y sobre un eje o algún otro vector están los conceptos de su proyección geométrica y proyección numérica (o algebraica). El resultado de una proyección geométrica será un vector y el resultado de una proyección algebraica será un no negativo. Número Real. Pero antes de pasar a estos conceptos, recordemos Información necesaria.
Información preliminar
El concepto principal es el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.
Definición 1
Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.
Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.
Definición 2
Un vector o segmento dirigido será un segmento del cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.
Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).
En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).
Introduzcamos algunos conceptos más relacionados con el concepto de vector.
Definición 3
Llamaremos colineales a dos vectores distintos de cero si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas entre sí (Fig. 2).
Definición 4
Llamaremos codireccionales a dos vectores distintos de cero si satisfacen dos condiciones:
- Estos vectores son colineales.
- Si están dirigidos en una dirección (Fig. 3).
Notación: $\overline(a)\overline(b)$
Definición 5
Llamaremos a dos vectores distintos de cero con direcciones opuestas si satisfacen dos condiciones:
- Estos vectores son colineales.
- Si están dirigidos a lados diferentes(Figura 4).
Notación: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definición 6
La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.
Notación: $|\overline(a)|$
Pasemos a determinar la igualdad de dos vectores.
Definición 7
Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones:
- Son codireccionales;
- Sus longitudes son iguales (Fig. 5).
Proyección geométrica
Como dijimos anteriormente, el resultado de una proyección geométrica será un vector.
Definición 8
La proyección geométrica del vector $\overline(AB)$ sobre un eje es un vector que se obtiene de la siguiente manera: El punto origen del vector $A$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $A"$ - el comienzo del vector deseado. El punto final del vector $B$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $B"$ - el final del vector deseado. El vector $\overline(A"B")$ será el vector deseado.
Consideremos el problema:
Ejemplo 1
Construya una proyección geométrica $\overline(AB)$ sobre el eje $l$ que se muestra en la Figura 6.
Trazamos una perpendicular desde el punto $A$ al eje $l$, obtenemos el punto $A"$ sobre él. A continuación, trazamos una perpendicular desde el punto $B$ al eje $l$, obtenemos el punto $B. "$ en él (Fig. 7).
Imágenes en dibujos cuerpos geométricos se construyen utilizando el método de proyección. Pero para esto no basta una imagen; se necesitan al menos dos proyecciones. Con su ayuda se determinan puntos en el espacio. Por tanto, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un punto.
Proyección de un punto
Para hacer esto necesitarás considerar el espacio. ángulo diedro, con un punto (A) situado en su interior. Aquí se utilizan los planos de proyección horizontal P1 y vertical P2. El punto (A) se proyecta ortogonalmente sobre los planos de proyección. En cuanto a los rayos proyectantes perpendiculares, se combinan en un plano proyectante, perpendicular a los planos proyecciones. Así, al combinar los planos horizontal P1 y frontal P2 girando a lo largo del eje P2 / P1, obtenemos un dibujo plano.
Luego se muestra una línea perpendicular al eje con puntos de proyección ubicados en ella. Entonces resulta dibujo complejo. Gracias a los segmentos construidos en él y linea vertical conexión, puede determinar fácilmente la posición de un punto en relación con los planos de proyección.
Para que sea más fácil entender cómo encontrar la proyección, debe considerar triángulo rectángulo. Su lado corto es el cateto y su lado largo es la hipotenusa. Si proyectas un cateto sobre la hipotenusa, se dividirá en dos segmentos. Para determinar su valor, es necesario calcular un conjunto de datos iniciales. Miremos a triángulo dado, métodos para calcular las principales proyecciones.
Como regla general, en este problema se indica la longitud del cateto N y la longitud de la hipotenusa D, cuya proyección es necesario encontrar. Para ello, descubriremos cómo encontrar la proyección de la pierna.
Consideremos un método para encontrar la longitud del cateto (A). Considerando que la media geométrica de la proyección del cateto y la longitud de la hipotenusa es igual al valor del cateto que buscamos: N = √(D*Nd).
Cómo encontrar la longitud de la proyección
La raíz del producto se puede encontrar elevando al cuadrado la longitud del cateto deseado (N), y luego dividiéndolo por la longitud de la hipotenusa: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Al especificar los valores de solo los catetos D y N en los datos de origen, las proyecciones de longitud deben encontrarse utilizando el teorema de Pitágoras.
Encontremos la longitud de la hipotenusa D. Para hacer esto, use los valores de los catetos √ (N² + T²) y luego sustituya el valor resultante en la siguiente fórmula para encontrar la proyección: Nd = N² / √ (N² + T²).
Cuando los datos de origen contienen datos sobre la longitud de la proyección del cateto RD, así como datos sobre el valor de la hipotenusa D, la longitud de la proyección del segundo cateto ND debe calcularse utilizando una fórmula de resta simple: ND = D-RD.
Proyección de velocidad
Veamos cómo encontrar la proyección de la velocidad. Con el fin de para vector dado Si se presenta una descripción del movimiento, se debe colocar en proyección sobre los ejes de coordenadas. Hay un eje de coordenadas (rayo), dos ejes de coordenadas (plano) y tres ejes de coordenadas (espacio). Al encontrar una proyección, es necesario bajar las perpendiculares desde los extremos del vector hasta el eje.
Para comprender el significado de proyección, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un vector.
Proyección vectorial
Cuando el cuerpo se mueve perpendicular al eje, la proyección se representará como un punto, y tendrá el valor igual a cero. Si el movimiento se realiza paralelo al eje de coordenadas, entonces la proyección coincidirá con el módulo vectorial. En el caso de que el cuerpo se mueva de tal manera que el vector velocidad se dirija en un ángulo φ con respecto al eje (x), la proyección sobre este eje será un segmento: V(x) = V cos(φ), donde V es el modelo del vector velocidad. Cuando las direcciones del vector velocidad y el eje de coordenadas coinciden, entonces la proyección es positiva y viceversa.
Tomemos lo siguiente ecuación de coordenadas: x = x(t), y = y(t), z = z(t). B en este caso la función de velocidad se proyectará sobre tres ejes y tendrá la siguiente forma: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). De ello se deduce que para encontrar la velocidad es necesario tomar derivadas. El vector velocidad en sí se expresa mediante una ecuación de la siguiente forma: V = V(x) i + V(y ) j + V(z) k Aquí i , j, k son vectores unitarios. ejes de coordenadas x, y, z respectivamente. Por tanto, el módulo de velocidad se calcula mediante la siguiente fórmula: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Denotemos por a el ángulo entre el vector y el eje de proyección y transfiramos el vector
de modo que su origen coincida con algún punto del eje. Si las direcciones de la componente vectorial y del eje son las mismas, entonces el ángulo a será agudo y, como puede verse en la Fig. 24, un,
donde a es el módulo del vector a. Si las direcciones del vector y el eje son opuestas, entonces, teniendo en cuenta el signo de la proyección, tendremos (ver Fig.24, b)
es decir, la expresión anterior (debes recordar que en este caso el ángulo a es obtuso y
Así, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre el vector y el eje:
Además de esto tener exclusivamente importante fórmulas para la proyección del vector sobre el eje, puedes dar una más muy fórmula sencilla. Fijemos el origen en el eje y elijamos una escala que sea común a la escala de los vectores. Como se sabe, la coordenada de un punto es un número que expresa, en una escala seleccionada, la distancia desde el origen del eje hasta la proyección de un punto dado sobre el eje, y este número se toma con un signo más si el La proyección del punto se elimina del origen en la dirección del eje y, en caso contrario, con un signo menos. Entonces, por ejemplo, la coordenada del punto A (Fig.23, b) será un número con signo que expresa la longitud del segmento, y la coordenada del punto B será un número con signo que determina la longitud del segmento (lo hacemos no insistir en esto
con más detalle, suponiendo que el lector esté familiarizado con el concepto de coordenadas de un punto de un curso de matemáticas elementales).
Denotemos por la coordenada del principio y por la coordenada del final del vector en el eje x. Entonces, como se puede observar en la Fig. 23, ah, tendremos
La proyección del vector sobre el eje x será igual a
o, teniendo en cuenta las igualdades anteriores,
Es fácil ver que esta fórmula tiene carácter general y no depende de la ubicación del vector con respecto al eje y al origen. De hecho, consideremos el caso representado en la Fig. 23, b. De la definición de las coordenadas de los puntos y la proyección del vector obtenemos sucesivamente
(el lector puede comprobar fácilmente la validez de la fórmula y en una ubicación diferente del vector con respecto al eje y al origen).
De (6.11) se deduce que la proyección del vector sobre el eje es igual a la diferencia entre las coordenadas del final y el comienzo del vector.
Calcular la proyección de un vector sobre un eje ocurre con bastante frecuencia en la mayoría de los casos. varios temas. Por tanto, es necesario desarrollar sólidas habilidades en el cálculo de proyecciones. Puede indicar algunas técnicas que faciliten el proceso de cálculo de proyecciones.
1. El signo de la proyección del vector sobre el eje, por regla general, se puede determinar directamente a partir del dibujo y el módulo de proyección se puede calcular mediante la fórmula
Dónde - esquina filosa entre el vector y el eje de las proyecciones - si y si Esta técnica, sin introducir nada fundamentalmente nuevo, es algo
Facilita el cálculo de proyección ya que no requiere transformaciones trigonométricas.
2. Si necesita determinar las proyecciones de un vector sobre dos ejes x e y mutuamente perpendiculares (se supone que el vector se encuentra en el plano de estos ejes) y es el ángulo agudo entre el vector y el eje x, entonces
(el signo de las proyecciones se determina a partir del dibujo).
Ejemplo. Encuentre las proyecciones sobre los ejes de coordenadas xey de la fuerza que se muestra en la figura. 25. Del dibujo se desprende claramente que ambas proyecciones serán negativas. Por eso,
3. En ocasiones se aplica la regla del doble diseño, que es la siguiente. Sea un vector y un eje que se encuentre en el plano. Coloquemos las perpendiculares desde el extremo del vector sobre el plano y la línea recta y luego conectemos las bases de las perpendiculares con un segmento de línea recta (Fig. 26). Denotemos el ángulo entre el vector y el plano por el ángulo entre y por y el ángulo entre el vector y el eje de proyecciones por a. Dado que el ángulo es recto (por construcción), entonces
Muchos Cantidades fisicas se determinan completamente especificando un número determinado. Estos son, por ejemplo, volumen, masa, densidad, temperatura corporal, etc. Estas cantidades se denominan escalares. Por esta razón, a los números a veces se les llama escalares. Pero también hay cantidades que se determinan especificando no sólo un número, sino también una determinada dirección. Por ejemplo, cuando un cuerpo se mueve, se debe indicar no solo la velocidad a la que se mueve el cuerpo, sino también la dirección del movimiento. De la misma forma, al estudiar la acción de cualquier fuerza, es necesario indicar no solo el valor de esta fuerza, sino también la dirección de su acción. A tales cantidades se les llama vector. Para describirlos se introdujo el concepto de vector, que resultó útil para las matemáticas.
Definición de vectores
Cualquier par ordenado de puntos A a B en el espacio define segmento dirigido, es decir. un segmento junto con la dirección especificada en él. Si el punto A es el primero, entonces se llama el comienzo del segmento dirigido y el punto B es su final. Se considera que la dirección de un segmento es la dirección de principio a fin.
Definición
Un segmento dirigido se llama vector.
Denotaremos un vector con el símbolo \(\overrightarrow(AB) \), donde la primera letra indica el comienzo del vector y la segunda, su final.
Un vector cuyo principio y final coinciden se llama cero y se denota por \(\vec(0)\) o simplemente 0.
La distancia entre el inicio y el final de un vector se llama longitud y se denota por \(|\overrightarrow(AB)| \) o \(|\vec(a)| \).
Los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) se llaman colineal, si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. Los vectores colineales pueden tener direcciones iguales o opuestas.
Ahora podemos formular concepto importante igualdad de dos vectores.
Definición
Los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) se dicen iguales (\(\vec(a) = \vec(b) \)) si son colineales, tienen la misma dirección y sus longitudes son iguales.
En la Fig. 1 representados a la izquierda son desiguales y a la derecha - vectores iguales\(\vec(a) \) y \(\vec(b) \). De la definición de igualdad de vectores se deduce que si un vector dado se mueve paralelo a sí mismo, el resultado será un vector igual al dado. En este sentido, los vectores en geometría analítica llamado gratis.
Proyección de un vector sobre un eje
Sea el eje \(u\) y algún vector \(\overrightarrow(AB)\) en el espacio. Dibujemos planos perpendiculares al eje \(u\) que pasen por los puntos A y B. Denotemos por A" y B" los puntos de intersección de estos planos con el eje (ver Figura 2).
La proyección del vector \(\overrightarrow(AB) \) sobre el eje \(u\) es el valor A"B" del segmento dirigido A"B" sobre el eje \(u\). Te recordamos que
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , si la dirección \(\overrightarrow(A"B") \) coincide con la dirección del eje \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , si la dirección \(\overrightarrow(A"B") \) es opuesta a la dirección del eje \(u\),
La proyección del vector \(\overrightarrow(AB)\) sobre el eje \(u\) se denota de la siguiente manera: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Teorema
La proyección del vector \(\overrightarrow(AB) \) sobre el eje \(u\) es igual a la longitud del vector \(\overrightarrow(AB) \) multiplicada por el coseno del ángulo entre el vector \ (\overrightarrow(AB) \) y el eje \( u\) , es decir
Comentario
Dejemos que se especifique \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) y algún eje \(u\). Aplicando la fórmula del teorema a cada uno de estos vectores, obtenemos
Proyecciones vectoriales sobre ejes de coordenadas.
Seamos dados en el espacio. sistema rectangular coordina Oxyz y un vector arbitrario \(\overrightarrow(AB)\). Sea, además, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Las proyecciones del vector X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) sobre los ejes de coordenadas se llaman coordenadas. Al mismo tiempo escriben
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Teorema
Cualesquiera que sean los dos puntos A(x 1 ; y 1 ; z 1) y B(x 2 ; y 2 ; z 2), las coordenadas del vector \(\overrightarrow(AB) \) están determinadas por las siguientes fórmulas :
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Comentario
Si el vector \(\overrightarrow(AB) \) sale del origen, es decir x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, entonces las coordenadas X, Y, Z del vector \(\overrightarrow(AB) \) son iguales a las coordenadas de su extremo:
X = x, Y = y, Z = z.
Cosenos de dirección de un vector
Sea un vector arbitrario \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); Supondremos que \(\vec(a) \) sale del origen y no se encuentra en ningún plano coordenado. Dibujemos planos perpendiculares a los ejes que pasan por el punto A. Juntos con planos coordinados Forman un paralelepípedo rectangular, cuya diagonal es el segmento OA (ver figura).
De la geometría elemental se sabe que el cuadrado de la longitud de la diagonal paralelepípedo rectangular igual a la suma cuadrados de las longitudes de sus tres dimensiones. Por eso,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Pero \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); así obtenemos
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
o
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Esta fórmula expresa la longitud de un vector arbitrario a través de sus coordenadas.
Denotemos por \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) los ángulos entre el vector \(\vec(a) \) y los ejes de coordenadas. De las fórmulas para la proyección del vector sobre el eje y la longitud del vector obtenemos
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) se llaman Cosenos directores del vector \(\vec(a) \).
Elevando al cuadrado los lados izquierdo y derecho de cada una de las igualdades anteriores y sumando los resultados obtenidos, tenemos
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
aquellos. la suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier vector es igual a uno.
Operaciones lineales sobre vectores y sus propiedades básicas.
Las operaciones lineales sobre vectores son las operaciones de sumar y restar vectores y multiplicar vectores por números.Suma de dos vectores
Sean dados dos vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \). La suma \(\vec(a) + \vec(b) \) es un vector que va desde el principio del vector \(\vec(a) \) hasta el final del vector \(\vec(b) \) siempre que el vector \(\vec(b) \) esté adjunto al final del vector \(\vec(a) \) (ver figura).Comentario
La acción de restar vectores es inversa a la acción de suma, es decir la diferencia \(\vec(b) - \vec(a) \) vectores \(\vec(b) \) y \(\vec(a) \) es un vector que, en suma con el vector \(\ vec(a ) \) da el vector \(\vec(b) \) (ver figura).
Comentario
Al determinar la suma de dos vectores, puedes encontrar la suma de cualquier número de vectores dados. Sean, por ejemplo, dados tres vectores \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Sumando \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \), obtenemos el vector \(\vec(a) + \vec(b) \). Ahora sumandole el vector \(\vec(c) \), obtenemos el vector \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Producto de un vector y un número
Sean dados el vector \(\vec(a) \neq \vec(0) \) y el número \(\lambda \neq 0 \). El producto \(\lambda \vec(a) \) es un vector que es colineal al vector \(\vec(a) \), tiene una longitud igual a \(|\lambda| |\vec(a)| \ ), y la dirección es la misma que la del vector \(\vec(a) \) si \(\lambda > 0 \), y la opuesta si \(\lambda Significado geométrico las operaciones de multiplicar el vector \(\vec(a) \neq \vec(0) \) por el número \(\lambda \neq 0 \) se pueden expresar de la siguiente manera: si \(|\lambda| >1 \ ), entonces al multiplicar el vector \(\vec(a) \) por el número \(\lambda \) el vector \(\vec(a) \) se “estira” \(\lambda \) veces, y si \ (|\lambda| 1 \ ).Si \(\lambda =0 \) o \(\vec(a) = \vec(0) \), entonces el producto \(\lambda \vec(a) \) se considera igual al vector cero.
Comentario
Usando la definición de multiplicar un vector por un número, es fácil demostrar que si los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) son colineales y \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), entonces existe (y sólo un) número \(\lambda \) tal que \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Propiedades básicas de las operaciones lineales.
1. Propiedad conmutativa de la suma
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Propiedad coincidente suma
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Propiedad combinativa de la multiplicación.
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Propiedad distributiva relativo a la suma de números
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Comentario
Estas propiedades operaciones lineales son de fundamental importancia, ya que permiten realizar operaciones algebraicas ordinarias sobre vectores. Por ejemplo, debido a las propiedades 4 y 5, puedes multiplicar un polinomio escalar por un polinomio vectorial “término por término”.
Teoremas de proyección vectorial
Teorema
La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de sus proyecciones sobre este eje, es decir
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
El teorema se puede generalizar al caso de cualquier número de términos.
Teorema
Cuando el vector \(\vec(a) \) se multiplica por el número \(\lambda \), su proyección sobre el eje también se multiplica por este número, es decir \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Consecuencia
Si \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) y \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), entonces
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Consecuencia
Si \(\vec(a) = (x;y;z) \), entonces \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) para cualquier número \(\lambda \)
De aquí es fácil deducir condición de colinealidad de dos vectores en coordenadas.
En efecto, la igualdad \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) es equivalente a las igualdades \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) o
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) es decir los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) son colineales si y sólo si sus coordenadas son proporcionales.
Descomposición de un vector en una base.
Sean los vectores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vectores de unidad ejes de coordenadas, es decir \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\), y cada uno de ellos está igualmente dirigido con el eje de coordenadas correspondiente (ver figura). Un triple de vectores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) se llama base.
Se cumple el siguiente teorema.
Teorema
Cualquier vector \(\vec(a) \) se puede expandir de forma única sobre la base \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), es decir, presentado como
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
donde \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) son algunos números. 
