La calculadora utiliza funciones que utilizan métodos de cálculo diferencial. Ejemplo de estudio de función completo en línea

Instrucciones

Encuentra el dominio de la función. Por ejemplo, la función sin(x) se define en todo el intervalo de -∞ a +∞, y la función 1/x se define en todo el intervalo de -∞ a +∞, excepto en el punto x = 0.

Identificar áreas de continuidad y puntos de discontinuidad. Normalmente una función es continua en la misma región donde está definida. Para detectar discontinuidades, se deben calcular a medida que el argumento se acerca a puntos aislados dentro del dominio de definición. Por ejemplo, la función 1/x tiende a infinito cuando x→0+, y a menos infinito cuando x→0-. Esto significa que en el punto x = 0 tiene una discontinuidad del segundo tipo.
Si los límites en el punto de discontinuidad son finitos, pero no iguales, entonces se trata de una discontinuidad del primer tipo. Si son iguales, entonces la función se considera continua, aunque punto aislado no está definido.

Encuentre asíntotas verticales, si las hay. Los cálculos del paso anterior te ayudarán aquí, ya que la asíntota vertical casi siempre se ubica en el punto de discontinuidad del segundo tipo. Sin embargo, a veces no son puntos individuales los que se excluyen del dominio de definición, sino intervalos completos de puntos, y luego las asíntotas verticales pueden ubicarse en los bordes de estos intervalos.

Compruebe si la función tiene propiedades especiales: par, impar y periodicidad.
La función será par si para cualquier x en el dominio f(x) = f(-x). Por ejemplo, cos(x) y x^2 - incluso funciones.

La periodicidad es una propiedad que dice que existe un determinado número T, llamado período, que para cualquier x f(x) = f(x + T). Por ejemplo, todos los principales funciones trigonométricas(seno, coseno, tangente) - periódico.

Encuentra los puntos. Para ello, calcule la derivada de función dada y encuentre aquellos valores de x donde se vuelve cero. Por ejemplo, la función f(x) = x^3 + 9x^2 -15 tiene una derivada g(x) = 3x^2 + 18x, que desaparece en x = 0 y x = -6.

Para determinar qué puntos extremos son máximos y cuáles son mínimos, realice un seguimiento del cambio en los signos de la derivada en los ceros encontrados. g(x) cambia de signo de más en el punto x = -6, y en el punto x = 0 de menos a más. En consecuencia, la función f(x) tiene un mínimo en el primer punto y un mínimo en el segundo.

Por lo tanto, también ha encontrado regiones de monotonicidad: f(x) aumenta monótonamente en el intervalo -∞;-6, disminuye monótonamente en -6;0 y aumenta nuevamente en 0;+∞.

Encuentra la segunda derivada. Sus raíces mostrarán dónde será convexa y dónde será cóncava la gráfica de una función dada. Por ejemplo, la segunda derivada de la función f(x) será h(x) = 6x + 18. Llega a cero en x = -3, cambiando de signo de menos a más. En consecuencia, la gráfica de f(x) antes de este punto será convexa, después será cóncava y este punto en sí será un punto de inflexión.

Una función puede tener otras asíntotas además de las verticales, pero sólo si su dominio de definición incluye. Para encontrarlos, calcule el límite de f(x) cuando x→∞ o x→-∞. Si es finito entonces has encontrado asíntota horizontal.

asíntota oblicua- línea recta de la forma kx + b. Para encontrar k, calcule el límite de f(x)/x como x→∞. Para encontrar el límite b (f(x) – kx) para el mismo x→∞.

Traza una gráfica de la función basada en los datos calculados. Etiqueta las asíntotas, si las hay. Marque los puntos extremos y los valores de la función en ellos. Para una mayor precisión del gráfico, calcule los valores de la función en varios puntos intermedios más. El estudio está completo.

uno de tareas más importantes cálculo diferencial es el desarrollo ejemplos comunes estudios de comportamiento funcional.

Si la función y=f(x) es continua en el intervalo y su derivada es positiva o igual a 0 en el intervalo (a,b), entonces y=f(x) aumenta en (f"(x)0) Si la función y=f (x) es continua en el segmento y su derivada es negativa o igual a 0 en el intervalo (a,b), entonces y=f(x) disminuye en (f"(x)0. )

Los intervalos en los que la función no disminuye ni aumenta se denominan intervalos de monotonicidad de la función. La naturaleza de la monotonicidad de una función sólo puede cambiar en aquellos puntos de su dominio de definición en los que cambia el signo de la primera derivada. Los puntos en los que la primera derivada de una función desaparece o tiene una discontinuidad se llaman críticos.

Teorema 1 (1er condición suficiente existencia de un extremo).

Dejemos que la función y=f(x) se defina en el punto x 0 y sea una vecindad δ>0 tal que la función sea continua en el intervalo y diferenciable en el intervalo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , y su derivada conserva un signo constante en cada uno de estos intervalos. Entonces, si en x 0 -δ,x 0) y (x 0 , x 0 +δ) los signos de la derivada son diferentes, entonces x 0 es un punto extremo, y si coinciden, entonces x 0 no es un punto extremo . Además, si al pasar por el punto x0 la derivada cambia de signo de más a menos (a la izquierda de x 0 se satisface f"(x)>0, entonces x 0 es el punto máximo; si la derivada cambia de signo de menos a más (a la derecha de x 0 ejecutado f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Los puntos máximo y mínimo se denominan puntos extremos de la función, y los puntos máximo y mínimo de la función son sus valores extremos.

Teorema 2 (un signo necesario de un extremo local).

Si la función y=f(x) tiene un extremo en el actual x=x 0, entonces f'(x 0)=0 o f'(x 0) no existe.
En los puntos extremos de la función diferenciable, la tangente a su gráfica es paralela al eje Ox.

Algoritmo para estudiar una función para un extremo:

1) Encuentra la derivada de la función.
2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos en los que la función es continua y la derivada es cero o no existe.
3) Considere la vecindad de cada punto y examine el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de este punto.
4) Determinar las coordenadas de los puntos extremos; para ello sustituir los valores de los puntos críticos en esta función. Utilizando condiciones suficientes para el extremo, saque las conclusiones apropiadas.

Ejemplo 18. Examina la función y=x 3 -9x 2 +24x para encontrar un extremo

Solución.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando la derivada a cero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. En este caso, la derivada se define en todas partes; Esto quiere decir que aparte de los dos puntos encontrados, no existen otros puntos críticos.
3) El signo de la derivada y"=3(x-2)(x-4) cambia dependiendo del intervalo como se muestra en la Figura 1. Al pasar por el punto x=2, la derivada cambia de signo de más a menos, y al pasar por el punto x=4 - de menos a más.
4) En el punto x=2 la función tiene un máximo y max =20, y en el punto x=4 - un mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condición suficiente para la existencia de un extremo).

Sea f"(x 0) y en el punto x 0 existe f""(x 0). Entonces si f""(x 0)>0, entonces x 0 es el punto mínimo, y si f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

En un segmento, la función y=f(x) puede alcanzar el valor más pequeño (y el menor) o el mayor (y el más alto) ya sea en los puntos críticos de la función que se encuentran en el intervalo (a;b), o en los extremos del segmento.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua y=f(x) en el segmento:

1) Encuentre f"(x).
2) Encuentre los puntos en los que f"(x)=0 o f"(x) no existe y seleccione entre ellos aquellos que se encuentran dentro del segmento.
3) Calcular el valor de la función y=f(x) en los puntos obtenidos en el paso 2), así como en los extremos del segmento y seleccionar entre ellos el mayor y el menor: son, respectivamente, los mayores (y el mayor) y el menor (y el menor) valores de la función en el intervalo.

Ejemplo 19. Encuentre el valor más grande de la función continua y=x 3 -3x 2 -45+225 en el segmento.

1) Tenemos y"=3x 2 -6x-45 en el segmento
2) La derivada y" existe para todo x. Encontremos los puntos en los que y"=0; obtenemos:
3x 2-6x-45=0
x2-2x-15=0
x1 =-3; x2=5
3) Calcular el valor de la función en los puntos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
El segmento contiene sólo el punto x=5. El mayor de los valores encontrados de la función es 225 y el más pequeño es el número 50. Entonces, y max = 225, y min = 50.

Estudio de una función sobre convexidad.

La figura muestra gráficas de dos funciones. El primero de ellos es convexo hacia arriba, el segundo es convexo hacia abajo.

La función y=f(x) es continua en el segmento y diferenciable en el intervalo (a;b), se llama convexa hacia arriba (hacia abajo) en este segmento si, para axb, su gráfica no está por encima (ni por debajo) de la tangente trazada en cualquier punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), donde axb.

Teorema 4. Sea la función y=f(x) tener una segunda derivada en cualquier punto interior x del segmento y ser continua en los extremos de este segmento. Entonces, si la desigualdad f""(x)0 se cumple en el intervalo (a;b), entonces la función es convexa hacia abajo en el intervalo ; si la desigualdad f""(x)0 se cumple en el intervalo (a;b), entonces la función es convexa hacia arriba en .

Teorema 5. Si la función y=f(x) tiene segunda derivada en el intervalo (a;b) y si cambia de signo al pasar por el punto x 0, entonces M(x 0 ;f(x 0)) es un punto de inflexión.

Regla para encontrar puntos de inflexión:

1) Encuentre los puntos en los que f""(x) no existe o desaparece.
2) Examina el signo f""(x) a la izquierda y a la derecha de cada punto encontrado en el primer paso.
3) Basado en el Teorema 4, saque una conclusión.

Ejemplo 20. Encuentra los puntos extremos y los puntos de inflexión de la gráfica de la función y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Tenemos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 cuando x 1 =0, x 2 =1. Al pasar por el punto x=0, la derivada cambia de signo de menos a más, pero al pasar por el punto x=1 no cambia de signo. Esto significa que x=0 es el punto mínimo (y min =12) y no hay ningún extremo en el punto x=1. A continuación, encontramos . La segunda derivada desaparece en los puntos x 1 =1, x 2 =1/3. Los signos de la segunda derivada cambian de la siguiente manera: En el rayo (-∞;) tenemos f""(x)>0, en el intervalo (;1) tenemos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Por lo tanto, x= es el punto de inflexión de la gráfica de la función (transición de convexidad hacia abajo a convexidad hacia arriba) y x=1 es también el punto de inflexión (transición de convexidad hacia arriba a convexidad hacia abajo). Si x=, entonces y=; si, entonces x=1, y=13.

Algoritmo para encontrar la asíntota de una gráfica.

I. Si y=f(x) cuando x → a, entonces x=a es una asíntota vertical.
II. Si y=f(x) como x → ∞ o x → -∞, entonces y=A es una asíntota horizontal.
III. Para encontrar la asíntota oblicua, utilizamos el siguiente algoritmo:
1) Calcular. Si el límite existe y es igual a b, entonces y=b es una asíntota horizontal; Si es así, vaya al segundo paso.
2) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a k, vaya al tercer paso.
3) Calcular. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota; si existe y es igual a b, vaya al cuarto paso.
4) Escribe la ecuación de la asíntota oblicua y=kx+b.

Ejemplo 21: Encuentra la asíntota de una función

1)
2)
3)
4) La ecuación de la asíntota oblicua tiene la forma

Esquema para estudiar una función y construir su gráfica.

I. Encuentre el dominio de definición de la función.
II. Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados.
III. Encuentra asíntotas.
IV. Encuentra posibles puntos extremos.
V. Encontrar puntos críticos.
VI. Usando la figura auxiliar, explora el signo de la primera y segunda derivada. Determinar áreas de función creciente y decreciente, encontrar la dirección de convexidad de la gráfica, puntos de extremos y puntos de inflexión.
VII. Construya un gráfico, teniendo en cuenta la investigación realizada en los párrafos 1-6.

Ejemplo 22: Construya una gráfica de la función según el diagrama anterior

Solución.
I. El dominio de una función es el conjunto de todos los números reales excepto x=1.
II. Dado que la ecuación x 2 +1=0 no tiene raíces reales, la gráfica de la función no tiene puntos de intersección con el eje Ox, pero corta el eje Oy en el punto (0;-1).
III. Aclaremos la cuestión de la existencia de asíntotas. Estudiemos el comportamiento de la función cerca del punto de discontinuidad x=1. Dado que y → ∞ como x → -∞, y → +∞ como x → 1+, entonces la recta x=1 es la asíntota vertical de la gráfica de la función.
Si x → +∞(x → -∞), entonces y → +∞(y → -∞); por lo tanto, la gráfica no tiene asíntota horizontal. Además, de la existencia de límites

Resolviendo la ecuación x 2 -2x-1=0 obtenemos dos posibles puntos extremos:
x 1 =1-√2 y x 2 =1+√2

V. Para encontrar los puntos críticos calculamos la segunda derivada:

Como f""(x) no desaparece, no hay puntos críticos.
VI. Examinemos el signo de la primera y segunda derivada. Posibles puntos extremos a considerar: x 1 =1-√2 y x 2 =1+√2, dividir el dominio de existencia de la función en intervalos (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) y (1+√2;+∞).

En cada uno de estos intervalos, la derivada conserva su signo: en el primero - más, en el segundo - menos, en el tercero - más. La secuencia de signos de la primera derivada se escribirá de la siguiente manera: +,-,+.
Encontramos que la función aumenta en (-∞;1-√2), disminuye en (1-√2;1+√2) y aumenta nuevamente en (1+√2;+∞). Puntos extremos: máximo en x=1-√2, y f(1-√2)=2-2√2 mínimo en x=1+√2, y f(1+√2)=2+2√2. En (-∞;1) la gráfica es convexa hacia arriba y en (1;+∞) es convexa hacia abajo.
VII Hagamos una tabla de los valores obtenidos.

VIII A partir de los datos obtenidos, construimos un boceto de la gráfica de la función.

Los puntos de referencia al estudiar funciones y construir sus gráficas son puntos característicos: puntos de discontinuidad, extremo, inflexión, intersección con ejes de coordenadas. Utilizando el cálculo diferencial, es posible establecer los rasgos característicos de los cambios en funciones: aumento y disminución, máximos y mínimos, la dirección de convexidad y concavidad de la gráfica, la presencia de asíntotas.

Se puede (y se debe) dibujar un boceto de la gráfica de la función después de encontrar las asíntotas y los puntos extremos, y es conveniente completar la tabla resumen del estudio de la función a medida que avanza el estudio.

Generalmente se utiliza el siguiente esquema de estudio de funciones.

1.Encuentra el dominio de definición. intervalos de continuidad Y puntos de interrupción de funciones .

2.Examine la función en busca de uniformidad o imparidad (simetría axial o central de la gráfica).

3.Encontrar asíntotas(vertical, horizontal o inclinada).

4.Encuentra y explora intervalos de aumento y decrecimiento funciones, sus puntos extremo.

5.encontrar intervalos convexidad y concavidad de una curva, sus puntos de inflexión.

6.Encuentra los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas, si existen.

7.Elaborar un cuadro resumen del estudio.

8.Se construye una gráfica teniendo en cuenta el estudio de la función realizado según los puntos descritos anteriormente.

Ejemplo. Explorar función

y construye su gráfica.

7. Hagamos una tabla resumen para estudiar la función, donde ingresaremos todos los puntos característicos y los intervalos entre ellos. Teniendo en cuenta la paridad de la función, obtenemos la siguiente tabla:

Para estudiar completamente la función y trazar su gráfica, se recomienda utilizar el siguiente esquema:

1) encontrar el dominio de definición de la función;

2) encontrar los puntos de discontinuidad de la función y las asíntotas verticales (si existen);

3) investigar el comportamiento de la función en el infinito, encontrar asíntotas horizontales y oblicuas;

4) examinar la función en busca de paridad (rareza) y periodicidad (para funciones trigonométricas);

5) encontrar extremos e intervalos de monotonicidad de la función;

6) determinar los intervalos de convexidad y los puntos de inflexión;

7) encontrar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas y, si es posible, algunos puntos adicionales que aclaren la gráfica.

El estudio de la función se realiza simultáneamente con la construcción de su gráfica.

Ejemplo 9 Explora la función y construye una gráfica.

1. Ámbito de definición: ;

2. La función sufre discontinuidad en puntos
,
;

Examinamos la función para detectar la presencia de asíntotas verticales.

;
,
─ asíntota vertical.

;
,
─ asíntota vertical.

3. Examinamos la función para detectar la presencia de asíntotas oblicuas y horizontales.

Derecho
─ asíntota oblicua, si
,
.

,
.

Derecho
─ asíntota horizontal.

4. La función es par porque
.

La paridad de la función indica la simetría de la gráfica con respecto a la ordenada.

5. Encuentra los intervalos de monotonicidad y los extremos de la función.
;
Encontremos los puntos críticos, es decir. puntos en los que la derivada es 0 o no existe:
;

. tenemos tres puntos . Estos puntos dividen todo el eje real en cuatro intervalos. Definamos los signos.

sobre cada uno de ellos.
En los intervalos (-∞; -1) y (-1; 0) la función aumenta, en los intervalos (0; 1) y (1; +∞) ─ disminuye. Al pasar por un punto
.

la derivada cambia de signo de más a menos, por lo tanto, en este punto la función tiene un máximo

6. Encuentra los intervalos de convexidad y puntos de inflexión. Encontremos los puntos en los que

es 0 o no existe.
,
,

no tiene raíces reales.
Agujas
Y divida el eje real en tres intervalos. Definamos el signo

en cada intervalo.
Por tanto, la curva en los intervalos
Y
Agujas
convexo hacia abajo, en el intervalo (-1;1) convexo hacia arriba; no hay puntos de inflexión, ya que la función está en puntos

no definido.

7. Encuentra los puntos de intersección con los ejes.
Con eje
la gráfica de la función se cruza en el punto (0; -1), y con el eje

la gráfica no se cruza, porque el numerador de esta función no tiene raíces reales.

La gráfica de la función dada se muestra en la Figura 1.

Figura 1 ─ Gráfico de funciones

Aplicación del concepto de derivada en economía. Función de elasticidad

Para estudiar procesos económicos y resolver otros problemas aplicados, se suele utilizar el concepto de elasticidad de una función. Definición.
Función de elasticidad se llama límite de la relación del incremento relativo de la función al incremento relativo de la variable
en

La elasticidad de una función muestra aproximadamente cuánto por ciento cambiará la función.
cuando la variable independiente cambia en un 1%.

La función de elasticidad se utiliza en el análisis de la demanda y el consumo. Si la elasticidad de la demanda (en valor absoluto)
, entonces la demanda se considera elástica si
─ neutral si
─ inelástico en relación con el precio (o el ingreso).

Ejemplo 10 Calcular la elasticidad de la función.
y encuentre el valor del índice de elasticidad para = 3.

Solución: según la fórmula (VII), la elasticidad de la función es:

Sea x=3, entonces
.Esto significa que si la variable independiente aumenta un 1%, entonces el valor de la variable dependiente aumentará un 1,42%.

Ejemplo 11 Deja que la demanda funcione. respecto al precio parece
, Dónde ─ coeficiente constante. Encuentre el valor del indicador de elasticidad de la función de demanda al precio x = 3 den. unidades

Solución: calcule la elasticidad de la función de demanda usando la fórmula (VII)

Creyendo
unidades monetarias, obtenemos
. Esto significa que a un precio
unidades monetarias un aumento del 1% en el precio provocará una disminución del 6% en la demanda, es decir la demanda es elástica.