Fórmula gráfica en forma de corazón. Feliz San Valentín o como regalar un corazón en LibreOffice Calc

13 de febrero de 2013 a las 11:28 Que las matemáticas sumen corazones

Matemáticas

Uno y uno son dos. Todo el mundo está solo: aquí estás tú y allí estoy yo.
La gente siempre se siente doblemente sola cuando está sola consigo misma.
Si algo pudiera unirlos, los dos inmediatamente se convertirían en uno.
Dejemos que las matemáticas unan nuestros corazones para llevarnos hasta el final.

Williams Jay, "Héroes de ninguna parte"

La publicación probablemente debería haberse titulado "Cómo dibujar un corazón animado del día de San Valentín usando las matemáticas de manera inapropiada". Rechacé este nombre en favor de uno más poético: después de todo, se acercan unas maravillosas vacaciones románticas que nosotros, los especialistas en TI y otros nerds, debemos afrontar con toda la fuerza. Inmediatamente les mostraré el resultado, y debajo del truco habrá muchas cartas sobre cómo logré este resultado. Descargo de responsabilidad Me doy cuenta de que se puede hacer un hermoso corazón parpadeante sin el más mínimo conocimiento de matemáticas. ¿Pero es esto interesante? Paso 1. Parametrizar el corazón. Primero, necesitamos un objeto matemático que se parezca al menos vagamente a un corazón. Afortunadamente, este paso fue trivial para mí: hace un par de años descubrí maravillosa fórmula solo para tal caso (por razones estéticas, el gráfico de la figura está estirado horizontalmente; de hecho, debería caber entre -1 y 1).

La fórmula se descubrió a partir de las siguientes consideraciones: tome un círculo ordinario (x = cos(t); y = sin(t)) e imagine que está hecho de gelatina y que está rígidamente unido al eje de ordenadas. Ahora “soplémoslo” desde abajo: agreguemos una determinada función w(x) = w(x(t)) a la coordenada Y, igual a cero en x=0, aumentando monótonamente en x>0 e incluso en x. Después de tal "golpe", las mitades del círculo se moverán hacia arriba, formando "protuberancias" del corazón, y gracias a la unión rígida al eje Y, se forma una "cola" inferior y una "abolladura" superior. EN en este caso w(x(t)) = |x| 1/2 = |cos(t)| 1/2. Puede probar usted mismo otra “función de soplado” y ver qué sucede.

Paso 2. Desde configuración paramétrica A función implícita. Para nuestro plan insidioso ecuación paramétrica(x(t); y(t)) inconveniente; Sería preferible especificar implícitamente la forma f(x, y) = 0. Bueno, todo está en nuestras manos. Entonces, los pantalones se convierten en:
x = porque(t)
y = pecado(t) + |cos(t)| 1/2
y - |x| 1/2 = pecado(t)
(y - |x| 1/2) 2 + x 2 = 1
f(x,y) = (y - |x| 1/2) 2 + x 2 - 1 = 0 Paso 3. De una función implícita a una función de dos variables. Función del color. Con f(x,y) en la mano, finalmente podemos hacer realidad nuestro sueño: hacer un hermoso dibujo en color. Para hacer esto, necesitamos una función más: la función de color. Debería tomar un argumento real r y devolver un valor entero entre 0 y 255. También es deseable que sea monótono en cada semieje y tenga un máximo en cero. Como función se puede tomar, por ejemplo, esta: c(r) = max(, 0)
Aquí 100 es el "número mágico", luego lo usamos en total conformidad con " buen estilo programación" será reemplazado por un parámetro.
Ahora, para cada punto (x,y) podemos establecer el color como rgb(c(f(x,y)), 0, 0). Aquellos puntos que anteriormente pertenecían directamente al gráfico del "corazón" se han vuelto de color rojo brillante (observe el contorno de luz estacionario en el GIF). A medida que se aleja del gráfico, el color se desvanecerá hasta que a cierta distancia se vuelva negro. Paso 4. Agregue un parámetro, cree una animación. Ahora reemplacemos el número mágico 100 con el parámetro k. Nueva caracteristica Los colores se ven así: c(r, k) = max(, 0)
Sea k alguna función del tiempo. Luego, para cada punto de la imagen en cada momento podemos calcular su color (que es, de hecho, definición matemática animación). Al principio quería tomar algo como k(t) = 80(sin(t)+1). Luego, sin embargo, me di cuenta de que cuando grandes cantidades fotogramas el gif pesará más de 640 kilobytes. Por otro lado, con un número reducido de fotogramas no tiene sentido preocuparse por tarea analítica k(t). Al final, para que el corazón latiera, asigné secuencialmente valores k de 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90 y luego combiné las imágenes generadas para estos valores en un GIF en bucle. En general, eso es todo. Conclusión Desafortunadamente no pude sorprender a mi novia: ella se acercó sigilosamente detrás de mí justo cuando estaba generando fotogramas para la animación. Sin embargo, a ella le gustó.
Artistas, diseñadores y otros camaradas con sentidos intensificados hermoso, probablemente dirán que el corazón podría ser más hermoso. Estoy parcialmente de acuerdo con ellos: la imagen no está exenta de defectos. Sin embargo, ella Belleza verdadera- en rigor matemático. Mi novia lo agradeció. ¿Y tú?

como insertar fórmulas matemáticas al sitio web?

Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio web los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.

Si utiliza constantemente fórmulas matemáticas en su sitio, le recomiendo que utilice MathJax, una biblioteca especial de JavaScript que muestra notación matemática en navegadores web que utilizan el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.

Hay dos formas de empezar a utilizar MathJax: (1) utilizando un código simple, puede conectar rápidamente un script de MathJax a su sitio, lo que le permitirá momento justo cargar automáticamente desde un servidor remoto (lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.

Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:

Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Cualquier fractal se construye según una cierta regla, que se aplica secuencialmente un número ilimitado de veces. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.

El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.

Este artículo surgió del interés de mi hija por la posibilidad de describir la imagen de un corazón mediante fórmulas. No es nuevo tema, ya está bastante “ampliamente cubierto” en Internet. Pero, lamentablemente, no encontré manuales sencillos y competentes sobre cómo hacer una imagen sencilla de un corazón. O usado en ellos forma algebraica con ecuaciones de sexto orden, o sistema polar coordenadas, y ni lo uno ni lo otro son muy convenientes para una rápida imagen grafica funciones en programas como Calc o Excel. Dado que creo que esto puede ser interesante no solo para ella, publico aquí pequeños pensamientos sobre esta parte, tratando de no profundizar demasiado en las matemáticas, aunque, como comprenderás, es absolutamente imposible prescindir de ellas. Sin embargo, básico curso escolar debería ser suficiente para entender lo que está sucediendo.

Cardioide y poco tedio

La palabra cardioide se puede traducir del griego como “que tiene la apariencia de un corazón” (καρδία - corazón, εἶδος - apariencia). La primera mención de esta línea apareció en principios del XVIII siglo. El nombre mismo de esta línea lo puso en 1741 Jean-François Salvemini de Castillon en una de sus obras dedicadas a ella.
EN coordenadas polares Ah, su ecuación se ve así: r = 2a(1 + cos(φ)). Constrúyelo en LibreOfficeCalc se puede hacer usando un diagrama de líneas de cuadrícula. Por ejemplo, podemos hacer una columna con ángulos de 0,017 a 6,283 radianes y sustituir este valor por referencia en lugar de φ en la fórmula. Si tienes problemas para entender los radianes, puedes usar los grados familiares del 1 al 360, pero luego tendrás que preocuparte por convertirlos a radianes cuando escribas la fórmula. La constante a en la ecuación es el radio del círculo, por lo que podemos igualarlo a la unidad, o en otras palabras, en en este ejemplo más bajo. Las fórmulas de la tabla se verán así: =2*(1+COS(A1)) - para ángulos entrantes en radianes =2*(1+COS(RADIANOS(A1))) - para ángulos entrantes en grados. Luego debemos seleccionar la columna resultante (no es necesario especificar los ángulos en el gráfico, se configurarán automáticamente) y crear un gráfico de cuadrícula de "solo líneas". El eje de los gráficos de cuadrícula en LibreOffice gira verticalmente, por lo que debemos girar el gráfico 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Salga del editor de diagramas, haga clic derecho sobre él y seleccione "Posición y tamaño" en el menú contextual. En la pestaña "Rotación", en el campo "Ángulo de rotación", establezca el valor en 270 (360-90 = 270). Ahora tenemos un cardioide clásico:

Como puedes ver, en hojas de cálculo Al igual que Calc y Excel, construir líneas en coordenadas polares no parece muy agradable desde el punto de vista estético para nuestros propósitos y hacerlo es bastante tedioso, aunque este método también es aceptable. Además, si hacemos líneas más complejas (como espirales), entonces tendremos que esforzarnos mucho para conseguir el resultado deseado. Por lo tanto, describiré más adelante solo el sistema de coordenadas rectangular (cartesiano).
Forma algebraica de escribir un cardioide en coordenadas rectangulares:

Esto tampoco es muy bonito, además, el elenco. expresiones algebraicas a raíces por encima del segundo grado (en este ejemplo, el cuarto) no siempre nos da una forma simple y conveniente para escribir. Por eso se suele utilizar la forma paramétrica de la ecuación. Para cardioide forma paramétrica en coordenadas rectangulares se verá así:

donde a es una constante (radio del círculo) y t es el parámetro que estableceremos.
Para llevar nuestro corazón a su posición normal, simplemente podemos intercambiar xey. Para nuestro propósito, esta solución es bastante aceptable. Por lo tanto la tabla quedará así: en la primera columna tendremos números del 0 al 6.28 (=2*3.14), yo lo hice en incrementos de 0.1, en la segunda columna ponemos la fórmula =2*SIN(A1 )- SIN(2*A1) , y en el tercero =2*COS(A1)-COS(2*A1) y estirarlos hasta el final de la columna. Construiremos el diagrama en las dos últimas columnas. Selecciónelos y, llamando al asistente de gráficos, seleccione el gráfico XY (dispersión) "Solo líneas". No necesitamos una leyenda aquí, por lo que en el cuarto paso puedes desmarcar la casilla de verificación "Mostrar leyenda". Después de hacer clic en "Finalizar" en el asistente, haga clic derecho en la línea y seleccione "Formatear serie de datos...". En la pestaña “Líneas”, en la sección “Color”, seleccione el color deseado, yo elegí “Rojo 3”. Luego puede salir del Asistente para gráficos. Para darle al diagrama el contorno correcto, es necesario reducirlo ligeramente horizontalmente. Esto es con lo que terminé.

La forma cardioide no es infrecuente, la más cosas famosas Probablemente sean micrófonos y antenas con patrones polares cardioides. Esta forma le permite aumentar la inmunidad al ruido y mantener un ángulo de operación suficientemente grande. En la naturaleza, la forma cardioide se puede ver en la luz reflejada de objetos que se parecen espejos cóncavos(por ejemplo, un anillo).

Espiral de Arquímedes

Otra curva clásica y conocida que se puede utilizar para representar un corazón es la espiral de Arquímedes. La espiral de Arquímedes fue descrita, como comprenderá, por Arquímedes en el siglo III a. C., aunque se reprodujo con bastante precisión antes. Fórmula espiral en coordenadas rectangulares en forma paramétrica como sigue:

Naturalmente, una espiral tiene sólo una vuelta, por lo que para nuestros propósitos necesitaremos tomar dos espirales: una girada en el sentido de las agujas del reloj y la segunda, su gemela, girada en el sentido contrario a las agujas del reloj. Por tanto, el conjunto sobre el que necesitaremos construir una espiral es -3,5π ≤ t ≤ 3,5π.
Llenemos la columna A con números del -11 al 11 (≈3,5*3,14) en incrementos de 0,1. En la primera celda de la segunda columna ingresamos la fórmula para x: =A1*COS(A1), en la primera celda de la tercera columna ingresamos la fórmula para y: =A1*SIN(A1) y las extendemos a la final del conjunto. Ahora todo lo que tenemos que hacer es hacer una gráfica de nuestra curva. Seleccione la segunda y tercera columnas e inicie el asistente de gráficos, seleccione el gráfico XY (dispersión), elimine la leyenda y cambie el color de la línea, es decir, los pasos son los mismos que para el gráfico anterior. En el centro recibimos un pequeño y bonito corazón con un colgante:

Además de los corazones, la espiral de Arquímedes se utiliza para dibujar resortes en espiral, carcasas en forma de caracol de bombas centrífugas y perfiles de levas en mecanismos de levas.

Involuta de un círculo

Ya que prometí al principio del artículo no ser demasiado aburrido. términos matemáticos y conclusiones, entonces digamos simplemente: Evoluta de un círculo, en en este contexto, representa la forma generalizada de la espiral de Arquímedes :). Si está interesado en las curvas trascendentales y sus propiedades, le recomiendo consultar el libro de A. A. Sovelov "Curvas planas, propiedades, aplicaciones", y aquí intentaré continuar la historia de manera discreta y sin profundidades innecesarias en matemáticas.
La forma paramétrica en coordenadas rectangulares para la evoluta de un círculo es la siguiente:

En esta fórmula tenemos 2 nuevos parámetros: R y h. No es difícil adivinar que con h < 0 y h = -R (por ejemplo, R=1, h=-1) obtenemos la ecuación de la espiral de Arquímedes con x en orden inverso para el caso presentado anteriormente. “Jugando” con estos dos parámetros, podemos cambiar el aspecto de la línea, desde un círculo absoluto hasta varias espirales. Para nosotros, el caso probablemente será interesante cuando R = 1 y h = 0. Es decir, la ecuación tomará la forma

Si lee el artículo desde el principio, no le resultará difícil crear un diagrama. El conjunto sobre el que propongo construirlo parámetros dados: -10,9 a 10,9. Su aspecto final será el siguiente:

Si cambia los parámetros R y h, las "colas" inferiores de las espirales cambiarán su posición desde la intersección hasta la formación de un espacio entre ellas, por lo que, una vez encontrada la forma que desee, tendrá que ajustar ligeramente el rango de la conjunto sobre el que se construye. Esta tarea te la dejo a ti.
La involuta de un círculo se utiliza a menudo en el diseño de engranajes, y también se puede obtener enrollando un hilo desde una superficie cilíndrica.
En general, las espirales son muy tema interesante, y no sólo en términos de geometría, sino también porque se encuentran constantemente en la naturaleza, por ejemplo, la flor del girasol, la piña y muchos más.

corazón de copa

Esta imagen de un corazón fue propuesta por H. Dascanio en 2003. Desafortunadamente, las fuentes más antiguas indican que se trataba de correspondencia personal, y más información detallada La apariencia de este corazón probablemente seguirá siendo un misterio. La fórmula propuesta por Dascanio queda así:

Esta fórmula contiene logaritmo natural y el módulo del número. En LibreOffice Calc, estas fórmulas se verán así para x =SIN(A2)*COS(A2)*LN(ABS(A2)) y para y =(ABS(A2)^(1/3))*(COS(A2 ) ^0,5). El rango de valores del parámetro t debe ser de -1 a 1. Al construir este corazón, hay una advertencia, aunque en general un paso suficiente será 0,05, de aproximadamente -0,2 a 0,2 acercándose a cero, es necesario para reducir el paso, creando así mejor resolución gráficos en este intervalo (hay un ejemplo en el archivo adjunto). Por lo demás, este corazón está construido como los anteriores. La imagen que deberíamos obtener se ve así:

corazón alargado

Otro ejemplo de una imagen aproximada de un corazón puede ser una forma que encontré en Internet (desafortunadamente, no recuerdo la fuente, si lo sabes, por favor házmelo saber) una forma que está bastante cerca del corazón, pero un poco alargada verticalmente. Su fórmula es la siguiente

Debe basarse en el rango de -π a π en incrementos de 0,01. El corazón resulta un poco alargado, pero de forma bastante aceptable en comparación con la versión anterior:

Una pequeña nota, dado que en este diagrama los puntos en x aparecen con bastante frecuencia, podemos ordenarlos por x. En este caso obtendremos un corazón lleno:

Elegir un conjunto para construir una línea también puede aportar bastante descubrimientos interesantes V figuras simples, pero me temo que esta historia está fuera del alcance de este artículo, así que dejaré de darte mis ideas por ahora.
Por supuesto, esto no es lo más la mejor opción fórmulas del corazón, así que considere lo siguiente.

Aspecto clásico del corazón

Esta fórmula cardíaca fue propuesta por Georg-Johann, uno de los editores de Wikipedia, en julio de 2009. Según tengo entendido, fue creado por interpolación.
En mi opinión, de todo lo que vi mientras preparaba este artículo, esta opción es la más correcta y familiar. Aunque, como dice el refrán: “todos los rotuladores tienen gustos y colores diferentes”. La fórmula en forma paramétrica para las coordenadas polares de este corazón es la siguiente:

En LibreOffice Calc lo construimos de la misma forma que los anteriores, solo que el rango será de 0 a π, sugiero hacer el paso 0.1. En la segunda columna para la coordenada x ingresamos la fórmula =16*SIN(A1)^3, y en la tercera columna para y =13*COS(A1)-5*COS(2*A1)-2*COS( 3*A1)-COS(4*A1) . Luego seleccionamos la segunda y tercera columnas y, como en casos anteriores, construimos un diagrama.

archivo adjunto Fórmula de amor o en lugar de conclusión

Parece que logré cumplir mi promesa: no ser aburrido. Escribo este artículo en vísperas del 14 de febrero, día que muchos llaman San Valentín, y me gustaría añadir unas palabras. Tanto una simple imagen de un corazón como una fórmula que lo dibuja en un gráfico nunca reemplazarán el amor por la persona amada, al igual que fórmula química nunca reemplazará nuestra agua. Úsalos para complacer y sorprender a tu ser querido. Pero en esta fórmula En el amor, debe haber respeto y comprensión, por ambas partes y, probablemente, en primer lugar, por la tuya. Pero estos dos parámetros ya se relacionan con el álgebra de números difusos y, por lo tanto, van mucho más allá del alcance de este artículo. Que tengan unas buenas vacaciones y un amor inquemado en sus corazones.

Este artículo surgió del interés de mi hija por la posibilidad de describir la imagen de un corazón mediante fórmulas. Este no es un tema nuevo; ya está bastante “ampliamente tratado” en Internet. Pero, lamentablemente, no encontré manuales sencillos y competentes sobre cómo hacer una imagen sencilla de un corazón. O usan una forma algebraica con ecuaciones de sexto orden o un sistema de coordenadas polares, y ninguno de los dos es muy conveniente para representar gráficamente rápidamente una función en programas como Calc o Excel. Dado que creo que esto puede ser interesante no solo para ella, publico aquí pequeños pensamientos sobre esta parte, tratando de no profundizar demasiado en las matemáticas, aunque, como comprenderán, es absolutamente imposible prescindir de ellas. Sin embargo, un curso escolar básico debería ser suficiente para entender lo que está sucediendo.

Cardioide y poco tedio

La palabra cardioide se puede traducir del griego como “que tiene la apariencia de un corazón” (καρδία - corazón, εἶδος - apariencia). Las primeras menciones de esta línea aparecieron a principios del siglo XVIII. El propio nombre de esta línea lo puso en 1741 Jean-François Salvemini de Castillon en una de sus obras dedicadas a ella.
En coordenadas polares, su ecuación se ve así: r = 2a(1 + cos(φ)). Puede crearlo en LibreOffice Calc utilizando un diagrama de líneas de cuadrícula. Por ejemplo, podemos hacer una columna con ángulos de 0,017 a 6,283 radianes y sustituir este valor por referencia en lugar de φ en la fórmula. Si tienes problemas para entender los radianes, puedes usar los grados familiares del 1 al 360, pero luego tendrás que preocuparte por convertirlos a radianes cuando escribas la fórmula. La constante a en la ecuación es el radio del círculo, por lo que podemos igualarlo a la unidad o, en otras palabras, omitirlo en este ejemplo. Las fórmulas de la tabla se verán así: =2*(1+COS(A1)) - para ángulos entrantes en radianes =2*(1+COS(RADIANOS(A1))) - para ángulos entrantes en grados. Luego debemos seleccionar la columna resultante (no es necesario especificar los ángulos en el gráfico, se configurarán automáticamente) y crear un gráfico de cuadrícula de "solo líneas". El eje de los gráficos de cuadrícula en LibreOffice gira verticalmente, por lo que debemos girar el gráfico 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Salga del editor de diagramas, haga clic derecho sobre él y seleccione "Posición y tamaño" en el menú contextual. En la pestaña "Rotación", en el campo "Ángulo de rotación", establezca el valor en 270 (360-90 = 270). Ahora tenemos un cardioide clásico:

Como puede ver, en hojas de cálculo como Calc y Excel, construir líneas en coordenadas polares no parece muy agradable desde el punto de vista estético para nuestros propósitos, y hacerlo es bastante tedioso, aunque este método también es aceptable. Además, si hacemos líneas más complejas (como espirales), entonces tendremos que esforzarnos mucho para conseguir el resultado deseado. Por lo tanto, describiré más adelante solo el sistema de coordenadas rectangular (cartesiano).
Forma algebraica de escribir un cardioide en coordenadas rectangulares:

Esto tampoco es muy bonito, además, reducir expresiones algebraicas a raíces por encima del segundo grado (en este ejemplo, el cuarto) no siempre nos da una forma de escritura sencilla y cómoda. Por eso se suele utilizar la forma paramétrica de la ecuación. Para un cardioide, la forma paramétrica en coordenadas rectangulares se vería así:

La forma cardioide no es infrecuente; los más famosos son probablemente los micrófonos y las antenas con patrón cardioide. Esta forma le permite aumentar la inmunidad al ruido y mantener un ángulo de operación suficientemente grande. En la naturaleza, la forma cardioide se puede ver en la luz reflejada de objetos que se asemejan a espejos cóncavos (por ejemplo, un anillo).

Espiral de Arquímedes

Otra curva clásica y conocida que se puede utilizar para representar un corazón es la espiral de Arquímedes. La espiral de Arquímedes fue descrita, como comprenderá, por Arquímedes en el siglo III a. C., aunque se reprodujo con bastante precisión antes. La fórmula para una espiral en coordenadas rectangulares en forma paramétrica es la siguiente:

Además de los corazones, la espiral de Arquímedes se utiliza para dibujar resortes en espiral, carcasas en forma de caracol de bombas centrífugas y perfiles de levas en mecanismos de levas.

Involuta de un círculo

Como prometí al principio del artículo no aburrirme demasiado con términos y conclusiones matemáticas, digamos simplemente: La involuta de un círculo, en este contexto, representa la forma generalizada de la espiral de Arquímedes :). Si está interesado en las curvas trascendentales y sus propiedades, le recomiendo consultar el libro de A. A. Sovelov "Curvas planas, propiedades, aplicaciones", y aquí intentaré continuar la historia de manera discreta y sin profundidades innecesarias en matemáticas.
La forma paramétrica en coordenadas rectangulares para la evoluta de un círculo es la siguiente:

En esta fórmula tenemos 2 nuevos parámetros: R y h. No es difícil adivinar que con h < 0 y h = -R (por ejemplo, R=1, h=-1) obtenemos la ecuación de la espiral de Arquímedes con x en orden inverso al caso presentado anteriormente. “Jugando” con estos dos parámetros, podemos cambiar el aspecto de la línea, desde un círculo absoluto hasta varias espirales. Para nosotros, el caso probablemente será interesante cuando R = 1 y h = 0. Es decir, la ecuación tomará la forma

Si lee el artículo desde el principio, no le resultará difícil crear un diagrama. El conjunto sobre el que propongo construirlo con los parámetros dados: de -10,9 a 10,9. Su aspecto final será el siguiente:

Si cambia los parámetros R y h, las "colas" inferiores de las espirales cambiarán su posición desde la intersección hasta la formación de un espacio entre ellas, por lo que, una vez encontrada la forma que desee, tendrá que ajustar ligeramente el rango de la conjunto sobre el que se construye. Esta tarea te la dejo a ti.
La involuta de un círculo se utiliza a menudo en el diseño de engranajes, y también se puede obtener enrollando un hilo desde una superficie cilíndrica.
En general, las espirales son un tema muy interesante, y no solo desde el punto de vista de la geometría, sino también porque se encuentran constantemente en la naturaleza, ejemplos pueden ser una flor de girasol, una piña y mucho más.

corazón de copa

Esta imagen de un corazón fue propuesta por H. Dascanio en 2003. Desafortunadamente, las fuentes más antiguas indican que se trataba de una correspondencia personal, y la información más detallada sobre la apariencia de este corazón probablemente seguirá siendo un misterio. La fórmula propuesta por Dascanio queda así:

Esta fórmula contiene el logaritmo natural y el módulo del número. En LibreOffice Calc, estas fórmulas se verán así para x =SIN(A2)*COS(A2)*LN(ABS(A2)) y para y =(ABS(A2)^(1/3))*(COS(A2 ) ^0,5). El rango de valores del parámetro t debe ser de -1 a 1. Al construir este corazón, hay una advertencia, aunque en general un paso suficiente será 0,05, de aproximadamente -0,2 a 0,2 acercándose a cero, es necesario para reducir el paso, creando así la mejor resolución del gráfico en este intervalo (hay un ejemplo en el archivo adjunto). Por lo demás, este corazón está construido como los anteriores. La imagen que deberíamos obtener se ve así:

corazón alargado

Debe basarse en el rango de -π a π en incrementos de 0,01. El corazón resulta un poco alargado, pero de forma bastante aceptable en comparación con la versión anterior:

Una pequeña nota, dado que en este diagrama los puntos en x aparecen con bastante frecuencia, podemos ordenarlos por x. En este caso obtendremos un corazón lleno:

Elegir un set para construir una línea también puede traer bastantes descubrimientos interesantes en figuras simples, pero me temo que esta historia está más allá del alcance de este artículo, así que dejaré de darte mis ideas por ahora.
Por supuesto, esta no es la mejor opción para la fórmula cardíaca, así que considere lo siguiente.

Aspecto clásico del corazón

archivo adjunto Fórmula de amor o en lugar de conclusión

Parece que logré cumplir mi promesa: no ser aburrido. Escribo este artículo en vísperas del 14 de febrero, día que muchos llaman San Valentín, y me gustaría añadir unas palabras. Tanto una simple imagen de un corazón como una fórmula que lo dibuja en un gráfico nunca reemplazarán el amor por la persona amada, así como una fórmula química nunca reemplazará el agua para nosotros. Úsalos para complacer y sorprender a tu ser querido. Pero en la verdadera fórmula del amor, el respeto y la comprensión deben estar necesariamente presentes, por ambas partes y, probablemente, en primer lugar, por la tuya. Pero estos dos parámetros ya se relacionan con el álgebra de números difusos y, por lo tanto, van mucho más allá del alcance de este artículo. Que tengan unas buenas vacaciones y un amor inquemado en sus corazones.