¿Es impar la función f? ¿Se puede mantener la igualdad? Funciones pares e impares

Función uniforme.

Incluso es una función cuyo signo no cambia cuando cambia el signo incógnita.

incógnita la igualdad se mantiene F(–incógnita) = F(incógnita). Firmar incógnita no afecta el signo y.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de coordenadas (Fig. 1).

Ejemplos de una función par:

y= porque incógnita

y = incógnita 2

y = –incógnita 2

y = incógnita 4

y = incógnita 6

y = incógnita 2 + incógnita

Explicación:
Tomemos la función y = incógnita 2 o y = –incógnita 2 .
Por cualquier valor incógnita la función es positiva. Firmar incógnita no afecta el signo y. La gráfica es simétrica con respecto al eje de coordenadas. Esta es una función par.

Función extraña.

Extraño es una función cuyo signo cambia cuando cambia el signo incógnita.

En otras palabras, por cualquier valor. incógnita la igualdad se mantiene F(–incógnita) = –F(incógnita).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (Fig. 2).

Ejemplos de función impar:

y= pecado incógnita

y = incógnita 3

y = –incógnita 3

Explicación:

Tomemos la función y = – incógnita 3 .
Todos los significados en tendrá un signo menos. eso es una señal incógnita influye en el signo y. Si la variable independiente es un número positivo, entonces la función es positiva, si la variable independiente es número negativo, entonces la función es negativa: F(–incógnita) = –F(incógnita).
La gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. Esta es una función extraña.

Propiedades de funciones pares e impares:

NOTA:

No todas las funciones son pares o impares. Hay funciones que no obedecen a tal gradación. Por ejemplo, la función raíz en = √incógnita no se aplica ni a funciones pares ni impares (Fig. 3). Al enumerar las propiedades de dichas funciones, se debe dar una descripción adecuada: ni par ni impar.

Funciones periódicas.

Como sabes, la periodicidad es la repetición de determinados procesos en un intervalo determinado. Las funciones que describen estos procesos se llaman funciones periódicas. Es decir, se trata de funciones en cuyas gráficas hay elementos que se repiten en determinados intervalos numéricos.

La uniformidad y la imparidad de una función son una de sus principales propiedades, y la paridad ocupa una parte impresionante. curso escolar en matemáticas. Determina en gran medida el comportamiento de la función y facilita enormemente la construcción del gráfico correspondiente.

Determinemos la paridad de la función. En términos generales, la función en estudio se considera incluso si para valores opuestos de la variable independiente (x) ubicada en su dominio de definición, los valores correspondientes de y (función) resultan ser iguales.

Demos una definición más estricta. Considere alguna función f (x), que está definida en el dominio D. Será par si para cualquier punto x ubicado en el dominio de definición:

• -x (punto opuesto) también se encuentra en este ámbito,

• f(-x) = f(x).

De la definición anterior se sigue la condición necesaria para el dominio de definición de dicha función, es decir, la simetría con respecto al punto O, que es el origen de las coordenadas, ya que si algún punto b está contenido en el dominio de definición de un par función, entonces el punto correspondiente b también se encuentra en este dominio. Por lo tanto, de lo anterior se desprende la conclusión: la función par tiene una forma simétrica con respecto al eje de ordenadas (Oy).

¿Cómo determinar la paridad de una función en la práctica?

Especifiquemos usando la fórmula h(x)=11^x+11^(-x). Siguiendo el algoritmo que se deriva directamente de la definición, primero examinamos su dominio de definición. Obviamente, está definido para todos los valores del argumento, es decir, se cumple la primera condición.

El siguiente paso es sustituir el argumento (x) por él. significado opuesto(-incógnita).
Obtenemos:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dado que la suma satisface la ley conmutativa (conmutativa), es obvio que h(-x) = h(x) y la dependencia funcional dada es par.

Comprobemos la paridad de la función h(x)=11^x-11^(-x). Siguiendo el mismo algoritmo, obtenemos que h(-x) = 11^(-x) -11^x. Sacando el menos, al final tenemos
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Por tanto, h(x) es impar.

Por cierto, cabe recordar que hay funciones que no se pueden clasificar según estos criterios y se denominan ni pares ni impares;

Incluso las funciones tienen varias propiedades interesantes:

• como resultado de agregar funciones similares, obtienen una igual;
• como resultado de restar tales funciones, se obtiene una par;
• incluso, también incluso;
• como resultado de multiplicar dos de estas funciones, se obtiene una par;
• como resultado de multiplicar funciones pares e impares, se obtiene una impar;
• como resultado de dividir funciones pares e impares, se obtiene una impar;
• la derivada de tal función es impar;
• Si elevas al cuadrado una función impar, obtienes una función par.

La paridad de una función se puede utilizar para resolver ecuaciones.

Para resolver una ecuación como g(x) = 0, donde lado izquierdo La ecuación es una función par, será suficiente encontrar sus soluciones para valores no negativos de la variable. Las raíces resultantes de la ecuación deben combinarse con los números opuestos. Uno de ellos está sujeto a verificación.

Esto también se utiliza con éxito para resolver tareas no estándar con parámetro.

Por ejemplo, ¿hay algún valor del parámetro a para el cual la ecuación 2x^6-x^4-ax^2=1 tendrá tres raíces?

Si tenemos en cuenta que la variable entra en la ecuación en potencias pares, entonces está claro que reemplazar x por - x ecuación dada no cambiará. De ello se deduce que si un determinado número es su raíz, entonces también es número opuesto. La conclusión es obvia: las raíces de una ecuación distintas de cero se incluyen en el conjunto de sus soluciones “por pares”.

Está claro que el número en sí no es 0, es decir, el número de raíces de dicha ecuación solo puede ser par y, naturalmente, para cualquier valor del parámetro no puede tener tres raíces.

Pero el número de raíces de la ecuación 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 puede ser impar y para cualquier valor del parámetro. De hecho, es fácil comprobar que el conjunto de raíces ecuación dada contiene soluciones en pares. Comprobemos si 0 es una raíz. Cuando lo sustituimos en la ecuación, obtenemos 2=2. Así, además de los "pareados", 0 también es raíz, lo que demuestra su número impar.

La dependencia de una variable y de una variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y se llama función. Para la designación utilice la notación y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.

Considerar más detalles propiedad paridad.

Se llama a una función y=f(x) incluso si satisface las dos condiciones siguientes:

2. El valor de la función en el punto x, perteneciente al dominio de definición de la función, debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = f(-x).

Gráfica de una función par

Si trazas la gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje Oy.

Por ejemplo, la función y=x^2 es par. Comprobémoslo. Todo el dominio de la definición. eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Por lo tanto f(x) = f(-x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es par. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^2.

La figura muestra que la gráfica es simétrica con respecto al eje Oy.

Gráfica de una función impar

Una función y=f(x) se llama impar si satisface las dos condiciones siguientes:

1. El dominio de definición de una función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de definición de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de definición. de la función dada.

2. Para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = -f(x).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al punto O, el origen de las coordenadas. Por ejemplo, la función y=x^3 es impar. Comprobémoslo. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Por lo tanto f(x) = -f(x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es impar. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^3.

La figura muestra claramente que la función impar y=x^3 es simétrica con respecto al origen.

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivos:

• formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, tramando;
• desarrollar creativo actividad estudiantil, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
• cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.

Fuentes de información:

1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESO DE LA LECCIÓN

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos para la lección.

2. revisando la tarea

No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).

A) en = F(incógnita), F(incógnita) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(incógnita) = 0 en incógnita ~ 0,4
4. F(incógnita) >0 en incógnita > 0,4 ; F(incógnita) < 0 при – 2 < incógnita < 0,4.
5. La función aumenta con incógnita € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.

2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.

Completa la tabla
	Dominio de definición	Ceros de función	Intervalos de constancia de signos.		Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy.
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizando conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– incógnita) = F(incógnita), F(– incógnita) = – F(incógnita)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Deslizar

4. Nuevo material

– Realización este trabajo Chicos, hemos identificado otra propiedad de la función, que no les resulta familiar, pero no menos importante que las demás: la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (pág. 110) . Deslizar

Def. 1 Función en = F (incógnita), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor incógnitaЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.

Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor incógnitaЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2incógnita– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– incógnita) = – F(incógnita), F(– incógnita) = F(incógnita)

El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de una función de paridad. Deslizar

En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor incógnita, y en – incógnita.

Def 3. Si conjunto de números junto con cada uno de sus elementos x también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto incógnita llamado conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son ​​asimétricos.

– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(incógnita) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo se examina la paridad de una función? Intentemos crear un algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para estudiar una función de paridad.

1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–incógnita).

3. Comparar F(–incógnita).Y F(incógnita):

• Si F(–incógnita).= F(incógnita), entonces la función es par;
• Si F(–incógnita).= – F(incógnita), entonces la función es impar;
• Si F(–incógnita) ≠ F(incógnita) Y F(–incógnita) ≠ –F(incógnita), entonces la función no es par ni impar.

Ejemplos:

Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .

Solución.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => función h(x)= x 5 + impar.

segundo) y =,

en = F(incógnita), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.

V) F(incógnita) = , y = f (x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opción 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Control mutuo deslizar.

6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).

1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( incógnita) = incógnita(incógnita + 1)(incógnita + 3)(incógnita– 7). Encuentra el valor de la función h( incógnita) = en incógnita = 3.

7. Resumiendo