Encuentra el extremo de la función f x. Extremo de una función de dos variables.

Dejemos que la función $z=f(x,y)$ se defina en alguna vecindad del punto $(x_0,y_0)$. Dicen que $(x_0,y_0)$ es un punto máximo (local) si para todos los puntos $(x,y)$ en alguna vecindad del punto $(x_0,y_0)$ la desigualdad $f(x,y) esta satisfecho< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, entonces el punto $(x_0,y_0)$ se llama punto mínimo (local).

Los puntos máximo y mínimo a menudo se denominan término general- puntos extremos.

Si $(x_0,y_0)$ es un punto máximo, entonces el valor de la función $f(x_0,y_0)$ en este punto se llama máximo de la función $z=f(x,y)$. En consecuencia, el valor de la función en el punto mínimo se llama mínimo de la función $z=f(x,y)$. Los mínimos y máximos de una función están unidos por un término común: los extremos de una función.

Algoritmo para estudiar la función $z=f(x,y)$ para el extremo

1. Encuentra las derivadas parciales $\frac(\partial z)(\partial x)$ y $\frac(\partial z)(\partial y)$. Componer y resolver el sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$. Los puntos cuyas coordenadas satisfacen el sistema especificado se denominan estacionarios.
2. Encuentre $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ y calcula el valor de $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ en cada punto estacionario. Después de eso, use el siguiente esquema:
   1. Si $\Delta > 0$ y $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (o $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), entonces el punto en estudio es el punto mínimo.
   2. Si $\Delta > 0$ y $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Si $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Si $\Delta = 0$, entonces no se puede decir nada definitivo sobre la presencia de un extremo; requerido investigación adicional.

Nota (deseable para una comprensión más completa del texto): mostrar\ocultar

Si $\Delta > 0$, entonces $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ parcial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Y se deduce que $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Aquellos. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Si el producto de ciertas cantidades mayor que cero, entonces estas cantidades son del mismo signo. Es decir, por ejemplo, si $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, entonces $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. En resumen, si $\Delta > 0$ entonces los signos de $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ y $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ coinciden .

Ejemplo No. 1

Examina la función $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ para ver su extremo.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(alineado) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(alineado) \right. $$

Reduzcamos cada ecuación de este sistema en $2$ y muevamos los números a los lados derechos de las ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(alineado) \right. $$

Hemos obtenido un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. En esta situación, me parece más conveniente utilizar el método de Cramer para resolver el sistema resultante.

$$ \begin(alineado) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\izquierda| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\izquierda| \begin(array) (cc) 4 y 17\\ -3 y -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(alineado) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Los valores $x=2$, $y=-3$ son las coordenadas del punto estacionario $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Calculemos el valor de $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Dado que $\Delta > 0$ y $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, entonces según el punto $(2;-3)$ es el punto mínimo de la función $ z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $(2;-3)$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Respuesta: $(2;-3)$ - punto mínimo; $z_(mín)=-90$.

Ejemplo No. 2

Examina la función $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ para ver su extremo.

Seguiremos lo anterior. Primero, encontremos las derivadas parciales de primer orden:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Creemos un sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(alineado) \right.$:

$$ \left \( \begin(alineado) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(alineado) \right. $$

Reduzcamos la primera ecuación a 3 y la segunda a 6.

$$ \left \( \begin(alineado) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(alineado) \right. $$

Si $x=0$, entonces la segunda ecuación nos llevará a una contradicción: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De ahí la conclusión: $x\neq 0$. Luego, de la segunda ecuación tenemos: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Sustituyendo $y=\frac(2)(x)$ en la primera ecuación, tendremos:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Recibió ecuación bicuadrática. Hacemos el reemplazo $t=x^2$ (lo que significa que $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(alineado) $$

Si $t=1$, entonces $x^2=1$. Por lo tanto tenemos dos valores de $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Si $t=4$, entonces $x^2=4$, es decir $x_3=2$, $x_4=-2$. Recordando que $y=\frac(2)(x)$, obtenemos:

\begin(alineado) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(alineado)

Entonces tenemos cuatro puntos estacionarios: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Esto completa el primer paso del algoritmo.

Ahora comencemos con el algoritmo. Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Encontremos $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Ahora calcularemos el valor de $\Delta$ en cada uno de los puntos estacionarios encontrados anteriormente. Empecemos desde el punto $M_1(1;2)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Desde $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Examinemos el punto $M_2(-1;-2)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Desde $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Examinemos el punto $M_3(2;1)$. En este punto obtenemos:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Dado que $\Delta(M_3) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, entonces de acuerdo con $M_3(2; 1)$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_3$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Queda por explorar el punto $M_4(-2;-1)$. En este punto obtenemos:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Dado que $\Delta(M_4) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Se completa el estudio extremo. Sólo queda escribir la respuesta.

Respuesta:

• $(2;1)$ - punto mínimo, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punto máximo, $z_(max)=29$.

Nota

Calcular el valor $\Delta$ en caso general no hace falta, porque sólo nos interesa el signo, y no significado específico este parámetro. Por ejemplo, por ejemplo No. 2 considerado anteriormente, en el punto $M_3(2;1)$ tenemos $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aquí es obvio que $\Delta > 0$ (ya que ambos factores $36$ y $(2^2-1^2)$ son positivos) y es posible no encontrar un valor específico de $\Delta$. Es cierto que para los cálculos estándar esta observación es inútil: requieren que lleve los cálculos a un número :)

Ejemplo No. 3

Examina la función $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ para ver su extremo.

Lo seguiremos. Primero, encontremos las derivadas parciales de primer orden:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Creemos un sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(alineado) \right.$:

$$ \left \( \begin(alineado) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(alineado) \right. $$

Reduzcamos ambas ecuaciones en $4$:

$$ \left \( \begin(alineado) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(alineado) \right. $$

Sumemos la primera ecuación a la segunda y expresemos $y$ en términos de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Sustituyendo $y=-x$ en la primera ecuación del sistema, tendremos:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

De la ecuación resultante tenemos: $x=0$ o $x^2-2=0$. De la ecuación $x^2-2=0$ se deduce que $x=-\sqrt(2)$ o $x=\sqrt(2)$. Entonces, se encuentran tres valores de $x$, a saber: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Dado que $y=-x$, entonces $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Se completa el primer paso de la solución. Tenemos tres puntos estacionarios: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Ahora comencemos con el algoritmo. Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Encontremos $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Ahora calcularemos el valor de $\Delta$ en cada uno de los puntos estacionarios encontrados anteriormente. Empecemos desde el punto $M_1(0;0)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Dado que $\Delta(M_1) = 0$, entonces se requiere investigación adicional, ya que no se puede decir nada definitivo sobre la presencia de un extremo en el punto considerado. Dejemos este punto por ahora y pasemos a otros puntos.

Examinemos el punto $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. En este punto obtenemos:

\begin(alineado) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(alineado)

Dado que $\Delta(M_2) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, entonces de acuerdo con $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_2$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

De manera similar al punto anterior, examinamos el punto $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. En este punto obtenemos:

\begin(alineado) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(alineado)

Dado que $\Delta(M_3) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, entonces de acuerdo con $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_3$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Es hora de volver al punto $M_1(0;0)$, en el cual $\Delta(M_1) = 0$. Según esto, se requiere investigación adicional. Esta frase evasiva significa "haz lo que quieras" :). método general No existe solución para este tipo de situaciones y esto es comprensible. Si tal método existiera, hace mucho tiempo que se habría incluido en todos los libros de texto. Mientras tanto, tenemos que mirar enfoque especial a cada punto en el que $\Delta = 0$. Bueno, examinemos el comportamiento de la función en las proximidades del punto $M_1(0;0)$. Notemos inmediatamente que $z(M_1)=z(0;0)=3$. Supongamos que $M_1(0;0)$ es el punto mínimo. Luego, para cualquier punto $M$ de alguna vecindad del punto $M_1(0;0)$ obtenemos $z(M) > z(M_1)$, es decir $z(M) > 3$. ¿Qué pasa si algún vecindario contiene puntos en los cuales $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Consideremos puntos para los cuales $y=0$, es decir puntos de la forma $(x,0)$. En estos puntos la función $z$ tomará los siguientes valores:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

En todos los vecindarios suficientemente pequeños $M_1(0;0)$ tenemos $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

¿Pero tal vez el punto $M_1(0;0)$ sea el punto máximo? Si esto es así, entonces para cualquier punto $M$ de alguna vecindad del punto $M_1(0;0)$ obtenemos $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Entonces definitivamente no habrá un máximo en el punto $M_1$.

Consideremos puntos para los cuales $y=x$, es decir puntos de la forma $(x,x)$. En estos puntos la función $z$ tomará los siguientes valores:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Como en cualquier vecindad del punto $M_1(0;0)$ tenemos $2x^4 > 0$, entonces $2x^4+3 > 3$. Conclusión: cualquier vecindad del punto $M_1(0;0)$ contiene puntos en los cuales $z > 3$, por lo tanto el punto $M_1(0;0)$ no puede ser un punto máximo.

El punto $M_1(0;0)$ no es un punto máximo ni mínimo. Conclusión: $M_1$ no es un punto extremo en absoluto.

Respuesta: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ son los puntos mínimos de la función $z$. En ambos puntos $z_(min)=-5$.

El punto x 0 se llama punto máximo(mínimo) función f(x), si en alguna vecindad del punto x 0 se satisface la desigualdad f(x) ≤f(x 0) (f(x) ≥f(x 0)).

El valor de la función en este punto se llama en consecuencia máximo o mínimo funciones. Las funciones máxima y mínima están unidas por un nombre común. extremo funciones.

El extremo de una función en este sentido a menudo se llama extremo local, enfatizando el hecho de que este concepto está asociado solo con una vecindad suficientemente pequeña del punto x 0. En el mismo intervalo, una función puede tener varios máximos y mínimos locales, que no necesariamente coinciden con máximo global o mínimo(es decir, el valor mayor o menor de la función durante todo el intervalo).

Condición necesaria para el extremo.. Para que una función tenga un extremo en un punto, es necesario que su derivada en ese punto sea igual a cero o no exista.

Para funciones diferenciables, esta condición se deriva del teorema de Fermat. Además, también prevé el caso en el que una función tiene un extremo en un punto en el que no es diferenciable.

Puntos donde se hizo condición necesaria extremos se llaman crítico(o estacionario para una función diferenciable). Estos puntos deben estar dentro del dominio de la función.

Por lo tanto, si hay un extremo en algún punto, entonces este punto es crítico (condición necesaria). Tenga en cuenta que lo contrario no es cierto. El punto crítico no es necesariamente un punto extremo, es decir la condición indicada no es suficiente.

La primera condición suficiente para un extremo.. Si, al pasar por un determinado punto, la derivada de la función diferenciable cambia de signo de más a menos, entonces este es el punto máximo de la función, y si de menos a más, entonces este es el punto mínimo.

La prueba de esta condición se deriva de la condición suficiente de monotonicidad (cuando el signo de la derivada cambia, se produce una transición de un aumento en la función a una disminución, o de una disminución a un aumento).

La segunda condición suficiente para un extremo.. Si la primera derivada de una función dos veces diferenciable en algún punto es cero y la segunda derivada en ese punto es positiva, entonces este es el punto mínimo de la función; y si la segunda derivada es negativa, entonces este es el punto máximo.

La prueba de esta condición se basa también en la condición suficiente de monotonicidad. De hecho, si la segunda derivada es positiva, entonces la primera derivada es una función creciente. Dado que en el punto considerado es igual a cero, al pasar por él cambia de signo de menos a más, lo que nos devuelve a la primera condición suficiente para un mínimo local. De manera similar, si la segunda derivada es negativa, entonces la primera disminuye y cambia de signo de más a menos, lo cual es condición suficiente para un máximo local.

Estudiar una función para un extremo De acuerdo con los teoremas formulados, incluye las siguientes etapas:

1. Encuentra la primera derivada de la función f`(x).

2. Verificar el cumplimiento de la condición extrema necesaria, es decir. Encuentre los puntos críticos de la función f(x) en los cuales la derivada f`(x) = 0 o no existe.

3. Comprobar el cumplimiento de la condición suficiente para el extremo, es decir. o examine el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico, o encuentre la segunda derivada f``(x) y determine su signo en cada punto crítico. Saque una conclusión sobre la presencia de extremos de la función.

4. Encuentra los extremos (valores extremos) de la función.

Encontrar el máximo y mínimo global de una función durante un cierto intervalo también tiene una gran valor aplicado. La solución a este problema en un segmento se basa en el teorema de Weierstrass, según el cual función continua adquiere sus valores mayor y menor en el segmento. Se pueden conseguir tanto en los puntos extremos como en los extremos del segmento. Por tanto, la solución incluye los siguientes pasos:

1. Encuentra la derivada de la función f`(x).

2. Encuentre los puntos críticos de la función f(x), en los cuales la derivada f`(x) = 0 o no existe.

3. Encuentre los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento y seleccione entre ellos el mayor y el menor.

El punto extremo de una función es el punto en el dominio de definición de la función en el cual el valor de la función adquiere un mínimo o valor máximo. Los valores de la función en estos puntos se llaman extremos (mínimo y máximo) de la función..

Definición. Punto incógnita1 dominio de función F(incógnita) se llama punto máximo de la función , si el valor de la función en este punto más valores función en puntos suficientemente cercanos a él, ubicados a la derecha y a la izquierda de él (es decir, la desigualdad F(incógnita0 ) > F(incógnita 0 + Δ incógnita) incógnita1 máximo.

Definición. Punto incógnita2 dominio de función F(incógnita) se llama punto mínimo de la función, si el valor de la función en este punto es menor que los valores de la función en puntos suficientemente cercanos a él, ubicados a la derecha e izquierda del mismo (es decir, la desigualdad se cumple F(incógnita0 ) < F(incógnita 0 + Δ incógnita) ). En este caso decimos que la función tiene en el punto incógnita2 mínimo.

digamos punto incógnita1 - punto máximo de la función F(incógnita). Luego en el intervalo hasta incógnita1 la función aumenta, por lo tanto la derivada de la función es mayor que cero ( F "(incógnita) > 0 ), y en el intervalo posterior incógnita1 la función disminuye, por lo tanto, derivada de una función menos de cero (F "(incógnita) < 0 ). Тогда в точке incógnita1

Supongamos también que el punto incógnita2 - punto mínimo de la función F(incógnita). Luego en el intervalo hasta incógnita2 la función es decreciente y la derivada de la función es menor que cero ( F "(incógnita) < 0 ), а в интервале после incógnita2 la función es creciente y la derivada de la función es mayor que cero ( F "(incógnita) > 0 ). En este caso también en el punto incógnita2 la derivada de la función es cero o no existe.

Teorema de Fermat ( señal necesaria existencia de un extremo de la función). si el punto incógnita0 - punto extremo de la función F(incógnita) entonces en este punto la derivada de la función es igual a cero ( F "(incógnita) = 0 ) o no existe.

Definición. Los puntos en los que la derivada de una función es cero o no existe se llaman puntos críticos .

Ejemplo 1. Consideremos la función.

en el punto incógnita= 0 la derivada de la función es cero, por lo tanto el punto incógnita= 0 es el punto crítico. Sin embargo, como se puede observar en la gráfica de la función, ésta aumenta en todo el dominio de definición, por lo que el punto incógnita= 0 no es el punto extremo de esta función.

Así, las condiciones de que la derivada de una función en un punto sea igual a cero o no exista son condiciones necesarias para un extremo, pero no suficientes, ya que se pueden dar otros ejemplos de funciones para las que se cumplen estas condiciones, pero la función no tiene un extremo en el punto correspondiente. Es por eso debe haber pruebas suficientes, lo que permite juzgar si hay un extremo en un punto crítico particular y qué tipo de extremo es: máximo o mínimo.

Teorema (el primer signo suficiente de la existencia de un extremo de una función). Punto crítico incógnita0 F(incógnita) si al pasar por este punto la derivada de la función cambia de signo, y si el signo cambia de “más” a “menos”, entonces es un punto máximo, y si de “menos” a “más”, entonces es un punto mínimo.

Si cerca del punto incógnita0 , a la izquierda y a la derecha, la derivada conserva su signo, esto significa que la función solo disminuye o solo aumenta en una determinada vecindad del punto incógnita0 . En este caso, en el punto incógnita0 no hay ningún extremo.

Entonces, para determinar los puntos extremos de la función, debe hacer lo siguiente :

1. Encuentra la derivada de la función.
2. Iguale la derivada a cero y determine los puntos críticos.
3. Mentalmente o en papel, marque los puntos críticos en eje numérico y determinar los signos de la derivada de la función en los intervalos resultantes. Si el signo de la derivada cambia de "más" a "menos", entonces el punto crítico es el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo.
4. Calcula el valor de la función en los puntos extremos.

Ejemplo 2. Encuentra los extremos de la función. .

Solución. Encontremos la derivada de la función:

Igualemos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

.

Dado que para cualquier valor de "x" el denominador no es igual a cero, entonces igualamos el numerador a cero:

Tengo un punto crítico incógnita= 3 . Determinemos el signo de la derivada en los intervalos delimitados por este punto:

en el rango de menos infinito a 3 - un signo menos, es decir, la función disminuye,

en el intervalo de 3 a más infinito hay un signo más, es decir, la función aumenta.

Es decir, punto incógnita= 3 es el punto mínimo.

Encontremos el valor de la función en el punto mínimo:

Así, se encuentra el punto extremo de la función: (3; 0), y es el punto mínimo.

Teorema (el segundo signo suficiente de la existencia de un extremo de una función). Punto crítico incógnita0 es el punto extremo de la función F(incógnita) si la segunda derivada de la función en este punto no es igual a cero ( F ""(incógnita) ≠ 0 ), y si la segunda derivada es mayor que cero ( F ""(incógnita) > 0 ), entonces el punto máximo, y si la segunda derivada es menor que cero ( F ""(incógnita) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Si en el punto incógnita0 Si tanto la primera como la segunda derivada desaparecen, entonces en este punto es imposible juzgar la presencia de un extremo basándose en el segundo criterio suficiente. En este caso, es necesario utilizar el primer criterio suficiente para el extremo de una función.

Observación 2. El segundo criterio suficiente para el extremo de una función no es aplicable incluso cuando la primera derivada no existe en un punto estacionario (entonces la segunda derivada tampoco existe). En este caso, también es necesario utilizar el primer signo suficiente de un extremo de una función.

Naturaleza local de los extremos de la función.

De las definiciones anteriores se deduce que el extremo de la función tiene personaje local- este es el valor mayor y menor de la función en comparación con los valores más cercanos.

Supongamos que está analizando sus ganancias durante un período de un año. Si en mayo ganó 45.000 rublos, en abril 42.000 rublos y en junio 39.000 rublos, entonces los ingresos de mayo son el máximo de la función de ingresos en comparación con los valores cercanos. Pero en octubre ganó 71.000 rublos, en septiembre 75.000 rublos y en noviembre 74.000 rublos, por lo que los ingresos de octubre son el mínimo de la función de ingresos en comparación con los valores cercanos. Y se puede ver fácilmente que el máximo entre los valores de abril-mayo-junio es menor que el mínimo de septiembre-octubre-noviembre.

En términos generales, en un intervalo una función puede tener varios extremos y puede resultar que algún mínimo de la función sea mayor que cualquier máximo. Entonces, para la función que se muestra en la figura anterior, .

Es decir, no se debe pensar que el máximo y el mínimo de una función son, respectivamente, sus valores mayor y menor en todo el segmento considerado. En el punto máximo, la función tiene el valor más grande solo en comparación con aquellos valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto máximo, y en el punto mínimo tiene el valor más pequeño solo en comparación con esos valores. ​​​que tenga en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto mínimo.

Por lo tanto, podemos aclarar el concepto anterior de puntos extremos de una función y llamar puntos mínimos a los puntos. mínimo local, y los puntos máximos son los puntos máximos locales.

Buscamos juntos los extremos de la función.

Ejemplo 3.

Solución: La función está definida y es continua en toda la recta numérica. su derivado también existe en toda la recta numérica. Por lo tanto en en este caso Los puntos críticos son sólo aquellos en los que, es decir. , desde donde y . Puntos críticos y dividen todo el dominio de definición de la función en tres intervalos de monotonicidad: . Seleccionemos un punto de control en cada uno de ellos y encontremos el signo de la derivada en este punto.

Para el intervalo, el punto de control puede ser: encontrar. Tomando un punto en el intervalo, obtenemos, y tomando un punto en el intervalo, tenemos. Entonces, en los intervalos y , y en el intervalo . Según el primero señal suficiente no hay extremo, no hay extremo en el punto (ya que la derivada conserva su signo en el intervalo), y en el punto la función tiene un mínimo (ya que la derivada cambia de signo de menos a más al pasar por este punto). Encontremos los valores correspondientes de la función: , a . En el intervalo la función disminuye, ya que en este intervalo , y en el intervalo aumenta, ya que en este intervalo .

Para aclarar la construcción del gráfico, encontramos los puntos de intersección del mismo con los ejes de coordenadas. Cuando obtenemos una ecuación cuyas raíces son y , es decir, se han encontrado dos puntos (0; 0) y (4; 0) de la gráfica de la función. Utilizando toda la información recibida, construimos un gráfico (ver el comienzo del ejemplo).

Ejemplo 4. Encuentra los extremos de la función y construye su gráfica.

El dominio de definición de una función es la recta numérica completa, excepto el punto, es decir .

Para acortar el estudio, puedes utilizar el hecho de que esta función es par, ya que . Por lo tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje. Oye y el estudio sólo se puede realizar durante el intervalo.

Encontrar la derivada y puntos críticos de la función:

1) ;

2) ,

pero la función sufre una discontinuidad en este punto, por lo que no puede ser un punto extremo.

Por tanto, la función dada tiene dos puntos críticos: y . Teniendo en cuenta la paridad de la función, comprobaremos solo el punto utilizando el segundo criterio suficiente para un extremo. Para hacer esto, encontramos la segunda derivada. y determinamos su signo en: obtenemos . Dado que y , es el punto mínimo de la función, y .

Para obtener una imagen más completa de la gráfica de una función, descubramos su comportamiento en los límites del dominio de definición:

(aquí el símbolo indica el deseo incógnita a cero desde la derecha, y incógnita sigue siendo positivo; de manera similar significa aspiración incógnita a cero desde la izquierda, y incógnita sigue siendo negativo). Por lo tanto, si, entonces. A continuación, encontramos

,

aquellos. si, entonces.

La gráfica de una función no tiene puntos de intersección con los ejes. La imagen está al principio del ejemplo.

Seguimos buscando juntos los extremos de la función.

Ejemplo 8. Encuentra los extremos de la función.

Solución. Encontremos el dominio de definición de la función. Como la desigualdad debe satisfacerse, obtenemos de .

Encontremos la primera derivada de la función:

Encontremos los puntos críticos de la función.

Con este servicio podrás encontrar el valor más grande y más pequeño de una función una variable f(x) con la solución formateada en Word. Por lo tanto, si se da la función f(x,y), es necesario encontrar el extremo de la función de dos variables. También puedes encontrar los intervalos de funciones crecientes y decrecientes.

Reglas para ingresar funciones.:

Condición necesaria para el extremo de una función de una variable

Condición suficiente para el extremo de una función de una variable

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Entonces el punto x * es el punto del mínimo local (global) de la función.

Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Entonces el punto x * es un máximo local (global).

Ejemplo No. 1. Encuentra los valores mayor y menor de la función: en el segmento.
Solución.

El punto crítico es uno x 1 = 2 (f’(x)=0). Este punto pertenece al segmento. (El punto x=0 no es crítico, ya que 0∉).
Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Respuesta: f min = 5 / 2 en x=2; f máx =9 en x=1

Ejemplo No. 2. Usando derivadas de orden superior, encuentre el extremo de la función y=x-2sin(x) .
Solución.
Encuentra la derivada de la función: y’=1-2cos(x) . Encontremos los puntos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Encontramos y''=2sin(x), calculamos, lo que significa que x= π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos mínimos de la función; , lo que significa que x=- π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos máximos de la función.

Ejemplo No. 3. Investigue la función extrema en las proximidades del punto x=0.
Solución. Aquí es necesario encontrar los extremos de la función. Si el extremo x = 0, averigüe su tipo (mínimo o máximo). Si entre los puntos encontrados no hay x = 0, entonces calcule el valor de la función f(x=0).
Cabe señalar que cuando la derivada a cada lado de un punto dado no cambia de signo, la posibles situaciones incluso para funciones diferenciables: puede suceder que para una vecindad arbitrariamente pequeña a un lado del punto x 0 o a ambos lados, la derivada cambie de signo. En estos puntos es necesario utilizar otros métodos para estudiar funciones para extremos.

A partir de este artículo, el lector aprenderá qué es un extremo de un valor funcional, así como las características de su uso en actividades practicas. Aprender un concepto de este tipo es esencial para comprender los conceptos básicos. matemáticas superiores. Este tema es fundamental para un estudio más profundo del curso.

¿Qué es un extremo?

EN curso escolar Se dan muchas definiciones del concepto "extremum". Este artículo tiene como objetivo brindar la comprensión más profunda y clara del término para aquellos que ignoran el tema. Entonces, el término se entiende en qué medida el intervalo funcional adquiere un valor mínimo o máximo en un conjunto particular.

El extremo es valor mínimo funciones y máxima al mismo tiempo. Hay un punto mínimo y un punto máximo, es decir, valores extremos argumento en el gráfico. Las principales ciencias que utilizan este concepto son:

• estadística;
• control de máquinas;
• econometría.

Juego de puntos extremos papel importante en la determinación de la secuencia función dada. El sistema de coordenadas en el gráfico en en su mejor momento muestra el cambio en la posición extrema dependiendo del cambio en la funcionalidad.

Extremos de la función derivada.

También existe el fenómeno llamado "derivado". Es necesario determinar el punto extremo. Es importante no confundir los puntos mínimos o máximos con los valores más altos y más bajos. Este diferentes conceptos, aunque puedan parecer similares.

El valor de la función es el factor principal para determinar cómo encontrar el punto máximo. La derivada no se forma a partir de valores, sino exclusivamente de su posición extrema en uno u otro orden.

La derivada en sí se determina sobre la base de estos puntos extremos, y no del mayor o valor más bajo. EN escuelas rusas La línea entre estos dos conceptos no está claramente trazada, lo que afecta la comprensión de este tema en general.

Consideremos ahora un concepto como "extremo agudo". Hoy en día existe un valor mínimo agudo y un valor máximo agudo. La definición se da de acuerdo con la clasificación rusa de puntos críticos de una función. El concepto de punto extremo es la base para encontrar puntos críticos en un gráfico.

Para definir tal concepto, recurren al teorema de Fermat. Es el más importante durante el estudio. puntos extremos y da una idea clara de su existencia de una forma u otra. Para garantizar el extremo, es importante crear ciertas condiciones para una disminución o un aumento en el gráfico.

Para responder con precisión a la pregunta “cómo encontrar el punto máximo”, debes seguir estas pautas:

1. Encontrar el dominio exacto de definición en el gráfico.
2. Busca la derivada de una función y el punto extremo.
3. Resuelve desigualdades estándar para el dominio donde se encuentra el argumento.
4. Ser capaz de demostrar en qué funciones un punto de una gráfica es definido y continuo.

¡Atención! La búsqueda del punto crítico de una función sólo es posible si existe una derivada de al menos segundo orden, lo que está garantizado por una alta proporción de la presencia de un punto extremo.

Condición necesaria para el extremo de una función.

Para que exista un extremo, es importante que existan puntos mínimos y máximos. Si esta regla se observa sólo parcialmente, entonces se viola la condición para la existencia de un extremo.

Cada función en cualquier posición debe diferenciarse para identificar sus nuevos significados. Es importante comprender que el caso de un punto que va a cero no es el principio fundamental para encontrar un punto diferenciable.

El extremo agudo, así como el mínimo de la función, es un aspecto extremadamente importante de la solución. problema matemático utilizando valores extremos. Para comprender mejor este componente es importante consultar valores de la tabla según la funcionalidad.