará sobre todos. Información necesaria, necesario para realizar acciones sobre ellos. Definiremos un polinomio con definiciones adjuntas término de un polinomio, es decir, libre y semejante, considere un polinomio de forma estándar, introduzca un grado y aprenda a encontrarlo, trabaje con sus coeficientes.
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Polinomio y sus términos: definiciones y ejemplos.
La definición de un polinomio era necesaria en 7 clase después de estudiar monomios. Veamos su definición completa.
Definición 1
Polinomio Se considera la suma de los monomios y el monomio en sí es caso especial polinomio.
De la definición se deduce que los ejemplos de polinomios pueden ser diferentes: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z y así sucesivamente. De la definición tenemos que 1+x, a 2 + b 2 y la expresión x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x son polinomios.
Veamos algunas definiciones más.
Definición 2
Miembros del polinomio sus monomios constituyentes se llaman.
Considere un ejemplo donde tenemos un polinomio 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, que consta de 4 términos: 3 x 4, − 2 x y, 3 y − y 3. Tal monomio puede considerarse un polinomio que consta de un término.
Definición 3
Los polinomios que contienen 2, 3 trinomios tienen el nombre correspondiente - binomio Y trinomio.
De ello se deduce que una expresión de la forma x+y– es un binomio y la expresión 2 x 3 q − q x x x + 7 b es un trinomio.
Por currículum escolar Trabajó con un binomio lineal de la forma a · x + b, donde a y b son algunos números y x es una variable. Consideremos ejemplos de binomios lineales de la forma: x + 1, x 7, 2 − 4 con ejemplos trinomios cuadrados x 2 + 3 x − 5 y 2 5 x 2 - 3 x + 11 .
Para transformar y resolver es necesario encontrar y traer términos similares. Por ejemplo, un polinomio de la forma 1 + 5 x − 3 + y + 2 x tiene términos similares 1 y - 3, 5 x y 2 x. Están divididos en grupo especial llamados términos similares de un polinomio.
Definición 4
Términos similares de un polinomio son términos similares que se encuentran en un polinomio.
En el ejemplo anterior, tenemos que 1 y - 3, 5 x y 2 x son términos similares del polinomio o términos similares. Para simplificar la expresión, busque y reduzca términos similares.
Polinomio de forma estándar
Todos los monomios y polinomios tienen sus propios nombres específicos.
Definición 5
Polinomio de forma estándar es un polinomio en el que cada término incluido en él tiene un monomio de forma estándar y no contiene términos similares.
De la definición se desprende claramente que es posible reducir polinomios de la forma estándar, por ejemplo, 3 x 2 − x y + 1 y __formula__, y la entrada está en formato estándar. Las expresiones 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z y 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z no son polinomios de forma estándar, ya que el primero de ellos tiene términos similares en la forma 3 · x 2 y −x2, y el segundo contiene un monomio de la forma x · y 3 · x · z 2, que difiere del polinomio estándar.
Si las circunstancias lo requieren, a veces el polinomio se reduce a una forma estándar. El concepto de término libre de un polinomio también se considera un polinomio de forma estándar.
Definición 6
Término libre de un polinomio es un polinomio de forma estándar que no tiene parte literal.
En otras palabras, cuando un polinomio en forma estándar tiene un número, se le llama miembro libre. Entonces el número 5 es el término libre del polinomio x 2 z + 5, y el polinomio 7 a + 4 a b + b 3 no tiene término libre.
Grado de un polinomio: ¿cómo encontrarlo?
La definición del grado de un polinomio en sí se basa en la definición de un polinomio de forma estándar y en los grados de los monomios que son sus componentes.
Definición 7
Grado de un polinomio de forma estándar Se llama el mayor de los grados incluidos en su notación.
Veamos un ejemplo. El grado del polinomio 5 x 3 − 4 es igual a 3, porque los monomios incluidos en su composición tienen grados 3 y 0, y el mayor de ellos es 3, respectivamente. La definición del grado del polinomio 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x es igual al mayor de los números, es decir, 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 y 1, lo que significa 5 .
Es necesario averiguar cómo se encuentra el título en sí.
Definición 8
Grado polinómico cualquier número es el grado del polinomio correspondiente en forma estándar.
Cuando un polinomio no está escrito en forma estándar, pero necesita encontrar su grado, debe reducirlo a la forma estándar y luego encontrar el grado requerido.
Ejemplo 1
Encuentra el grado de un polinomio 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Solución
Primero, presentemos el polinomio en forma estándar. Obtenemos una expresión de la forma:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Al obtener un polinomio de forma estándar, encontramos que dos de ellos se destacan claramente: 2 · a 2 · b 2 · c 2 e y 2 · z 2 . Para encontrar los grados, contamos y encontramos que 2 + 2 + 2 = 6 y 2 + 2 = 4. Se puede observar que el mayor de ellos es 6. De la definición se deduce que 6 es el grado del polinomio − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 y, por tanto, el valor original.
Respuesta: 6 .
Coeficientes de términos polinomiales.
Definición 9Cuando todos los términos de un polinomio son monomios de la forma estándar, entonces en este caso tienen el nombre coeficientes de términos polinomiales. En otras palabras, se les puede llamar coeficientes del polinomio.
Al considerar el ejemplo, queda claro que un polinomio de la forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 contiene 4 polinomios: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x y 7 con sus correspondientes coeficientes 2, − 0, 5, 3 y 7. Esto significa que 2, − 0, 5, 3 y 7 se consideran coeficientes de términos de un polinomio dado de la forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Al realizar la conversión, es importante prestar atención a los coeficientes delante de las variables.
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En Esta lección Recordaremos las definiciones básicas de este tema y consideraremos algunos problemas típicos, a saber, reducir un polinomio a una forma estándar y calcular el valor numérico de valores dados variables. Resolveremos varios ejemplos en los que se utilizará la reducción a la forma estándar para resolver varios tipos tareas.
Sujeto:Polinomios. Operaciones aritméticas sobre monomios
Lección:Reducir un polinomio a su forma estándar. Tareas típicas
Recordemos la definición básica: un polinomio es la suma de monomios. Cada monomio que forma parte de un polinomio como término se llama miembro. Por ejemplo:
Binomio;
Polinomio;
Binomio;
Dado que un polinomio consta de monomios, la primera acción con un polinomio se sigue de aquí: es necesario llevar todos los monomios a una forma estándar. Permítanos recordarle que para esto necesita multiplicar todos los factores numéricos: obtenga coeficiente numérico y multiplica los grados correspondientes: obtén la parte de la letra. Además, prestemos atención al teorema sobre el producto de potencias: al multiplicar potencias, sus exponentes suman.
Consideremos una operación importante: reducir un polinomio a su forma estándar. Ejemplo:
Comentario: para llevar un polinomio a una forma estándar, es necesario llevar todos los monomios incluidos en su composición a una forma estándar, después de lo cual, si hay monomios similares, y estos son monomios con la misma parte de letras, realice acciones con ellos. .
Entonces, analizamos el primer problema típico: llevar un polinomio a una forma estándar.
Próximo tarea típica- cálculo significado específico polinomio para dado valores numéricos las variables incluidas en el mismo. Sigamos viendo el ejemplo anterior y establezcamos los valores de las variables:
Comentario: recuerde que una unidad en cualquier grado natural igual a uno y cero a cualquier potencia natural igual a cero Además, recuerda que al multiplicar cualquier número por cero, obtenemos cero.
Veamos varios ejemplos de operaciones típicas para reducir un polinomio a una forma estándar y calcular su valor:
Ejemplo 1: llevar a la forma estándar:
Comentario: el primer paso es llevar los monomios a la forma estándar, es necesario llevar el primero, el segundo y el sexto; segunda acción - presentamos miembros similares, es decir, realizamos las tareas dadas sobre ellos operaciones aritmeticas: sumamos el primero con el quinto, el segundo con el tercero, el resto se reescriben sin cambios, ya que no tienen similares.
Ejemplo 2: calcule el valor del polinomio del ejemplo 1 dados los valores de las variables:
Comentario: al calcular, debes recordar que una unidad a cualquier potencia natural es uno; si te resulta difícil calcular potencias de dos, puedes utilizar la tabla de potencias.
Ejemplo 3: en lugar de un asterisco, coloque un monomio de modo que el resultado no contenga una variable:
Comentario: independientemente de la tarea, la primera acción es siempre la misma: llevar el polinomio a una forma estándar. En nuestro ejemplo, esta acción se reduce a traer términos similares. Después de esto, debes volver a leer atentamente la condición y pensar en cómo podemos deshacernos del monomio. Obviamente, para esto necesitas agregarle el mismo monomio, pero con signo opuesto- . A continuación, reemplazamos el asterisco con este monomio y nos aseguramos de que nuestra solución sea correcta.
En esta lección, recordaremos las definiciones básicas de este tema y consideraremos algunos problemas típicos, a saber, reducir un polinomio a una forma estándar y calcular un valor numérico para valores dados de variables. Resolveremos varios ejemplos en los que se utilizará la reducción a una forma estándar para resolver varios tipos de problemas.
Sujeto:Polinomios. Operaciones aritméticas sobre monomios
Lección:Reducir un polinomio a su forma estándar. Tareas típicas
Recordemos la definición básica: un polinomio es la suma de monomios. Cada monomio que forma parte de un polinomio como término se llama miembro. Por ejemplo:
Binomio;
Polinomio;
Binomio;
Dado que un polinomio consta de monomios, la primera acción con un polinomio se sigue de aquí: es necesario llevar todos los monomios a una forma estándar. Permítanos recordarle que para hacer esto necesita multiplicar todos los factores numéricos (obtener un coeficiente numérico y multiplicar las potencias correspondientes) obtener la parte alfabética. Además, prestemos atención al teorema sobre el producto de potencias: al multiplicar potencias, sus exponentes suman.
Consideremos una operación importante: reducir un polinomio a su forma estándar. Ejemplo:
Comentario: para llevar un polinomio a una forma estándar, es necesario llevar todos los monomios incluidos en su composición a una forma estándar, después de lo cual, si hay monomios similares, y estos son monomios con la misma parte de letras, realice acciones con ellos. .
Entonces, analizamos el primer problema típico: llevar un polinomio a una forma estándar.
El siguiente problema típico es calcular el valor específico de un polinomio para valores numéricos dados de las variables incluidas en él. Sigamos viendo el ejemplo anterior y establezcamos los valores de las variables:
Comentario: recordemos que uno elevado a cualquier potencia natural es igual a uno, y cero elevado a cualquier potencia natural es igual a cero, además, recordamos que al multiplicar cualquier número por cero obtenemos cero.
Veamos varios ejemplos de operaciones típicas para reducir un polinomio a una forma estándar y calcular su valor:
Ejemplo 1: llevar a la forma estándar:
Comentario: el primer paso es llevar los monomios a la forma estándar, es necesario llevar el primero, el segundo y el sexto; segunda acción: traemos términos similares, es decir, realizamos las operaciones aritméticas dadas sobre ellos: sumamos el primero con el quinto, el segundo con el tercero, reescribimos el resto sin cambios, ya que no tienen similares.
Ejemplo 2: calcule el valor del polinomio del ejemplo 1 dados los valores de las variables:
Comentario: al calcular, debes recordar que una unidad a cualquier potencia natural es uno; si te resulta difícil calcular potencias de dos, puedes utilizar la tabla de potencias.
Ejemplo 3: en lugar de un asterisco, coloque un monomio de modo que el resultado no contenga una variable:
Comentario: independientemente de la tarea, la primera acción es siempre la misma: llevar el polinomio a una forma estándar. En nuestro ejemplo, esta acción se reduce a traer términos similares. Después de esto, debes volver a leer atentamente la condición y pensar en cómo podemos deshacernos del monomio. Es obvio que para esto es necesario agregarle el mismo monomio, pero con el signo opuesto - . A continuación, reemplazamos el asterisco con este monomio y nos aseguramos de que nuestra solución sea correcta.
Dijimos que existen polinomios estándar y no estándar. Allí notamos que cualquiera puede llevar el polinomio a la forma estándar. En este artículo, primero descubriremos qué significado tiene esta frase. A continuación enumeramos los pasos que te permiten transformar cualquier polinomio en vista estándar. Finalmente, veamos soluciones. ejemplos típicos. Describiremos las soluciones con gran detalle para comprender todos los matices que surgen al reducir polinomios a su forma estándar.
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¿Qué significa reducir un polinomio a su forma estándar?
Primero necesitas entender claramente lo que significa reducir un polinomio a su forma estándar. Resolvamos esto.
Los polinomios, como cualquier otra expresión, pueden someterse a transformaciones idénticas. Como resultado de realizar tales transformaciones, se obtienen expresiones que son idénticamente iguales a la expresión original. Por tanto, realizar determinadas transformaciones con polinomios de forma no estándar permite pasar a polinomios que son idénticamente iguales a ellos, pero escritos en forma estándar. Esta transición se llama reducción del polinomio a la forma estándar.
Entonces, reducir el polinomio a la forma estándar- esto significa reemplazar el polinomio original por un polinomio idénticamente igual de forma estándar, obtenido a partir del original realizando transformaciones idénticas.
¿Cómo reducir un polinomio a su forma estándar?
Pensemos en qué transformaciones nos ayudarán a llevar el polinomio a una forma estándar. Partiremos de la definición de un polinomio en forma estándar.
Por definición, cada término de un polinomio de forma estándar es un monomio de forma estándar y un polinomio de forma estándar no contiene términos similares. A su vez, los polinomios escritos en una forma distinta a la estándar pueden consistir en monomios en una forma no estándar y pueden contener términos similares. Esto lógicamente sigue siguiente regla, explicando cómo reducir un polinomio a su forma estándar:
- primero necesitas llevar los monomios que componen el polinomio original a su forma estándar,
- luego realice la reducción de términos similares.
Como resultado, se obtendrá un polinomio de forma estándar, ya que todos sus términos estarán escritos en forma estándar y no contendrá términos similares.
Ejemplos, soluciones
Veamos ejemplos de cómo reducir polinomios a su forma estándar. A la hora de resolver seguiremos los pasos que dicta la regla del párrafo anterior.
Aquí observamos que a veces todos los términos de un polinomio se escriben inmediatamente en forma estándar; en este caso, basta con dar términos similares; A veces, después de reducir los términos de un polinomio a una forma estándar, no hay términos similares, por lo que en este caso se omite la etapa de traer términos similares. EN caso general tienes que hacer ambas cosas.
Ejemplo.
Presente los polinomios en forma estándar: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 Y .
Solución.
Todos los términos del polinomio 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 están escritos en forma estándar, no tiene términos similares, por lo tanto, este polinomio ya se presenta en forma estándar;
Pasemos al siguiente polinomio. 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5. Su forma no es estándar, como lo demuestran los términos 2·a 3 ·0.6 y −b·a·b 4 ·b 5 de una forma no estándar. Presentémoslo en forma estándar.
En la primera etapa para llevar el polinomio original a su forma estándar, debemos presentar todos sus términos en forma estándar. Por lo tanto, reducimos el monomio 2·a 3 ·0.6 a la forma estándar, tenemos 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , después de lo cual tomamos el monomio −b·a·b 4 ·b 5 , tenemos −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. De este modo, . En el polinomio resultante, todos los términos están escritos en forma estándar, además, es obvio que no contiene términos similares; En consecuencia, esto completa la reducción del polinomio original a su forma estándar.
Queda por presentar el último de los polinomios dados en forma estándar. Después de llevar a todos sus miembros a la forma estándar, se escribirá como 
. Tiene miembros similares, por lo que necesitas elegir miembros similares: 
Entonces el polinomio original tomó la forma estándar −x·y+1.
Respuesta:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – ya en forma estándar, 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .
A menudo, llevar un polinomio a una forma estándar es sólo un paso intermedio para responder la pregunta planteada al problema. Por ejemplo, encontrar el grado de un polinomio requiere su representación preliminar en forma estándar.
Ejemplo.
dar un polinomio 
a la forma estándar, indique su grado y ordene los términos en grados descendentes de la variable.
Solución.
Primero, llevamos todos los términos del polinomio a su forma estándar: 
.
Ahora presentamos términos similares: 
Entonces trajimos el polinomio original a su forma estándar, esto nos permite determinar el grado del polinomio, que es igual al más alto en mayor medida monomios incluidos en él. Obviamente es igual a 5.
Queda por ordenar los términos del polinomio en potencias decrecientes de las variables. Para hacer esto, simplemente necesita reorganizar los términos en el polinomio resultante de forma estándar, teniendo en cuenta el requisito. mayor grado tiene un término z 5, los grados de los términos , −0.5·z 2 y 11 son iguales a 3, 2 y 0, respectivamente. Por tanto, un polinomio con términos ordenados en potencias decrecientes de la variable tendrá la forma 
.
Respuesta:
El grado del polinomio es 5, y después de ordenar sus términos en grados descendentes de la variable, toma la forma .
Bibliografía.
- Álgebra: libro de texto para 7mo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G.Álgebra. Séptimo grado. A las 14 h. Parte 1. Libro de texto para estudiantes. Instituciones educacionales/ A. G. Mordkovich. - 17ª ed., añadir. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Álgebra Y comenzó Análisis matemático. Décimo grado: libro de texto. para educación general Instituciones: básica y perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editado por A. B. Zhizhchenko. - 3ª edición. - M.: Educación, 2010.- 368 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
Por ejemplo, expresiones:
a - b + C, X 2 - y 2 , 5X - 3y - z- polinomios
Los monomios que forman un polinomio se llaman miembros del polinomio. Considere el polinomio:
7a + 2b - 3C - 11
expresiones: 7 a, 2b, -3C y -11 son los términos del polinomio. Tenga en cuenta que el miembro -11 no contiene una variable; los miembros que constan únicamente de un número se denominan; gratis.
Generalmente se acepta que cualquier monomio es un caso especial de polinomio, que consta de un término. En este caso, monomio es el nombre de un polinomio con un término. Para polinomios que constan de dos y tres miembros, también hay nombres especiales- binomio y trinomio, respectivamente:
7a- monomio
7a + 2b- binomio
7a + 2b - 3C- trinomio
Miembros similares
Miembros similares- monomios incluidos en un polinomio que se diferencian entre sí solo en coeficiente, signo o no difieren en absoluto (los monomios opuestos también se pueden llamar similares). Por ejemplo, en un polinomio:
| 3a 2 b | + | 5a B C 2 | + | 2a 2 b | - | 7a B C 2 | - | 2a 2 b |
miembros 3 a 2 b, 2a 2 b y 2 a 2 b, así como miembros 5 a B C 2 y -7 a B C 2 son términos similares.
Trayendo miembros similares
Si un polinomio contiene términos similares, entonces se puede reducir a más vista sencilla combinando miembros similares en uno. Esta acción se llama traer miembros similares. En primer lugar, encerremos todos los términos similares por separado entre paréntesis:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5a B C 2 - 7a B C 2)
Para combinar varios monomios similares en uno, debes sumar sus coeficientes y dejar los factores de letras sin cambios:
((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)a B C 2) = (3a 2 b) + (-2a B C 2) = 3a 2 b - 2a B C 2
La coacción de términos similares es una operación de reemplazo. suma algebraica varios monomios semejantes por un monomio.
Polinomio de forma estándar
Polinomio de forma estándar es un polinomio cuyos términos son todos monomios de forma estándar, entre los cuales no hay términos similares.
Para llevar un polinomio a su forma estándar, basta con reducir términos similares. Por ejemplo, represente la expresión como un polinomio de la forma estándar:
3xy + X 3 - 2xy - y + 2X 3
Primero, busquemos términos similares:
Si todos los términos de un polinomio de tipo estándar contienen la misma variable, entonces sus términos generalmente se ordenan de mayor a menor grado. Miembro gratuito polinomio, si lo hay, se coloca en ultimo lugar- a la derecha.
Por ejemplo, un polinomio
3X + X 3 - 2X 2 - 7
debería escribirse así:
X 3 - 2X 2 + 3X - 7
