Muchos problemas nos llevan a buscar un conjunto de valores de funciones en un determinado segmento o en todo el dominio de definición. Dichas tareas incluyen diversas evaluaciones de expresiones y resolución de desigualdades.

En este artículo, definiremos el rango de valores de una función, consideraremos métodos para encontrarla y analizaremos en detalle la solución de ejemplos, desde simples hasta más complejos. Todo el material contará con ilustraciones gráficas para mayor claridad. Entonces, este artículo es una respuesta detallada a la pregunta de cómo encontrar el rango de una función.

Definición.

El conjunto de valores de la función y = f(x) en el intervalo X es el conjunto de todos los valores de una función que toma al iterar sobre todos.

Definición.

Rango de función y = f(x) es el conjunto de todos los valores de una función que toma al iterar sobre todo x del dominio de definición.

El rango de la función se denota como E(f).

El rango de una función y el conjunto de valores de una función no son lo mismo. Consideraremos estos conceptos equivalentes si el intervalo X al encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) coincide con el dominio de definición de la función.

Además, no confundas el rango de la función con la variable x para la expresión en el lado derecho de la igualdad y=f(x) . Región valores aceptables variable x para la expresión f(x) - este es el dominio de definición de la función y=f(x) .

La figura muestra varios ejemplos.

Los gráficos de funciones se muestran con líneas azules gruesas, las líneas rojas delgadas son asíntotas, los puntos rojos y las líneas en el eje Oy muestran el rango de valores de la función correspondiente.

Como puedes ver, el rango de valores de una función se obtiene proyectando la gráfica de la función sobre el eje y. Puede ser un solo número (primer caso), un conjunto de números (segundo caso), un segmento (tercer caso), un intervalo (cuarto caso), un rayo abierto (quinto caso), una unión (sexto caso), etc. .

Entonces, ¿qué debes hacer para encontrar el rango de valores de una función?

Empecemos desde el principio. caso sencillo: le mostraremos cómo definir un conjunto de valores función continua y = f(x) en el segmento.

Se sabe que una función continua en un intervalo alcanza en él sus valores máximo y mínimo. Así, el conjunto de valores de la función original en el segmento será el segmento . En consecuencia, nuestra tarea se reduce a encontrar los valores mayor y menor de la función en el segmento.

Por ejemplo, encontremos el rango de valores de la función arcoseno.

Ejemplo.

Especifique el rango de la función y = arcsinx.

Solución.

El área de definición del arcoseno es el segmento [-1; 1]. Encontremos el más grande y valor más pequeño funciones en este segmento.

La derivada es positiva para todo x del intervalo (-1; 1), es decir, la función arcoseno aumenta en todo el dominio de definición. En consecuencia, toma el valor más pequeño en x = -1 y el mayor en x = 1.

Hemos obtenido el rango de la función arcoseno. .

Ejemplo.

Encuentra el conjunto de valores de la función. en el segmento.

Solución.

Encontremos el valor más grande y más pequeño de la función en un segmento dado.

Determinemos los puntos extremos pertenecientes al segmento:

Calculamos los valores de la función original en los extremos del segmento y en los puntos. :

Por tanto, el conjunto de valores de una función en un intervalo es el intervalo .

Ahora mostraremos cómo encontrar el conjunto de valores de una función continua y = f(x) en los intervalos (a; b), .

Primero, determinamos los puntos extremos, extremos de la función, intervalos de aumento y disminución de la función en un intervalo dado. A continuación, calculamos en los extremos del intervalo y (o) los límites en el infinito (es decir, estudiamos el comportamiento de la función en los límites del intervalo o en el infinito). Esta información es suficiente para encontrar el conjunto de valores de funciones en dichos intervalos.

Ejemplo.

Defina el conjunto de valores de función en el intervalo (-2; 2).

Solución.

Encontremos los puntos extremos de la función que caen en el intervalo (-2; 2):

Punto x = 0 es un punto máximo, ya que la derivada cambia de signo de más a menos al pasar por él, y la gráfica de la función pasa de creciente a decreciente.

hay un máximo correspondiente de la función.

Averigüemos el comportamiento de la función cuando x tiende a -2 por la derecha y cuando x tiende a 2 por la izquierda, es decir, encontramos límites unilaterales:

Lo que obtuvimos: cuando el argumento cambia de -2 a cero, los valores de la función aumentan de menos infinito a menos un cuarto (el máximo de la función en x = 0), cuando el argumento cambia de cero a 2, el Los valores de la función disminuyen hasta menos infinito. Por tanto, el conjunto de valores de función en el intervalo (-2; 2) es .

Ejemplo.

Especifique el conjunto de valores de la función tangente y = tgx en el intervalo.

Solución.

La derivada de la función tangente en el intervalo es positiva. , lo que indica un aumento de la función. Estudiemos el comportamiento de la función en los límites del intervalo:

Así, cuando el argumento cambia de a, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito, es decir, el conjunto de valores tangentes en este intervalo es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo.

Encuentra el rango de una función. logaritmo natural y = lnx.

Solución.

La función logaritmo natural se define para valores positivos argumento . En este intervalo la derivada es positiva. , esto indica un aumento en la función que contiene. Encontremos el límite unilateral de la función cuando el argumento tiende a cero a la derecha, y el límite cuando x tiende a más infinito:

Vemos que cuando x cambia de cero a más infinito, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito. Por tanto, el rango de la función logaritmo natural es el conjunto completo de números reales.

Ejemplo.

Solución.

Esta característica está definida para todos. valores reales incógnita. Determinemos los puntos extremos, así como los intervalos de aumento y disminución de la función.

En consecuencia, la función disminuye en , aumenta en , x = 0 es el punto máximo, el máximo correspondiente de la función.

Veamos el comportamiento de la función en el infinito:

Así, en el infinito los valores de la función se acercan asintóticamente a cero.

Descubrimos que cuando el argumento cambia de menos infinito a cero (el punto máximo), los valores de la función aumentan de cero a nueve (hasta el máximo de la función), y cuando x cambia de cero a más infinito, los valores de la función disminuir de nueve a cero.

Mira el dibujo esquemático.

Ahora se ve claramente que el rango de valores de la función es .

Encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) en intervalos requiere una investigación similar. No nos detendremos ahora en estos casos en detalle. Los volveremos a encontrar en los ejemplos siguientes.

Sea el dominio de definición de la función y = f(x) la unión de varios intervalos. Al encontrar el rango de valores de dicha función, se determinan los conjuntos de valores en cada intervalo y se toma su unión.

Ejemplo.

Encuentra el rango de la función.

Solución.

El denominador de nuestra función no debe llegar a cero, es decir, .

Primero, busquemos el conjunto de valores de función en el rayo abierto.

Derivada de una función es negativo en este intervalo, es decir, la función disminuye en él.

Descubrimos que a medida que el argumento tiende a menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a la unidad. Cuando x cambia de menos infinito a dos, los valores de la función disminuyen de uno a menos infinito, es decir, en el intervalo considerado, la función toma un conjunto de valores. No incluimos la unidad, ya que los valores de la función no la alcanzan, sino que solo tienden asintóticamente a ella en menos infinito.

Procedemos de manera similar para haz abierto.

En este intervalo la función también disminuye.

El conjunto de valores de la función en este intervalo es el conjunto.

Así, el rango deseado de valores de la función es la unión de los conjuntos y .

Ilustración gráfica.

Se debe prestar especial atención a las funciones periódicas. Rango de valores funciones periódicas coincide con el conjunto de valores del intervalo correspondiente al período de esta función.

Ejemplo.

Encuentra el rango de la función seno y = sinx.

Solución.

Esta función es periódica con un período de dos pi. Tomemos un segmento y definamos el conjunto de valores en él.

El segmento contiene dos puntos extremos y .

Calculamos los valores de la función en estos puntos y en los límites del segmento, seleccionamos el más pequeño y valor más alto:

Por eso, .

Ejemplo.

Encuentra el rango de una función. .

Solución.

Sabemos que el rango del arcocoseno es el segmento de cero a pi, es decir, o en otra publicación. Función se puede obtener de arccosx moviéndose y estirándose a lo largo del eje de abscisas. Tales transformaciones no afectan el rango de valores, por lo tanto, . Función obtenido de estirándose tres veces a lo largo del eje Oy, es decir, . Y la última etapa de la transformación es un desplazamiento de cuatro unidades hacia abajo a lo largo de la ordenada. Esto nos lleva a una doble desigualdad.

Por tanto, el rango de valores requerido es .

Demos la solución a otro ejemplo, pero sin explicaciones (no son necesarias, ya que son completamente similares).

Ejemplo.

Definir rango de funciones .

Solución.

Escribamos la función original en la forma . Rango de valores función de potencia es intervalo. Eso es, . Entonces

Por eso, .

Para completar el cuadro, deberíamos hablar de encontrar el rango de valores de una función que no es continua en el dominio de definición. En este caso, dividimos el dominio de definición en intervalos por puntos de ruptura y encontramos conjuntos de valores en cada uno de ellos. Combinando los conjuntos de valores resultantes, obtenemos el rango de valores de la función original. Te recomendamos recordar

El concepto de función y todo lo relacionado con él es tradicionalmente complejo y no se comprende del todo. Un obstáculo especial al estudiar una función y prepararse para el Examen Estatal Unificado es el dominio de definición y el rango de valores (cambios) de la función.
A menudo los estudiantes no ven la diferencia entre el dominio de una función y el dominio de sus valores.
Y si los estudiantes logran dominar las tareas de encontrar el dominio de definición de una función, entonces las tareas de encontrar el conjunto de valores de una función les causan dificultades considerables.
El propósito de este artículo: familiarizarse con los métodos para encontrar valores de funciones.
Como resultado de la consideración de este tema, se estudió material teórico, se consideraron métodos para resolver problemas de encontrar conjuntos de valores de funciones, material didáctico Para trabajo independiente estudiantes.
Este artículo puede ser utilizado por un maestro para preparar a los estudiantes para la graduación y exámenes de ingreso, al estudiar el tema "Rango de valores de una función" en actividades extracurriculares cursos electivos en matemáticas.

I. Determinación del rango de valores de una función.

El dominio (conjunto) de valores E(y) de la función y = f(x) es el conjunto de tales números y 0, para cada uno de los cuales existe un número x 0 tal que: f(x 0) = y 0.

Recordemos los rangos de valores de los principales. funciones elementales.

Miremos la mesa.

mi(y) = (0; π)

Tenga en cuenta también que el rango de valores de cualquier polinomio de grado par es el intervalo , donde n es el valor más grande de este polinomio.

II. Propiedades de funciones utilizadas para encontrar el rango de una función

Para encontrar con éxito el conjunto de valores de una función, se debe tener un buen conocimiento de las propiedades de las funciones elementales básicas, especialmente sus dominios de definición, rangos de valores y la naturaleza de la monotonicidad. Presentemos las propiedades de funciones diferenciables continuas y monótonas que se utilizan con mayor frecuencia al encontrar el conjunto de valores de funciones. Las propiedades 2 y 3, por regla general, se utilizan junto con la propiedad de que una función elemental es continua en su dominio de definición. Al mismo tiempo, el más simple y La tarea de encontrar el conjunto de valores de una función se logra sobre la base de la propiedad 1, si mediante métodos simples es posible determinar la monotonicidad de la función. La solución al problema es aún más sencilla si la función, además, es par o impar, periódica, etc. Por lo tanto, al resolver problemas de búsqueda de conjuntos de valores de una función, se deben, según sea necesario, verificar y utilizar las siguientes propiedades de la función:

• continuidad;
• monótono;
• diferenciabilidad;
• par, impar, periodicidad, etc.

Las tareas sencillas para encontrar el conjunto de valores de una función en su mayoría están orientadas a:

a) utilizar las estimaciones y restricciones más simples: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1, etc.);

b) aislar un cuadrado completo: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) para la transformación expresiones trigonométricas: 2sen 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sen 2 x +1;

d) utilizando la monotonicidad de la función x 1/3 + 2 x-1 aumenta en R.

III. Consideremos formas de encontrar los rangos de funciones.

a) encontrar secuencialmente los valores de argumentos de funciones complejas;
b) método de estimación;
c) uso de las propiedades de continuidad y monotonicidad de una función;
d) uso de derivados;
e) utilizar los valores mayor y menor de la función;
f) método gráfico;
g) método de entrada de parámetros;
h) método de la función inversa.

Revelemos la esencia de estos métodos utilizando ejemplos específicos.

Ejemplo 1: encontrar el rango mi(y) funciones y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).

Resolvamos este ejemplo usando el método hallazgo secuencial valores de argumentos de funciones complejas. Habiendo resaltado cuadrado perfecto bajo el logaritmo, transformamos la función

y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

Y encontraremos secuencialmente los conjuntos de valores de sus argumentos complejos:

mi(3 x) = (0;+∞), mi(3 x + 1) = (1;+∞), mi(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), mi(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

denotemos t= 5 – (3 x +1) 2, donde -∞≤ t≤4. Así, el problema se reduce a encontrar el conjunto de valores de la función y = log 0,5 t en el rayo (-∞;4) . Dado que la función y = log 0,5 t está definida solo para, su conjunto de valores en el rayo (-∞;4) coincide con el conjunto de valores de la función en el intervalo (0;4), que es la intersección del rayo (-∞;4) con dominio de definición (0;+∞) función logarítmica. En el intervalo (0;4) esta función es continua y decreciente. En t> 0 tiende a +∞, y cuando t= 4 toma el valor -2, entonces mi(y) =(-2, +∞).

Ejemplo 2: encontrar el rango de una función

y = cos7x + 5cosx

Resolvamos este ejemplo usando el método de estimación, cuya esencia es estimar una función continua desde abajo y desde arriba y demostrar que la función alcanza los límites inferior y superior de las estimaciones. En este caso, la coincidencia del conjunto de valores de la función con el intervalo desde el límite inferior de la estimación hasta el superior está determinada por la continuidad de la función y la ausencia de otros valores para la misma.

De las desigualdades -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 obtenemos la estimación -6≤y?6. En x = p y x = 0, la función toma los valores -6 y 6, es decir alcanza los límites inferior y superior de la estimación. Como combinación lineal de las funciones continuas cos7x y cosx, la función y es continua en todo eje numérico, por tanto, por propiedad de una función continua, toma todos los valores desde -6 hasta 6 inclusive, y solo ellos, ya que debido a las desigualdades -6≤y?6, otros valores le son imposibles. Por eso, mi(y)= [-6;6].

Ejemplo 3: encontrar el rango mi(f) funciones f(x)= cos2x + 2cosx.

Usando la fórmula del coseno doble angulo transformar la función f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 y denota t= cosx. Entonces f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Desde mi(cosx) =

[-1;1], entonces el rango de valores de la función f(x) coincide con el conjunto de valores de la función g (t)= 2t 2 + 2t – 1 en el segmento [-1;1], que encontraremos método gráfico. Habiendo trazado la función y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 en el intervalo [-1;1], encontramos mi(f) = [-1,5; 3].

Nota: muchos problemas con un parámetro se reducen a encontrar el conjunto de valores de una función, principalmente relacionados con la solubilidad y número de soluciones de ecuaciones y desigualdades. Por ejemplo, la ecuación f(x)= a es solucionable si y sólo si

un mi(f) Asimismo, la Ec. f(x)= a tiene al menos una raíz ubicada en algún intervalo X, o no tiene una sola raíz en este intervalo si y sólo si a pertenece o no al conjunto de valores de la función f(x) en el intervalo X. También estudiado utilizando un conjunto de valores de función y desigualdades. f(x)≠ A, f(x)> un, etc. En particular, f(x)≠ y para todos los valores admisibles de x, si a E(f)

Ejemplo 4. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) tiene una raíz única en el intervalo [-4;-1].

Escribamos la ecuación en la forma (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. La última ecuación tiene al menos una raíz en el intervalo [-4;-1] si y sólo si a pertenece al conjunto de valores de la función f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) en el segmento [-4;-1]. Encontremos este conjunto usando la propiedad de continuidad y monotonicidad de la función.

En el intervalo [-4;-1] la función y = xІ + 4 es continua, decreciente y positiva, por lo tanto la función g(x) = 1/(x 2 + 4) es continua y aumenta en este segmento, ya que al dividirla por función positiva la naturaleza de la monotonicidad de la función cambia a lo contrario. Función h(x) =(x + 5) 1/2 es continua y creciente en su dominio de definición D(h) =[-5;+∞) y, en particular, en el segmento [-4;-1], donde además es positivo. Entonces la función f(x)=g(x) h(x), como producto de dos funciones continuas, crecientes y positivas, también es continua y creciente en el segmento [-4;-1], por lo tanto su conjunto de valores en [-4;-1] es el segmento [ f(-4); f(-1)] = . En consecuencia, la ecuación tiene solución en el intervalo [-4;-1], y la única (por la propiedad de la continua función monótona), en 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Comentario. Solubilidad de la ecuación f(x) = a en un determinado intervalo X equivale a pertenecer a los valores del parámetro A conjunto de valores de función f(x) en X. En consecuencia, el conjunto de valores de la función f(x) en el intervalo X coincide con el conjunto de valores de parámetros A, para lo cual la ecuación f(x) = a tiene al menos una raíz en el intervalo X. En particular, el rango de valores mi(f) funciones f(x) coincide con el conjunto de valores de parámetros A, para lo cual la ecuación f(x) = a tiene al menos una raíz.

Ejemplo 5: encontrar el rango mi(f) funciones

Resolvamos el ejemplo introduciendo un parámetro según el cual mi(f) coincide con el conjunto de valores de parámetros A, para lo cual la ecuación

tiene al menos una raíz.

Cuando a = 2, la ecuación es lineal - 4x - 5 = 0 con un coeficiente distinto de cero para x desconocida, por lo tanto tiene solución. Para a≠2, la ecuación es cuadrática, por lo que tiene solución si y sólo si su discriminante

Dado que el punto a = 2 pertenece al segmento

luego el conjunto deseado de valores de parámetros A, por lo tanto, el rango de valores mi(f) será todo el segmento.

Cómo desarrollo directo método para introducir un parámetro al encontrar un conjunto de valores de funciones, puede considerar el método de la función inversa, para encontrar cuál debe resolver la ecuación para x f(x)=y, considerando y como un parámetro. Si esta ecuación tiene la única solución x =g(y), entonces el rango de valores mi(f) función original f(x) coincide con el dominio de definición D(g) función inversa g(y). Si la ecuación f(x)=y tiene varias soluciones x = g 1 (y), x = g 2 (y) etc., entonces mi(f) es igual a la unión de los dominios de la función gramo 1 (y), gramo 2 (y) etc.

Ejemplo 6: encontrar el rango mi(y) funciones y = 5 2/(1-3x).

De la ecuación.

encontraremos función inversa x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) y su dominio de definición D(x):

Como la ecuación para x tiene una solución única, entonces

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

Si el dominio de definición de una función consta de varios intervalos o la función está definida en diferentes intervalos diferentes fórmulas, luego, para encontrar el rango de valores de una función, debes encontrar los conjuntos de valores de la función en cada intervalo y tomar su unión.

Ejemplo 7: buscar rangos f(x) Y f(f(x)), Dónde

f(x) en el rayo (-∞;1], donde coincide con la expresión 4 x + 9 4 -x + 3. Denotemos t = 4x. Entonces f(x) = t + 9/t + 3, donde 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) en el rayo (-∞;1] coincide con el conjunto de valores de la función gramo(t) = t + 9/t + 3, en el intervalo (0;4], que encontramos usando la derivada g’(t) = 1 – 9/t 2. En el intervalo (0;4] derivada g'(t) se define y desaparece allí en t = 3. A las 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция gramo(t) disminuye, y en el intervalo (3;4) aumenta, permaneciendo continuo durante todo el intervalo (0;4), por lo que g (3)= 9 – el valor más pequeño de esta función en el intervalo (0;4], mientras que su valor más grande no existe, entonces cuando t→0 función a la derecha g(t)→+∞. Entonces, por la propiedad de una función continua, el conjunto de valores de la función gramo(t) en el intervalo (0;4], y por lo tanto un conjunto de valores f(x) en (-∞;-1], habrá un rayo.

Ahora, combinando los intervalos - los conjuntos de valores de funciones f(f(x)), denotar t = f(x). Entonces f(f(x)) = pie), donde para lo especificado t función pie)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 y nuevamente toma todos los valores del 5 al 9 inclusive, es decir rango E(fІ) = E(f(f(x))) =.

De manera similar, denotando z = f(f(x)), puedes encontrar el rango de valores mi(f 3) funciones f(f(f(x))) = f(z), donde 5 ≤ z ≤ 9, etc. Cerciorarse mi(f 3) = .

El método más universal para encontrar un conjunto de valores de funciones es utilizar los valores mayor y menor de la función en un intervalo determinado.

Ejemplo 8. ¿En qué valores de parámetros? r desigualdad 8 x - ð ≠ 2 x+1 – 2 x se cumple para todos -1 ≤ x< 2.

habiendo designado t = 2x, escribimos la desigualdad en la forma ð ≠ t 3 – 2t 2 + t. Porque t = 2x– función de aumento continuo en R, entonces para -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤t<2 2 ↔

0,5 ≤t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда r diferente de los valores de la función f(t) = t 3 – 2t 2 + t a 0,5 ≤ t< 4.

Primero encontremos el conjunto de valores de la función. pie) en el segmento donde tiene una derivada en todas partes f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Por eso, pie) es diferenciable y, por tanto, continua en el intervalo. De la ecuación. f'(t) = 0 encontrar los puntos críticos de la función t = 1/3, t = 1, el primero de los cuales no pertenece al segmento y el segundo sí. Porque f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, entonces, según la propiedad de una función diferenciable, 0 es el valor más pequeño y 36 es el valor más grande de la función pie) en el segmento. Entonces pie), como función continua, toma en el intervalo todos los valores de 0 a 36 inclusive, y el valor 36 toma solo cuando t=4, por lo tanto, para 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Tomemos un problema en el que necesitamos determinar el rango de valores del arcoseno.

Ejemplo 1

Condición: encuentre el rango de valores y = a r c sen x .

Solución

En el caso general, el dominio de definición del arcoseno se sitúa en el segmento [- 1 ; 1]. Necesitamos determinar el valor mayor y menor de la función especificada en él.

y " = a r c sen x " = 1 1 - x 2

Sabemos que la derivada de la función será positiva para todos los valores de x ubicados en el intervalo [-1; 1 ], es decir, en todo el dominio de definición, la función arcoseno aumentará. Esto significa que tomará el valor más pequeño cuando x sea igual a - 1, y el valor más grande será cuando x sea igual a 1.

metro yo norte x ∈ - 1 ; 1 a r c sen x = a r c sen - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sen x = a r c sen 1 = π 2

Por tanto, el rango de valores de la función arcoseno será igual a E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

Respuesta: E (ar c sen x) = - π 2 ; π 2

Ejemplo 2

Condición: calcule el rango de valores y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 en el intervalo dado [ 1 ; 4].

Solución

Todo lo que necesitamos hacer es calcular el valor mayor y menor de la función en un intervalo dado.

Para determinar los puntos extremos se deben realizar los siguientes cálculos:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 y 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 4 ; = 15 + 33 8 ≈ 2 .

Ahora encontremos los valores de la función dada en los extremos del segmento y los puntos x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Esto significa que el conjunto de valores de la función estará determinado por el segmento 117 - 165 33 512; 32.

Respuesta: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Pasemos a encontrar el conjunto de valores de la función continua y = f (x) en los intervalos (a ; b), y a ; + ∞ , - ∞ ; segundo, - ∞; + ∞ .

Comencemos determinando los puntos más grande y más pequeño, así como los intervalos de aumento y disminución en un intervalo dado. Después de esto, necesitaremos calcular límites unilaterales en los extremos del intervalo y/o límites en el infinito. En otras palabras, necesitamos determinar el comportamiento de la función en determinadas condiciones. Disponemos de todos los datos necesarios para ello.

Ejemplo 3

Condición: calcule el rango de la función y = 1 x 2 - 4 en el intervalo (- 2 ; 2).

Solución

Determinar el valor mayor y menor de una función en un segmento dado

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Obtuvimos un valor máximo igual a 0, ya que es en este punto cuando cambia el signo de la función y la gráfica comienza a disminuir. Ver ilustración:

Es decir, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 será el valor máximo de la función.

Ahora determinemos el comportamiento de la función para una x que tiende a - 2 s lado derecho y k + 2 en el lado izquierdo. En otras palabras, encontramos límites unilaterales:

lím x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lím x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lím x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lím x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Resulta que los valores de la función aumentarán de menos infinito a - 1 4 cuando el argumento cambie de - 2 a 0. Y cuando el argumento cambia de 0 a 2, los valores de la función disminuyen hacia menos infinito. Por tanto, el conjunto de valores de una función dada en el intervalo que necesitamos será (- ∞ ; - 1 4 ] .

Respuesta: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Ejemplo 4

Condición: indique el conjunto de valores y = t g x en un intervalo dado - π 2; π 2.

Solución

Sabemos que en el caso general la derivada de la tangente es - π 2; π 2 será positivo, es decir, la función aumentará. Ahora determinemos cómo se comporta la función dentro de los límites dados:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Hemos obtenido un aumento en los valores de la función de menos infinito a más infinito cuando el argumento cambia de - π 2 a π 2, y podemos decir que el conjunto de soluciones de esta función será el conjunto de todos los reales. números.

Respuesta: - ∞ ; + ∞ .

Ejemplo 5

Condición: determine el rango de la función logaritmo natural y = ln x.

Solución

sabemos que esta función se define para valores positivos del argumento D(y) = 0; + ∞ . La derivada en un intervalo dado será positiva: y " = ln x " = 1 x . Esto significa que la función aumenta en él. A continuación necesitamos definir un límite unilateral para el caso en el que el argumento tiende a 0 (en el lado derecho) y cuando x tiende al infinito:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Descubrimos que los valores de la función aumentarán de menos infinito a más infinito a medida que los valores de x cambian de cero a más infinito. Esto significa que el conjunto de todos los números reales es el rango de valores de la función logaritmo natural.

Respuesta: el conjunto de todos los números reales es el rango de valores de la función logaritmo natural.

Ejemplo 6

Condición: determine el rango de la función y = 9 x 2 + 1 .

Solución

Esta función se define siempre que x sea un número real. Calculemos los valores mayor y menor de la función, así como los intervalos de su aumento y disminución:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Como resultado, determinamos que esta función disminuirá si x ≥ 0; aumentar si x ≤ 0 ; tiene un punto máximo y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 con una variable igual a 0.

Veamos cómo se comporta la función en el infinito:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Del registro se desprende claramente que los valores de la función en este caso se aproximarán asintóticamente a 0.

En resumen: cuando el argumento cambia de menos infinito a cero, los valores de la función aumentan de 0 a 9. Cuando los valores de los argumentos cambian de 0 a más infinito, los valores de la función correspondiente disminuirán de 9 a 0. Esto lo hemos mostrado en la figura:

Se muestra que el rango de valores de la función será el intervalo E (y) = (0 ; 9 ]

Respuesta: mi (y) = (0 ; 9 ]

Si necesitamos determinar el conjunto de valores de la función y = f (x) en los intervalos [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , entonces necesitaremos realizar exactamente los mismos estudios. No analizaremos estos casos por ahora: los encontraremos más adelante en problemas.

Pero ¿qué pasa si el dominio de definición de una determinada función es la unión de varios intervalos? Luego necesitamos calcular los conjuntos de valores en cada uno de estos intervalos y combinarlos.

Ejemplo 7

Condición: determina cuál será el rango de valores y = x x - 2.

Solución

Dado que el denominador de la función no debe convertirse en 0, entonces D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Comencemos definiendo el conjunto de valores de la función en el primer segmento - ∞; 2, que es una viga abierta. Sabemos que la función disminuirá, es decir, la derivada de esta función será negativa.

lím x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lím x → - ∞ x x - 2 = lím x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lím x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Luego, en los casos en que el argumento cambie hacia menos infinito, los valores de la función se acercarán asintóticamente a 1. Si los valores de x cambian de menos infinito a 2, entonces los valores disminuirán de 1 a menos infinito, es decir la función en este segmento tomará valores del intervalo - ∞; 1. Excluimos la unidad de nuestras consideraciones, ya que los valores de la función no la alcanzan, sino que solo se acercan asintóticamente a ella.

Para viga abierta 2; + ∞ realizamos exactamente las mismas acciones. La función en él también es decreciente:

lím x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lím x → + ∞ x x - 2 = lím x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lím x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Los valores de la función en un segmento dado están determinados por el conjunto 1; + ∞ . Esto significa que el rango de valores que necesitamos para la función especificada en la condición será la unión de conjuntos - ∞; 1 y 1; + ∞ .

Respuesta: mi(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Esto se puede ver en el gráfico:

Un caso especial son las funciones periódicas. Su rango de valores coincide con el conjunto de valores del intervalo que corresponde al período de esta función.

Ejemplo 8

Condición: determine el rango de valores de seno y = sen x.

Solución

El seno es una función periódica y su período es 2 pi. Tome el segmento 0; 2 π y vea cuál será el conjunto de valores que contiene.

y " = (sen x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Dentro de 0; 2 π la función tendrá puntos extremos π 2 y x = 3 π 2 . Calculemos a qué serán iguales los valores de la función en ellos, así como en los límites del segmento, y luego elijamos el valor más grande y más pequeño.

y (0) = sen 0 = 0 y π 2 = sen π 2 = 1 y 3 π 2 = sen 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sen (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sen x = sen 3 π 2 = - 1, máx x ∈ 0; 2 π sen x = sen π 2 = 1

Respuesta: mi (sen x) = - 1 ; 1.

Si necesita conocer los rangos de funciones como potencia, exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométrica inversa, le recomendamos que vuelva a leer el artículo sobre funciones elementales básicas. La teoría que aquí presentamos nos permite verificar los valores allí expresados. Es recomendable aprenderlos porque muchas veces son necesarios para resolver problemas. Si conoce los rangos de funciones básicas, podrá encontrar fácilmente los rangos de funciones que se obtienen a partir de funciones elementales mediante una transformación geométrica.

Ejemplo 9

Condición: determine el rango de valores y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Solución

Sabemos que el segmento de 0 a pi es el rango del arcocoseno. En otras palabras, E (ar c cos x) = 0; π o 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Podemos obtener la función a r c cos x 3 + 5 π 7 del arco coseno moviéndolo y estirándolo a lo largo del eje O x, pero tales transformaciones no nos darán nada. Esto significa 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

La función 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 se puede obtener a partir del arco coseno a r c cos x 3 + 5 π 7 estirándola a lo largo del eje de ordenadas, es decir 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La transformación final es un desplazamiento a lo largo del eje O y en 4 valores. Como resultado, obtenemos una doble desigualdad:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Descubrimos que el rango de valores que necesitamos será igual a E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Respuesta: mi(y) = - 4 ; 3 π - 4 .

Anotaremos otro ejemplo sin explicación, porque es completamente similar al anterior.

Ejemplo 10

Condición: calcula cuál será el rango de la función y = 2 2 x - 1 + 3.

Solución

Reescribamos la función especificada en la condición como y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Para una función de potencia y = x - 1 2 el rango de valores se definirá en el intervalo 0; + ∞, es decir x - 1 2 > 0 . En este caso:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Entonces E(y) = 3; + ∞ .

Respuesta: E(y) = 3; + ∞ .

Ahora veamos cómo encontrar el rango de valores de una función que no es continua. Para hacer esto, necesitamos dividir el área completa en intervalos y encontrar conjuntos de valores en cada uno de ellos, y luego combinar lo que obtenemos. Para comprender mejor esto, le recomendamos que revise los principales tipos de puntos de interrupción de funciones.

Ejemplo 11

Condición: función dada y = 2 sen x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calcule su rango de valores.

Solución

Esta función está definida para todos los valores de x. Analicemos la continuidad para valores de argumento iguales a - 3 y 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lím x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lím x → - 3 - 0 f (x) ≠ lím x → - 3 + 0 f (x)

Tenemos una discontinuidad inamovible del primer tipo con el valor del argumento - 3. A medida que nos acercamos, los valores de la función tienden a - 2 sen 3 2 - 4, y cuando x tiende a - 3 en el lado derecho, los valores tenderán a - 1.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Tenemos una discontinuidad inamovible del segundo tipo en el punto 3. Cuando una función tiende a él, sus valores se acercan a - 1, cuando tiende al mismo punto a la derecha - a menos infinito.

Esto significa que todo el dominio de definición de esta función se divide en 3 intervalos (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

En el primero de ellos obtuvimos la función y = 2 sen x 2 - 4. Como - 1 ≤ sin x ≤ 1, obtenemos:

1 ≤ pecado x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Esto significa que en un intervalo dado (- ∞ ; - 3 ] el conjunto de valores de la función es [- 6 ; 2 ] .

En el medio intervalo (- 3 ; 3 ] resultó función constante y = - 1 . En consecuencia, todo el conjunto de sus valores en en este caso se reducirá a un número: 1.

En el segundo intervalo 3 ; + ∞ tenemos la función y = 1 x - 3 . Es decreciente porque y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Esto significa que el conjunto de valores de la función original para x > 3 es el conjunto 0; + ∞ . Ahora combinemos los resultados: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Respuesta: mi(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

La solución se muestra en el gráfico:

Ejemplo 12

Condición: existe una función y = x 2 - 3 e x. Determine el conjunto de sus valores.

Solución

Se define para todos los valores de argumento que representan números reales. Determinemos en qué intervalos aumentará esta función y en cuáles disminuirá:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Sabemos que la derivada será 0 si x = - 1 y x = 3. Coloquemos estos dos puntos en el eje y averigüemos qué signos tendrá la derivada en los intervalos resultantes.

La función disminuirá en (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) y aumentará en [ - 1 ; 3]. El punto mínimo será - 1, el máximo - 3.

Ahora busquemos los valores de función correspondientes:

y (- 1) = - 1 2 - 3 mi - 1 = - 2 mi y (3) = 3 2 - 3 mi 3 = 6 mi - 3

Veamos el comportamiento de la función en el infinito:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Para calcular el segundo límite se utilizó la regla de L'Hopital. Representemos el progreso de nuestra solución en un gráfico.

Muestra que los valores de la función disminuirán de más infinito a - 2 e cuando el argumento cambie de menos infinito a - 1. Si cambia de 3 a más infinito, entonces los valores disminuirán de 6 e - 3 a 0, pero no se alcanzará 0.

Por tanto, E(y) = [- 2 e ; + ∞) .

Respuesta: mi(y) = [ - 2 mi ; + ∞)

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Tema 19. Función. Dominio y conjunto de valores de una función.

La función es uno de los conceptos matemáticos más importantes.

Definición: Si cada número de un determinado conjunto x está asociado singular y, entonces decimos que la función y(x) está dada en este conjunto. En este caso, x se llama variable independiente o argumento, y y se llama variable dependiente o valor de una función o simplemente una función.

También se dice que la variable y es función de la variable x.

Habiendo denotado una coincidencia con una letra, por ejemplo f, conviene escribir: y=f (x), es decir, el valor y se obtiene del argumento x utilizando la coincidencia f. (Lea: y es igual a f de x.) El símbolo f (x) denota el valor de la función correspondiente al valor del argumento igual a x.

Ejemplo 1 Sea la función dada por la fórmula y=2x 2 –6. Entonces podemos escribir que f(x)=2x 2 –6. Encontremos los valores de la función para valores de x iguales a, por ejemplo, 1; 2,5;–3; es decir, encontramos f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Tenga en cuenta que en la notación de la forma y=f (x) se utilizan otras letras en lugar de f: g, etc.

Definición: El dominio de una función son todos los valores de x para los que existe la función.

Si una función se especifica mediante una fórmula y su dominio de definición no se especifica, entonces se considera que el dominio de definición de la función está formado por todos los valores del argumento para los cuales la fórmula tiene sentido.

En otras palabras, el dominio de definición de una función, fórmula dada, son todos los valores del argumento excepto aquellos que resultan en acciones que no podemos realizar. En en este momento sólo conocemos dos de esas acciones. No podemos dividir por cero y no podemos extraer. raíz cuadrada de un número negativo.

Definición: Todos los valores que toma la variable dependiente forman el rango de la función.

El dominio de definición de una función que describe un proceso real depende de las condiciones específicas de su ocurrencia. Por ejemplo, la dependencia de la longitud l de una barra de hierro de la temperatura de calentamiento t se expresa mediante la fórmula, donde l 0 es la longitud inicial de la barra y es el coeficiente expansión lineal. Esta fórmula tiene sentido para cualquier valor de t. Sin embargo, el dominio de definición de la función l=g(t) es un intervalo de varias decenas de grados, para el cual es válida la ley de expansión lineal.

Ejemplo.

Especificar el rango de función y = arcosenx.

Solución.

El dominio de definición del arcoseno es el segmento. [-1; 1] . Encontremos el valor más grande y más pequeño de la función en este segmento.

La derivada es positiva para todos. incógnita desde el intervalo (-1; 1) , es decir, la función arcoseno aumenta en todo el dominio de definición. Por lo tanto, toma el valor más pequeño cuando x = -1, y el más grande en x = 1.

Hemos obtenido el rango de la función arcoseno. .

Encuentra el conjunto de valores de la función. en el segmento .

Solución.

Encontremos el valor más grande y más pequeño de la función en un segmento dado.

Determinemos los puntos extremos pertenecientes al segmento. :