Para cada valor del parámetro a a resuelve la desigualdad | 2 x + un | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Primero, resolvamos un problema auxiliar. consideremos esta desigualdad como una desigualdad con dos variables x x y a a y representarla en plano de coordenadas x O a xOa todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad.

Si 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (es decir, en la línea recta a = - 2 x a=-2x y superior), entonces obtenemos 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

El conjunto se muestra en la Fig. 11.

Ahora resolvamos el problema original usando este dibujo. Si arreglamos a a , obtenemos una línea horizontal a = const a = \textrm(const) . Para determinar los valores de x x, es necesario encontrar la abscisa de los puntos de intersección de esta recta con el conjunto de soluciones de la desigualdad. Por ejemplo, si a = 8 a=8, entonces la desigualdad no tiene soluciones (la recta no corta al conjunto); si a = 1 a=1 , entonces las soluciones son todas x x del segmento [ - 1 ; 1 ] [-1;1], etc. Por lo tanto, son posibles tres opciones.

1) Si $$a>4$$, entonces no hay soluciones.

2) Si a = 4 a=4, entonces x = - 2 x=-2.

RESPUESTA

en $$a

para a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

para $$a>4$$ - no hay soluciones.

Encuentre todos los valores del parámetro a a para los cuales la desigualdad $$3-|x-a| > x^2$$ a) tiene al menos una solución; b) tiene al menos una solución positiva.

Reescribamos la desigualdad en la forma $$3-x^2 > |x-a)$$. Construyamos gráficas de izquierda y partes correctas en el plano x O y xOy . La gráfica del lado izquierdo es una parábola con ramas hacia abajo con el vértice en el punto (0; 3) (0;3). La gráfica interseca el eje x en los puntos (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . La gráfica del lado derecho es un ángulo con el vértice en el eje x, cuyos lados se dirigen hacia arriba en un ángulo de 45 ° 45^(\circ) con respecto a los ejes de coordenadas. La abscisa del vértice es el punto x = a x=a .

a) Para que una desigualdad tenga al menos una solución, es necesario y suficiente que al menos en un punto la parábola esté por encima de la gráfica y = | x-a | y=|xa| . Esto se logra si el vértice del ángulo se encuentra entre los puntos A A y B B del eje de abscisas (ver Fig. 12; los puntos A A y B B no están incluidos). Por tanto, es necesario determinar en qué posición del vértice una de las ramas del ángulo toca la parábola.

Consideremos el caso en el que el vértice de la esquina está en el punto A A . Entonces la rama derecha del ángulo toca la parábola. Su pendiente igual a uno. Esto significa que la derivada de la función y = 3 - x 2 y = 3-x^2 en el punto de tangencia es igual a 1 1, es decir - 2 x = 1 -2x=1, de donde x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Entonces la ordenada del punto tangente es y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . La ecuación de una recta que tiene un coeficiente angular k = 1 k=1 y que pasa por un punto de coordenadas (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) es el siguiente * (\^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Esta es la ecuación de la rama derecha de la esquina. La abscisa del punto de intersección con el eje x es igual a - 13 4 -\frac(13)(4), es decir, el punto A A tiene coordenadas A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4 ); 0). Por razones de simetría, el punto B B tiene coordenadas: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

De aquí obtenemos que a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) La desigualdad tiene soluciones positivas si el vértice de la esquina se ubica entre los puntos F F y B B (ver Fig. 13). Encontrar la posición del punto F F no es difícil: si el vértice de la esquina está en el punto F F, entonces su rama derecha (la línea recta dada por la ecuación y = x - a y = x-a pasa por el punto (0; 3 ) (0;3) De aquí encontramos que a = - 3 a=-3 y el punto F F tiene coordenadas (- 3 ; 0) (-3;0) . \en (-3; \frac(13)(4) ).

RESPUESTA

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \en (-3; \frac(13)(4)) .

* {\!}^* Fórmulas útiles:

- \-- una línea recta que pasa por el punto (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) y que tiene un coeficiente angular k k viene dada por la ecuación y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0);

- \-- el coeficiente angular de la recta que pasa por los puntos (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) y (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), donde x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, se calcula mediante la fórmula k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Comentario. Si necesitas encontrar el valor del parámetro en el que la línea recta y = k x + l y=kx+l y la parábola y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c tocan, entonces puedes escribir el Condición de que la ecuación k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c tiene exactamente una solución. Luego otra forma de encontrar los valores del parámetro a a para el cual el vértice del ángulo. está en el punto A A es la siguiente: ecuación x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 tiene exactamente una solución ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

Tenga en cuenta que de esta manera es imposible escribir la condición para que una línea toque un gráfico arbitrario. Por ejemplo, la recta y = 3 x - 2 y = 3x - 2 toca la parábola cúbica y = x 3 y=x^3 en el punto (1 ; 1) (1;1) y la intersecta en el punto (- 2 ; - 8) (-2;-8), es decir, la ecuación x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 tiene dos soluciones.

Encuentre todos los valores del parámetro a a , para cada uno de los cuales la ecuación (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 tiene a) exactamente dos raíces distintas; b) exactamente tres raíces diferentes.

Hagamos lo mismo que en el ejemplo 25. Representemos el conjunto de soluciones de esta ecuación en el plano x O a xOa . Equivale a la combinación de dos ecuaciones:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 es un ángulo con ramas hacia arriba y el vértice en el punto (- 2 ; - 1) (-2;-1).

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - esta es una parábola con ramas hacia arriba y el vértice en el punto (- 2 ; - 3) (-2;-3). Ver figura. 14.

Encontramos los puntos de intersección de dos gráficas. La rama derecha del ángulo viene dada por la ecuación y = x + 1 y=x+1 . Resolviendo la ecuación

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

encontramos que x = 0 x=0 o x = - 3 x=-3 . Sólo el valor x = 0 x=0 es adecuado (ya que para la rama derecha x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Entonces a = 1 a=1 . De manera similar, encontramos las coordenadas del segundo punto de intersección - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Volvamos al problema original. La ecuación tiene exactamente dos soluciones para aquellos a a para los cuales la línea horizontal a = const a=\textrm(const) corta el conjunto de soluciones de la ecuación en dos puntos. En el gráfico vemos que esto es cierto para a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Habrá exactamente tres soluciones caso de tres puntos de intersección, lo cual solo es posible cuando a = - 1 a=-1 .

RESPUESTA

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(casos) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(casos) $$

tiene exactamente una solución.

La primera desigualdad se satisface con los puntos que se encuentran en la parábola a = - x 2 + x a = -x^2+x y por debajo de ella, y la segunda se satisface con los puntos que se encuentran en la parábola a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) y superiores. Encontramos las coordenadas de los vértices de las parábolas y sus puntos de intersección y luego construimos una gráfica. La parte superior de la primera parábola es (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), la parte superior de la segunda parábola es (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), los puntos de intersección son (0 ; 0) (0;0) y (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). El conjunto de puntos que satisfacen el sistema se muestra en la Fig. 15. Se puede observar que la recta horizontal a = const a=\textrm(const) tiene exactamente un punto común con este conjunto (lo que significa que el sistema tiene exactamente una solución) en los casos a = 0 a=0 y a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

RESPUESTA

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Encontrar valor más pequeño parámetro a a , para cada uno de los cuales el sistema

$$\begin(casos) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(casos) $$

tiene una solución única.

Transformemos la primera ecuación, resaltando cuadrados completos:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\izquierda(18\derecha) A diferencia de tareas anteriores aquí es mejor representar el dibujo en el plano x O y xOy (el dibujo en el plano "variable - parámetro" se usa generalmente para problemas con una variable y un parámetro; el resultado es un conjunto en el plano. En este problema estamos tratando con dos variables y un parámetro. Dibuje un conjunto de puntos (x; y; a) (x;y;a) en. espacio tridimensional - Este tarea dificil

; además, es poco probable que un dibujo así sea visual). La ecuación (18) especifica un círculo con centro (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) de radio 1. El centro de este círculo, dependiendo del valor de a a, se puede ubicar en cualquier punto de la recta y = 1 y=1.

La segunda ecuación del sistema es y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 establece el ángulo con los lados hacia arriba en un ángulo de 60 ° 60^(\circ) con respecto al eje de abscisas (el coeficiente angular de la línea recta es la tangente de la ángulo de inclinación tg 60° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), con el vértice en el punto (0; - 4) (0;-4) . este sistema las ecuaciones tienen exactamente una solución si el círculo toca una de las ramas del ángulo. Esto es posible en cuatro casos (Fig.16): el centro del círculo puede estar en uno de los puntos A A, B B, C C, D D. Como necesitamos encontrar el valor más pequeño del parámetro a a, nos interesa la abscisa del punto D D. consideremos D H M D H M . La distancia del punto D D a la recta H M HM es igual al radio del círculo, por lo tanto D H = 1 DH=1. Entonces, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Las coordenadas del punto M M se encuentran como las coordenadas del punto de intersección de dos rectas y = 1 y=1 e y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 ( lado izquierdoángulo).

Obtenemos M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Entonces la abscisa del punto D D es igual a - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\sqrt(3)) .

Dado que la abscisa del centro del círculo es igual a a 3 a\sqrt(3) , se deduce que a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

RESPUESTA

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Encuentre todos los valores del parámetro a a , para cada uno de los cuales el sistema

$$\begin(casos) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(casos) $$

$$\begin(casos) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(casos) $$

Representamos los conjuntos de soluciones de cada una de las desigualdades en el plano x O y xOy .

En la segunda desigualdad, seleccionamos cuadrados perfectos:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Cuando a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), la desigualdad (19) especifica un punto con coordenadas (7 a ; 3 a) (7a;3a), es decir (- 56 ; - 24) (-56;-24). Para todos los demás valores de a a (19) define un círculo centrado en el punto (7 a ; 3 a) (7a;3a) de radio | un+8 | |un+8| .

Consideremos la primera desigualdad.
1) Para a a negativo no tiene soluciones. Esto significa que el sistema no tiene soluciones.

2) Si a = 0 a=0, entonces obtenemos la recta 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. De la segunda desigualdad obtenemos un círculo con centro (0; 0) (0; 0) de radio 8. Obviamente, hay más de una solución.

3) Si $$a>0$$, entonces esta desigualdad es equivalente a la doble desigualdad - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Define una franja entre dos rectas y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , cada una de las cuales es paralela a la recta 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (Figura 17).

Como estamos considerando $$a>0$$, el centro del círculo se ubica en el primer cuarto de la recta y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . En efecto, las coordenadas del centro son x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; expresando a a y equiparando, obtenemos x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , de donde y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Para que el sistema tenga exactamente una solución es necesario y suficiente que el círculo toque la recta a 2 a_2 . Esto ocurre cuando el radio del círculo igual a la distancia desde el centro del círculo hasta la recta a 2 a_2 . Según la fórmula para la distancia de un punto a una recta * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

RESPUESTA

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} dado por la ecuación a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Entonces la distancia desde el punto M M a la línea recta l l está determinada por la fórmula ρ = | una x 0 + segundo x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

¿A qué valores del parámetro a a funciona el sistema?

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ ¿no tiene soluciones?

La primera ecuación del sistema define el cuadrado A B C D ABCD en el plano x O y xOy (para construirlo, considere x ≥ 0 x\geq 0 e y ≥ 0 y\geq 0 . Entonces la ecuación toma la forma x + y = 1 x+y=1 . Obtenemos un segmento - parte de la línea recta x + y = 1 x+y=1, que se encuentra en el primer cuarto. A continuación, reflejamos este segmento con respecto al eje O x Ox, y luego. reflejan el conjunto resultante en relación con el eje O y Oy (ver Fig. 18). La segunda ecuación define el cuadrado P Q R S PQRS , igual al cuadrado A B C D ABCD, pero centrado en (- a ; - a) (-a;-a) . En la figura. Como ejemplo, la Fig. 18 muestra este cuadrado para a = - 2 a=-2. El sistema no tiene soluciones si estos dos cuadrados no se cruzan.

Es fácil ver que si los segmentos P Q PQ y B C BC coinciden, entonces el centro del segundo cuadrado está en el punto (1; 1) (1;1). Nos convienen aquellos valores de a a, en los que el centro está situado “arriba” y “a la derecha”, es decir, $$a1$$.

RESPUESTA

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Encuentre todos los valores del parámetro b b para los cuales el sistema

$$\begin(casos) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(casos) $$

tiene al menos una solución para cualquier valor de a a .

Consideremos varios casos.

1) Si $$b2) Si b = 0 b=0 , entonces el sistema toma la forma $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Para cualquier a a el par de números (0 ; 0) (0;0) es una solución para este sistema, por lo tanto b = 0 b=0 es adecuado.

3) Arreglemos algunos $$b>0$$. La primera ecuación se satisface con el conjunto de puntos obtenidos de la parábola y = x 2 - b y=x^2-b al reflejar parte de esta parábola en relación con el eje O x Ox (ver Fig. 19a, b). La segunda ecuación define una familia de rectas (sustituyendo diferentes significados a a , se pueden obtener todo tipo de rectas que pasen por el punto (b ; 0) (b;0) , excepto la vertical), que pasen por el punto (b ; 0) (b;0) . Si el punto (b ; 0) (b;0) se encuentra en el segmento [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . eje de abscisas, luego la línea recta cruza la gráfica de la primera función para cualquier pendiente (Fig. 19a). De lo contrario (Fig. 19b) en cualquier caso habrá una línea recta que no se cruza este horario. Resolviendo la desigualdad - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) y teniendo en cuenta que $$b>0$$, obtenemos que b ∈ (0 ; 1 ] b \ en ( 0;1] .

Combinamos los resultados: $$b \in $$.

RESPUESTA

$$b \en $$

Encuentre todos los valores de a a , para cada uno de los cuales la función f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x tiene al menos un punto máximo.

Ampliando el módulo, obtenemos que

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(casos) $$

En cada uno de los dos intervalos, la gráfica de la función y = f (x) y=f(x) es una parábola con ramas hacia arriba.

Dado que las parábolas con ramas ascendentes no pueden tener puntos máximos, la única posibilidad es que el punto máximo sea el punto límite de estos intervalos: el punto x = a 2 x=a^2. En este punto habrá un máximo si el vértice de la parábola y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 cae en el intervalo $$x>a^2$$, y el vértice de la parábola y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - para el intervalo $$x\lt a^2$$ (ver Fig. 20). Esta condición está dada por las desigualdades y $$2 \gt a^2$$ y $$1 \lt a^2$$, resolviendo lo cual encontramos que a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

RESPUESTA

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Encuentre todos los valores de a a , para cada uno de los cuales soluciones generales desigualdades

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a y y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

son soluciones a la desigualdad

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Para navegar la situación, a veces es útil considerar el valor de un parámetro. Hagamos un dibujo, por ejemplo, para a = 0 a=0 . Las desigualdades (20) (de hecho, estamos tratando con un sistema de desigualdades (20)) se satisfacen con los puntos del ángulo B A C BAC (ver Fig.21), puntos, cada uno de los cuales se encuentra sobre ambas líneas rectas y = - 2 x y=-2x y y = x y =x (o en estas líneas). La desigualdad (21) se satisface con los puntos que se encuentran encima de la línea recta y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Se puede observar que cuando a = 0 a=0 no se cumple la condición del problema.

¿Qué cambiará si tomamos un valor diferente para el parámetro a a? Cada una de las rectas se moverá y se convertirá en una recta paralela a sí misma, ya que los coeficientes angulares de las rectas no dependen de a. Para que se cumpla la condición del problema, todo el ángulo B A C BAC debe estar por encima de la línea recta l l . Dado que los coeficientes angulares de las rectas A B AB y A C AC son mayores en valor absoluto pendiente recta l l , es necesario y suficiente que el vértice del ángulo esté encima de la recta l l .

Resolver un sistema de ecuaciones

$$\begin(casos) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(casos)$$

encuentra las coordenadas del punto A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Deben satisfacer la desigualdad (21), entonces $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, de donde $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

RESPUESTA

$$a>\dfrac(9)(8)$$

Ecuaciones con parámetros: método de solución gráfica.

8-9 grados

El artículo analiza un método gráfico para resolver algunas ecuaciones con parámetros, el cual es muy efectivo cuando necesitas establecer cuántas raíces tiene una ecuación dependiendo del parámetro. a.

Problema 1. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? | | x | – 2 | = a dependiendo del parámetro a?

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | | x | – 2 | y y = a. Gráfica de la función y = | | x | – 2 | se muestra en la figura.

La gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje Ox o coincidente con él (si a = 0).

Del dibujo se puede ver que:

Si a= 0, entonces recta y = a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | | x | – 2 | dos puntos comunes ; Esto significa que la ecuación original tiene dos raíces (en en este caso
Se pueden encontrar raíces: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, Si 0 ecuación original
tiene cuatro raíces. a Si
tiene cuatro raíces. a= 2, entonces la recta y = 2 tiene tres puntos comunes con la gráfica de la función. Entonces la ecuación original tiene tres raíces. a> 2, entonces recta y =

tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces. a < 0, то корней нет;
Si a = 0, a Si
Si a> 2, entonces hay dos raíces;
= 2, luego tres raíces;< a < 2, то четыре корня.

si 0 Problema 2. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? a dependiendo del parámetro a?

| x2-2| x | – 3 | = a.

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | x2-2| x | – 3 | y y = a = 0).

Gráfica de la función y = | x2-2| x | – 3 | se muestra en la figura. La gráfica de la función y = a es una recta paralela a Ox o coincidente con ella (cuando

Si a= 0, entonces recta y = a En el dibujo puedes ver: a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | x2-2| x | – 3 | dos puntos comunes, así como la recta y = a tendrás con la gráfica de la función y = | x2-2| x | – 3 | dos puntos comunes en a> 4. Entonces, cuando a= 0 y
Se pueden encontrar raíces: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 la ecuación original tiene dos raíces. a tiene con la gráfica de la función y = | x2-2| x | – 3 | a cuatro puntos comunes, así como la recta y=< a < 3, a tendrá cuatro puntos comunes con la gráfica de la función construida en
tiene cuatro raíces. a= 4. Entonces, en 0 a= 4 la ecuación original tiene cuatro raíces.
= 3, luego recta y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
tiene cuatro raíces. a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces. a < 0, то корней нет;
Si a = 0, a interseca la gráfica de una función en cinco puntos; por tanto, la ecuación tiene cinco raíces.
= 2, luego tres raíces;< a < 3, a si 3
Si a> 4, entonces hay dos raíces;
= 4, entonces hay cuatro raíces;< a < 4, то шесть корней.

= 3, luego cinco raíces;

si 3 a?

Problema 3. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? dependiendo del parámetro

Las rectas x = 1, y = 1 son asíntotas de la gráfica de la función. Gráfica de la función y = | x | + a obtenido de la gráfica de la función y = | x | desplazamiento en unidades a lo largo del eje Oy.

Gráficos de funciones se cruzan en un punto en a> – 1; Esto significa que la ecuación (1) para estos valores de parámetros tiene una solución.

En a = – 1, a= – 2 gráficos se cruzan en dos puntos; Esto significa que para estos valores de parámetros, la ecuación (1) tiene dos raíces.
A las – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces. a> – 1, luego una solución;
Si a = – 1, a= – 2, entonces hay dos soluciones;
si – 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Comentario. Al resolver la ecuación (1) del problema 3, se debe prestar especial atención al caso en el que a= – 2, ya que el punto (– 1; – 1) no pertenece a la gráfica de la función pero pertenece a la gráfica de la función y = | x | + a.

Pasemos a resolver otro problema.

Problema 4. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

x + 2 = a| x – 1 |

si 3 a?

(2) Solución. Tenga en cuenta que x = 1 no es una raíz ecuación dada a, ya que la igualdad 3 = a· 0 no puede ser verdadero para ningún valor de parámetro . Dividamos ambos lados de la ecuación por | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), entonces la ecuación (2) tomará la forma

En el sistema de coordenadas xOy trazaremos la función a La gráfica de esta función se muestra en la figura. Gráfica de la función y = a = 0).

tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces. a es una recta paralela al eje Ox o coincidente con él (si
Ј – 1, entonces no hay raíces;< a si – 1
Si aЈ 1, luego una raíz;

> 1, entonces hay dos raíces.

Consideremos la ecuación más compleja. a Problema 5. ¿A qué valores del parámetro?

a ecuación

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

tiene tres soluciones? a Solución. 1. El valor de control del parámetro para esta ecuación será el número a= 0, en el cual la ecuación (3) toma la forma 0 + | x – 1 | = 0, de donde x = 1. Por lo tanto, cuando

= 0, la ecuación (3) tiene una raíz, que no satisface las condiciones del problema. a № 0.

2. Considere el caso cuando a Reescribamos la ecuación (3) de la siguiente forma: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Tenga en cuenta que la ecuación tendrá soluciones sólo cuando a En el sistema de coordenadas xOy construiremos gráficas de las funciones y = | x – 1 | y y = a x2. Gráfica de la función y = | x – 1 | se muestra en la figura. Gráfica de la función y = a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo, ya que a La ecuación (3) tendrá tres soluciones sólo cuando la recta y = – x + 1 sea tangente a la gráfica de la función y=

x2. a Sea x 0 la abscisa del punto de tangencia de la recta y = – x + 1 con la parábola y =

x2. La ecuación tangente tiene la forma

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Anotemos las condiciones de tangencia:

Esta ecuación se puede resolver sin utilizar el concepto de derivada. a Consideremos otro método. Utilicemos el hecho de que si la recta y = kx + b tiene un único punto común con la parábola y = a x 2 + px + q = kx + b debe tener solución única, es decir, su discriminante es cero. En nuestro caso tenemos la ecuación a x 2 = – x + 1 ( a nº 0). Ecuación discriminante

Problemas para resolver de forma independiente.

6. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación dependiendo del parámetro? a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x2-6| x | + 5 | = a.

1) si a<0, то корней нет; если a=0, a>3, luego dos raíces; Si a=3, luego tres raíces; si 0<a<3, то четыре корня;
2) si a<1, то корней нет; если a=1, entonces existe un conjunto infinito de soluciones del intervalo [– 2; a– 1]; Si
> 1, entonces hay dos soluciones; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) si a=1, luego seis raíces; Si a=3, entonces hay tres soluciones; Si
>3, entonces hay dos soluciones; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) si a=4, luego seis raíces; Si a=5, luego tres raíces; Si

>5, entonces hay dos raíces. a 7. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? x + 1 | = a?

(x – 1) dependiendo del parámetro .

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma a Respuesta: si a > 1, a J-1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, entonces una raíz; si – 1

Ј 1, entonces no hay raíces. a 8. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x + 1 =? a?

| x – 1 |dependiendo del parámetro

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma a Dibuja una gráfica (ver figura).<aЈ –1, entonces no hay raíces; si – 1 aЈ 1, luego una raíz; Si

>1, entonces hay dos raíces.

9. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

si 3 a?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma a Nota. Reducir la ecuación a la forma. a>2, a J-2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, entonces una raíz; si –2

Ј 2, entonces no hay raíces.

si 3 a?

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma aЈ 0, a 10. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?<a<2, то два корня.

i 2, luego una raíz; si 0 a Problema 5. ¿A qué valores del parámetro?

11. ¿A qué valores del parámetro? a x2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 a Nota. Reduzca la ecuación a la forma x 2 = –

| x – 2 |. a Respuesta: cuando

J –8. a Problema 5. ¿A qué valores del parámetro?

a 12. ¿A qué valores del parámetro?

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 a Nota. Utilice el problema 5. Esta ecuación tiene tres soluciones sólo si la ecuación a x 2 + x + 1 = 0 tiene una solución y el caso

= 0 no satisface las condiciones del problema, es decir, se mantiene el caso cuando

13. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? a

si 3 a?

x | x – 2 | = 1 – Nota. Reduzca la ecuación a la forma –x |x – 2| + 1 =

si 3 a?

a

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma a<0, a Nota. Construye gráficas de los lados izquierdo y derecho de esta ecuación. a>2, entonces hay dos raíces; si 0Ј

Ј 2, luego una raíz.

si 3 a?

16. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación? Nota. Construye gráficas de los lados izquierdo y derecho de esta ecuación. Para graficar una función

Nota. Dado que x = 1 no es una raíz de la ecuación, esta ecuación se puede reducir a la forma a Encontremos los intervalos de signo constante de las expresiones x + 2 y x: a>– 1, luego una solución; Si<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, entonces hay dos soluciones; si – 3

Ј –3, entonces hay tres soluciones.

Este tema es una parte integral del curso de álgebra escolar. El propósito de este trabajo es estudiar este tema con más profundidad, para identificar la solución más racional que conduzca rápidamente a una respuesta. Este ensayo ayudará a otros estudiantes a comprender el uso del método gráfico para la resolución de ecuaciones con parámetros, conocer el origen y desarrollo de este método.

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Avance:

Introducción2

Capítulo 1. Ecuaciones con un parámetro.

Historia del surgimiento de ecuaciones con parámetro3.

Teorema de Vieta4

Conceptos básicos5

Capítulo 2. Tipos de ecuaciones con parámetros.

Ecuaciones lineales6

Ecuaciones cuadráticas………………………………………………………………...7

Capítulo 3. Métodos para resolver ecuaciones con un parámetro.

Método analítico….…………………………………………...8

Método gráfico. Historia de origen….…………………………9

Algoritmo de solución por método gráfico..……………….....……………….10

Solución de la ecuación con módulo………………...……………………………….11

Parte práctica……………………...……………………………………12

Conclusión……………………………………………………………………………….19

Referencias………………………………………………………………20

Introducción.

Elegí este tema porque es una parte integral del curso de álgebra escolar. Al preparar este trabajo, me propuse el objetivo de un estudio más profundo de este tema, identificando la solución más racional que conduzca rápidamente a una respuesta. Mi ensayo ayudará a otros estudiantes a comprender el uso del método gráfico para la resolución de ecuaciones con parámetros, conocer el origen y desarrollo de este método.

En la vida moderna, el estudio de muchos procesos físicos y patrones geométricos a menudo conduce a la resolución de problemas con parámetros.

Para resolver este tipo de ecuaciones, el método gráfico es muy eficaz cuando es necesario determinar cuántas raíces tiene la ecuación en función del parámetro α.

Los problemas con parámetros tienen un interés puramente matemático, contribuyen al desarrollo intelectual de los estudiantes y sirven como un buen material para practicar habilidades. Tienen valor diagnóstico, ya que pueden utilizarse para evaluar el conocimiento de las principales ramas de las matemáticas, el nivel de pensamiento matemático y lógico, las habilidades de investigación iniciales y las oportunidades prometedoras para dominar con éxito un curso de matemáticas en instituciones de educación superior.

Mi ensayo analiza los tipos de ecuaciones que se encuentran con frecuencia y espero que el conocimiento que adquirí en el proceso de trabajo me ayude a aprobar los exámenes escolares, porqueecuaciones con parámetrosSe consideran, con razón, uno de los problemas más difíciles de las matemáticas escolares. Son precisamente estas tareas las que están incluidas en la lista de tareas del Examen Estatal Unificado.

Historia del surgimiento de ecuaciones con parámetro.

Los problemas relacionados con las ecuaciones con un parámetro ya se encontraron en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), esbozó una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica:

αx 2 + bx = c, α>0

Los coeficientes en la ecuación, excepto el parámetro., también puede ser negativo.

Ecuaciones cuadráticas de al-Khwarizmi.

El tratado algebraico de Al-Khorezmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas con parámetro a. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir, αx 2 = bx.

2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir, αx 2 = c.

3) “Las raíces son iguales al número”, es decir, αx = c.

4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir, αx 2 + c = bx.

5) “Los cuadrados y las raíces son iguales al número”, es decir αx 2 + bx = c.

6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir, bx + c = αx 2 .

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas según al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del Ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática con un parámetro en forma general está disponible en Vieta, pero Vieta solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XII. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquirió su forma moderna.

teorema de vieta

El teorema que expresa la relación entre los parámetros, coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591. De la siguiente manera: “Si b + d multiplicado por α menos α 2 , es igual a bc, entonces α es igual a b e igual a d”.

Para entender a Vieta, debemos recordar que α, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestra x), mientras que las vocales b, d son coeficientes de lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa:

si hay

(α + b)x - x 2 = αb,

Es decir, x 2 - (α -b)x + αb =0,

entonces x 1 = α, x 2 = b.

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de ecuaciones con fórmulas generales escritas mediante símbolos, Vieta estableció uniformidad en los métodos para resolver ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo vietnamita aún está lejos de su forma moderna. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.

Conceptos básicos

Parámetro - una variable independiente, cuyo valor se considera un número fijo o arbitrario, o un número perteneciente al intervalo especificado por la condición del problema.

Ecuación con parámetro- matemáticoecuación, cuya apariencia y solución depende de los valores de uno o más parámetros.

Decidir ecuación con medias de parámetros para cada valorencuentre los valores de x que satisfacen esta ecuación, y también:

1. 1. Investigar en qué valores de los parámetros tiene raíces la ecuación y cuántas hay para diferentes valores de los parámetros.
2. 2. Encuentre todas las expresiones para las raíces e indique para cada una de ellas los valores de los parámetros en los que esta expresión realmente determina la raíz de la ecuación.

Considere la ecuación α(x+k)= α +c, donde α, c, k, x son cantidades variables.

Sistema de valores permitidos de variables α, c, k, xes cualquier sistema de valores de variables en el que tanto el lado izquierdo como el derecho de esta ecuación toman valores reales.

Sea A el conjunto de todos los valores admisibles de α, K el conjunto de todos los valores admisibles de k, X el conjunto de todos los valores admisibles de x, C el conjunto de todos los valores admisibles de c. Si para cada uno de los conjuntos A, K, C, X seleccionamos y fijamos, respectivamente, un valor α, k, c, y los sustituimos en la ecuación, entonces obtenemos una ecuación para x, es decir ecuación con una incógnita.

Las variables α, k, c, que se consideran constantes al resolver una ecuación, se denominan parámetros, y la ecuación en sí se denomina ecuación que contiene parámetros.

Los parámetros se indican con las primeras letras del alfabeto latino: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, y las incógnitas se indican con las letras x, y, z.

Dos ecuaciones que contienen los mismos parámetros se llaman equivalente si:

a) tienen sentido para los mismos valores de parámetros;

b) toda solución de la primera ecuación es una solución de la segunda y viceversa.

Tipos de ecuaciones con parámetros.

Las ecuaciones con parámetros son: lineal y cuadrado.

1) Ecuación lineal. Vista general:

α x = b, donde x es desconocido;α, b - parámetros.

Para esta ecuación, el valor especial o de control del parámetro es aquel en el que el coeficiente de la incógnita desaparece.

Al resolver una ecuación lineal con un parámetro, se consideran casos en los que el parámetro es igual a su valor especial y diferente de él.

Un valor especial del parámetro α es el valorα = 0.

1.Si, y ≠0, entonces para cualquier par de parámetrosα yb tiene una solución única x = .

2.Si, y =0, entonces la ecuación toma la forma:0 x = segundo . En este caso el valor b = 0 es un valor de parámetro especial b.

2.1. en b ≠ 0 la ecuación no tiene soluciones.

2.2. en b =0 la ecuación tomará la forma:0 x = 0.

La solución de esta ecuación es cualquier número real.

Ecuación cuadrática con parámetro.

Vista general:

α x 2 + bx + c = 0

donde parámetro α ≠0, b y c - números arbitrarios

Si α =1, entonces la ecuación se llama ecuación cuadrática reducida.

Las raíces de una ecuación cuadrática se encuentran usando las fórmulas.

Expresión D = b 2 - 4 α c se llama discriminante.

1. Si D > 0, la ecuación tiene dos raíces diferentes.

2. Si D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Si D = 0, la ecuación tiene dos raíces iguales.

Métodos para resolver ecuaciones con un parámetro:

1. Analítico: un método de solución directa que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en una ecuación sin parámetros.
2. Gráfico: dependiendo de las condiciones del problema, se considera la posición de la gráfica de la función cuadrática correspondiente en el sistema de coordenadas.

Método analítico

Algoritmo de solución:

1. Antes de comenzar a resolver un problema con parámetros utilizando el método analítico, es necesario comprender la situación de un valor numérico específico del parámetro. Por ejemplo, tome el valor del parámetro α =1 y responda la pregunta: ¿es el valor del parámetro α =1 requerido para esta tarea?

Ejemplo 1. Resolver relativamente incógnita ecuación lineal con parámetro m:

Según el significado del problema (m-1)(x+3) = 0, es decir, m= 1, x = -3.

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (m-1)(x+3), obtenemos la ecuación

obtenemos

Por tanto, en m= 2,25.

Ahora necesitamos verificar si hay valores de m para los cuales

el valor de x encontrado es -3.

Al resolver esta ecuación, encontramos que x es igual a -3 con m = -0,4.

Respuesta: con m=1, m =2,25.

Método gráfico. Historia de origen

El estudio de las dependencias comunes se inició en el siglo XIV. La ciencia medieval era escolástica. Con esta naturaleza, no quedaba lugar para el estudio de las dependencias cuantitativas; se trataba únicamente de las cualidades de los objetos y sus conexiones entre sí. Pero entre los escolásticos surgió una escuela que sostenía que las cualidades pueden ser más o menos intensas (la vestimenta de una persona que ha caído a un río está más mojada que la de alguien que acaba de quedar atrapado bajo la lluvia)

El científico francés Nikolai Oresme comenzó a representar la intensidad con la longitud de los segmentos. Cuando colocó estos segmentos perpendiculares a una determinada línea recta, sus extremos formaron una línea, a la que llamó “línea de intensidad” o “línea del borde superior” (oresme incluso estudió el gráfico de la dependencia funcional “planar”). ” y cualidades “físicas”, es decir, funciones, dependiendo de dos o tres variables.

El logro importante de Oresme fue su intento de clasificar los gráficos resultantes. Identificó tres tipos de cualidades: uniforme (con intensidad constante), uniforme-desigual (con una tasa constante de cambio de intensidad) y desigual-desigual (todos los demás), así como las propiedades características de las gráficas de tales cualidades.

Para crear un aparato matemático para estudiar gráficas de funciones, se necesitaba el concepto de variable. Este concepto fue introducido en la ciencia por el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650). Fue Descartes quien presentó las ideas sobre la unidad del álgebra y la geometría y el papel de las variables; Descartes introdujo un segmento unitario fijo y comenzó a considerar las relaciones de otros segmentos con él.

Así, las gráficas de funciones durante todo el período de su existencia han pasado por una serie de transformaciones fundamentales que las llevaron a la forma a la que estamos acostumbrados. Cada etapa o etapa en el desarrollo de gráficas de funciones es una parte integral de la historia del álgebra y la geometría modernas.

El método gráfico para determinar el número de raíces de una ecuación en función del parámetro incluido en ella es más conveniente que el analítico.

Algoritmo de resolución por método gráfico.

Gráfica de una función - un conjunto de puntos en los queabscisason valores de argumento válidos, A ordenadas- valores correspondientesfunciones.

Algoritmo para resolver gráficamente ecuaciones con un parámetro:

1. Encuentra el dominio de definición de la ecuación.
2. expresamos α en función de x.
3. En el sistema de coordenadas construimos una gráfica de la función.α (x) para aquellos valores de x que están incluidos en el dominio de definición de esta ecuación.
4. Encontrar los puntos de intersección de una línea.α =с, con la gráfica de la función

α(x). Si la recta α =ñ cruza la gráficaα (x), luego determinamos las abscisas de los puntos de intersección. Para ello basta con resolver la ecuación. c = α (x) relativo a x.

1. Escribe la respuesta

Resolver ecuaciones con módulo

Al resolver gráficamente ecuaciones con un módulo que contiene un parámetro, es necesario construir gráficas de funciones y considerar todos los casos posibles para diferentes valores del parámetro.

Por ejemplo, │x│= a,

Respuesta: si un < 0, то нет корней, a > 0, entonces x = a, x = - a, si a = 0, entonces x = 0.

Resolución de problemas.

Problema 1. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?| | x | - 2 | =un dependiendo del parámetro¿a?

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | | x | - 2 | y y = a . Gráfica de la función y = | | x | - 2 | se muestra en la figura.

Gráfica de la función y =αa = 0).

Del gráfico se puede observar que:

Si a = 0, entonces la recta y = a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | | x | - 2 | dos puntos comunes; esto significa que la ecuación original tiene dos raíces (en este caso, las raíces se pueden encontrar: x 1,2 = + 2).
Si 0< a < 2, то прямая y = α tiene con la gráfica de la función y = | | x | - 2 | cuatro puntos comunes y, por tanto, la ecuación original tiene cuatro raíces.
Si a = 2, entonces la recta y = 2 tiene tres puntos comunes con la gráfica de la función. Entonces la ecuación original tiene tres raíces.
Si a > 2, entonces recta y = a tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces.

Respuesta: si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 2, entonces hay dos raíces;
si a = 2, entonces hay tres raíces;
si 0< a < 2, то четыре корня.

Problema 2. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?| x2-2| x | - 3 | =un dependiendo del parámetro¿a?

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | incógnita 2-2| x | - 3 | y y = a.

Gráfica de la función y = | incógnita 2 - 2| x | - 3 | se muestra en la figura. Gráfica de la función y =α es una recta paralela a Ox o coincidente con él (cuando a = 0).

En el gráfico puedes ver:

Si a = 0, entonces la recta y = a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | x2-2| x | - 3 | dos puntos comunes, así como la recta y = a tendrás con la gráfica de la función y = | incógnita 2 - 2| x | - 3 | dos puntos comunes en a > 4. Entonces, para a = 0 y a > 4 la ecuación original tiene dos raíces.
Si 0< a< 3, то прямая y = a tiene con la gráfica de la función y = | incógnita 2 - 2| x | - 3 | cuatro puntos comunes, así como la recta y= a tendrá cuatro puntos comunes con la gráfica de la función construida en a = 4. Entonces, en 0< a < 3, a = 4 la ecuación original tiene cuatro raíces.
Si a = 3, entonces recta y = a interseca la gráfica de una función en cinco puntos; por tanto, la ecuación tiene cinco raíces.
si 3< a< 4, прямая y = α cruza la gráfica de la función construida en seis puntos; Esto significa que para estos valores de parámetros la ecuación original tiene seis raíces.
Si a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α no interseca la gráfica de la función y = | incógnita 2-2| x | - 3 |.

Respuesta: si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 4, entonces hay dos raíces;
si 0< a < 3, a = 4, entonces hay cuatro raíces;

si un = 3, luego cinco raíces;
si 3< a < 4, то шесть корней.

Problema 3. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

dependiendo del parámetro¿a?

Solución. Construyamos una gráfica de la función en el sistema de coordenadas (x; y)

pero primero presentémoslo en la forma:

Las rectas x = 1, y = 1 son asíntotas de la gráfica de la función. Gráfica de la función y = | x | + a obtenido de la gráfica de la función y = | x | desplazamiento en unidades a lo largo del eje Oy.

Gráficos de funciones se cruzan en un punto en a > - 1; Esto significa que la ecuación (1) para estos valores de parámetros tiene una solución.

Cuando a = - 1, a = - 2 gráficos se cruzan en dos puntos; Esto significa que para estos valores de parámetros, la ecuación (1) tiene dos raíces.
En - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Respuesta: si un > - 1, luego una solución;
si a = - 1, a = - 2, entonces hay dos soluciones;
si - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Comentario. Al resolver la ecuación del problema, se debe prestar especial atención al caso en el que a = - 2, ya que el punto (- 1; - 1) no pertenece a la gráfica de la funciónpero pertenece a la gráfica de la función y = | x | + a.

Problema 4. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

x + 2 = un | x - 1 |

dependiendo del parámetro¿a?

Solución. Tenga en cuenta que x = 1 no es una raíz de esta ecuación, ya que la igualdad 3 = a 0 no puede ser verdadero para ningún valor de parámetro a . Dividamos ambos lados de la ecuación por | x - 1 |(| x - 1 |0), entonces la ecuación toma la formaEn el sistema de coordenadas xOy trazaremos la función

La gráfica de esta función se muestra en la figura. Gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje Ox o coincidente con él (si a = 0).

Para revelar completamente las capacidades de este método, consideraremos los principales tipos de problemas.

Tareas de muestra para probar conocimientos y habilidades al resolver problemas con parámetros utilizando el método gráfico. (plano de coordenadas)

Tarea 1.

¿A qué valoresa¿La ecuación = tiene dos raíces?

Solución.

Pasemos a un sistema equivalente:

Este sistema en el plano de coordenadas (;) define una curva. Está claro que todos los puntos de este arco parabólico (y sólo ellos) tienen coordenadas que satisfacen la ecuación original. Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación para cada valor fijo del parámetro, igual al número de puntos de intersección de la curva con la línea horizontal correspondiente a este valor de parámetro.

Respuesta: en.

Tarea 2.

Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema tiene una solución única.

Solución.

Reescribamos el sistema original de esta forma:

Todas las soluciones de este sistema (pares de la forma) forman el área que se muestra en la figura mediante sombreado. El requisito de una solución única para un sistema determinado se traduce al lenguaje gráfico de la siguiente manera: las líneas horizontales deben tener solo un punto común con la región resultante. Es fácil ver que sólo directamentey satisfacer el requisito establecido.

Las dos tareas que acabamos de comentar nos permiten dar recomendaciones más específicas en comparación con las dadas anteriormente:

intente expresar el parámetro a través de una variable, es decir, obtenga igualdades de la forma, luego

construir una gráfica de una función en un plano.

Tarea 3.

¿A qué valoresA ¿La ecuación tiene exactamente tres raíces?

Solución.

Tenemos

La gráfica de este conjunto es la unión de una “esquina” y una parábola. Evidentemente, sólo una línea recta corta la unión resultante en tres puntos.

Comentario: El parámetro generalmente se considera como un número fijo pero desconocido. Mientras tanto, desde un punto de vista formal, un parámetro es una variable e “igual” a otras presentes en el problema. Con esta vista del parámetro de formulario, las funciones no se definen con una, sino con dos variables.

Tarea 4.

Encuentra todos los valores de los parámetros, para lo cual la ecuación tiene una solución.

Solución.

Una fracción es igual a cero si y sólo si el numerador de la fracción es cero y el denominador es distinto de cero.

Encontrar las raíces del trinomio cuadrático:

Respuesta: Y.

Tarea 5.

¿En qué valores de parámetros,A la ecuación tiene una solución única.

Solución.

Escribamos un sistema equivalente a la ecuación original.

De aquí obtenemos

Construyamos una gráfica y dibujemos líneas rectas perpendiculares a los ejes.A .

Las dos primeras desigualdades del sistema definen un conjunto de puntos, mostrados sombreados, y este conjunto no incluye hipérbolas y.

Respuesta : 2 < < или < или = .

Tarea 6.

Encuentra todos los valores de los parámetrosA , para lo cual la ecuación

tiene exactamente dos soluciones diferentes

Solución.

Considere un conjunto de dos sistemas.

Si , Eso.

Si < , Eso.

Desde aquí

o

Las parábolas y una recta tienen dos puntos comunes:A (-2; - 2), EN(-1; -1), y, EN – el vértice de la primera parábola,D - la parte superior del segundo. Entonces, la gráfica de la ecuación original se muestra en la figura.

Debe haber exactamente dos soluciones diferentes. Esto se hace con o.

Respuesta: o.

Tarea 7.

Encuentre el conjunto de todos los números para cada uno de los cuales la ecuación

tiene sólo dos raíces diferentes.

Solución.

Reescribamos esta ecuación en la forma

Las raíces de la ecuación, siempre que eso.

Construyamos una gráfica de esta ecuación. En este caso, es conveniente construir una gráfica asignando una variable al eje de ordenadas. Aquí “leemos” la respuesta con líneas rectas verticales, encontramos que esta ecuación tiene solo dos raíces diferentes en = -1 o o.

Respuesta: en = -1 o o.

Tarea 8.

Para lo cual el conjunto de soluciones a la desigualdad contiene un intervalo.

Solución.

Escribamos un conjunto de dos sistemas equivalente a la ecuación original:

o

Dado que en la solución del primer sistema niA no se puede incluir en el segmento, entonces realizaremos la investigación necesaria para el segundo sistema.

Tenemos

denotemos . Entonces la segunda desigualdad del sistema toma la forma< - y en el plano coordenado define el conjunto que se muestra en la figura.

Entonces, desde aquí.

Respuesta : .

Tarea 9.

Encuentre todos los números no negativos para los cuales existe un número único que satisfaga el sistema

Solución.

Tenemos

La primera ecuación en el plano de coordenadas especifica una familia de líneas verticales. Traza líneas rectas y divide los planos en cuatro zonas. Algunas de ellas son soluciones al sistema de desigualdad. Exactamente cuáles se pueden determinar tomando un punto de prueba de cada región. La región cuyo punto satisface la desigualdad es su solución (esta técnica está asociada al método de intervalos al resolver desigualdades con una variable). Construyendo líneas rectas

Por ejemplo, tomamos un punto y lo sustituimos en las coordenadas de los puntos que satisfacen la desigualdad.

Entonces, el sistema original se satisface con todos los puntos (y solo ellos) que se encuentran sobre los rayos y resaltados en el dibujo con líneas en negrita (es decir, construimos puntos en un área determinada).

Ahora necesitamos encontrar el único cuando esté arreglado. Construimos líneas paralelas que cruzan el eje. y encuentre dónde habrá un punto de intersección con la línea.

Encontramos en la figura que el requisito de unicidad de la solución se logra si (por ya 2 puntos),

donde es la ordenada del punto de intersección de las rectas y,

¿Dónde está la ordenada del punto de intersección de las rectas y?

Entonces obtenemos< .

Respuesta: < .

Tarea 10.

¿A qué valores del parámetro tiene soluciones el sistema?

Solución.

Factoricemos el lado izquierdo de la desigualdad del sistema, tenemos

Construimos líneas rectas y... Mostramos en la figura sombreando el conjunto de puntos del plano que satisface la desigualdad del sistema.

Entonces las abscisas de los arcos seleccionados de la hipérbola son soluciones del sistema original.METRO , PAG , norte , q – puntos nodales. Encontremos sus abscisas.

Por puntos PAG , q tenemos

Queda por anotar la respuesta: o.

Respuesta: o.

Tarea 11.

Encuentre todos los valores para los cuales cualquier solución a la desigualdad en módulo no exceda de dos ().

Solución .

Reescribamos esta desigualdad de esta forma. Construyamos gráficas de las ecuaciones y =.

Utilizando el “método de los intervalos” establecemos que la solución a la desigualdad original serán las áreas sombreadas.

Aquellos. ahora, si para algún valor fijo la recta en la intersección con el área resultante da sólo puntos cuyas abscisas satisfacen la condición < 2, entonces es uno de los valores de parámetro deseados.

Entonces vemos eso.

Respuesta: .

Tarea 12.

¿Para qué valores del parámetro el conjunto de soluciones a la desigualdad no contiene más de cuatro valores enteros?

Solución.

Transformemos esta desigualdad en forma. Esta desigualdad equivale a la combinación de dos sistemas.

o

Dibujemos líneas rectas donde. Entonces el valor para el cual la línea intersecta las líneas en no más de cuatro puntos del conjunto marcado será el deseado. Entonces vemos que es o o.

Respuesta: o o.

Tarea 13.

¿En qué valores de parámetros?A tiene un sistema de solución

Solución.

Raíces de un trinomio cuadrático y.

Entonces

Construimos líneas rectas y...

Usando el método de los “intervalos” encontramos una solución a la desigualdad del sistema (área sombreada).

Encontramos los valores del sistema.

El significado de y proviene del sistema.

Respuesta:

Tarea 14.

Dependiendo de los valores de los parámetrosA resuelve la desigualdad > .

Solución.

Reescribamos esta desigualdad en la forma y consideremos la función, el cual, ampliando los módulos, escribimos de la siguiente manera:

Directamente de la figura obtenemos:

no hay soluciones;

en ;

en.

Respuesta: no hay soluciones;

en ;

en.

Tarea 15.

Encuentre todos los valores del parámetro para el cual el sistema de desigualdades

está satisfecho con sólo uno.

Solución.

Reescribamos este sistema de esta forma:

Construyamos la región definida por este sistema.

1), es el vértice de la parábola.

2) - una línea recta que pasa por puntos y.

Encontremos el valor:

= (no adecuado para el propósito del problema),

Encontrar la ordenada:

Respuesta: ,

Tarea 16.

Encuentra todos los valores de los parámetrosA, bajo el cual el sistema de desigualdades

satisface sólo para una x.

Solución .

Construyamos parábolas y mostremos sombreando la solución del último sistema.

2) , .

La figura muestra que la condición del problema se cumple cuando o.

Respuesta: o.

Tarea 17.

¿Para qué valores la ecuación tiene exactamente tres raíces?

Solución.

Esta ecuación es equivalente al conjunto

El gráfico de población es una combinación de gráficos de parábolas y ángulos.

Respuesta: en.

Tarea 18.

¿Para qué valores la ecuación tiene exactamente tres soluciones?

Solución.

Transformemos el lado izquierdo de esta ecuación. Obtenemos una ecuación cuadrática relativa a.

Obtenemos la ecuación

que equivale a la totalidad

Encuentra los puntos de ordenadas de intersección de parábolas:

Leemos la información necesaria de la figura: esta ecuación tiene tres soluciones en o

Respuesta: en o

Tarea 19.

Dependiendo del parámetro, determine el número de raíces de la ecuación.

Solución .

Considere esta ecuación como cuadrática con respecto a a.

,

.

Obtenemos la totalidad

Respuesta:: sin soluciones;

: una solución;

: dos soluciones;

o: tres soluciones;

o: cuatro soluciones.

Tarea 20.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

Solución.

Está claro que el número de raíces de la segunda ecuación del sistema es igual al número de soluciones del propio sistema.

Tenemos, .

Considerando esta ecuación como una ecuación cuadrática, obtenemos el conjunto.

Ahora acceder al plano de coordenadas simplifica la tarea. Encontramos las coordenadas de los puntos de intersección resolviendo la ecuación.

Vértices de parábolas y.

Respuesta:: cuatro soluciones;

: dos soluciones;

: una solución;

: sin soluciones.

Tarea 21.

Encuentre todos los valores reales del parámetro para el cual la ecuación tiene solo dos raíces distintas. Escribe estas raíces.

Solución .

Encontremos las raíces del trinomio cuadrático entre paréntesis:

Leemos la información necesaria de la imagen. Entonces, esta ecuación tiene dos raíces diferentes en (y) y en (y)

Respuesta: en (y) y

en (y).

Tarea 2 2 .

Resuelve el sistema de desigualdades:

Solución.

Todos los puntos en el área sombreada son una solución del sistema. Dividamos la superficie construida en dos partes.

Si es así, entonces no hay soluciones.

Si, entonces la abscisa de los puntos del área sombreada será mayor que la abscisa de los puntos de la recta, pero menor que la abscisa (raíz más grande de la ecuación) de la parábola.

Expresémoslo mediante la ecuación en línea recta:

Encontremos las raíces de la ecuación:

Entonces.

Si es así, entonces.

Respuesta: para y 1 no hay soluciones;

en;

en.

Tarea 23.

Resolver el sistema de desigualdades.

Solución.

– la parte superior de la parábola.

La cima de la parábola.

Encuentra la abscisa de los puntos de intersección de las parábolas:

En las ecuaciones de parábolas las expresamos mediante:

Grabación respuesta:

si y, entonces no hay soluciones;

si entonces< ;

si entonces.

Tarea 24.

¿A qué valores y la ecuación? no tiene soluciones?

Solución.

La ecuación es equivalente al sistema.

Construyamos muchas soluciones del sistema.

Encontremos cuál y excluyémoslo.

Entonces, porque no hay soluciones;

cuando no hay soluciones;

(nota: para el restoAhay una o dos soluciones).

Respuesta: ; .

Tarea 25.

Para qué valores reales del parámetro existe al menos uno que satisfaga las condiciones:

Solución.

Resolvamos la desigualdad gráficamente usando el "método del intervalo" y construyamos una gráfica. Veamos qué parte de la gráfica cae en el área construida para resolver la desigualdad y encontremos los valores correspondientes.A.

Construimos gráficas de líneas rectas y

Dividen el plano coordenado en 4 regiones.

Resolveremos la última desigualdad gráficamente usando el método del intervalo.

El área sombreada es su solución. Parte de la gráfica de la parábola cae en esta área. En el intervalo; (por condición la desigualdad del sistema es estricta) existen que satisfacen las condiciones del sistema dado.

Respuesta:

Tarea 26.

Encuentre todos los valores del parámetro para cada uno de los cuales el conjunto de soluciones a la desigualdad no contiene una única solución a la desigualdad.

Solución.

Respuesta: o.

Tarea 27.

¿Para qué valores del parámetro la ecuación tiene solución única?

Solución.

Factoricemos el numerador de la fracción.

Esta ecuación es equivalente al sistema:

Construyamos una gráfica de la población en el plano de coordenadas.

o

– punto de intersección de líneas y. Una gráfica de población es una unión de líneas rectas.

“Perfora” los puntos del gráfico con abscisas.

Es obvio que sólo para o esta ecuación tiene solución única.

Respuesta: o.

Tarea 28.

¿Para qué valores reales del parámetro el sistema de desigualdades no tiene soluciones?

Solución.

Construimos líneas rectas. De la figura determinamos que cuando ( es la abscisa del punto de intersección de la hipérbola y la recta), las rectas no cortan el área sombreada.

Respuesta: en.

Tarea 29.

¿En qué valores de parámetros?A el sistema tiene una solución única.

Solución.

Pasemos a un sistema equivalente a este.

En el plano coordenado construiremos gráficas de parábolas y vértices de parábolas, respectivamente, puntos y.

Calculemos las abscisas de los puntos de intersección de las parábolas resolviendo la ecuación

El área sombreada es la solución al sistema de desigualdades. directo y

Respuesta: en yo.

Tarea 30.

Resuelve la desigualdad:

Solución.

Dependiendo del parámetro encontraremos el valor.

Resolveremos la desigualdad usando el “método del intervalo”.

Construyamos parábolas

: .

Calculemos las coordenadas del punto de intersección de las parábolas:

1) Si, entonces no hay soluciones.

2) Si, entonces en la ecuación lo expresamos mediante:

Así, en la zonaI tenemos.

Si es así, entonces mira:

a) región II .

Expresémoslo en la ecuación mediante.

raíz más pequeña

Raíz más grande.

Así, en la zona II tenemos.

b) región III : .

Respuesta: cuando no hay soluciones;

en

en, .

Literatura:

Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Colección de problemas de álgebra para los grados 8-9: un libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con estudios avanzados de matemáticas - 2ª ed. – M.: Educación, 1994.

P. I. Gornshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Problemas con los parámetros. 3ª edición, ampliada y revisada. – M.: Ilexa, Jarkov: Gimnasio, 2003.

Faddeev D.K. Álgebra 6 – 8. – M.: Educación, 1983 (b – ka profesor de matemáticas).

A.H. Shakhmeister. Ecuaciones y desigualdades con parámetros. Editado por BG Ziv. S – Petersburgo. Moscú. 2004.

V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Problemas con los parámetros Minsk “Asar”, 2002.

A.H. Shakhmeister. Problemas con los parámetros en el Examen Estatal Unificado. Editorial de la Universidad de Moscú, CheRo on Neva MTsNMO.

Las ecuaciones con parámetros se consideran, con razón, uno de los problemas más difíciles de las matemáticas escolares. Son precisamente estas tareas las que acaban año tras año en la lista de tareas de tipo B y C en el examen estatal unificado del Examen Estatal Unificado. Sin embargo, entre la gran cantidad de ecuaciones con parámetros, hay aquellas que se pueden resolver fácilmente gráficamente. Consideremos este método usando el ejemplo de resolver varios problemas.

Encuentre la suma de valores enteros del número a para los cuales la ecuación |x 2 – 2x – 3| = a tiene cuatro raíces.

Solución.

Para responder a la pregunta del problema, construyamos gráficas de funciones en un plano coordenado.

y = |x 2 – 2x – 3| y y = a.

Gráfica de la primera función y = |x 2 – 2x – 3| se obtendrá de la gráfica de la parábola y = x 2 – 2x – 3 mostrando simétricamente con respecto al eje x aquella parte de la gráfica que está debajo del eje Ox. La parte del gráfico ubicada sobre el eje x permanecerá sin cambios.

Hagamos esto paso a paso. La gráfica de la función y = x 2 – 2x – 3 es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia arriba. Para construir su gráfica, encontramos las coordenadas del vértice. Esto se puede hacer usando la fórmula x 0 = -b/2a. Por tanto, x 0 = 2/2 = 1. Para encontrar la coordenada del vértice de la parábola a lo largo del eje de ordenadas, sustituimos el valor resultante por x 0 en la ecuación de la función en cuestión. Obtenemos que y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Esto significa que el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -4).

A continuación, debes encontrar los puntos de intersección de las ramas de la parábola con los ejes de coordenadas. En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje de abscisas, el valor de la función es cero. Por tanto, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 – 2x – 3 = 0. Sus raíces serán los puntos requeridos. Según el teorema de Vieta tenemos x 1 = -1, x 2 = 3.

En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje de ordenadas, el valor del argumento es cero. Por tanto, el punto y = -3 es el punto de intersección de las ramas de la parábola con el eje y. El gráfico resultante se muestra en la Figura 1.

Para obtener una gráfica de la función y = |x 2 – 2x – 3|, visualicemos la parte de la gráfica ubicada debajo de la abscisa simétricamente con respecto al eje x. El gráfico resultante se muestra en la Figura 2.

La gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje de abscisas. Se muestra en la Figura 3. Usando la figura, encontramos que las gráficas tienen cuatro puntos comunes (y la ecuación tiene cuatro raíces) si a pertenece al intervalo (0; 4).

Valores enteros del número a del intervalo resultante: 1; 2; 3. Para responder a la pregunta del problema, encontremos la suma de estos números: 1 + 2 + 3 = 6.

Respuesta: 6.

Encuentre la media aritmética de los valores enteros del número a para los cuales la ecuación |x 2 – 4|x| – 1| = a tiene seis raíces.

Comencemos trazando la función y = |x 2 – 4|x| – 1|. Para hacer esto, usamos la igualdad a 2 = |a| 2 y selecciona el cuadrado completo en la expresión submodular escrita en el lado derecho de la función:

x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Entonces la función original tendrá la forma y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Para construir una gráfica de esta función, construimos gráficas secuenciales de funciones:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parábola con vértice en el punto de coordenadas (2; -5); (Figura 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – parte de la parábola construida en el paso 1, que se encuentra a la derecha del eje de ordenadas, se muestra simétricamente a la izquierda del eje Oy; (Figura 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – la parte del gráfico construida en el punto 2, que se encuentra debajo del eje x, se muestra simétricamente con respecto al eje x hacia arriba. (Figura 3).

Veamos los dibujos resultantes:

La gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje de abscisas.

Usando la figura, concluimos que las gráficas de funciones tienen seis puntos comunes (la ecuación tiene seis raíces) si a pertenece al intervalo (1; 5).

Esto se puede ver en la siguiente figura:

Encontremos la media aritmética de los valores enteros del parámetro a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Respuesta: 3.

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