Demuestre que el sistema de vectores es linealmente independiente. Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes

El sistema vectorial se llama linealmente dependiente, si hay números entre los cuales al menos uno es distinto de cero, de modo que la igualdad https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Si esta igualdad se cumple solo en el caso en que todos , entonces el sistema de vectores se llama independiente linealmente.

Teorema. El sistema vectorial linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de sus vectores es una combinación lineal de los demás.

Ejemplo 1. Polinomio es una combinación lineal de polinomios https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Los polinomios constituyen un sistema linealmente independiente, ya que el polinomio https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Ejemplo 2. El sistema matricial, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> es linealmente independiente, ya que una combinación lineal es igual a matriz cero solo en el caso de que https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linealmente dependiente.

Solución.

Hagamos una combinación lineal de estos vectores https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" altura="22">.

Igualar coordenadas del mismo nombre vectores iguales, obtenemos https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Finalmente conseguimos

Y

El sistema tiene una solución trivial única, por lo que una combinación lineal de estos vectores es igual a cero sólo en el caso de que todos los coeficientes sean iguales a cero. Es por eso este sistema vectores es linealmente independiente.

Ejemplo 4. Los vectores son linealmente independientes. ¿Cómo serán los sistemas vectoriales?

a).;

b).?

Solución.

a). Hagamos una combinación lineal y equiparémosla a cero.

Usando las propiedades de las operaciones con vectores en el espacio lineal, reescribimos la última igualdad en la forma

Como los vectores son linealmente independientes, los coeficientes en deben ser iguales a cero, es decir,gif" width="12" height="23 src=">

El sistema de ecuaciones resultante tiene una solución trivial única. .

Desde la igualdad (*) ejecutado sólo cuando https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linealmente independiente;

b). Hagamos una igualdad https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de Gauss, obtenemos

o

Este último sistema tiene conjunto infinito soluciones https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Por lo tanto, existe un conjunto de coeficientes distinto de cero para el cual la igualdad sostiene (**) . Por tanto, el sistema de vectores. – linealmente dependiente.

Ejemplo 5 Un sistema de vectores es linealmente independiente y un sistema de vectores es linealmente dependiente..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

En igualdad (***) . De hecho, en , el sistema sería linealmente dependiente.

De la relación (***) obtenemos o denotemos .

Obtenemos

Tareas para decisión independiente(en la audiencia)

1. Un sistema que contiene un vector cero es linealmente dependiente.

2. Sistema formado por un vector. A, es linealmente dependiente si y sólo si, a=0.

3. Un sistema formado por dos vectores es linealmente dependiente si y sólo si los vectores son proporcionales (es decir, uno de ellos se obtiene del otro multiplicando por un número).

4. Si k es lineal sistema dependiente agregue un vector, obtendrá un sistema linealmente dependiente.

5. Si se elimina un vector de un sistema linealmente independiente, entonces el sistema de vectores resultante es linealmente independiente.

6. Si el sistema S es linealmente independiente, pero se vuelve linealmente dependiente cuando se suma un vector b, entonces el vector b expresado linealmente a través de vectores del sistema S.

C). Sistema de matrices , , en el espacio de matrices de segundo orden.

10. Sea el sistema de vectores. a,b,C espacio vectorial independiente linealmente. Demuestre la independencia lineal de los siguientes sistemas vectoriales:

a).un+b, b, c.

b).un+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– número arbitrario

C).un+b, a+c, b+c.

11. Dejar a,b,C– tres vectores en el plano a partir de los cuales se puede formar un triángulo. ¿Serán estos vectores linealmente dependientes?

12. Se dan dos vectores a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Recoge dos más vector de cuatro dimensiones a3 ya4 para que el sistema a1,a2,a3,a4 era linealmente independiente .

Dejar l- arbitrario espacio lineal,a i Î L,- sus elementos (vectores).

Definición 3.3.1. Expresión , Dónde , - arbitrario numeros reales, se llama combinación lineal vectores un 1, un 2,…, un norte.

si el vector R = , entonces dicen que R descompuesto en vectores un 1, un 2,…, un norte.

Definición 3.3.2. Una combinación lineal de vectores se llama no trivial, si entre los números hay al menos uno distinto de cero. De lo contrario, la combinación lineal se llama trivial.

Definición 3.3.3 . Vectores a 1 , a 2 ,…, a norte se llaman linealmente dependientes si existe una combinación lineal no trivial de ellos tal que

= 0 .

Definición 3.3.4. Vectores a 1 ,a 2 ,…, a norte se llaman linealmente independientes si la igualdad = 0 sólo es posible en el caso de que todos los números yo 1, yo 2,…, l norte son simultáneamente iguales a cero.

Tenga en cuenta que cualquier elemento distinto de cero a 1 puede considerarse como un sistema linealmente independiente, ya que la igualdad yo un 1 = 0 posible sólo si yo= 0.

Teorema 3.3.1. Necesario y condición suficiente dependencia lineal a 1, a 2,…, a norte es la posibilidad de descomponer al menos uno de estos elementos en el resto.

Prueba. Necesidad. Sean los elementos a 1 , a 2 ,…, a norte linealmente dependiente. Esto significa que = 0 , y al menos uno de los números yo 1, yo 2,…, l norte diferente de cero. Dejar con certeza yo 1 ¹ 0. Entonces

es decir, el elemento a 1 se descompone en elementos a 2, a 3,…, a norte.

Adecuación. Sea el elemento a 1 descompuesto en los elementos a 2 , a 3 , …, a norte, es decir, un 1 = . Entonces = 0 , por lo tanto, existe una combinación lineal no trivial de vectores a 1 , a 2 ,…, a norte, igual 0 , por lo que son linealmente dependientes .

Teorema 3.3.2. Si al menos uno de los elementos a 1 , a 2 ,…, a norte cero, entonces estos vectores son linealmente dependientes.

Prueba . Dejar a norte= 0 , entonces = 0 , lo que significa la dependencia lineal de estos elementos.

Teorema 3.3.3. Si entre n vectores cualquier p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Prueba. Sean, para mayor precisión, los elementos a 1 , a 2 ,…, a pag linealmente dependiente. Esto significa que existe una combinación lineal no trivial tal que = 0 . La igualdad especificada se conservará si agregamos el elemento a ambas partes. Entonces + = 0 , y al menos uno de los números yo 1, yo 2,…, lp diferente de cero. Por lo tanto, los vectores a 1 , a 2 ,…, a norte son linealmente dependientes.

Corolario 3.3.1. Si n elementos son linealmente independientes, entonces cualesquiera k de ellos son linealmente independientes (k< n).

Teorema 3.3.4. Si los vectores un 1, un 2,…, un norte- 1 son linealmente independientes y los elementos un 1, un 2,…, un norte- 1, un n son linealmente dependientes, entonces el vector a n se puede expandir en vectores un 1, un 2,…, un norte- 1 .

Prueba. Dado que por condición a 1 , a 2 ,…, a norte- 1, un norte son linealmente dependientes, entonces existe una combinación lineal no trivial de ellos = 0 , y (en caso contrario, los vectores a 1 , a 2 ,…, a norte- 1). Pero entonces el vector

,

Q.E.D.

Definición. Combinación lineal de vectores. a 1 , ..., a n con coeficientes x 1 , ..., x n se llama vector

x 1 un 1 + ... + x norte un norte .

trivial, si todos los coeficientes x 1 , ..., x n son iguales a cero.

Definición. La combinación lineal x 1 a 1 + ... + x n a n se llama no trivial, si al menos uno de los coeficientes x 1, ..., x n no es igual a cero.

independiente linealmente, si no existe una combinación no trivial de estos vectores igual al vector cero.

Es decir, los vectores a 1, ..., an son linealmente independientes si x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 si y solo si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definición. Los vectores a 1, ..., an se llaman linealmente dependiente, si existe una combinación no trivial de estos vectores igual al vector cero.

Propiedades de vectores linealmente dependientes:

Para vectores bidimensionales y tridimensionales.

dos lineales Vectores dependientes- colineal. (Los vectores colineales son linealmente dependientes).

Para vectores tridimensionales.

Tres vectores linealmente dependientes son coplanares. (Tres Vectores coplanares- linealmente dependiente.)

• Para vectores n-dimensionales.

  n + 1 vectores siempre son linealmente dependientes.

Ejemplos de problemas de dependencia lineal e independencia lineal de vectores:

Ejemplo 1. Comprueba si los vectores a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) son linealmente independientes .

Solución:

Los vectores serán linealmente dependientes, ya que la dimensión de los vectores es menor que el número de vectores.

Ejemplo 2. Comprueba si los vectores a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) son linealmente independientes.

Solución:

reste el segundo de la primera línea; agregue una segunda línea a la tercera línea:

Esta solución muestra que el sistema tiene muchas soluciones, es decir, existe una combinación distinta de cero de valores de los números x 1, x 2, x 3 tal que la combinación lineal de los vectores a, b, c es igual a vector cero, Por ejemplo:

A + b + c = 0

lo que significa que los vectores a, b, c son linealmente dependientes.

Respuesta: los vectores a, b, c son linealmente dependientes.

Ejemplo 3. Comprueba si los vectores a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) son linealmente independientes.

Solución: Encontremos los valores de los coeficientes en los que la combinación lineal de estos vectores será igual al vector cero.

Este ecuación vectorial se puede escribir como un sistema ecuaciones lineales

Resolvamos este sistema usando el método de Gauss.

reste la primera de la segunda línea; resta la primera de la tercera línea:

reste el segundo de la primera línea; agregue una segunda a la tercera línea.

Introducido por nosotros operaciones lineales sobre vectores hacer posible compilar varias expresiones Para cantidades vectoriales y transformarlos usando las propiedades establecidas para estas operaciones.

Con base en un conjunto dado de vectores a 1, ..., an, puedes crear una expresión de la forma

donde a 1, ... y n son números reales arbitrarios. Esta expresión se llama combinación lineal de vectores un 1, ..., un n. Los números α i, i = 1, n, representan coeficientes de combinación lineal. Un conjunto de vectores también se llama sistema de vectores.

En relación con el concepto introducido de combinación lineal de vectores, surge el problema de describir un conjunto de vectores que pueda escribirse como una combinación lineal de un sistema dado de vectores a 1, ..., a n. Además, surgen naturalmente preguntas sobre las condiciones bajo las cuales se produce la representación de un vector en forma de combinación lineal y sobre la unicidad de dicha representación.

Definición 2.1. Los vectores a 1, ... y n se denominan linealmente dependiente, si existe un conjunto de coeficientes α 1 , ... , α n tales que

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

y al menos uno de estos coeficientes es distinto de cero. Si el conjunto especificado de coeficientes no existe, entonces los vectores se llaman independiente linealmente.

Si α 1 = ... = α n = 0, entonces, obviamente, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Teniendo esto en cuenta, podemos decir esto: vectores a 1, ..., y n son linealmente independientes si de la igualdad (2.2) se deduce que todos los coeficientes α 1 , ... , α n son iguales a cero.

El siguiente teorema explica por qué el nuevo concepto se denomina término "dependencia" (o "independencia") y proporciona un criterio simple para la dependencia lineal.

Teorema 2.1. Para que los vectores a 1, ..., y n, n > 1, sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que uno de ellos sea combinación lineal de los demás.

◄ Necesidad. Supongamos que los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes. Según la Definición 2.1 de dependencia lineal, en la igualdad (2.2) a la izquierda hay al menos un coeficiente distinto de cero, por ejemplo α 1. Dejando el primer término en el lado izquierdo de la igualdad, trasladamos el resto a lado derecho, cambiando de signo, como es habitual. Dividiendo la igualdad resultante por α 1, obtenemos

un 1 =-α 2 /α 1 ⋅ un 2 - ... - α n /α 1 ⋅ un n

aquellos. representación del vector a 1 como combinación lineal de los vectores restantes a 2, ..., a n.

Adecuación. Dejemos, por ejemplo, que el primer vector a 1 se pueda representar como una combinación lineal de los vectores restantes: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Transfiriendo todos los términos del lado derecho al izquierdo, obtenemos a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, es decir una combinación lineal de vectores a 1, ..., a n con coeficientes α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, igual a vector cero. En esta combinación lineal, no todos los coeficientes son cero. Según la Definición 2.1, los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes.

La definición y el criterio de dependencia lineal se formulan para implicar la presencia de dos o más vectores. Sin embargo, también podemos hablar de una dependencia lineal de un vector. Para realizar esta posibilidad, en lugar de "los vectores son linealmente dependientes", es necesario decir "el sistema de vectores es linealmente dependiente". Es fácil ver que la expresión "un sistema de un vector es linealmente dependiente" significa que este único vector es cero (en una combinación lineal solo hay un coeficiente y no debe ser igual a cero).

El concepto de dependencia lineal tiene una simple interpretación geométrica. Las siguientes tres afirmaciones aclaran esta interpretación.

Teorema 2.2. Dos vectores son linealmente dependientes si y sólo si colineal.

◄ Si los vectores a y b son linealmente dependientes, entonces uno de ellos, por ejemplo a, se expresa a través del otro, es decir a = λb para algún número real λ. Según la definición 1.7 obras vectores por número, los vectores a y b son colineales.

Sean ahora colineales los vectores a y b. Si ambos son cero, entonces es obvio que son linealmente dependientes, ya que cualquier combinación lineal de ellos es igual al vector cero. Sea uno de estos vectores distinto de 0, por ejemplo el vector b. Denotemos por λ la relación de longitudes de vectores: λ = |a|/|b|. Los vectores colineales pueden ser unidireccional o dirigido de manera opuesta. EN el último caso cambiemos el signo de λ. Luego, comprobando la Definición 1.7, estamos convencidos de que a = λb. Según el teorema 2.1, los vectores ayb son linealmente dependientes.

Observación 2.1. En el caso de dos vectores, teniendo en cuenta el criterio de dependencia lineal, el teorema demostrado se puede reformular de la siguiente manera: dos vectores son colineales si y sólo si uno de ellos se representa como producto del otro por un número. Este es un criterio conveniente para la colinealidad de dos vectores.

Teorema 2.3. Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si coplanar.

◄ Si tres vectores a, b, c son linealmente dependientes, entonces, según el teorema 2.1, uno de ellos, por ejemplo a, es una combinación lineal de los demás: a = βb + γс. Combinemos los orígenes de los vectores byc en el punto A. Entonces los vectores βb, γс tendrán un origen común en el punto A y a lo largo según la regla del paralelogramo, su suma es aquellos. el vector a será un vector con origen A y el fin, que es el vértice de un paralelogramo construido sobre vectores componentes. Por tanto, todos los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir, coplanares.

Sean coplanares los vectores a, b, c. Si uno de estos vectores es cero, entonces es obvio que será una combinación lineal de los demás. Basta tomar todos los coeficientes de la combinación lineal. igual a cero. Por tanto, podemos suponer que los tres vectores no son cero. Compatible comenzó estos vectores en punto común O. Sean sus extremos los puntos A, B, C, respectivamente (figura 2.1). Por el punto C trazamos rectas paralelas a rectas que pasan por pares de puntos O, A y O, B. Designando los puntos de intersección como A" y B", obtenemos un paralelogramo OA"CB", por tanto, OC" = OA" + OB". Vector OA" y el vector distinto de cero a = OA son colineales, por lo que el primero de ellos se puede obtener multiplicando el segundo por Número Realα:OA" = αOA. De manera similar, OB" = βOB, β ∈ R. Como resultado, obtenemos que OC" = α OA + βOB, es decir, el vector c es una combinación lineal de los vectores a y b. Según el teorema 2.1 , los vectores a , b, c son linealmente dependientes.

Teorema 2.4. Cualesquiera cuatro vectores son linealmente dependientes.

◄ Realizamos la demostración según el mismo esquema que en el Teorema 2.3. Considere cuatro vectores arbitrarios a, b, cy d. Si uno de los cuatro vectores es cero, o entre ellos hay dos vectores colineales, o tres de los cuatro vectores son coplanares, entonces estos cuatro vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si los vectores a y b son colineales, entonces podemos hacer su combinación lineal αa + βb = 0 con coeficientes distintos de cero, y luego agregar los dos vectores restantes a esta combinación, tomando ceros como coeficientes. Obtenemos una combinación lineal de cuatro vectores igual a 0, en la que hay coeficientes distintos de cero.

Por lo tanto, podemos suponer que entre los cuatro vectores seleccionados, ningún vector es cero, ningún dos es colineal y ningún tres es coplanar. Escojamoslos como comienzo común punto O. Entonces los extremos de los vectores a, b, c, d serán algunos puntos A, B, C, D (figura 2.2). Por el punto D dibujamos tres planos, paralelo a los planos OBC, OCA, OAB, y sean A", B", C" los puntos de intersección de estos planos con las rectas OA, OB, OS, respectivamente. Obtenemos el paralelepípedo OA"C"B"C"B"DA ", y los vectores a, b, c se encuentran en sus aristas que emergen del vértice O. Dado que el cuadrilátero OC"DC" es un paralelogramo, entonces OD = OC" + OC" . A su vez, el segmento OC" es una diagonal de el paralelogramo OA"C"B", de modo que OC" = OA" + OB" y OD = OA" + OB" + OC" .

Queda por señalar que los pares de vectores OA ≠ 0 y OA" , OB ≠ 0 y OB" , OC ≠ 0 y OC" son colineales y, por tanto, es posible seleccionar los coeficientes α, β, γ de modo que OA" = αOA, OB" = βOB y OC" = γOC. Finalmente obtenemos OD = αOA + βOB + γOC. En consecuencia, el vector OD se expresa a través de los otros tres vectores y los cuatro vectores, según el teorema 2.1, son linealmente dependientes.

Tarea 1. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente. El sistema de vectores estará especificado por la matriz del sistema, cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores.

.

Solución. Sea la combinación lineal igual a cero. Escribiendo esta igualdad en coordenadas, obtenemos el siguiente sistema ecuaciones:

.

Este sistema de ecuaciones se llama triangular. Ella tiene única decisión . Por lo tanto, los vectores independiente linealmente.

Tarea 2. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente.

.

Solución. Vectores son linealmente independientes (ver problema 1). Demostremos que el vector es una combinación lineal de vectores. . Coeficientes de expansión vectorial se determinan a partir del sistema de ecuaciones

.

Este sistema, al igual que el triangular, tiene una solución única.

Por tanto, el sistema de vectores. linealmente dependiente.

Comentario. Las matrices del mismo tipo que en el problema 1 se llaman triangular , y en el problema 2 – triangular escalonado . La cuestión de la dependencia lineal de un sistema de vectores se resuelve fácilmente si la matriz compuesta por las coordenadas de estos vectores es triangular escalonada. Si la matriz no tiene tipo especial, luego usando conversiones de cadenas elementales , preservando las relaciones lineales entre las columnas, se puede reducir a una forma triangular escalonada.

Transformaciones elementales líneas matrices (EPS) las siguientes operaciones sobre una matriz se denominan:

1) reordenamiento de cuerdas;

2) multiplicar una cadena por un número distinto de cero;

3) agregar otra cadena a una cadena, multiplicada por un número arbitrario.

Tarea 3. Encuentra el máximo linealmente subsistema independiente y calcular el rango del sistema vectorial

.

Solución. Reduzcamos la matriz del sistema usando EPS a una forma triangular escalonada. Para explicar el procedimiento, denotamos la línea con el número de la matriz a transformar con el símbolo . La columna después de la flecha indica las acciones en las filas de la matriz que se está convirtiendo que se deben realizar para obtener las filas de la nueva matriz.

.

Obviamente, las dos primeras columnas de la matriz resultante son linealmente independientes, la tercera columna es su combinación lineal y la cuarta no depende de las dos primeras. Vectores se llaman básicos. Forman un subsistema linealmente independiente máximo del sistema. , y el rango del sistema es tres.

Base, coordenadas

Tarea 4. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto. vectores geométricos, cuyas coordenadas satisfacen la condición .

Solución. El conjunto es un plano que pasa por el origen. Una base arbitraria en un plano consta de dos vectores no colineales. Las coordenadas de los vectores en la base seleccionada se determinan resolviendo el correspondiente sistema de ecuaciones lineales.

Hay otra forma de resolver este problema, cuando puedes encontrar la base usando las coordenadas.

Coordenadas los espacios no son coordenadas en el plano, ya que están relacionados por la relación , es decir, no son independientes. Las variables independientes y (se llaman libres) definen de forma única un vector en el plano y, por tanto, pueden elegirse como coordenadas en . Entonces la base consta de vectores que se encuentran y corresponden a conjuntos de variables libres Y , eso es .

Tarea 5. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todos los vectores en el espacio cuyas coordenadas impares son iguales entre sí.

Solución. Elijamos como en tarea anterior, coordenadas en el espacio.

Porque , luego variables libres determinan de forma única el vector desde y, por lo tanto, son coordenadas. La base correspondiente consta de vectores.

Tarea 6. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todas las matrices de la forma , Dónde – números arbitrarios.

Solución. Cada matriz de es representable de forma única en la forma:

Esta relación es la expansión del vector con respecto a la base.
con coordenadas .

Tarea 7. Encuentra dimensión y base. cáscara lineal sistemas vectoriales

.

Solución. Usando el EPS, transformamos la matriz de las coordenadas de los vectores del sistema a una forma triangular escalonada.

.

columnas las últimas matrices son linealmente independientes y las columnas expresado linealmente a través de ellos. Por lo tanto, los vectores formar una base , Y .

Comentario. base en se elige de forma ambigua. Por ejemplo, vectores también forma una base .