Señales discretas y transformada discreta de Fourier. Transformada discreta de Fourier

De la sección anterior sobre muestreo de señales continuas, se deduce que las señales reales pueden describirse mediante muestras tanto en el dominio espectral como en el temporal. Tanto el espectro discreto como la señal discreta describen completamente la señal continua (continua) original. Sin embargo, para encontrar un espectro discreto a partir de una señal discreta dada, es necesario realizar cálculos que requieren mucho tiempo: primero, reconstruir una señal continua a partir de una señal discreta, luego usar la transformada de Fourier para encontrar un espectro continuo y luego discretizarlo. . Se debe seguir un procedimiento similar para la conversión inversa. La transición directa de una señal discreta a un espectro discreto y viceversa es posible mediante una transformada discreta de Fourier.

Consideremos una señal continua de duración finita con un número de grados de libertad igual a Para esta señal podemos escribir el desarrollo en una serie de Kotelnikov:

Mediante el uso conversión normal Encontremos el espectro de Fourier de esta señal:

El cálculo directo de la integral en esta fórmula es un procedimiento que requiere mucha mano de obra. Sin embargo, esto no es difícil de hacer de otra manera.

Considere el espectro que está determinado por la expresión

Aplicándole la transformada inversa de Fourier encontramos que corresponde a la función tiempo

Obviamente, la relación inversa también es cierta.

Usando el teorema del retraso, podemos escribir

Sustituyendo (3.2) en (3.1), obtenemos la expresión final para el espectro.

Para pasar a la transformada de Fourier discreta, los valores del espectro en la expresión (3.3) deben calcularse no para todos los valores de frecuencia, sino para los discretos (muestreados):

Como resultado, obtenemos la fórmula final para la transformada discreta de Fourier.

Las propiedades de la transformada discreta de Fourier son similares en muchos aspectos a las propiedades de la transformada de Fourier convencional. Observemos sólo una propiedad específica, que

se puede llamar la periodicidad de la transformada discreta de Fourier.

Considere el valor determinado por la fórmula (3.4) para donde es un número entero:

Por tanto, la transformada discreta de Fourier es una función periódica de la frecuencia con un período igual a Esta propiedad es similar a la propiedad de periodicidad del espectro de señales muestreadas, que se analizó en el capítulo. 2.

Pasemos ahora a la derivación de la transformada de Fourier discreta inversa, que nos permite determinar muestras de señales a partir de muestras de espectro. Para hacer esto, utilizamos la habitual transformada inversa de Fourier.

Escribimos la densidad espectral de la señal en forma de serie de Kotelnikov.

y sustituir en la integral de la transformada inversa de Fourier

La integral en la expresión es similar a la integral calculada previamente (3.2). Usando esta analogía, escribimos

Sustituyendo (3.6) en (3.5), obtenemos una expresión para la función del tiempo.

Suponiendo que en la relación obtenemos una fórmula para determinar los valores de una señal discreta, es decir, llegamos a la transformada de Fourier discreta inversa.

donde A toma valores de 0 a

A veces, por conveniencia de la notación, utilizando la propiedad de periodicidad de la transformada discreta de Fourier, se cambian los límites de suma en la expresión (3.8) y la transformada discreta inversa de Fourier se escribe en la forma

Para ilustrar, aplique la transformada discreta de Fourier a un pulso triangular muestreado (descrito por cinco valores de muestra en la Fig.

Sustituyamos esta expresión por la señal discreta en la fórmula de la transformada discreta de Fourier (3.4)

A modo de comparación, busquemos densidad espectral pulso triangular inicial:

Es fácil ver que el espectro discreto (3.11) no describe con precisión la densidad espectral del pulso triangular (3.12). Los valores difieren ligeramente de los valores correspondientes del espectro de pulso triangular (Fig. 3.1, b).

Ahora sustituyamos los valores discretos del espectro (3.11) en la expresión de la transformada discreta inversa de Fourier (3.8):

A pesar de la diferencia entre los valores del espectro discreto y los valores del espectro continuo, el resultado obtenido coincide completamente con la fórmula de la señal discreta original (3.11).

El ejemplo considerado muestra que la transformada discreta de Fourier no siempre describe con precisión el espectro de la señal continua original, así como

Arroz. 3.1. Conversión discreta Fourier de un pulso triangular muestreado

la señal muestreada no siempre describe con precisión la señal continua original. Sin embargo, la relación entre una señal discreta y su transformada discreta de Fourier es siempre uno a uno y la fórmula para las transformadas de Fourier directa e inversa es estricta para cualquier número. valores discretos. Por tanto, el aparato de transformadas discretas de Fourier tiene un significado independiente y puede aplicarse a cualquier secuencia numérica.

En este caso, las fórmulas para la transformada discreta de Fourier deben modificarse ligeramente, ya que para la abstracta secuencia numérica Los valores de intervalo de muestreo y duración de la señal no tienen sentido. Por lo tanto, el coeficiente delante de la suma en la fórmula (3.4) se omite y se reemplaza por los valores de referencia de la señal y el espectro, denotados por y la fórmula para la transformada discreta de Fourier se escribe en la forma

En este caso, la transformada discreta inversa de Fourier tiene la forma

Los valores calculados mediante la fórmula (3.14) difieren de los valores de muestra del espectro de oscilación continua en un factor. Para determinar los valores de muestra, debe multiplicar los valores calculados mediante la fórmula (3.14) por el valor del intervalo de muestreo de tiempo:

Demostremos que las transformaciones (3.14), (3.15) son mutuamente inversas. Para hacer esto, tome una secuencia numérica arbitraria usando la transformada discreta de Fourier (3.14), encuentre la secuencia y aplíquele la transformada discreta inversa.

Fourier (3.15). Denotamos la secuencia resultante.

Cambiemos el orden de la suma y transformemos ligeramente esta expresión:

La suma interna de la expresión (3.16) es igual a cero si y es igual a si Por lo tanto, cuando es decir, las secuencias numéricas coinciden entre sí. Por lo tanto, cuando se aplican secuencialmente a cualquier secuencia numérica, las transformadas discretas de Fourier directa e inversa dan como resultado la misma secuencia.

Ilustremos este punto con los ejemplos más sencillos.

1. Considere la señal discreta más simple, que consta de un valor de muestra igual a a. Sustituyendo esta secuencia más simple en la fórmula de la transformada discreta de Fourier (3.14), obtenemos Por tanto, la transformada discreta de Fourier de un individuo valor numérico igual al mismo valor.

Otra aplicación importante de la transformada discreta de Fourier es el cálculo de la señal a la salida de un filtro con una respuesta en frecuencia determinada. Si se proporciona una señal de entrada, entonces se puede calcular una transformada de Fourier discreta. Si ahora multiplicamos por la respuesta de frecuencia del filtro, obtenemos una transformada de Fourier discreta de la señal de salida: Después de esto, usamos la transformada de Fourier discreta inversa. , podemos encontrar la señal en la salida del filtro.

Si la señal de entrada tiene una duración prolongada, se puede procesar mediante la transformada discreta de Fourier por partes. Para hacer esto, tome las primeras N muestras de la señal de entrada, calcule su transformada discreta de Fourier y, después de multiplicar por la respuesta de frecuencia del filtro, use la transformada discreta inversa de Fourier para calcular las primeras N muestras de la señal de salida. Después de esto, las siguientes N muestras de la señal de entrada se procesan de manera similar, etc. Para aumentar la precisión del procesamiento de la señal, las series procesadas de muestras pueden superponerse parcialmente.

La ventaja de este método de procesamiento de señales es la ausencia de restricciones en el tipo de respuesta de frecuencia del filtro. Por ejemplo, la respuesta de frecuencia puede tener una forma rectangular perfecta, lo que no se puede lograr utilizando filtros convencionales.

El procesamiento de señales mediante transformada discreta de Fourier no puede denominarse filtrado digital en En todo sentido palabras. Los filtros digitales convencionales que funcionan en tiempo real procesan la señal continuamente a medida que llega, y el cálculo de la señal de salida mediante una transformada de Fourier discreta se puede realizar solo después de que se conozca toda la señal de entrada o al menos la primera serie de N muestras. Por lo tanto, cuando se utiliza la transformada discreta de Fourier, la señal de salida sólo se puede obtener con un cierto

retardo relativo a la señal de entrada. Sin embargo, en un número aplicaciones prácticas tal retraso de la señal de salida no juega un papel importante, y luego el procesamiento de la señal mediante la transformada discreta de Fourier resulta apropiado.

La tecnología de la comunicación moderna no puede imaginarse sin análisis espectral. Representación de señales en dominio de la frecuencia necesario tanto para el análisis de sus características como para el análisis de bloques y unidades de transceptores de sistemas de radiocomunicación. Para convertir señales al dominio de la frecuencia, se utiliza una transformada directa de Fourier. La fórmula generalizada para la transformada directa de Fourier se escribe de la siguiente manera:

Como puede verse en esta fórmula para el análisis de frecuencia, el cálculo se realiza dependencia de correlación entre una señal representada en el dominio del tiempo y una exponencial compleja en una frecuencia determinada. En este caso, según la fórmula de Euler, la exponencial compleja se descompone en una parte real e imaginaria:

Una señal representada en el dominio de la frecuencia se puede convertir nuevamente al dominio del tiempo mediante una transformada de Fourier inversa. La fórmula generalizada para la transformada inversa de Fourier se escribe de la siguiente manera:

La fórmula de la transformada directa de Fourier utiliza la integración temporal desde menos infinito hasta infinito. Naturalmente, se trata de una abstracción matemática. EN condiciones reales podemos integrarnos desde en este momento tiempo, que podemos denotar como 0, antes del tiempo T. La fórmula para la transformada directa de Fourier se transformará a la siguiente forma:

Como resultado las propiedades de la transformada de Fourier cambian significativamente. Espectro de señal en su lugar función continua se convierte en una serie discreta de valores. Ahora la frecuencia mínima y al mismo tiempo el paso de los valores de frecuencia del espectro de la señal se convierte en:

Solo funciones pecado y cos con frecuencias k/t serán mutuamente ortogonales, y esta es una condición indispensable para la transformada de Fourier. El conjunto de las primeras funciones de la expansión en serie de Fourier se muestra en la Figura 1. En este caso, la duración de las funciones coincide con la duración del análisis. t.

Ahora el espectro de la señal se verá como se muestra en la Figura 2.

EN en este caso la fórmula para calcular la transformada directa de Fourier (4) se transforma a la siguiente forma:

La fórmula para la transformada inversa de Fourier para el caso de determinar el espectro durante un período de tiempo limitado se verá así:

De manera similar, puede determinar la fórmula de la transformada directa de Fourier para muestras de señales digitales. Considerando que en lugar de una señal continua se utilizan sus muestras digitales, en la expresión (6) la integral se reemplaza por una suma. En este caso, la duración de la señal analizada está determinada por el número de muestras digitales. norte. La transformada de Fourier para muestras de señales digitales se llama transformada de Fourier discreta. y está escrito de la siguiente manera:

Ahora veamos cómo han cambiado las propiedades de la transformada discreta de Fourier (DFT) en comparación con la transformada directa de Fourier durante un intervalo de tiempo limitado. Cuando analizamos el muestreo de señales analógicas, aprendimos que el espectro de la señal de entrada debe estar limitado en frecuencia. Este requisito limita el número de componentes discretos del espectro de la señal. Inicialmente puede parecer que podemos limitar el espectro de la señal a la frecuencia. F d/2, que corresponde al número de componentes de frecuencia K=N/2. Sin embargo, no lo es. Aunque el espectro de señal para muestras de señales reales para frecuencias positivas y negativas es simétrico alrededor de 0, es posible que se requieran frecuencias negativas para algunos algoritmos de espectro, como. La diferencia es aún mayor cuando se realiza una transformada de Fourier discreta en muestras complejas de la señal de entrada. Como resultado para descripción completa espectro señal digital requerido norte muestras de frecuencia ( k = 0, ..., norte/2).

transformadas de Fourier

Es conveniente analizar muchas señales descomponiéndolas en sinusoides (armónicos). Hay varias razones para esto. Por ejemplo, el oído humano funciona de forma similar. Descompone el sonido en vibraciones individuales de diferentes frecuencias. Además, se puede demostrar que las sinusoides son " funciones propias» sistemas lineales (ya que pasan por sistemas lineales, sin cambiar la forma, pero solo puede cambiar la fase y la amplitud). Otra razón es que el teorema de Kotelnikov se formula en términos del espectro de la señal.

Transformada de Fourier ) es la descomposición de funciones en sinusoides (en adelante también llamaremos funciones cosenos sinusoides, ya que se diferencian de las sinusoides "reales" sólo en fase). Existen varios tipos de transformada de Fourier.

1. Una señal continua no periódica se puede expandir a una integral de Fourier.

2. Una señal continua periódica se puede expandir a una serie infinita de Fourier.

3. Una señal discreta no periódica se puede expandir a una integral de Fourier.

4. Una señal discreta periódica se puede expandir a una serie finita de Fourier.

Una computadora sólo puede trabajar con una cantidad limitada de datos, por lo tanto, en realidad sólo puede calcular el último tipo de transformada de Fourier. Echemos un vistazo más de cerca.

DFT de señal real

Sea una señal discreta x un período de N puntos. En este caso, se puede representar como una serie finita (es decir, una combinación lineal) de sinusoides discretas:

Notación equivalente (descomponemos cada coseno en seno y coseno, pero ahora sin fase):

Arroz. 6. Funciones básicas en serie de Fourier para una señal discreta de 8 puntos. A la izquierda están los cosenos, a la derecha están los senos. Las frecuencias aumentan de arriba a abajo.

Las sinusoides básicas tienen múltiples frecuencias. El primer término de la serie (k =0) es una constante llamada componente constante(compensación de CC) señal. La primera sinusoide (k = 1) tiene una frecuencia tal que su período coincide con el período de la propia señal original. El componente de frecuencia más alta (k =N /2) tiene una frecuencia tal que su período es igual a dos cuentas. CoeficientesA k y

B k se llama espectro de señal (espectro). Muestran las amplitudes de las si-

nusoides que componen la señal. El paso de frecuencia entre dos sinusoides adyacentes de la expansión de Fourier se llama resolución de frecuencia espectro

En la Fig. La Figura 6 muestra las sinusoides utilizadas para descomponer una señal discreta desde 8 puntos. Cada una de las sinusoides consta de 8 puntos, es decir, es una señal discreta regular. Las sinusoides continuas se muestran en la figura para mayor claridad.

convierta la señal original calculando la suma de la serie de Fourier en cada punto. Descomponer una señal en sinusoides (es decir, obtener coeficientes) se llama transformada directa de Fourier. El proceso inverso (síntesis de señales utilizando sinusoides) se llama transformada inversa de Fourier(transformada de Fourier inversa).

El algoritmo para la transformada inversa de Fourier es obvio (está contenido en la fórmula de la serie de Fourier; para realizar la síntesis basta con sustituirle los coeficientes). Consideremos el algoritmo de transformada directa de Fourier, es decir encontrar los coeficientes A k y B k .

base tonal en el espacio de señales discretas periódicas con período N. Esto significa que para expandir cualquier elemento del espacio (señal) en él, es necesario calcular productos punto este elemento con todas las funciones del sistema, y ​​los coeficientes resultantes están normalizados. Entonces la fórmula de expansión de la base con coeficientes A k y B k será válida para la señal original.

Entonces, los coeficientes A k y B k se calculan como productos escalares (en no-

en el caso discontinuo – integrales del producto de funciones, en el caso discreto

– sumas del producto de señales discretas):

Exploramos las características de la representación espectral de una señal discreta, que se especifica en un segmento mediante sus propias lecturas.
, tomados respectivamente a veces
; número total de muestras
(- intervalo de muestreo).

La técnica para estudiar tales señales discretas es que la muestra resultante de valores de referencia se repite mentalmente un número infinito de veces. Como resultado, la señal se vuelve periódica.

Al asociar un determinado modelo matemático con dicha señal, puede utilizar la expansión de la serie de Fourier y encontrar los coeficientes de amplitud correspondientes. La combinación de estos coeficientes forma el espectro de una señal periódica discreta.

Usemos el modelo en forma de secuencia de pulsos delta. Entonces la vibración inicial quedará expresada por la fórmula:

(5.1)

Dónde
– valores de muestra de la señal analógica.

- transformada discreta de Fourier (DFT) (5.4)

Propiedades básicas de DFT

1. DFT: transformación lineal, es decir la suma de las señales corresponde a la suma de sus DFT

2. Número de coeficientes diferentes
, calculado mediante la fórmula (5.4), es igual al número N por período; en coeficiente

3. Coeficiente (componente constante) es el valor promedio de todas las lecturas:

5. Deje que los valores de referencia – numeros reales. Entonces los coeficientes DFT, cuyos números están ubicados simétricamente con respecto a /2, forman pares conjugados:

El problema del análisis espectral discreto se puede formular de otra manera. Supongamos que los coeficientes , que forman la DFT. Pongamos la fórmula (5.2)
y tener en cuenta que sólo se suman un número finito de términos de la serie, que corresponden a los armónicos contenidos en el espectro de la señal original.

Así, obtenemos una fórmula para calcular los valores de referencia.

(5.5)

Obviamente, (5.5) es la fórmula de la transformada discreta inversa de Fourier (IDFT).

11 Algoritmo de transformada rápida de Fourier. Número de operaciones computacionales. Comparación de transformadas de Fourier discretas y rápidas.

=0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7)

Tengamos en cuenta que las secuencias de coeficientes relacionados con las partes pares e impares del array de entrada son periódicas con un periodo de N/2:

Además, el factor incluido en la fórmula (5.7) en
se puede convertir así:

A partir de aquí encontramos la expresión para la segunda mitad del conjunto de coeficientes DFT.

(5.8)

Las fórmulas (5.7) y (5.8) forman la base del algoritmo FFT. A continuación, los cálculos se realizan según el principio iterativo: las secuencias de muestras con números pares e impares se dividen nuevamente en dos partes. El proceso continúa hasta obtener una secuencia formada por un solo elemento. La DFT de este elemento coincide consigo mismo.

El número de operaciones necesarias para calcular la FFT se estima como
.

La ganancia en velocidad de cálculo en comparación con la DFT tradicional alcanza cientos e incluso miles si las matrices de entrada tienen la longitud suficiente.

12.. z - transformación y sus propiedades. Solicitud z - transformaciones.

En el análisis y síntesis de dispositivos discretos y digitales, la transformada Z juega el mismo papel que la transformada integral de Fourier con respecto a señales continuas.

Dejar
– una secuencia numérica, finita o infinita, que contiene los valores de referencia de una determinada señal. Pongámoslo en una correspondencia única con la suma de la serie en poderes negativos variable compleja Z:

(5.9)

Esta suma se llama transformada Z de la secuencia.
. Las propiedades de secuencias discretas de números se pueden estudiar estudiando sus transformaciones Z utilizando métodos convencionales de análisis matemático.

Esta expresión tiene sentido cuando |Z|> .

Transformada Z inversa

Sea x(z) una función de la variable compleja Z. Una propiedad notable de la transformada Z es que la función x(z) define todo el conjunto infinito de muestras (
).

De hecho, multipliquemos ambos lados de la serie (5.9) por el factor
:

Las integrales de todos los términos del lado derecho desaparecerán, a excepción del término con el número m, por lo tanto:

(5.11)

Esta expresión se llama transformada Z inversa.

Las propiedades más importantes z -conversiones:

1. Linealidad. Si
Y
- algunas señales discretas y las correspondientes transformaciones Z x(z) e y(z) son conocidas, entonces la señal
corresponderá a la transformación para cualquier constante Y . La prueba se lleva a cabo sustituyendo la suma en la fórmula (5.9).

2. z-conversión de la señal desplazada. Considere una señal discreta
, resultante de una señal discreta
cambiando una posición hacia el retraso, es decir Cuando
. Calculando directamente la transformada Z, obtenemos el siguiente resultado:

Entonces el símbolo
sirve como operador de retardo unitario (por intervalo de muestreo) en el dominio Z.

3. z-transformación de convolución. Sean x(z) e y(z) señales continuas, para lo cual se define la convolución:

(5.13)

Aplicado a señales discretas por analogía con (5.13) se acostumbra introducir convolución discreta
– una secuencia de números cuyo término común es:

Una convolución tan discreta se llama lineal.

Calculemos la transformada Z de convolución discreta:

(5.15)

Entonces, la convolución de dos señales discretas corresponde al producto de las transformadas Z.

Introducción

En lección de laboratorio posibilidades para discreto transformación trigonométrica(accidente de carretera) desde los siguientes puntos de vista:

1. Verificamos la propiedad de reversibilidad del accidente dado.

2. Se investigó la linealidad del accidente propuesto.

3. Estudiamos las características del espectro repetido del accidente probado.

4. Determinamos la presencia de reflexión simétrica del espectro en un accidente, a saber

4.1. Disponibilidad simetría central,

4.2. la presencia de simetría axial (vertical).

5. Consideramos la influencia de los cambios de fase de la señal en el accidente resultante.

6. Comprobó la presencia de la propiedad de similitud para la transformación dada.

7. Investigamos la posibilidad de filtrar señales utilizando un accidente determinado.

8. Probamos experimentalmente la conservación de energía en el accidente de tráfico objeto de estudio.

9. Descubrimos una conexión entre este accidente y la transformada discreta de Fourier.

También se consideraron varias señales de entrada para un análisis más representativo.

El más famoso entre los discretos. transformaciones funcionales es la transformada discreta de Fourier (DFT)

Transformada discreta de Fourier

La transformada discreta de Fourier determina espectro de líneas Función periódica discretizada del tiempo. La transformada de Fourier discreta inversa le permite reconstruir la función del tiempo a partir de su espectro. Estas transformaciones suelen abreviarse como DFT y ODFT, respectivamente.

La DFT se utiliza para analizar funciones periódicas y puede obtenerse de la teoría de series de Fourier. Sea x0(t) una línea continua función periódica con periodo P y frecuencia f0 = 1/P entonces

La función x0(t) se puede expandir a una serie de Fourier:

donde los coeficientes de expansión X0(n) vienen dados por la fórmula

Generalmente x0(t) es función real, y luego X0(n) son complejos (pero esta restricción no es necesaria). Dado que consideramos x0 como una función del tiempo, X0(n) puede denominarse espectro complejo de x0(t). Usando las partes real e imaginaria de X0(n), se puede encontrar la amplitud y la fase de las componentes que forman la oscilación x0(t).

Consideremos la discretización de la función periódica x0(t). Para que esta función sea discretizada de forma única, su espectro no debe contener componentes con una frecuencia superior a una determinada frecuencia f1, es decir,

donde n1 es un valor entero de n que especifica la frecuencia f1.

En la Fig. 1 muestra un espectro tan limitado y la vibración a la que corresponde.

intervalo de muestreo T es igual a

por lo que el número de muestras por período será

Higo. 1. Función periódica x0(t) con una banda de frecuencia limitada y su espectro X0(n).

1Como resultado de la discretización, obtenemos una oscilación periódica normalizada con respecto a T de la forma

Esta oscilación se define en un intervalo igual a su período, es decir

Dado que x(t/T) es una función periódica, la relación (2) se utiliza para calcular los coeficientes de la serie de Fourier.

(Reemplazar P con /V en el divisor y los límites de integración corresponde a la transición a una variable normalizada.) Sustituyendo la expresión (3), obtenemos

Se sabe que

Finalmente, teniendo en cuenta el hecho de que por definición

La relación que conecta x(k) con X(n) se puede obtener directamente de la fórmula (1), si sustituimos t=kT y tenemos en cuenta que con un ancho limitado del espectro de la función x0(t), la suma contiene un número finito de términos. Entonces,

Cabe señalar que x(k) es una función periódica, es decir

y de manera similar

El hecho de que el espectro sea periódico se explica por la periodicidad del espectro de cualquier función discretizada, y su naturaleza discreta se debe al hecho de que la función discretizada en sí también es periódica.

Entonces, al discretizar una función periódica x0(t), la relación (4) permite usar muestras x0(t) para encontrar el espectro X(n), que en el intervalo 0 ≤ n ≤ N - 1 es exactamente igual al espectro X0 (n) de la función periódica original. La función x(k) y su espectro se presentan gráficamente en la Fig. 2. Dado que la relación (5.4) se obtiene sobre la base del teorema de muestreo, es un equivalente preciso y económico (en los cálculos) de la relación integral original (2) y puede usarse para calcular los coeficientes de expansión en una computadora. Llamaremos a las relaciones (4) y (5) transformada discreta de Fourier (DFT) y transformada discreta inversa de Fourier (IDFT), respectivamente. Tenga en cuenta que la variable n varía aquí de cero a N-1. El espectro resultante se puede interpretar de la siguiente manera. Los primeros (N/2-1) puntos X(n) - corresponden a (N/2 - 1) líneas espectrales X0(n) en frecuencias positivas, como se muestra en la Fig. 5.3, y los últimos (N/2-1) puntos X(n) corresponden a (N/2-1) líneas espectrales en frecuencias negativas.

Un par de transformaciones dado por las relaciones(4) y (5), también se presenta de otra forma. Por ejemplo, el multiplicador 1 / N y el signo menos del exponente se pueden escribir directamente o en transformación inversa, significado general no cambia.

Naturalmente, el espectro en este caso no puede identificarse directamente con el definido por la fórmula (2). En ocasiones ambas transformaciones se dan con los mismos factores (1/N)1/2.

Higo. 2. Función periódica discretizada x(k) y su espectro periódico X(n).

Higo. 3. La relación entre los coeficientes de la serie de Fourier y la DFT.

Propiedades de la DFT

Algunas propiedades de la DFT influyen cuestiones prácticas El procesamiento de señales juega un papel importante.

Linealidad

Si xp(n) y ur(n) son secuencias periódicas (con un período de N muestras cada una), y Xp(k) e Yp(k) son sus DFT, entonces la transformada discreta de Fourier de la secuencia xp(n) + + ur(n ) es igual a Хр(k) + Yp(k). Esto también es válido para secuencias de longitud finita.

Cambio

Si la secuencia xp(n) es periódica con un período de N muestras y su DFT es igual a Xp(k), entonces la DFT de una secuencia periódica de la forma xp(n-n0) será igual.

Higo. 4. Hacia la definición de la DFT de una secuencia desplazada.

Al analizar secuencias de longitud finita, es necesario tener en cuenta la naturaleza específica del desplazamiento temporal de la secuencia. Entonces, en la FIG. 4, a muestra una secuencia finita x (n) de longitud N muestras. En el mismo lugar, las cruces representan muestras de la secuencia periódica equivalente xp(n), que tiene la misma DFT que x(n). Para encontrar la DFT de la secuencia desplazada x(n - n0) y n0< N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой secuencia finita(teniendo una DFT j, acepte un segmento de la secuencia xp(n - n0) en el intervalo 0 ≤ n ≤ N - 1. Así, desde el punto de vista de la DFT, se obtiene la secuencia x(n – n0) desplazando circularmente los elementos de la secuencia x(n) por n0 muestras

Propiedades de la simetría

Si una secuencia periódica xp(n) con un período de v/V muestras es real, entonces su DFT xp(k) satisface siguientes condiciones simetría:

Igualdades similares son válidas para una secuencia real finita x(n) que tiene una DFT X(k) de N puntos. si entras Condición adicional simetría de la secuencia xp(n), es decir, supongamos que

entonces resulta que Xp(k) sólo puede ser real.

Dado que la mayoría de las veces tenemos que tratar con secuencias reales, al calcular una DFT, podemos obtener la DFT de dos secuencias usando las propiedades de simetría (6). Consideremos secuencias periódicas reales xp(n) e yp(n) con períodos de N muestras y DFT de N puntos xp(k) e Yp(k), respectivamente. Introduzcamos una secuencia compleja zp(n) de la forma

Su DFT es igual a

Aislando las partes real e imaginaria de la igualdad (10), obtenemos

Las partes reales Xp(k) e Yp(k) son simétricas y las partes imaginarias son antisimétricas, por lo que se pueden separar fácilmente mediante operaciones de suma y resta:

Entonces, al calcular una DFT de N puntos, es posible transformar dos secuencias reales de longitud N muestras a la vez. Si estas secuencias también son simétricas, entonces el número de operaciones necesarias para obtener su DFT se puede reducir aún más.

Información relacionada.