Cómo graficar una función lineal fraccionaria. Lección “Función lineal fraccionaria y su gráfica

Aquí los coeficientes para incógnita Y miembros libres en el numerador y denominador - dado números reales. Gráfica de una función lineal fraccionaria en caso general es hipérbola.

La función lineal fraccionaria más simple. y = - Tú-

huelgas contrarrestar dependencia proporcional ; la hipérbola que lo representa es bien conocida por el curso escuela secundaria(Figura 5.5).

Arroz. 5.5

Ejemplo. 5.3

Construya una gráfica de una función fraccionaria lineal:

• 1. Dado que esta fracción no tiene sentido cuando x = 3, Eso dominio de la función X consta de dos intervalos infinitos:
• 3) y (3; +°°).

2. Para estudiar el comportamiento de una función en el límite del dominio de definición (es decir, cuando incógnita-»3 y en incógnita-> ±°°), es útil para convertir esta expresión a la suma de dos términos de la siguiente manera:

Dado que el primer término es constante, el comportamiento de la función en la frontera en realidad está determinado por el segundo término variable. Habiendo estudiado el proceso de su cambio, cuando incógnita->3 y incógnita->±°°, lo hacemos las siguientes conclusiones relativamente función dada:

• a) para x->3 bien(es decir, para *>3) el valor de la función aumenta sin límite: en-> +°°: en x->3 izquierda(es decir, en x y - Por lo tanto, la hipérbola deseada se acerca a la línea recta sin límite con la ecuación x = 3 (abajo a la izquierda Y arriba a la derecha) y por lo tanto esta línea recta es asíntota vertical hipérbole;
• b) en x->±°° el segundo término disminuye sin límite, por lo que el valor de la función se acerca al primer término constante sin límite, es decir valorar y = 2. En este caso, la gráfica de la función se aproxima sin límite. (abajo izquierda y arriba derecha) a la recta dada por la ecuación y = 2; por lo tanto esta línea es asíntota horizontal hipérbole.

Comentario. La información obtenida en este apartado es la más importante para caracterizar el comportamiento de la gráfica de una función en la parte remota del plano (en sentido figurado, en el infinito).

• 3. Suponiendo l = 0, encontramos y = ~. Por lo tanto, la humedad deseada

la perbola corta el eje Oh en el punto M x = (0;-^).

• 4. Función cero ( en= 0) estará en incógnita= -2; por lo tanto, esta hipérbola corta el eje Oh en el punto M 2 (-2; 0).
• 5. Una fracción es positiva si el numerador y el denominador tienen el mismo signo, y negativa si tienen signos diferentes. Resolviendo los correspondientes sistemas de desigualdades, encontramos que la función tiene dos intervalos positivos: (-°°; -2) y (3; +°°) y un intervalo negativo: (-2; 3).
• 6. Representar una función como la suma de dos términos (ver punto 2) hace que sea bastante fácil detectar dos intervalos de disminución: (-°°; 3) y (3; +°°).
• 7. Obviamente, esta función no tiene extremos.
• 8. Establezca Y de los valores de esta función: (-°°; 2) y (2; +°°).
• 9. Tampoco existe par, impar ni periodicidad. Información recopilada suficiente para esquemáticamente

dibujar una hipérbole gráficamente reflejando las propiedades de esta función (figura 5.6).

Arroz. 5.6

Las funciones analizadas hasta este punto se denominan algebraico. Pasemos ahora a considerar trascendental funciones.

Municipal institución educativa

"Promedio Escuela secundaria N° 24"

Problemático – trabajo abstracto

sobre álgebra y principios de análisis

Gráficas de funciones racionales fraccionarias.

Alumnos del 11º grado A Natalia Sergeevna Tovchegrechko supervisora ​​de trabajo Valentina Vasilievna Parsheva profesora de matemáticas, profesora de educación superior categoría de calificación

Severodvinsk

Introducción

N / A. Virchenko, I.I. Lyashko, K.I. Shvetsov. Directorio. Gráficos de funciones. Kyiv “Naukova Dumka” 1979 V.S. Kramor. Repetir y sistematizar curso escolarÁlgebra y los inicios del análisis. Moscú “Ilustración” 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Álgebra - 8vo grado. Capítulos adicionales a libro de texto escolar. “Ilustración” de Moscú, 1998 I.M. Gelfand, por ejemplo. Glagoleva, E.E. Shnol. Funciones y gráficas (técnicas básicas). Editorial MCNMO, Moscú 2004 S.M. Nikolski. M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. Álgebra y principios del análisis: libro de texto para el grado 11.
Vi que los gráficos funciones complejas se puede construir sin utilizar una derivada, es decir de manera elemental. Por lo tanto, elegí el tema de mi ensayo: "Gráficas de funciones racionales fraccionarias".

Parte principal. Gráficas de funciones racionales fraccionarias.

1. Fraccionada - función lineal y su gráfica

Arroz. 1

.

Representemos la expresión del lado derecho de esta fórmula como una fracción:

Esto significa que la Figura 2 muestra una gráfica de la función dada por la fórmula

.

Esta fracción tiene un numerador y denominador que son binomios lineales con respecto a x. Estas funciones se denominan funciones lineales fraccionarias.

En general, la función dado por la fórmula amable
, Dónde
x es una variable, a,

.

Si bc-ad=0, с≠0, expresando b a partir de esta igualdad mediante a, cyd y sustituyéndolo en la fórmula, obtenemos:

Entonces, en el primer caso obtuvimos una función lineal vista general
, en el segundo caso – una constante
. Veamos ahora cómo trazar una función fraccionaria lineal si está dada por una fórmula de la forma
Ejemplo 2. Trazamos la función
, es decir. presentémoslo en la forma
: seleccionamos la parte entera de la fracción, dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos:

Entonces,
. Vemos que la gráfica de esta función se puede obtener a partir de la gráfica de la función y=5/x usando dos desplazamientos sucesivos: desplazando la hipérbola y=5/x hacia la derecha 3 unidades, y luego desplazando la hipérbola resultante
hacia arriba en 2 unidades Con estos desplazamientos, las asíntotas de la hipérbola y = 5/x también se moverán: el eje x 2 unidades hacia arriba y el eje y 3 unidades hacia la derecha. Para construir una gráfica, dibujamos asíntotas en el plano de coordenadas con una línea de puntos: la línea recta y=2 y la línea recta x=3. Como la hipérbola consta de dos ramas, para construir cada una de ellas componeremos dos tablas: una para x<3, а другую для x>3 (es decir, la primera está a la izquierda del punto de intersección de las asíntotas, y la segunda está a la derecha del mismo):

me gusta cualquier fraccion
se puede escribir de forma similar, destacando toda su parte. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, desplazadas en paralelo de varias maneras. ejes de coordenadas y estirado a lo largo del eje Oy.

Ejemplo 3.

Trazamos la función
.Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, basta con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas (asíntotas), y algunos puntos más. Encontremos primero la asíntota vertical. La función no está definida donde 2x+2=0, es decir en x=-1. Por tanto, la asíntota vertical es la recta x = -1. Para encontrar la asíntota horizontal, debe observar a qué se aproximan los valores de la función cuando el argumento aumenta (por valor absoluto), los segundos términos del numerador y denominador de la fracción
relativamente pequeño. Es por eso

.

Por lo tanto, asíntota horizontal– recta y=3/2. Determinemos los puntos de intersección de nuestra hipérbola con los ejes de coordenadas. En x=0 tenemos y=5/2. La función es igual a cero cuando 3x+5=0, es decir en x=-5/3 Marcando los puntos (-5/3;0) y (0;5/2) en el dibujo y dibujando la horizontal y la encontrada. asíntotas verticales, construyamos un gráfico (Fig. 4).

En general, para encontrar la asíntota horizontal, es necesario dividir el numerador por el denominador, entonces y=3/2+1/(x+1), y=3/2 es la asíntota horizontal.

2. Función racional fraccionaria

,

En el que el numerador y denominador son polinomios de n-ésimo y mesésimo grado. Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы numero finito fracciones elementales, cuya forma se determina descomponiendo el denominador de la fracción Q(x) en el producto de factores reales: Si:

Donde k 1 ... k s son las raíces del polinomio Q (x), que tienen, respectivamente, multiplicidades m 1 ... m s, y los trinomios corresponden a pares de conjugación raíces complejas Q (x) multiplicidad m 1 ... m t de una fracción de la forma

Llamado elemental fracciones racionales los tipos primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Aquí A, B, C, k son números reales; m y m - números naturales, m, m>1; un trinomio con coeficientes reales x 2 +px+q tiene raíces imaginarias Obviamente, la gráfica de una función fraccionaria-racional se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales. Gráfica de una función

Obtenemos de la gráfica de la función 1/x m (m~1, 2, ...) usando transferencia paralela a lo largo del eje x por │k│ unidades de escala hacia la derecha. Gráfica de una función de la forma

Es fácil de construir si seleccionas en el denominador. cuadrado perfecto, y luego realizar la correspondiente formación de la gráfica de la función 1/x 2. Graficar una función

Todo se reduce a construir el producto de gráficas de dos funciones:

y= bx+ do Y

Dónde a db c 0 ,
,

donde norte - número natural, puede ser realizado por esquema general investigar una función y trazar una gráfica en algunos ejemplos específicos puede construir con éxito un gráfico realizando las transformaciones de gráfico adecuadas; mejor manera dar metodos matemáticas superiores. Ejemplo 1. Grafica la función

.

Habiendo aislado toda la parte, tenemos

.

Fracción
Representémoslo como una suma de fracciones elementales:

.

Construyamos gráficas de funciones:

Después de sumar estas gráficas, obtenemos una gráfica de la función dada:

Las figuras 6, 7, 8 presentan ejemplos de construcción de gráficos de funciones.
Y
. Ejemplo 2. Graficar una función
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

Conclusión

donde norte

Creó un algoritmo para trazar gráficas de estas funciones;

Adquirió experiencia en el trazado de funciones como:

;

Aprendí a trabajar con literatura y materiales adicionales, a seleccionar información científica; adquirí experiencia en la realización de trabajos gráficos en una computadora; aprendí a escribir trabajos abstractos basados ​​en problemas;

Anotación. En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y especulaciones sobre la autopista de la información y la próxima era de la tecnología.

En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y especulaciones sobre la autopista de la información y la próxima era de la tecnología.

1. Función lineal fraccionaria y su gráfica

Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se llama función racional fraccionaria.

Probablemente ya estés familiarizado con el concepto de números racionales. Asimismo funciones racionales son funciones que se pueden representar como el cociente de dos polinomios.

Si una función racional fraccionaria es el cociente de dos funciones lineales, polinomios de primer grado, es decir función de la forma

y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama lineal fraccionario.

Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario la la función es constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales excepto x = -d/c. Las gráficas de funciones lineales fraccionarias no difieren en forma de la gráfica y = 1/x que conoces. Una curva que es una gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x disminuye ilimitadamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan a la abscisa: la derecha se acerca desde arriba y la izquierda desde abajo. Las líneas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.

Ejemplo 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Solución.

Seleccionemos la parte completa: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazamiento de 3 segmentos unitarios hacia la derecha, estirándose a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazándose 2 segmentos unitarios hacia arriba.

Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de forma similar, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, desplazadas de diversas formas a lo largo de los ejes de coordenadas y estiradas a lo largo del eje Oy.

Para construir una gráfica de cualquier función lineal fraccionaria arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas: las asíntotas de la hipérbola x = -d/cy y = a/c.

Ejemplo 2.

Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solución.

La función no está definida, en x = -1. Esto significa que la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se aproximan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.

Para hacer esto, divide el numerador y denominador de la fracción por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ la fracción tenderá a 3/2. Esto significa que la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.

Ejemplo 3.

Grafica la función y = (2x + 1)/(x + 1).

Solución.

Seleccionemos la “parte entera” de la fracción:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una visualización simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de 2 segmentos unitarios hacia arriba a lo largo del eje Oy.

Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función aumenta en cada intervalo del dominio de definición.

Respuesta: Figura 1.

2. Función racional fraccionaria

Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado superior al primero.

Ejemplos de tales funciones racionales:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) o y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la función y = P(x) / Q(x) representa el cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfica será, por regla general, más compleja y, a veces, puede resultar difícil construirla con precisión. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces basta con utilizar técnicas similares a las que ya hemos presentado anteriormente.

Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.

Trazar gráficas de funciones racionales fraccionarias

Consideremos varias formas de construir gráficas de una función racional fraccionaria.

Ejemplo 4.

Dibuja una gráfica de la función y = 1/x 2.

Solución.

Usamos la gráfica de la función y = x 2 para construir una gráfica de y = 1/x 2 y usamos la técnica de “dividir” las gráficas.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rango de valores E(y) = (0; +∞).

No hay puntos de intersección con los ejes. La función es par. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x de 0 a +∞.

Respuesta: Figura 2.

Ejemplo 5.

Grafica la función y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Solución.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.

Respuesta: Figura 3.

Ejemplo 6.

Grafica la función y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Solución.

El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Antes de construir un gráfico, transformemos nuevamente la expresión, resaltando toda la parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Tenga en cuenta que aislar la parte entera en la fórmula de una función racional fraccionaria es una de las principales al construir gráficas.

Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Respuesta: Figura 4.

Ejemplo 7.

Consideremos la función y = x/(x 2 + 1) e intentemos encontrar con precisión su valor más grande, es decir el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Obviamente, nuestra curva no puede “subir” muy alto, porque el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, necesitamos resolver la ecuación x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, necesitas averiguar en qué A más grande tendrá solución la ecuación A = x/(x 2 + 1). Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 – x + A = 0. Esta ecuación tiene solución cuando 1 – 4A 2 ≥ 0. De aquí encontramos el valor más grande A = 1/2.

Respuesta: Figura 5, máx y(x) = ½.

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En esta lección veremos la función lineal fraccionaria, resolveremos problemas usando la función lineal fraccionaria, módulo y parámetro.

Tema: repetición

Lección: Función lineal fraccionaria

Definición:

Una función de la forma:

Por ejemplo:

Demostremos que la gráfica de esta función fraccionaria lineal es una hipérbola.

Saquemos los dos entre paréntesis en el numerador y obtengamos:

Tenemos x tanto en el numerador como en el denominador. Ahora transformamos para que aparezca la expresión en el numerador:

Ahora reduzcamos la fracción término a término:

Obviamente, la gráfica de esta función es una hipérbola.

Podemos proponer un segundo método de prueba, es decir, dividir el numerador por el denominador en una columna:

Recibió:

Es importante poder construir fácilmente una gráfica de una función fraccionaria lineal, en particular, para encontrar el centro de simetría de una hipérbola. Resolvamos el problema.

Ejemplo 1: dibuja la gráfica de una función:

Ya convertimos esta función y obtuvimos:

Para construir esta gráfica, no desplazaremos los ejes ni la hipérbola misma. Usamos un método estándar para construir gráficas de funciones, utilizando la presencia de intervalos de signo constante.

Actuamos según el algoritmo. Primero, examinemos la función dada.

Así, tenemos tres intervalos de signo constante: en el extremo derecho () la función tiene un signo más, luego los signos se alternan, ya que todas las raíces tienen primer grado. Entonces, en un intervalo la función es negativa, en un intervalo la función es positiva.

Construimos un boceto del gráfico en las proximidades de las raíces y puntos de ruptura de la ODZ. Tenemos: como en un punto el signo de la función cambia de más a menos, la curva primero está encima del eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. Cuando el denominador de una fracción es prácticamente igual a cero, significa que cuando el valor del argumento tiende a tres, el valor de la fracción tiende al infinito. En este caso, cuando el argumento se acerca al triple por la izquierda, la función es negativa y tiende a menos infinito, por la derecha la función es positiva y sale de más infinito.

Ahora construimos un boceto de la gráfica de la función en las proximidades de puntos en el infinito, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, se pueden despreciar los términos constantes. Tenemos:

Así, tenemos una asíntota horizontal y otra vertical, el centro de la hipérbola es el punto (3;2). Ilustremos:

Arroz. 1. Gráfica de una hipérbola por ejemplo 1

Los problemas con una función lineal fraccionaria pueden complicarse por la presencia de un módulo o parámetro. Para construir, por ejemplo, una gráfica de la función, debes seguir el siguiente algoritmo:

Arroz. 2. Ilustración del algoritmo.

El gráfico resultante tiene ramas que están por encima del eje x y por debajo del eje x.

1. Aplique el módulo especificado. En este caso, las partes del gráfico ubicadas sobre el eje x permanecen sin cambios y las ubicadas debajo del eje se reflejan en relación con el eje x. Obtenemos:

Arroz. 3. Ilustración del algoritmo.

Ejemplo 2: trazar una función:

Arroz. 4. Gráfico de funciones, por ejemplo 2.

Considere la siguiente tarea: construya una gráfica de la función. Para hacer esto, debes seguir el siguiente algoritmo:

1. Grafica la función submodular

Supongamos que obtenemos el siguiente gráfico:

Arroz. 5. Ilustración del algoritmo.

1. Aplique el módulo especificado. Para entender cómo hacer esto, ampliemos el módulo.

Por lo tanto, para valores de función con valores de argumento no negativos, no se producirán cambios. Con respecto a la segunda ecuación, sabemos que se obtiene mapeándola simétricamente con respecto al eje y. tenemos una gráfica de la función:

Arroz. 6. Ilustración del algoritmo.

Ejemplo 3: trazar una función:

Según el algoritmo, primero es necesario construir una gráfica de la función submodular, ya la hemos construido (ver Figura 1)

Arroz. 7. Gráfica de una función por ejemplo 3

Ejemplo 4: encuentre el número de raíces de una ecuación con un parámetro:

Recuerde que resolver una ecuación con un parámetro significa recorrer todos los valores del parámetro e indicar la respuesta para cada uno de ellos. Actuamos según la metodología. Primero, construimos una gráfica de la función, ya lo hicimos en el ejemplo anterior (ver Figura 7). A continuación, debes diseccionar la gráfica con una familia de rectas para diferente a, encontrar los puntos de intersección y escribir la respuesta.

Mirando el gráfico, escribimos la respuesta: cuando y la ecuación tiene dos soluciones; cuando la ecuación tiene una solución; cuando la ecuación no tiene soluciones.

“ESCUELA EDUCATIVA BÁSICA SUBASHI” DISTRITO MUNICIPAL DE BALTASI

REPÚBLICA DE TARTARSTÁN

Desarrollo de lecciones - 9no grado

Tema: Fraccional – función linealción

categoría de calificación

GarifullínACarrilIRifkatovna

201 4

Tema de la lección: Fraccionaria es una función lineal.

Objetivo de la lección:

Educativo: Introducir a los estudiantes a los conceptos.fraccionalmente – función lineal y ecuación de asíntotas;

De desarrollo: Formación de técnicas de pensamiento lógico, desarrollo del interés por el tema; desarrollar la determinación del dominio de definición, el dominio de valor de una función lineal fraccionaria y la formación de habilidades para construir su gráfica;

- objetivo motivacional:Fomentar la cultura matemática de los estudiantes, la atención, mantener y desarrollar el interés en estudiar la materia mediante el uso de diversas formas de adquisición de conocimientos.

Equipo y literatura: Laptop, proyector, pizarra interactiva, plano de coordenadas y gráfica de la función y= , mapa de reflexión, presentación multimedia,Álgebra: libro de texto para 9º grado de secundaria básica / Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I. Neshkov, S.B. editado por S.A. Telyakovsky / M: “Prosveshchenie”, 2004 con adiciones.

Tipo de lección:

lección sobre cómo mejorar conocimientos, habilidades, habilidades.

Progreso de la lección.

I momento organizativo:

Objetivo: - desarrollo de habilidades informáticas orales;

repetición de materiales teóricos y definiciones necesarias para estudiar un nuevo tema.

Buenas tardes Comenzamos la lección revisando la tarea:

Atención a la pantalla (diapositiva 1-4):

Tarea - 1.

Responda la pregunta 3 usando la gráfica de esta función (encuentre el valor más grande de la función,...)

( 24 )

Tarea -2. Calcula el valor de la expresión:

- =

Tarea -3: Encuentra la triple suma de las raíces de la ecuación cuadrática:

incógnita 2 -671∙X + 670= 0.

La suma de los coeficientes de la ecuación cuadrática es cero:

1+(-671)+670 = 0. Entonces x 1 =1 yx 2 = Por eso,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Ahora escribamos las respuestas a las 3 tareas secuencialmente usando puntos. (24 de diciembre de 2013.)

Resultado: ¡Sí, es cierto! Entonces, el tema de la lección de hoy:

Fraccionaria es una función lineal.

Antes de salir a la carretera, el conductor debe conocer las normas de circulación: señales de prohibición y autorización. Hoy tú y yo también debemos recordar algunas señales de prohibición y permisividad. ¡Atención a la pantalla! (Diapositiva-6 )

Conclusión:

La expresión no tiene significado;

Expresión correcta, respuesta: -2;

expresión correcta, respuesta: -0;

¡No puedes dividir 0 entre cero!

Tenga en cuenta: ¿está todo escrito correctamente? (diapositiva – 7)

1) ; 2) = ; 3) =un .

(1) verdadera igualdad, 2) = - ; 3) = - a )

II. Aprendiendo un nuevo tema: (diapositiva – 8).

Objetivo: Enseñar las habilidades de encontrar el dominio de definición y el dominio de valor de una función lineal fraccionaria, construyendo su gráfica utilizando la transferencia paralela de la gráfica de la función a lo largo de los ejes de abscisas y ordenadas.

¿Determinar qué función se representa gráficamente en el plano coordenado?

Se da la gráfica de una función en el plano coordenado.

Pregunta

Respuesta esperada

Encuentre el dominio de definición de la función, (D( y)=?)

X ≠0, o(-∞;0]UUU

Movemos la gráfica de la función mediante traslación paralela a lo largo del eje Ox (abscisa) 1 unidad hacia la derecha;

¿Qué función graficaste?

Movemos la gráfica de la función mediante traslación paralela a lo largo del eje Oy (ordenadas) 2 unidades hacia arriba;

Ahora, ¿qué función has graficado?

Dibuja líneas rectas x=1 e y=2

¿Cómo piensas? ¿Qué mensajes directos recibimos tú y yo?

estos son los heteros, al que se acercan los puntos de la curva de la gráfica de función a medida que se alejan al infinito.

y se llaman– asíntotas.

Es decir, una asíntota de la hipérbola corre paralela al eje y a una distancia de 2 unidades a la derecha de él, y la segunda asíntota corre paralela al eje x a una distancia de 1 unidad por encima de él.

¡Bien hecho! Ahora concluyamos:

La gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola, que se puede obtener de la hipérbola y =utilizando traslaciones paralelas a lo largo de los ejes de coordenadas. Para ello, la fórmula de la función lineal fraccionaria se debe presentar de la siguiente forma: y =

donde n es el número de unidades en las que la hipérbola se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda, m es el número de unidades en las que la hipérbola se desplaza hacia arriba o hacia abajo. En este caso, las asíntotas de la hipérbola se desplazan a rectas x = m, y = n.

Demos ejemplos de una función lineal fraccionaria:

; .

Una función lineal fraccionaria es una función de la forma y = , donde x es una variable, a, b, c, d son algunos números y c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 yanuncio- antes de Cristo≠0, ya que en c=0 la función se convierte en una función lineal.

Sianuncio- antes de Cristo=0, la fracción resultante es un valor que es igual a (es decir, constante).

Propiedades de una función lineal fraccionaria:

1. A medida que aumentan los valores positivos del argumento, los valores de la función disminuyen y tienden a cero, pero siguen siendo positivos.

2. A medida que aumentan los valores positivos de la función, los valores de los argumentos disminuyen y tienden a cero, pero siguen siendo positivos.

III – consolidación del material cubierto.

Objetivo: - desarrollar habilidades y habilidades de presentaciónfórmulas de una función lineal fraccionaria a la forma:

Fortalecer las habilidades para elaborar ecuaciones asíntotas y trazar una gráfica de una función lineal fraccionaria.

Ejemplo -1:

Solución: Usando transformaciones, representamos esta función en la forma .

= (diapositiva 10)

Minuto de educación física:

(el calentamiento lo dirige el oficial de servicio)

Objetivo: - aliviar el estrés mental y mejorar la salud de los estudiantes.

Trabajando con el libro de texto: No. 184.

Solución: Usando transformaciones, representamos esta función en la forma y=k/(x-m)+n.

= dex≠0.

Escribamos la ecuación asíntota: x=2 e y=3.

Entonces la gráfica de la función se mueve a lo largo del eje Ox a una distancia de 2 unidades a la derecha de él y a lo largo del eje Oy a una distancia de 3 unidades por encima de él.

Trabajo en grupo:

Objetivo: - desarrollar la capacidad de escuchar a los demás y al mismo tiempo expresar específicamente la propia opinión;

educación de una persona capaz de liderar;

Fomentar una cultura del discurso matemático en los estudiantes.

Opción #1

Función dada:

.

.

Opción número 2

Dada una función

1. Reduzca la función fraccionaria lineal a su forma estándar y escriba la ecuación de las asíntotas.

2. Encuentra el dominio de la función.

3. Encuentra el conjunto de valores de la función.

1. Reduzca la función fraccionaria lineal a su forma estándar y escriba la ecuación de las asíntotas.

2. Encuentra el dominio de la función.

3. Encuentra el conjunto de valores de la función.

(El grupo que terminó el trabajo se prepara primero para defender el trabajo del grupo en la pizarra. Se analiza el trabajo).

IV. Resumiendo la lección.

Objetivo: - análisis de las actividades teóricas y prácticas de la lección;

Formación de habilidades de autoestima en los estudiantes;

Reflexión, autoevaluación de la actividad y conciencia de los estudiantes.

¡Y así, mis queridos alumnos! La lección está llegando a su fin. Tienes que llenar una tarjeta de reflexión. Escribe tus opiniones de forma cuidadosa y legible.

Apellido y nombre ________________________________________

Pasos de la lección

Determinar el nivel de complejidad de las etapas de la lección.

Tu nosotros tres

Evaluación de tu actividad en la lección, 1-5 puntos.

fácil

medio pesado

difícil

Etapa organizacional

Aprendiendo nuevo material

Formación de habilidades para construir una gráfica de una función lineal fraccionaria.

Trabajo en grupo

Opinión general sobre la lección.

Tarea:

Objetivo: - comprobar el nivel de dominio de este tema.

[cláusula 10*, núm. 180(a), 181(b).]

Preparación para el examen estatal: (Trabajar en “Electiva virtual" )

Ejercicio de la serie GIA (No. 23 - puntuación máxima):

Grafica la función Y=y determinar en qué valores de c la recta y=c tiene exactamente un punto común con la gráfica.

Las preguntas y trabajos se publicarán de 14.00 a 14.30 horas.