Una de las clases de funciones más importantes, cuyas integrales se expresan mediante funciones elementales, es una clase de funciones racionales.

Definición 1. Función de la forma donde
- polinomios de gradosnorteYmetrollamado racional. Entero función racional, es decir. polinomio, se integra directamente. La integral de una función fraccionaria-racional se puede encontrar descomponiéndola en términos, que se convierten de forma estándar a las integrales tabulares principales.

Definición 2. Fracción
se llama correcto si el grado del numeradornortemenos potencias del denominador metro.

Una fracción en la que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador se llama impropia. Cualquier fracción impropia se puede representar como la suma de un polinomio y fracción adecuada

. Esto se hace dividiendo un polinomio entre un polinomio, como dividir números.

Ejemplo.
Imaginemos una fracción

como la suma de un polinomio y una fracción propia:

3

3

3

x - 1
primer término
en el cociente se obtiene como resultado de dividir el término principal , dividido por el término principal incógnita
divisor Luego multiplicamos por divisor x-1

y el resultado resultante se resta del dividendo; Los términos restantes del cociente incompleto se encuentran de manera similar.

Dividiendo los polinomios, obtenemos:

Esta acción se llama seleccionar una parte entera.

Definición 3. Las fracciones más simples son fracciones racionales propias de los siguientes tipos:

I.
II.

(K=2, 3,…).
III.

donde esta el trinomio cuadrado
IV.
donde K=2, 3,…; trinomio cuadrático

no tiene raíces reales.
a) expandir el denominador
en los factores reales más simples (según el teorema fundamental del álgebra, esta expansión puede contener binomios lineales de la forma
y trinomios cuadráticos

, sin raíces);
b) escribir un diagrama de la descomposición de una fracción dada en la suma de fracciones simples. Además, cada factor de la forma corresponde k

componentes de los tipos I y II:
a cada factor de la forma

. Esto se hace dividiendo un polinomio entre un polinomio, como dividir números.

Corresponde a los términos de los tipos III y IV:
Escribe el esquema de expansión de fracciones.

a la suma de los más simples.

c) realizar la suma de las fracciones más simples obtenidas.
Escriba la igualdad de los numeradores de las fracciones resultantes y originales;

e) sustituir los valores encontrados de los coeficientes en el esquema de descomposición.

Integrar cualquier fracción racional propia después de la descomposición en sus términos más simples se reduce a encontrar integrales de uno de los tipos:

(corresponde Y mi =2, 3, …).

Cálculo de la integral se reduce a la fórmula III:

integral - a la fórmula II:

integral se puede encontrar mediante la regla especificada en la teoría de la integración de funciones que contienen un trinomio cuadrático; - a través de las transformaciones que se muestran a continuación en el ejemplo 4.

Ejemplo 1.

a) factoriza el denominador:

b) escribe un diagrama para descomponer el integrando en términos:

c) realizar la suma de fracciones simples:

Anotemos la igualdad de los numeradores de las fracciones:

d) existen dos métodos para encontrar los coeficientes desconocidos A, B, C.

Dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes son iguales grados iguales , dividido por el término principal, para que puedas crear el sistema de ecuaciones correspondiente. Este es uno de los métodos de solución.

Coeficientes en

miembros libres (coeficiente en ):4A=8.

Habiendo resuelto el sistema, obtenemos A=2, B=1, C=-10.

Otro método, los valores privados, se analizará en el siguiente ejemplo;

e) sustituir los valores encontrados en el esquema de descomposición:

Sustituyendo la suma resultante bajo el signo de integral e integrando cada término por separado, encontramos:

Ejemplo 2.

La identidad es una igualdad que es válida para cualquier valor de las incógnitas incluidas en ella. Basado en esto método de valor privado. , dividido por el término principal se puede dar

cualquier valor. Es más conveniente para los cálculos tomar aquellos valores que hacen que cualquier término en el lado derecho de la igualdad desaparezca. Dejar x = 0 . Entonces 1 = Un 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С De manera similar para x = - 2 tenemos 1= - 2V*(-3 ), en x = 1 tenemos.

1 = 3A

Por eso,

Ejemplo 3.

cualquier valor. Es más conveniente para los cálculos tomar aquellos valores que hacen que cualquier término en el lado derecho de la igualdad desaparezca. Dejar d) primero utilizamos el método del valor parcial. . Entonces , Entonces.

1, un = 1 En x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) o, 6 = -3V.

segundo = - 2 , dividido por el término principal Para encontrar los coeficientes C y D, necesitas crear dos ecuaciones más. Para esto puedes tomar cualquier otro valor. , Por ejemplo x = 1 Y x = 2 , dividido por el término principal. Puede utilizar el primer método, es decir. igualar coeficientes en potencias idénticas , por ejemplo cuando

Y.obtenemos

1 = A+B+C y 4 = C + D, - EN. Conocimiento Una = 1, . = 0 .

B = -2

, encontraremos C = 2 Por tanto, ambos métodos se pueden combinar a la hora de calcular los coeficientes.Última integral

encontramos por separado de acuerdo con la regla especificada en el método de especificar una nueva variable.
resaltemos
cuadrado perfecto

=

en el denominador:

digamos

Entonces

Obtenemos:

Sustituyendo en la igualdad anterior, encontramos

Ejemplo 4.

Transformemos la primera integral a la fórmula III:

Transformemos la segunda integral a la fórmula II:

En la tercera integral reemplazamos la variable:

(Al realizar las transformaciones, utilizamos la fórmula trigonométrica

Encuentra las integrales:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Preguntas de autoevaluación.

¿Cuáles de estas fracciones racionales son correctas?

2. ¿Está escrito correctamente el diagrama para descomponer una fracción en una suma de fracciones simples?

Aquí presentamos soluciones detalladas Tres ejemplos de integración de las siguientes fracciones racionales:
, , .

Ejemplo 1

Calcula la integral:
.

Solución

Aquí bajo el signo integral hay una función racional, ya que integrando es una fracción de polinomios. Grado del polinomio denominador ( 3 ) es menor que el grado del polinomio numerador ( 4 ). Por lo tanto, primero debes seleccionar la parte completa de la fracción.

1. Seleccionemos la parte entera de la fracción. dividir x 4 por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Desde aquí
.

2. Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación cúbica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sustituyamos x = 1 :
.

1 . 1 :

Desde aquí
.
Dividir por x - vamos a decidir.
.
ecuación cuadrática
Las raíces de la ecuación son: , .
.

3. Entonces

.

Dividamos la fracción en su forma más simple.
.
Entonces encontramos:

Integrémonos.

Respuesta

Calcula la integral:
.

Solución

Ejemplo 2 Aquí el numerador de la fracción es un polinomio de grado cero ( 1 = x 0 0 < 3 ). El denominador es un polinomio de tercer grado. Porque

1. , entonces la fracción es correcta. Dividámoslo en fracciones simples.
.
Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación de tercer grado: Supongamos que tiene al menos uno. raíz entera 3 . entonces es divisor del numero
1, 3, -1, -3 .
Sustituyamos x = 1 :
.

(miembro sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números: 1 Entonces, hemos encontrado una raíz x = . dividir x 1 :

3 + 2 x - 3
.

en x -
Entonces, Resolviendo la ecuación cuadrática:.
incógnita 2 + x + 3 = 0 Encuentra el discriminante: D =< 0 1 2 - 4 3 = -11
.

2.
.
.:
(2.1) .
Sustituyamos x = 1 Desde D 1 = 0 ,
.

, entonces la ecuación no tiene raíces reales. Así, obtuvimos la factorización del denominador: (2.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
.;
.

Entonces x - (2.1) sustituyamos en 2 :
;
x=;
.

.

3. Entonces encontramos:
(2.2) .
1 = 3 A-C

;
;
.

equiparemos a 2 .


.
coeficientes para x Resolviendo la ecuación cuadrática: 0 = A + B Para calcular la segunda integral, seleccionamos la derivada del denominador en el numerador y reducimos el denominador a la suma de cuadrados. calcular yo

Dado que la ecuación x (2.2) :
.

Integrémonos.

no tiene raíces reales, entonces x

Calcula la integral:
.

Solución

2 + x + 3 > 0 3 . 4 Por lo tanto, se puede omitir el signo del módulo. 3 < 4 Entregamos a

1. Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación de cuarto grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz completa. entonces es divisor del numero 2 . entonces es divisor del numero
1, 2, -1, -2 .
Sustituyamos x = -1 :
.

(miembro sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números: -1 . (-1) = x + 1:


3 + 2 x - 3
.

Ahora necesitamos resolver la ecuación de tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene raíz entera, entonces es divisor del número 2 . entonces es divisor del numero
1, 2, -1, -2 .
Sustituyamos x = -1 :
.

Entonces, encontramos otra raíz x = -1 .
.

Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio entre , pero agruparemos los términos: 2 + 2 = 0 Dado que la ecuación x
.

2. no tiene raíces reales, entonces obtenemos la factorización del denominador:
.
Dividamos la fracción en su forma más simple. Buscamos una expansión en la forma: Nos deshacemos del denominador de la fracción, multiplicamos por:
(3.1) .
Sustituyamos x = -1 (x+1) 2 (x2+2) 1 = 0 ,
.

. (3.1) :

;

.
Sustituyamos x = -1 Entonces x + 1 = 0 :
;
; .

, entonces la ecuación no tiene raíces reales. Así, obtuvimos la factorización del denominador: (3.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
vamos a diferenciar;
.

Entonces x - (3.1) sustituyamos en 3 :
;
y toma en cuenta que x +;
.

0 = 2A + 2B + D
.

3. Entonces encontramos:


.

1 = B + C
Entonces, encontramos la descomposición en fracciones simples: Integración de una función fraccionaria-racional.

Método coeficientes inciertos.

Seguimos trabajando en la integración de fracciones. Ya hemos analizado las integrales de algunos tipos de fracciones en la lección y, en cierto sentido, esta lección puede considerarse una continuación. Para comprender con éxito el material, se requieren habilidades básicas de integración, por lo que si acaba de comenzar a estudiar integrales, es decir, es un principiante, entonces debe comenzar con el artículo. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones Por extraño que parezca, ahora no nos ocuparemos tanto de encontrar integrales, sino... de resolver sistemas. ecuaciones lineales. A este respecto

urgentemente Recomiendo asistir a la lección, es decir, es necesario conocer bien los métodos de sustitución (el método "de la escuela" y el método de suma (resta) término por término de ecuaciones del sistema).¿Qué es una función racional fraccionaria? En palabras simples.

, una función fraccionaria-racional es una fracción cuyo numerador y denominador contienen polinomios o productos de polinomios. Además, las fracciones son más sofisticadas que las comentadas en el artículo.

Integrando algunas fracciones Integración de una función racional fraccionaria adecuada Inmediatamente un ejemplo y

algoritmo estándar

soluciones a la integral de una función racional fraccionaria. Ejemplo 1 Paso 1.: Lo primero que SIEMPRE hacemos al resolver la integral de una función racional fraccionaria es averiguar siguiente pregunta¿Es la fracción propia?

este paso Se hace de forma oral, y ahora te explicaré cómo: Primero miramos el numerador y descubrimos.

título superior

polinomio: Se hace de forma oral, y ahora te explicaré cómo: La potencia principal del numerador es dos. Ahora miramos el denominador y descubrimos., pero puedes hacerlo más fácil, en cada encuentra el grado más alto entre paréntesis

y multiplica mentalmente: - así, el grado más alto del denominador es igual a tres. Es bastante obvio que si realmente abrimos los paréntesis, no obtendremos un grado mayor que tres.

Conclusión: Grado mayor del numerador ESTRICTAMENTE es menor que la potencia más alta del denominador, lo que significa que la fracción es propia.

si en en este ejemplo el numerador contenía el polinomio 3, 4, 5, etc. grados, entonces la fracción sería equivocado.

Ahora consideraremos solo las funciones racionales fraccionarias correctas.. Examinaremos el caso en el que el grado del numerador sea mayor o igual que el grado del denominador al final de la lección.

Paso 2. Factoricemos el denominador. Miremos nuestro denominador:

En general esto ya es producto de factores, pero, sin embargo, nos preguntamos: ¿es posible expandir algo más? El objeto de la tortura será sin duda el trinomio cuadrado. Resolviendo la ecuación cuadrática:

discriminante mayor que cero, lo que significa que el trinomio realmente se puede factorizar:

regla general: TODO lo que PUEDE factorizarse en el denominador - lo factorizamos

Comencemos a formular una solución:

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones simples (elementales). Ahora quedará más claro.

Veamos nuestra función integrando:

Y, ya sabes, de alguna manera surge un pensamiento intuitivo de que sería bueno que nuestro fracción grande Conviértete en varios pequeños. Por ejemplo, así:

Surge la pregunta: ¿es siquiera posible hacer esto? Demos un suspiro de alivio, el teorema correspondiente. análisis matemático afirma - ES POSIBLE. Tal descomposición existe y es única..

Sólo hay un problema, las probabilidades son Adiós No lo sabemos, de ahí el nombre: método de coeficientes indefinidos.

Como habrás adivinado, los movimientos corporales posteriores son así, ¡no te rías! tendrá como objetivo simplemente RECONOCERLOS, para descubrir a qué equivalen.

¡Cuidado, te lo explicaré en detalle solo una vez!

Entonces, comencemos a bailar desde:

En el lado izquierdo reducimos la expresión a un denominador común:

Ahora podemos deshacernos con seguridad de los denominadores (ya que son iguales):

En el lado izquierdo abrimos los corchetes, pero no toquemos los coeficientes desconocidos por ahora:

Al mismo tiempo, repetimos la regla escolar de multiplicar polinomios. Cuando era profesora, aprendí a pronunciar esta regla con seriedad: Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio..

Desde el punto de vista explicación clara Es mejor poner los coeficientes entre paréntesis (aunque yo personalmente nunca hago esto para ahorrar tiempo):

Componemos un sistema de ecuaciones lineales.
Primero buscamos títulos superiores:

Y escribimos los coeficientes correspondientes en la primera ecuación del sistema:

Recuerda bien el siguiente punto. ¿Qué pasaría si no hubiera ninguna s en el lado derecho? Digamos, ¿se luciría sin ningún cuadrado? En este caso, en la ecuación del sistema habría que poner un cero a la derecha: . ¿Por qué cero? Pero porque en el lado derecho siempre puedes asignarle a este mismo cuadrado cero: Si no hay variables en el lado derecho y/o miembro gratis, luego ponemos ceros en los lados derechos de las ecuaciones correspondientes del sistema.

Escribimos los coeficientes correspondientes en la segunda ecuación del sistema:

Y por último, agua mineral, seleccionamos miembros gratuitos.

Eh... estaba como bromeando. Bromas aparte: las matemáticas son una ciencia seria. En nuestro grupo del instituto, nadie se rió cuando la profesora asistente dijo que esparciría los términos a lo largo de la recta numérica y elegiría los más grandes. Pongámonos serios. Aunque... quien viva para ver el final de esta lección seguirá sonriendo en silencio.

El sistema está listo:

Resolvemos el sistema:

(1) De la primera ecuación la expresamos y la sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones del sistema. De hecho, era posible expresar (u otra letra) de otra ecuación, pero en en este caso es ventajoso expresar precisamente a partir de la primera ecuación, ya que hay las probabilidades más pequeñas.

(2) Presentamos términos similares en la segunda y tercera ecuaciones.

(3) Sumamos la 2ª y 3ª ecuaciones término a término, obteniendo la igualdad , de lo que se deduce que

(4) Sustituimos en la segunda (o tercera) ecuación, de donde encontramos que

(5) Sustituya y en la primera ecuación, obteniendo .

Si tienes alguna dificultad con los métodos para resolver el sistema, practícalos en clase. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Después de resolver el sistema, siempre es útil comprobarlo: sustituir los valores encontrados. cada ecuación del sistema, como resultado todo debería “convergir”.

Casi llegamos. Se encontraron los coeficientes y:

El trabajo terminado debería verse así:

Como puedes ver, la principal dificultad de la tarea era componer (¡correctamente!) y resolver (¡correctamente!) un sistema de ecuaciones lineales. Y en la etapa final no todo es tan difícil: utilizamos las propiedades de la linealidad. integral indefinida e integrar. Tenga en cuenta que bajo cada una de las tres integrales tenemos "libre" función compleja, hablé de las características de su integración en clase. Método de cambio de variable en integral indefinida..

Verificar: Diferenciar la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.
Durante la verificación tuvimos que reducir la expresión a un denominador común, y esto no es accidental. El método de los coeficientes indefinidos y la reducción de una expresión a un denominador común son acciones mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida.

Volvamos a la fracción del primer ejemplo: . Es fácil notar que en el denominador todos los factores son DIFERENTES. Surge la pregunta, qué hacer si, por ejemplo, se da la siguiente fracción: ? Aquí tenemos grados en el denominador o, matemáticamente, múltiplos. Además, existe un trinomio cuadrático que no se puede factorizar (es fácil comprobar que el discriminante de la ecuación es negativo, por lo que el trinomio no se puede factorizar). ¿Qué hacer? La expansión a una suma de fracciones elementales se verá así ¿Con coeficientes desconocidos en la parte superior o algo más?

Ejemplo 3

Introducir una función

soluciones a la integral de una función racional fraccionaria. Comprobando si tenemos una fracción adecuada
Numerador mayor: 2
Mayor grado de denominador: 8
, lo que significa que la fracción es correcta.

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Evidentemente no, ya está todo dispuesto. Trinomio cuadrado no se descompone en una obra por las razones expuestas anteriormente. Capucha. Menos trabajo.

Paso 3. Imaginemos una función fraccionaria-racional como una suma de fracciones elementales.
En este caso, la expansión tiene la siguiente forma:

Miremos nuestro denominador:
Al descomponer una función fraccionaria-racional en una suma de fracciones elementales se pueden distinguir tres puntos fundamentales:

1) Si el denominador contiene un factor "solitario" elevado a la primera potencia (en nuestro caso), entonces ponemos un coeficiente indefinido en la parte superior (en nuestro caso). Los ejemplos núms. 1 y 2 consistieron únicamente en esos factores "solitarios".

2) Si el denominador tiene múltiple multiplicador, entonces necesitas descomponerlo así:
- es decir, recorrer secuencialmente todos los grados de “X” desde el primero hasta el enésimo grado. En nuestro ejemplo hay dos factores múltiples: y, eche otro vistazo a la expansión que di y asegúrese de que se expandan exactamente de acuerdo con esta regla.

3) Si el denominador contiene un polinomio indescomponible de segundo grado (en nuestro caso), entonces al descomponer en el numerador es necesario escribir función lineal con coeficientes inciertos (en nuestro caso con coeficientes inciertos y ).

De hecho, hay otro cuarto caso, pero guardaré silencio al respecto, ya que en la práctica es extremadamente raro.

Ejemplo 4

Introducir una función como suma de fracciones elementales con coeficientes desconocidos.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.
¡Sigue estrictamente el algoritmo!

Si comprende los principios mediante los cuales necesita expandir una función fraccionaria-racional a una suma, podrá analizar casi cualquier integral del tipo que estamos considerando.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

soluciones a la integral de una función racional fraccionaria. Obviamente la fracción es correcta:

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Poder. Aquí está la suma de cubos. . Factoriza el denominador usando la fórmula de multiplicación abreviada

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones elementales:

Tenga en cuenta que el polinomio no se puede factorizar (compruebe que el discriminante sea negativo), por lo que en la parte superior ponemos una función lineal con coeficientes desconocidos, y no solo una letra.

Llevamos la fracción a un denominador común:

Compongamos y resolvamos el sistema:

(1) Expresamos a partir de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema (esta es la forma más racional).

(2) Presentamos términos similares en la segunda ecuación.

(3) Sumamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema término por término.

Todos los cálculos posteriores son, en principio, orales, ya que el sistema es sencillo.

(1) Anotamos la suma de fracciones de acuerdo con los coeficientes encontrados.

(2) Usamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida. ¿Qué pasó en la segunda integral? Puede familiarizarse con este método en el último párrafo de la lección. En palabras simples.

(3) Una vez más utilizamos las propiedades de la linealidad. En la tercera integral comenzamos a aislar el cuadrado completo (penúltimo párrafo de la lección En palabras simples).

(4) Tomamos la segunda integral, en la tercera seleccionamos el cuadrado completo.

(5) Tome la tercera integral. Listo.

TEMA: Integración de fracciones racionales.

¡Atención! Al estudiar uno de los métodos básicos de integración: la integración de fracciones racionales, se requiere considerar polinomios en el dominio complejo para realizar demostraciones rigurosas. Por lo tanto es necesario estudiar con antelación algunas propiedades números complejos y operaciones sobre ellos.

Integración de fracciones racionales simples.

Si PAG(z) Y q(z) son polinomios en el dominio complejo, entonces son fracciones racionales. se llama correcto, si grado PAG(z) menos grado q(z) , Y equivocado, si grado R no menos de un grado q.

Me encanta fracción impropia se puede representar como: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinomio cuyo grado es menor que el grado q(z).

Así, la integración de fracciones racionales se reduce a la integración de polinomios, es decir, funciones potencia y fracciones propias, ya que es una fracción propia.

Definición 5. Las fracciones más simples (o elementales) son los siguientes tipos de fracciones:

1) , 2) , 3) , 4) .

Averigüemos cómo se integran.

3) (estudiado anteriormente).

Teorema 5. Toda fracción propia se puede representar como una suma de fracciones simples (sin demostración).

Corolario 1. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay raíces reales simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer tipo:

Ejemplo 1.

Corolario 2. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces reales, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer y segundo tipo. :

Ejemplo 2.

Corolario 3. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay raíces conjugadas complejas simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del tercer tipo:

Ejemplo 3.

Corolario 4. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces conjugadas complejas, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples de la tercera y cuarta. tipos:

Para determinar los coeficientes desconocidos en las expansiones dadas, proceda de la siguiente manera. Los lados izquierdo y derecho del desarrollo que contiene coeficientes desconocidos se multiplican por Se obtiene la igualdad de dos polinomios. A partir de él, se obtienen ecuaciones para los coeficientes requeridos usando:

Primero, la igualdad es verdadera para cualquier valor de X (método del valor parcial). En este caso, se obtiene cualquier número de ecuaciones, cualquiera de las cuales m permite encontrar los coeficientes desconocidos.

2. los coeficientes coinciden para los mismos grados de X (método de coeficientes indefinidos). En este caso, se obtiene un sistema de m - ecuaciones con m - incógnitas, a partir del cual se encuentran los coeficientes desconocidos.

3. método combinado.

Ejemplo 5. Expandir una fracción a lo más simple.

Solución:

Encontremos los coeficientes A y B.

Método 1: método de valor privado:

Método 2 – método de coeficientes indeterminados:

Respuesta:

Integración de fracciones racionales.

Teorema 6. La integral indefinida de cualquier fracción racional en cualquier intervalo en el que su denominador no sea igual a cero, existe y se expresa mediante funciones elementales, a saber, fracciones racionales, logaritmos y arcotangentes.

Prueba.

Imaginemos una fracción racional en la forma: . En este caso, el último término es una fracción propia y, según el teorema 5, se puede representar como una combinación lineal de fracciones simples. Así, la integración de una fracción racional se reduce a la integración de un polinomio. S(incógnita) y fracciones simples, cuyas antiderivadas, como se ha demostrado, tienen la forma indicada en el teorema.

Comentario. La principal dificultad en este caso es la factorización del denominador, es decir, la búsqueda de todas sus raíces.

Ejemplo 1. Encuentra la integral

Integración de funciones racionales Función fraccionaria - racional Las fracciones racionales más simples Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Integración de fracciones simples Regla general para la integración de fracciones racionales

polinomio de grado n. Función fraccionaria-racional Una función fraccionaria-racional es una función igual a la proporción dos polinomios: Una fracción racional se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Función fraccionaria - racional Reducir una fracción impropia a el tipo correcto: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Fracciones racionales más simples Fracciones racionales propias de la forma: Se llaman fracciones racionales más simples de tipos. hacha A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Teorema: Cualquier fracción racional propia, cuyo denominador esté factorizado: puede representarse, además, de forma única en forma de suma de fracciones simples: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Expliquemos la formulación del teorema en siguientes ejemplos: Para encontrar los coeficientes inciertos A, B, C, D... se utilizan dos métodos: el método de comparación de coeficientes y el método de valores de variables parciales. Veamos el primer método usando un ejemplo. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Presente la fracción como una suma de fracciones simples: Llevemos las fracciones más simples a un denominador común. Igualemos los numeradores de las fracciones resultantes y originales. Igualemos los coeficientes a las mismas potencias x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integración de las fracciones más simples Encontremos las integrales de las fracciones racionales más simples: Veamos la integración de fracciones tipo 3 usando un ejemplo. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integración de fracciones simplesdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integración de fracciones simples Integral de este tipo usando sustitución: reducido a la suma de dos integrales: La primera integral se calcula introduciendo t bajo el signo diferencial. La segunda integral se calcula usando la fórmula de recurrencia: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integración de fracciones simples a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Regla general para integrar fracciones racionales Si la fracción es impropia, entonces represéntala como la suma de un polinomio y una fracción propia. Habiendo factorizado el denominador de una fracción racional propia, represéntelo como una suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos. Encuentre coeficientes indefinidos mediante el método de comparación de coeficientes o mediante el método de valores parciales de una variable. Integrar el polinomio y la suma resultante de fracciones simples.

Ejemplo Pongamos la fracción en la forma correcta. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Ejemplo Factoricemos el denominador de una fracción propia Representemos la fracción como una suma de fracciones simples Encontremos los coeficientes indeterminados usando el método de valores parciales de la variable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Ejemplo dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln