Cómo decidir cuando el discriminante es 0. Estar siempre de humor

Las ecuaciones cuadráticas suelen aparecer durante la solución. varias tareas física y matemáticas. En este artículo veremos cómo resolver estas igualdades. de manera universal"a través del discriminante". En el artículo también se dan ejemplos del uso de los conocimientos adquiridos.

¿De qué ecuaciones estaremos hablando?

La siguiente figura muestra una fórmula en la que x es una variable desconocida y caracteres latinos a, b, c representan algunos números conocidos.

Cada uno de estos símbolos se llama coeficiente. Como puedes ver, el número "a" aparece antes de la variable x al cuadrado. Este grado máximo expresión dada, por lo que se llama ecuación cuadrática. A menudo se utiliza su otro nombre: ecuación de segundo orden. El valor de a en sí mismo es coeficiente cuadrado(parado con la variable al cuadrado), b es un coeficiente lineal (se ubica al lado de la variable elevada a la primera potencia), finalmente, el número c es miembro gratuito.

Tenga en cuenta que el tipo de ecuación que se muestra en la figura anterior es una expresión cuadrática clásica general. Además de ella, existen otras ecuaciones de segundo orden en las que los coeficientes b y c pueden ser cero.

Cuando la tarea es resolver la igualdad en cuestión, esto significa que es necesario encontrar valores de la variable x que la satisfagan. Aquí, lo primero que debes recordar es lo siguiente: dado que el grado máximo de X es 2, entonces este tipo las expresiones no pueden tener más de 2 soluciones. Esto significa que si al resolver una ecuación se encontraron 2 valores de x que la satisfacen, entonces puedes estar seguro de que no existe un 3er número, sustituyéndolo por x, la igualdad también sería cierta. Las soluciones de una ecuación en matemáticas se llaman raíces.

Métodos para resolver ecuaciones de segundo orden.

Resolver ecuaciones de este tipo requiere conocimiento de alguna teoría sobre ellas. EN curso escolarálgebras consideran 4 varios métodos soluciones. Enumeremoslos:

• usando factorización;
• usando la fórmula del cuadrado perfecto;
• aplicando la gráfica de la función cuadrática correspondiente;
• usando la ecuación discriminante.

La ventaja del primer método es su simplicidad; sin embargo, no se puede utilizar para todas las ecuaciones. El segundo método es universal, pero algo engorroso. El tercer método es claro, pero no siempre es conveniente y aplicable. Y, por último, utilizar la ecuación discriminante es una forma universal y bastante sencilla de encontrar las raíces de absolutamente cualquier ecuación de segundo orden. Por lo tanto, en este artículo solo lo consideraremos.

Fórmula para obtener las raíces de la ecuación.

pasemos a apariencia general ecuación cuadrática. Escribámoslo: a*x²+ b*x + c =0. Antes de utilizar el método para resolverlo "a través de un discriminante", siempre debes llevar la igualdad a su forma escrita. Es decir, debe constar de tres términos (o menos si b o c es 0).

Por ejemplo, si hay una expresión: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², entonces primero debes mover todos sus términos a un lado de la igualdad y sumar los términos que contienen la variable x en la mismos poderes.

EN en este caso esta operación dará como resultado la siguiente expresión: -6*x²-4*x+8=0, que equivale a la ecuación 6*x²+4*x-8=0 (aquí multiplicamos los lados izquierdo y derecho de la igualdad por -1).

En el ejemplo anterior, a = 6, b=4, c=-8. Tenga en cuenta que todos los términos de la igualdad considerada siempre se suman, por lo que si aparece el signo “-”, significa que el coeficiente correspondiente es negativo, como el número c en este caso.

Examinado este punto, pasemos ahora a la fórmula en sí, que permite obtener las raíces de una ecuación cuadrática. Se parece al que se muestra en la foto de abajo.

Como puede verse en esta expresión, le permite obtener dos raíces (preste atención al signo “±”). Para hacer esto, basta con sustituir los coeficientes b, cy a.

El concepto de discriminante.

En el párrafo anterior se dio una fórmula que permite resolver rápidamente cualquier ecuación de segundo orden. En él, la expresión radical se llama discriminante, es decir, D = b²-4*a*c.

¿Por qué se resalta esta parte de la fórmula, e incluso tiene nombre correcto? El hecho es que el discriminante conecta los tres coeficientes de la ecuación en una sola expresión. Último hecho significa que lleva completamente información sobre las raíces, que se puede expresar en la siguiente lista:

1. D>0: la igualdad tiene 2 varias soluciones, los cuales son números reales.
2. D=0: La ecuación tiene una sola raíz y es un número real.

Tarea de determinación discriminante

Pongamos un ejemplo sencillo de cómo encontrar un discriminante. Sea la siguiente igualdad: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Llevémoslo a vista estándar, obtenemos: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de donde llegamos a la igualdad: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Aquí a=-2, b=2, c=-11.

Ahora puedes usar la fórmula anterior para el discriminante: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. El número resultante es la respuesta a la tarea. Dado que en el ejemplo el discriminante menos que cero, entonces podemos decir que esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales. Su solución serán sólo números de tipo complejo.

Un ejemplo de desigualdad a través de un discriminante

Resolvamos problemas de un tipo ligeramente diferente: dada la igualdad -3*x²-6*x+c = 0. Es necesario encontrar valores de c para los cuales D>0.

En este caso sólo se conocen 2 de 3 coeficientes, por lo que no es posible calcular el valor exacto del discriminante, pero sí se sabe que es positivo. Usamos el último hecho al componer la desigualdad: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Resolver la desigualdad resultante lleva al resultado: c>-3.

Comprobemos el número resultante. Para ello calculamos D para 2 casos: c=-2 y c=-4. El número -2 satisface el resultado obtenido (-2>-3), el discriminante correspondiente tendrá el valor: D = 12>0. A su vez, el número -4 no satisface la desigualdad (-4. Por lo tanto, cualquier número c que sea mayor que -3 cumplirá la condición.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Presentemos un problema que implica no sólo encontrar el discriminante, sino también resolver la ecuación. Es necesario encontrar las raíces para la igualdad -2*x²+7-9*x = 0.

En este ejemplo, el discriminante es siguiente valor: D = 81-4*(-2)*7= 137. Entonces las raíces de la ecuación se determinarán de la siguiente manera: x = (9±√137)/(-4). Este valores exactos raíces, si calculas la raíz aproximadamente, obtienes los números: x = -5,176 y x = 0,676.

problema geométrico

Resolveremos un problema que requerirá no sólo la capacidad de calcular el discriminante, sino también la aplicación de habilidades. pensamiento abstracto y conocimiento de cómo escribir ecuaciones cuadráticas.

Bob tenía un edredón de 5 x 4 metros. El niño quería coserle una tira continua de hermosa tela alrededor de todo el perímetro. ¿Qué grosor tendrá esta tira si sabemos que Bob tiene 10 m² de tela?

Deja que la tira tenga un grosor de x m, entonces el área de la tela a lo largo del lado largo de la manta será (5+2*x)*x, y como hay 2 lados largos, tenemos: 2*x *(5+2*x). En el lado corto, el área de la tela cosida será 4*x, como hay 2 de estos lados, obtenemos el valor 8*x. Tenga en cuenta que el valor 2*x se agregó al lado largo porque la longitud de la manta aumentó en ese número. La superficie total de tela cosida a la manta es de 10 m². Por lo tanto, obtenemos la igualdad: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Para este ejemplo, el discriminante es igual a: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Su raíz es 22. Usando la fórmula, encontramos las raíces requeridas: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Evidentemente, de las dos raíces, sólo el número 0,5 es adecuado según las condiciones del problema.

Así, la tira de tela que Bob cose a su manta tendrá 50 cm de ancho.

Por ejemplo, para el trinomio \(3x^2+2x-7\), el discriminante será igual a \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Y para el trinomio \(x^2-5x+11\), será igual a \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

El discriminante se denota por \(D\) y se utiliza a menudo para resolver. Además, por el valor del discriminante, puedes entender cómo se ve aproximadamente el gráfico (ver más abajo).

Discriminante y raíces de la ecuación.

El valor discriminante muestra el número de ecuaciones cuadráticas:
- si \(D\) es positivo, la ecuación tendrá dos raíces;
- si \(D\) es igual a cero – sólo hay una raíz;
- si \(D\) es negativo, no hay raíces.

No es necesario enseñar esto, no es difícil llegar a esa conclusión, simplemente sabiendo que del discriminante (es decir, \(\sqrt(D)\) está incluido en la fórmula para calcular las raíces de la ecuación : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Veamos cada caso con más detalle.

Si el discriminante es positivo

En este caso, la raíz es alguna numero positivo, lo que significa \(x_(1)\) y \(x_(2)\) tendrán significados diferentes, porque en la primera fórmula \(\sqrt(D)\) se suma, y ​​en la segunda se resta. Y tenemos dos raíces diferentes.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2+2x-3=0\)
Solución :

Respuesta : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Si el discriminante es cero

¿Y cuántas raíces habrá si el discriminante igual a cero? Razonemos.

Las fórmulas raíz se ven así: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Y si el discriminante es cero, entonces su raíz también es cero. Entonces resulta:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Es decir, los valores de las raíces de la ecuación serán los mismos, porque sumar o restar cero no cambia nada.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2-4x+4=0\)
Solución :

Respuesta : \(x=2\)

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, b y c son números arbitrarios, y un ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

1. No tener raíces;
2. Tener exactamente una raíz;
3. Tienen dos raíces diferentes.

Esto es diferencia importante ecuaciones cuadráticas de las lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

1. Si D< 0, корней нет;
2. Si D = 0, hay exactamente una raíz;
3. Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

1. x2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que los coeficientes se han anotado para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

desde la aritmética Raíz cuadrada existe sólo de número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

1. Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
2. Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería el discriminante: en ecuaciones cuadráticas incompletas no hay cálculos complejos. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Discriminante es un término de múltiples valores. En este artículo hablaremos sobre el discriminante de un polinomio, que permite determinar si un polinomio determinado tiene soluciones válidas. La fórmula del polinomio cuadrático se encuentra en el curso escolar de álgebra y análisis. ¿Cómo encontrar un discriminante? ¿Qué se necesita para resolver la ecuación?

Un polinomio cuadrático o ecuación de segundo grado se llama i * w ^ 2 + j * w + k es igual a 0, donde “i” y “j” son el primer y segundo coeficiente, respectivamente, “k” es una constante, a veces llamada “término despectivo” y “w” es una variable. Sus raíces serán todos los valores de la variable en la que se convierte en identidad. Tal igualdad se puede reescribir como el producto de i, (w - w1) y (w - w2) igual a 0. En este caso, es obvio que si el coeficiente "i" no se vuelve cero, entonces la función en el lado izquierdo se volverá cero solo si x toma el valor w1 o w2. Estos valores son el resultado de igualar el polinomio a cero.

Para encontrar el valor de una variable en la que polinomio cuadrático se vuelve cero, se utiliza una construcción auxiliar, construida sobre sus coeficientes y llamada discriminante. Este diseño se calcula según la fórmula D es igual a j*j - 4*i*k. ¿Por qué se usa?

1. Ella dice ¿hay alguna? resultados válidos.
2. Ella ayuda a calcularlos.

¿Cómo muestra este valor la presencia de raíces reales?

• Si es positivo, entonces podemos encontrar dos raíces en la región. numeros reales.
• Si el discriminante es cero, entonces ambas soluciones son iguales. Podemos decir que sólo hay una solución, y es del campo de los números reales.
• Si el discriminante es menor que cero, entonces el polinomio no tiene raíces reales.

Opciones de cálculo para asegurar el material.

Para la suma (7 * w^2; 3 * w; 1) igual a 0 Calculamos D usando la fórmula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, obtenemos -19. Un valor discriminante por debajo de cero indica que no hay resultados en la línea real.

Si consideramos 2 * w^2 - 3 * w + 1 equivalente a 0, entonces D se calcula como (-3) al cuadrado menos el producto de los números (4; 2; 1) y es igual a 9 - 8, es decir, 1. Valor positivo dice que hay dos resultados en la recta real.

Si tomamos la suma (w ^ 2; 2 * w; 1) y la igualamos a 0, D se calcula como dos al cuadrado menos el producto de los números (4; 1; 1). Esta expresión se simplificará a 4 - 4 y llegará a cero. Resulta que los resultados son los mismos. Si miras de cerca esta fórmula, entonces quedará claro que esto es “ cuadrado perfecto" Esto significa que la igualdad se puede reescribir en la forma (w + 1) ^ 2 = 0. Resultó obvio que el resultado en este problema es "-1". En una situación donde D es 0, lado izquierdo Las igualdades siempre se pueden contraer usando la fórmula del “cuadrado de la suma”.

Usar un discriminante para calcular raíces

Esta construcción auxiliar no sólo muestra el número de soluciones reales, sino que también ayuda a encontrarlas. Formula general El cálculo de la ecuación de segundo grado es:

w = (-j +/- d) / (2 * i), donde d es el discriminante elevado a 1/2.

Digamos que el discriminante está por debajo de cero, entonces d es imaginario y los resultados son imaginarios.

D es cero, entonces d igual a D elevado a 1/2 también es cero. Solución: -j/(2*i). Nuevamente considerando 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, encontramos resultados equivalentes a -2 / (2 * 1) = -1.

Supongamos que D > 0, entonces d - Número Real, y la respuesta aquí se divide en dos partes: w1 = (-j + d) / (2 * i) y w2 = (-j - d) / (2 * i). Ambos resultados serán válidos. Miremos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aquí el discriminante yd son unos. Resulta que w1 es igual a (3 + 1) dividido por (2 * 2) o 1, y w2 es igual a (3 - 1) dividido por 2 * 2 o 1/2.

Resultado de la ecuación expresión cuadrática a cero se calcula según el algoritmo:

1. Determinación de cantidad soluciones válidas.
2. Cálculo d = D^(1/2).
3. Encontrar el resultado según la fórmula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Sustituyendo el resultado obtenido en la igualdad original para su verificación.

Algunos casos especiales

Dependiendo de los coeficientes, la solución puede simplificarse algo. Obviamente, si el coeficiente de una variable elevado a la segunda potencia es cero, entonces se obtiene una igualdad lineal. Cuando el coeficiente de una variable a la primera potencia es cero, entonces son posibles dos opciones:

1. el polinomio se expande a una diferencia de cuadrados cuando el término libre es negativo;
2. para una constante positiva, no se pueden encontrar soluciones reales.

Si el término libre es cero, entonces las raíces serán (0; -j)

Pero hay otros casos especiales que simplifican la búsqueda de una solución.

Ecuación reducida de segundo grado

Lo dado se llama semejante trinomio cuadrático, donde el coeficiente delante del término principal es uno. Para esta situación es aplicable el teorema de Vieta, que establece que la suma de las raíces es igual al coeficiente de la variable a la primera potencia, multiplicado por -1, y el producto corresponde a la constante “k”.

Por lo tanto, w1 + w2 es igual a -j y w1 * w2 es igual a k si el primer coeficiente es uno. Para verificar la exactitud de esta representación, puede expresar w2 = -j - w1 a partir de la primera fórmula y sustituirla en la segunda igualdad w1 * (-j - w1) = k. El resultado es la igualdad original w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Es importante tener en cuenta, que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 se puede lograr dividiendo por “i”. El resultado será: w^2 + j1 * w + k1 = 0, donde j1 es igual a j/i y k1 es igual a k/i.

Veamos el ya resuelto 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 con los resultados w1 = 1 y w2 = 1/2. Necesitamos dividirlo por la mitad, como resultado w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Comprobemos que las condiciones del teorema son verdaderas para los resultados encontrados: 1 + 1/2 = 3/ 2 y 1*1/2 = 1/2.

Incluso el segundo factor

Si el factor de una variable a la primera potencia (j) es divisible por 2, entonces será posible simplificar la fórmula y buscar una solución a través de una cuarta parte del discriminante D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. resulta w = (-j +/- d/2) / i, donde d/2 = D/4 elevado a 1/2.

Si i = 1, y el coeficiente j es par, entonces la solución será el producto de -1 por la mitad del coeficiente de la variable w, más/menos la raíz del cuadrado de esta mitad menos la constante “k”. Fórmula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Orden discriminante superior

El discriminante del trinomio de segundo grado discutido anteriormente es el más comúnmente utilizado. caso especial. En el caso general, el discriminante de un polinomio es cuadrados multiplicados de las diferencias de las raíces de este polinomio. Por tanto, un discriminante igual a cero indica la presencia de al menos dos soluciones múltiples.

Considere i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supongamos que el discriminante excede cero.. Esto significa que hay tres raíces en la región de los números reales. En cero hay múltiples soluciones. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают significado negativo al elevar al cuadrado, y además una raíz es real.

Video

Nuestro video le informará en detalle sobre cómo calcular el discriminante.

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