Transformada de Fourier bidimensional discreta c. Transformada discreta de Fourier (DFT)

Esta es una de las transformadas de Fourier muy utilizadas en algoritmos de procesamiento de señales digitales (sus modificaciones se utilizan en compresión de audio en MP3, compresión de imágenes en JPEG, etc.), así como en otras áreas relacionadas con el análisis de frecuencias en formato discreto (por ejemplo, (por ejemplo, señal analógica digitalizada). La transformada discreta de Fourier requiere como entrada función discreta. Estas funciones a menudo se crean mediante muestreo (muestreo de valores de funciones continuas). Las transformadas discretas de Fourier ayudan a resolver parciales ecuaciones diferenciales y realizar operaciones como convoluciones. Las transformadas discretas de Fourier también se utilizan activamente en estadística, en el análisis de series de tiempo. Las transformaciones pueden ser unidimensionales, bidimensionales e incluso tridimensionales.

Conversión directa:

Conversión inversa:

Designaciones:

§ norte- el número de valores de señal medidos durante un período, así como el número de componentes de descomposición;

§ - valores de señal medidos (en puntos de tiempo discretos con números que son datos de entrada para conversión directa y fines de semana para el regreso;

§ - norte amplitudes complejas de señales sinusoidales que componen la señal original; son datos de salida para conversión directa y datos de entrada para conversión inversa; dado que las amplitudes son complejas, es posible calcular tanto la amplitud como la fase a partir de ellas;

§ es la amplitud habitual (real) de la k-ésima señal sinusoidal;

argumento( xk) - fase de la k-ésima señal sinusoidal (argumento de un número complejo);

§ k- frecuencia de la k-ésima señal, igual a , donde t- el período de tiempo durante el cual se tomaron los datos de entrada.

De esto último se desprende claramente que la transformación descompone la señal en componentes sinusoidales (que se denominan armónicos) con frecuencias desde N oscilaciones por período hasta una oscilación por período. Dado que la frecuencia de muestreo en sí es igual a N muestras por período, los componentes de alta frecuencia no se pueden mostrar correctamente: se produce un efecto muaré. Esto lleva al hecho de que la segunda mitad de las N amplitudes complejas es, de hecho, una imagen especular de la primera y no contiene información adicional.

Consideremos alguna señal periódica. X(t) con un período igual a T. Expandámoslo en una serie de Fourier:

Muestreemos la señal de modo que haya N muestras por período. Representemos la señal discreta en forma de muestras: xn = X(Tennesse), donde , entonces estas lecturas a través de la serie de Fourier se escribirán de la siguiente manera:

Usando la relación: , obtenemos:

Dónde

Así que tenemos transformada de Fourier discreta inversa.

Multipliquemos ahora escalarmente la expresión para xn encendido y obtenemos:

Aquí usamos: a) una expresión para la suma de un número finito de términos (exponentes) progresión geométrica, y b) la expresión del símbolo de Kronecker como límite de la relación de las funciones de Euler para números complejos. Resulta que:

Esta fórmula describe transformada de Fourier discreta directa.

En la literatura, se acostumbra escribir el multiplicador en la transformación inversa y, por lo tanto, las fórmulas de transformación se suelen escribir de la siguiente forma:

La transformada discreta de Fourier es transformación lineal, que transforma un vector de muestras de tiempo en un vector de muestras espectrales de la misma longitud. Entonces la transformación se puede implementar como una multiplicación. matriz cuadrada para vectorizar:

Transformada de Fourier

Cuando se utilizan transformadas de Fourier, la imagen se representa como una suma de complejos funciones exponenciales variables de amplitud, frecuencia y fase. La transformada de Fourier juega muy papel importante en muchas áreas del procesamiento de imágenes, incluida la mejora, el análisis, la restauración y la compresión.

1. Definiciones básicas de la transformada de Fourier
2. Transformada discreta de Fourier, incluida la transformada rápida de Fourier
3. Aplicaciones de la transformada de Fourier (algunos ejemplos de aplicaciones prácticas de la transformada de Fourier)

Definiciones básicas de la transformada de Fourier

Si f(m,n) es una función de dos variables espaciales discretas m y n, entonces transformación bidimensional Funciones de Fourier f(m,n) se puede representar mediante la siguiente expresión

Las variables son frecuencias angulares. Por tanto, representa una función f(m,n) en el dominio de la frecuencia. es una función de valores complejos con frecuencias correspondientes. Las frecuencias están dentro del rango , . Tenga en cuenta que F(0,0) se representa como la suma de todas las variables. f(m,n). Por esta razón F(0,0) a menudo se denomina componente constante de la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier bidimensional inversa está representada por la expresión

Aquellos. esta expresión representa f(m,n) como una suma número infinito funciones exponenciales complejas (ondas sinusoidales) con diferentes frecuencias. La amplitud y la fase determinan la contribución de las frecuencias a la representación.

Visualización de la transformada de Fourier.

Para ilustrar la transformada de Fourier, supongamos que la función f(m,n) es igual a 1 y se representa como un rectángulo. Para simplificar el diagrama, la función f(m,n) se representará como una función continua de dos variables discretas metro Y norte.

función rectangular

La siguiente figura, utilizando la función de malla, visualiza los valores de amplitud obtenidos de la transformada de Fourier. función rectangular mostrado en la figura anterior. La visualización de amplitud también se denomina visualización de transformada de Fourier.

Amplitud de imagen de función rectangular.

El pico de la función está en el centro y muestra el valor. F(0,0), que es la suma de todos los valores. f(m,n). Todos los demás componentes representan la distribución de energía en frecuencias verticales y horizontales.

Otra forma de visualizar la transformada de Fourier es mostrar los valores como una imagen.

Representación logarítmica de la transformada de Fourier de una función rectangular

Veamos ejemplos de transformadas de Fourier de funciones de varias formas simples.

Ejemplos de transformadas de Fourier de funciones de varias formas simples

Transformada de coseno discreta

Las transformadas de coseno discretas representan una imagen como una suma de sinusoides con diferentes amplitudes y frecuencias. Función dct2 en la aplicación de imagen Caja de herramientas de procesamiento implementa transformaciones de coseno discretas bidimensionales de imágenes. Una de las características de la transformada discreta de Fourier es que algunos áreas locales Las imágenes se pueden caracterizar. una pequeña cantidad coeficientes de transformada discreta de Fourier. Esta propiedad se utiliza muy a menudo en el desarrollo de métodos de compresión de imágenes. Por ejemplo, la transformada de coseno discreta es la base de un estándar internacional utilizado en el algoritmo de compresión de imágenes con pérdida JPEG. El nombre del formato “JPEG” consta de las primeras letras del nombre. grupo de trabajo, que participó en el desarrollo de este estándar (Joint Photographic Experts Group).

Transformada de matriz de coseno discreta bidimensional A con dimensiones se implementa según la siguiente expresión

Valores bpq se llaman coeficientes de la transformación coseno discreta de la matriz A.

(Cabe señalar que los índices matriciales en MATLAB siempre comienzan en 1, no en 0. Por lo tanto, los elementos matriciales que se representan en MATLAB como A(1,1) y B(1,1) corresponderán a elementos un 00 Y B00 de la fórmula anterior.)

La transformada inversa del coseno discreto se implementa según las expresiones

La expresión de la transformada de coseno discreta inversa se puede interpretar como una representación matricial. A con dimensiones como la suma de las siguientes funciones

Estas funciones se denominan funciones fundamentales (básicas) de la transformada de coseno discreta. Coeficientes de transformada de coseno discretos bpq pueden considerarse como pesos para cada función básica. Por ejemplo, para una matriz con tamaño de elemento hay 64 funciones básicas, que se muestra en la imagen.

64 funciones básicas que se obtienen para una matriz con tamaños de elementos

Las frecuencias horizontales aumentan de izquierda a derecha y las frecuencias verticales aumentan de arriba a abajo.

Matriz de transformación de coseno discreta

Solicitud Procesamiento de imágenes Toolbox ofrece dos diferentes caminos implementación de transformaciones discretas de coseno. El primer método se implementa en la función dct2. La función dct2 utiliza conversión rápida Fourier para acelerar los cálculos. El segundo método utiliza la matriz de transformación de coseno discreta, que devuelve la función dctmtx. La matriz de transformación T se forma según la siguiente expresión

Para matriz A con dimensiones es una matriz con dimensiones, donde cada columna contiene una transformada de coseno discreta unidimensional A. Transformada de coseno discreta bidimensional A calculado como B=T*A*T'. Transformada de coseno discreta bidimensional inversa B calculado como T'*B*T.

Transformadas de coseno discretas y compresión de imágenes

En el algoritmo de compresión de imágenes JPEG, la imagen original se divide en bloques de dimensiones o elementos. A continuación, se calcula una transformada de coseno discreta bidimensional para cada bloque. Los coeficientes de transformadas de coseno discreto se cuantifican, codifican y transmiten. El receptor JPEG decodifica los coeficientes de transformación de coseno discreto, calcula la transformación de coseno discreto 2D inversa en cada bloque y luego los une en una sola imagen.

Consideremos un ejemplo de cálculo de transformaciones de coseno discretas bidimensionales en bloques con los tamaños de los elementos de la imagen original. Además, al reconstruir la imagen, tendremos en cuenta solo 10 coeficientes de cada bloque, el resto se pondrá a cero. Al realizar los cálculos descritos también se utilizará la matriz de transformación.

I = imread("camaraman.tif"); yo = im2doble(yo); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); máscara = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",máscara); I2 = blkproc(B2,,"P1 *x*P2",T",T); estoy mostrando (yo); figura, estoy mostrando (I2)

La figura muestra dos imágenes: la original y la reconstruida. Sólo el 15% de los coeficientes de transformada de coseno discretos se utilizaron en la reconstrucción de imágenes. Sin embargo, cabe señalar que la calidad de la imagen reconstruida es bastante aceptable. Para ver otras propiedades de la transformada de coseno discreto, consulte la función dctdemo.

Transformaciones de radón

La función de radón en la Caja de herramientas de procesamiento de imágenes calcula una matriz de proyecciones de imágenes a lo largo de direcciones específicas. La proyección de una función bidimensional f(x,y) es igual a la integral a lo largo de la recta indicada. La función Radón es el cálculo de proyecciones de imágenes sobre un eje, que se especifican mediante ángulos en grados con respecto a la horizontal en sentido antihorario. La figura muestra la proyección de una determinada figura en un ángulo específico.

Proyección de haz paralelo con ángulo de rotación theta

La siguiente figura muestra las proyecciones horizontal y vertical de una función bidimensional simple.

Proyecciones horizontales y verticales de alguna función simple.

Las proyecciones se pueden calcular a lo largo ángulo arbitrario theta. La función de radón integrada en Image Processing Toolbox calcula las proyecciones de imágenes en determinadas direcciones. La proyección de una función bidimensional f(x,y) sobre el eje x’ es una integral lineal

Por lo tanto, los ejes x' y' se especifican girando un ángulo en sentido antihorario.

La siguiente imagen ilustra la geometría de la transformada de radón.

Geometría de transformación de radón

Visualización de transformadas de radón

Al realizar transformaciones de radón, es necesario especificar la imagen original y el vector de ángulos theta.

Radón(I,theta);

R es una matriz en la que cada columna es la transformada de radón para uno de los ángulos contenidos en el vector theta. El vector xp contiene las coordenadas correspondientes a lo largo del eje x. El píxel central I se determina según la expresión suelo((tamaño(I)+1)/2).

Veamos cómo se calculan las proyecciones en las transformadas de radón. Consideremos proyecciones en un ángulo de 0° y 45°.

I = ceros(100,100); Yo(25:75, 25:75) = 1; estoy show(yo)

Radón(yo,); cifra; trama(xp,R(:,1)); título("R_(0^o) (x\prime)")

Transformaciones de radón a 0°

Cifra; trama(xp,R(:,2)); título("R_(45^o) (x\prime)")

Transformaciones de radón a 45°.

La transformada de radón en una gran cantidad de ángulos a menudo se muestra como una imagen. En este ejemplo, se considera la transformada de radón para una imagen en forma de cuadrado con un rango de ángulo de 0° a 180° con una resolución de 1°.

theta = 0:180; = radón(I,theta); imágenesc(theta,xp,R); título("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\theta (grados)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); mapa de colores (caliente); barra de color

Transformaciones de radón utilizando 180 proyecciones.

Usar transformaciones de radón al detectar líneas

Las transformaciones de radón son similares a otras operaciones bien conocidas, que se conocen como transformaciones de Hoch. La función radón se puede utilizar para detectar líneas rectas. Veamos las principales etapas de este proceso.

Pico más grande en la matriz R corresponde a =1° y x´= -80. Se traza una línea desde el centro de la imagen original en un ángulo a una distancia x'. Se traza una línea recta perpendicular a esta línea, que corresponde a la línea recta en imagen original. Además, hay otras líneas en la imagen que se presentan en la matriz. R picos correspondientes.

Geometría de transformada de radón para la detección de líneas rectas

Denotemos por

un campo bidimensional (señal bidimensional) que describe una imagen discreta del tamaño de filas y columnas. Fuera de los límites especificados, esta señal no está definida. Realicemos una continuación periódica de esta señal finita introduciendo una señal periódica bidimensional

. (3.21)

Si la señal existe solo dentro de un rectángulo con los lados de los elementos (Fig. 3.4.a), entonces la señal está definida en todo el plano y es rectangular periódica en él (Fig. 3.4.b).

Cualquier señal periódica se puede representar como una serie de Fourier, pero, a diferencia de las señales unidimensionales, las señales bidimensionales se describen mediante una serie de Fourier bidimensional, que tiene la forma:

Las funciones básicas de esta representación bidimensional son exponenciales complejas bidimensionales (a veces llamadas sinusoides complejas)

(3.23)

teniendo, al igual que la señal, una periodicidad rectangular con el mismo período. Aquí (,) es el número bidimensional de la función base y las cantidades tienen el significado de frecuencias espaciales. A veces son cantidades enteras y se denominan frecuencias espaciales.

Los coeficientes de Fourier de la serie (3.22) forman una ecuación bidimensional. espectro de frecuencia señal y están determinados por la fórmula de la transformada directa de Fourier:

(3.24)

La expresión (3.22), que restablece la señal a partir de su espectro, es la transformada inversa de Fourier. La validez de las transformaciones (3.22) y (3.24), llamadas DFT bidimensional, se puede verificar sustituyendo (3.24) en (3.22) y llevando lado derecho la igualdad resultante al valor de la izquierda, es decir A .

Tenga en cuenta que para una representación precisa de una señal discreta con un período bidimensional de elementos según las fórmulas FFT, es suficiente un número finito de funciones básicas (3.23); la serie (3.22) es finita. Esto es comprensible, ya que la propia señal representada contiene en un período numero final puntos, es decir tiene un número finito de grados de libertad. Está claro que el número de grados de libertad en el espectro no puede diferir del número de grados de libertad en la señal misma.

Detengámonos en las propiedades más esenciales del espectro de Fourier discreto bidimensional. Calculemos los coeficientes espectrales (3.24) en puntos de frecuencia. :

Dado que para cualquier valor entero y el último factor en la expresión resultante igual a uno, entonces tenemos la igualdad:

,

que denota la periodicidad rectangular de la DFT bidimensional. En consecuencia, la imagen de una DFT bidimensional es similar a la imagen de una señal bidimensional periódicamente continua, cualitativamente mostrada en la Fig. 3.4.b (si las coordenadas espaciales que contiene se reemplazan por coordenadas de frecuencia). Sin embargo, hay que tener en cuenta que los coeficientes espectrales, como se desprende de (3.24), son números complejos, incluso para una señal real. Pero entonces surge la pregunta. Se encuentra que el número total de componentes espectrales es . Un número complejo es equivalente a un par de números reales: las partes real e imaginaria en notación algebraica o el módulo y la fase en notación exponencial. Por lo tanto, se describe el espectro completo. numeros reales, que es el doble de la dimensión de la señal misma. A primera vista esto encierra una contradicción. Se aclara con un estudio más detallado de las propiedades de la DFT bidimensional.

Transformemos la relación (3.25) de la siguiente manera. Primero, sustituyamos frecuencias en lugar de frecuencias. En segundo lugar, realizaremos una conjugación compleja de ambas partes, que no violará la igualdad. Como resultado, es fácil obtener la expresión:

,

que establece una conexión inequívoca entre los coeficientes espectrales en dos puntos diferentes del rectángulo espectral. La relación resultante elimina la contradicción, ya que el número de coeficientes espectrales independientes se reduce a la mitad debido a esta simetría espectral. Según la propiedad establecida, los coeficientes espectrales que pertenecen a las esquinas superior izquierda e inferior derecha del rectángulo están conectados por una dependencia espectral conjugada. De manera similar, los coeficientes de Fourier de las secciones superior derecha e inferior izquierda del rectángulo espectral también están relacionados entre sí.

Al final de este párrafo señalamos que cuando aplicación práctica DFT bidimensional: tanto directa como inversa, no es necesario operar con señales y espectros periódicos, como parecería suponer las transformaciones (3.22) y (3.24). Las relaciones (3.22) y (3.24) eliminan por sí mismas esta necesidad. De hecho, la transformada directa de Fourier (3.24) contiene en el lado derecho los valores de la señal que continúa periódicamente solo dentro de un rectángulo "principal". Pero dentro de estos límites, las señales originales y periódicas coinciden completamente, lo que permite utilizar la señal original en la fórmula (3.24). Se pueden hacer explicaciones similares con respecto a conversión inversa(3.22), de lo que se deduce que prácticamente en el proceso de cálculo se debe operar con la parte “principal” del espectro relacionada con región espectral.

De las explicaciones dadas, que sólo tienen un significado puramente computacional, no se debe sacar ninguna conclusión sobre la artificialidad e inutilidad de lo considerado. modelos matemáticos campos periódicos. Al procesar imágenes surgen numerosos problemas cuya correcta interpretación y solución sólo es posible basándose en estas interpretaciones matemáticas. Uno de estos las tareas más importantes es un filtrado digital bidimensional en el dominio espectral, cuya implementación está asociada con la implementación de la llamada convolución cíclica.

transformadas de Fourier

Es conveniente analizar muchas señales descomponiéndolas en sinusoides (armónicos). Hay varias razones para esto. Por ejemplo, el oído humano funciona de forma similar. Descompone el sonido en vibraciones individuales de diferentes frecuencias. Además, se puede demostrar que las sinusoides son " funciones propias» sistemas lineales (ya que pasan por sistemas lineales, sin cambiar la forma, pero solo puede cambiar la fase y la amplitud). Otra razón es que el teorema de Kotelnikov se formula en términos del espectro de la señal.

Transformada de Fourier ) es la descomposición de funciones en sinusoides (en adelante también llamaremos funciones cosenos sinusoides, ya que se diferencian de las sinusoides "reales" sólo en fase). Existen varios tipos de transformada de Fourier.

1. No PERIODICO señal continua se puede expandir a una integral de Fourier.

2. Una señal continua periódica se puede expandir a una serie infinita de Fourier.

3. Una señal discreta no periódica se puede expandir a una integral de Fourier.

4. Una señal discreta periódica se puede expandir a una serie finita de Fourier.

Una computadora sólo puede trabajar con una cantidad limitada de datos, por lo tanto, en realidad sólo puede calcular el último tipo de transformada de Fourier. Echemos un vistazo más de cerca.

DFT de señal real

Sea una señal discreta x un período de N puntos. En este caso, se puede representar como una serie finita (es decir, una combinación lineal) de sinusoides discretas:

Notación equivalente (descomponemos cada coseno en seno y coseno, pero ahora sin fase):

Arroz. 6. Funciones básicas en serie de Fourier para una señal discreta de 8 puntos. A la izquierda están los cosenos, a la derecha están los senos. Las frecuencias aumentan de arriba a abajo.

Las sinusoides básicas tienen múltiples frecuencias. El primer término de la serie (k =0) es una constante llamada componente constante(compensación de CC) señal. La primera sinusoide (k = 1) tiene una frecuencia tal que su período coincide con el período de la propia señal original. El componente de frecuencia más alta (k =N /2) tiene una frecuencia tal que su período es igual a dos cuentas. CoeficientesA k y

B k se llama espectro de señal (espectro). Muestran las amplitudes de las si-

nusoides que componen la señal. El paso de frecuencia entre dos sinusoides adyacentes de la expansión de Fourier se llama resolución de frecuencia espectro

En la Fig. La Figura 6 muestra las sinusoides utilizadas para descomponer una señal discreta desde 8 puntos. Cada una de las sinusoides consta de 8 puntos, es decir, es una señal discreta regular. Las sinusoides continuas se muestran en la figura para mayor claridad.

convierta la señal original calculando la suma de la serie de Fourier en cada punto. Descomponer una señal en sinusoides (es decir, obtener coeficientes) se llama transformada directa de Fourier. El proceso inverso (síntesis de señales utilizando sinusoides) se llama transformada inversa de Fourier(transformada de Fourier inversa).

El algoritmo para la transformada inversa de Fourier es obvio (está contenido en la fórmula de la serie de Fourier; para realizar la síntesis basta con sustituirle los coeficientes). Consideremos el algoritmo de transformada directa de Fourier, es decir encontrar los coeficientes A k y B k .

base tonal en el espacio de señales discretas periódicas con período N. Esto significa que para expandir cualquier elemento del espacio (señal) en él, es necesario calcular productos punto este elemento con todas las funciones del sistema, y ​​los coeficientes resultantes están normalizados. Entonces la fórmula de expansión de la base con coeficientes A k y B k será válida para la señal original.

Entonces, los coeficientes A k y B k se calculan como productos escalares (en no-

en el caso discontinuo – integrales del producto de funciones, en el caso discreto

– sumas del producto de señales discretas):

La tecnología de la comunicación moderna no puede imaginarse sin análisis espectral. La representación de señales en el dominio de la frecuencia es necesaria tanto para el análisis de sus características como para el análisis de bloques y unidades de transceptores de sistemas de radiocomunicaciones. Para convertir señales al dominio de la frecuencia, se utiliza una transformada directa de Fourier. La fórmula generalizada para la transformada directa de Fourier se escribe de la siguiente manera:

Como puede verse en esta fórmula para el análisis de frecuencia, el cálculo se realiza dependencia de correlación entre una señal representada en el dominio del tiempo y una exponencial compleja en una frecuencia determinada. En este caso, según la fórmula de Euler, la exponencial compleja se descompone en una parte real e imaginaria:

Una señal representada en el dominio de la frecuencia se puede convertir nuevamente al dominio del tiempo mediante una transformada de Fourier inversa. La fórmula generalizada para la transformada inversa de Fourier se escribe de la siguiente manera:

La fórmula de la transformada directa de Fourier utiliza la integración temporal desde menos infinito hasta infinito. Naturalmente, se trata de una abstracción matemática. EN condiciones reales podemos integrarnos desde en este momento tiempo, que podemos denotar como 0, antes del tiempo T. La fórmula para la transformada directa de Fourier se transformará a la siguiente forma:

Como resultado las propiedades de la transformada de Fourier cambian significativamente. Espectro de señal en su lugar función continua se convierte en una serie discreta de valores. Ahora la frecuencia mínima y al mismo tiempo el paso de los valores de frecuencia del espectro de la señal se convierte en:

Solo funciones pecado y cos con frecuencias k/t serán mutuamente ortogonales, y esta es una condición indispensable para la transformada de Fourier. El conjunto de las primeras funciones de la expansión en serie de Fourier se muestra en la Figura 1. En este caso, la duración de las funciones coincide con la duración del análisis. t.

Ahora el espectro de la señal se verá como se muestra en la Figura 2.

EN en este caso la fórmula para calcular la transformada directa de Fourier (4) se transforma a la siguiente forma:

La fórmula para la transformada inversa de Fourier para el caso de determinar el espectro durante un período de tiempo limitado se verá así:

De manera similar, puede determinar la fórmula de la transformada directa de Fourier para muestras de señales digitales. Considerando que en lugar de una señal continua se utilizan sus muestras digitales, en la expresión (6) la integral se reemplaza por una suma. En este caso, la duración de la señal analizada está determinada por el número de muestras digitales. norte. La transformada de Fourier para muestras de señales digitales se llama transformada de Fourier discreta. y está escrito de la siguiente manera:

Ahora veamos cómo han cambiado las propiedades de la transformada discreta de Fourier (DFT) en comparación con la transformada directa de Fourier durante un intervalo de tiempo limitado. Cuando analizamos el muestreo Señal analoga, encontramos que el espectro de la señal de entrada debe tener una frecuencia limitada. Este requisito limita el número de componentes discretos del espectro de la señal. Inicialmente puede parecer que podemos limitar el espectro de la señal a la frecuencia. F d/2, que corresponde al número de componentes de frecuencia K=N/2. Sin embargo, no lo es. Aunque el espectro de señal para muestras de señales reales para frecuencias positivas y negativas es simétrico alrededor de 0, es posible que se requieran frecuencias negativas para algunos algoritmos de espectro, como. La diferencia es aún mayor cuando se realiza una transformada de Fourier discreta en muestras complejas de la señal de entrada. Como resultado para descripción completa espectro señal digital requerido norte muestras de frecuencia ( k = 0, ..., norte/2).