Cálculo diferencial e integral. Cálculo diferencial de funciones de una y varias variables.

El nuevo cálculo como sistema fue creado íntegramente por Newton, quien, sin embargo, por mucho tiempo No publicó sus descubrimientos.

La fecha oficial de nacimiento del cálculo diferencial se puede considerar mayo, cuando Leibniz publicó su primer artículo. « Nuevo método altas y bajas...". Este artículo, de forma concisa e inaccesible, establece los principios de un nuevo método llamado cálculo diferencial.

Leibniz y sus alumnos

Estas definiciones se explican geométricamente, mientras que en la Fig. los incrementos infinitesimales se representan como finitos. La consideración se basa en dos requisitos (axiomas). Primero:

Se requiere que dos cantidades que difieren entre sí sólo en una cantidad infinitesimal puedan tomarse [¿al simplificar expresiones?] indistintamente una en lugar de la otra.

De aquí resulta X + dX = X , Más

dXy = (X + dX)(y + dy) − Xy = Xdy + ydX + dXdy = (X + dX)dy + ydX = Xdy + ydX

La continuación de cada una de estas líneas se llama tangente a la curva. Examinando la tangente que pasa por un punto. METRO = (X,y) , L'Hopital concede gran importancia al tamaño

alcanzando valores extremos en los puntos de inflexión de la curva, la relación dy A dX no se le atribuye ningún significado especial.

Es digno de mención encontrar puntos extremos. Si, con un aumento continuo de diámetro X ordenada y primero aumenta y luego disminuye, luego el diferencial dy primer positivo en comparación con dX y luego negativo.

Pero cualquier valor que aumenta o disminuye continuamente no puede pasar de positivo a negativo sin pasar por el infinito o el cero... De ello se deduce que el diferencial del valor mayor y menor debe ser igual a cero o infinito.

Esta formulación probablemente no sea perfecta, si recordamos el primer requisito: digamos, y = X 2 , entonces en virtud del primer requisito

2XdX + dX 2 = 2XdX ;

en cero parte derecha es igual a cero, pero el de la izquierda no lo es. Al parecer se debería haber dicho que dy se puede transformar de acuerdo con el primer requisito de modo que en el punto máximo dy= 0 . . En los ejemplos todo se explica por sí solo, y sólo en la teoría de los puntos de inflexión L'Hopital escribe que dy igual a cero en el punto máximo, siendo dividido por dX .

A continuación, utilizando sólo diferenciales, se formulan condiciones extremas y se obtiene un gran número de tareas complejas, relacionado principalmente con la geometría diferencial en el plano. Al final del libro, en el cap. 10, establece lo que ahora se llama regla de L'Hopital, aunque de una forma bastante inusual. Sea la magnitud de la ordenada. y La curva se expresa como una fracción, cuyo numerador y denominador desaparecen cuando X = a. Entonces el punto de la curva con X = a tiene una ordenada y , igual a la proporción diferencial del numerador al diferencial del denominador tomado en X = a .

Según el plan de L'Hôpital, lo que escribió constituía la primera parte del Análisis, mientras que se suponía que la segunda contenía cálculo integral, es decir, un método para encontrar la conexión entre variables basándose en la conexión conocida de sus diferenciales. Su primera presentación estuvo a cargo de Johann Bernoulli en su conferencias de matematicas sobre el método integral. He aquí un método para tomar la mayoría. integrales elementales y métodos para resolver muchos ecuaciones diferenciales primer orden.

Euler

Los cambios que se produjeron durante el siguiente medio siglo se reflejan en el extenso tratado de Euler. La presentación del análisis abre la “Introducción” en dos volúmenes, que contiene investigaciones sobre varias representaciones funciones elementales. El término “función” aparece por primera vez sólo en Leibniz, pero fue Euler quien lo puso en primer lugar. La interpretación original del concepto de función era que una función es una expresión para contar (alemán. Rechnungsausdrϋck) o expresión analítica .

Función cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades constantes.

Al enfatizar que “la principal diferencia entre funciones radica en la forma en que se componen de variables y constantes”, Euler enumera las acciones “mediante las cuales las cantidades se pueden combinar y mezclar entre sí; estas acciones son: suma y resta, multiplicación y división, exponenciación y extracción de raíces; Esto también debería incluir la solución de ecuaciones [algebraicas]. Además de estas operaciones, llamadas algebraicas, existen muchas otras, trascendentales, tales como: exponenciales, logarítmicas y un sinfín de otras, entregadas por el cálculo integral”. Esta interpretación hizo posible manejar fácilmente funciones de valores múltiples y no requirió una explicación de en qué campo se estaba considerando la función: la expresión de conteo se definió para valores complejos de variables incluso cuando esto no era necesario para el problema bajo consideración.

Las operaciones en la expresión estaban permitidas sólo en Número finito, y lo trascendental penetró con la ayuda de infinitas gran número. En expresiones, este número se utiliza junto con números naturales. Por ejemplo, esta expresión para el exponente se considera aceptable.

en el que solo autores posteriores vio la transición definitiva. Se realizaron diversas transformaciones con expresiones analíticas, lo que permitió a Euler encontrar representaciones de funciones elementales en forma de series, productos infinitos, etc. Euler transforma expresiones para contar como lo hace en álgebra, sin prestar atención a la posibilidad de calcular el valor de una función en un punto para cada uno a partir de fórmulas escritas.

A diferencia de L'Hopital, Euler examina en detalle las funciones trascendentales y, en particular, sus dos clases más estudiadas: exponenciales y trigonométricas. Descubre que todas las funciones elementales se pueden expresar usando operaciones aritmeticas y dos operaciones: tomar el logaritmo y el exponente.

La prueba misma demuestra perfectamente la técnica de utilizar lo infinitamente grande. Habiendo definido el seno y el coseno usando círculo trigonométrico, Euler deduce lo siguiente de las fórmulas de suma:

Creyendo y z = norteX , él consigue

descartando infinitesimales orden superior. Usando esta y otra expresión similar, Euler obtuvo su famosa fórmula

Al indicar varias expresiones Para funciones que ahora se llaman elementales, Euler procede a considerar curvas en el plano, dibujadas movimiento libre manos. En su opinión, no es posible encontrar una única expresión analítica para cada una de estas curvas (ver también String Dispute). En el siglo XIX, a instancias de Casorati, esta afirmación se consideró errónea: según el teorema de Weierstrass, todo continuo sentido moderno la curva se puede describir aproximadamente mediante polinomios. De hecho, esto no convenció a Euler, porque todavía es necesario reescribir el paso al límite utilizando el símbolo.

Euler comienza su presentación del cálculo diferencial con la teoría de las diferencias finitas, seguida en el tercer capítulo por una explicación filosófica de que “una cantidad infinitesimal es exactamente cero”, lo que sobre todo no convenía a los contemporáneos de Euler. Luego, a partir de diferencias finitas con un incremento infinitesimal se forman diferenciales y a partir de la fórmula de interpolación de Newton se forma la fórmula de Taylor. Este método se remonta esencialmente al trabajo de Taylor (1715). En este caso, Euler tiene una relación estable, que, sin embargo, se considera como una relación de dos infinitesimales. Los últimos capítulos están dedicados al cálculo aproximado mediante series.

En el cálculo integral de tres volúmenes, Euler interpreta e introduce el concepto de integral de la siguiente manera:

La función cuyo diferencial = XdX, se llama integral y se denota con el signo S, colocado al frente.

En general, esta parte del tratado de Euler está dedicada a temas más generales. punto moderno Vista del problema de la integración de ecuaciones diferenciales. Al mismo tiempo, Euler encuentra una serie de integrales y ecuaciones diferenciales que conducen a nuevas funciones, por ejemplo, funciones Γ, funciones elípticas, etc. Jacobi dio en la década de 1830 una prueba rigurosa de su naturaleza no elemental para las elípticas. funciones y por Liouville (ver funciones elementales).

Lagrange

El siguiente trabajo importante que jugó un papel importante en el desarrollo del concepto de análisis fue Teoría funciones analíticas El extenso recuento de Lagrange y Lacroix de la obra de Lagrange de una manera algo ecléctica.

Queriendo deshacerse por completo de lo infinitesimal, Lagrange invirtió la conexión entre las derivadas y la serie de Taylor. Por función analítica Lagrange entendió una función arbitraria estudiada mediante métodos analíticos. Designó la función en sí como F(X), donación método gráfico registros de dependencia: anteriormente Euler se conformaba sólo con variables. Para aplicar métodos de análisis, según Lagrange, es necesario que la función se expanda a una serie

cuyos coeficientes serán nuevas funciones X. Falta por nombrar pag derivado ( coeficiente diferencial) y denotarlo como F"(X). Así, el concepto de derivada se introduce en la segunda página del tratado y sin ayuda de infinitesimales. Queda por señalar que

por lo tanto el coeficiente q es el doble de la derivada de la derivada F(X) , eso es

etc.

Este enfoque para la interpretación del concepto de derivada se utiliza en el álgebra moderna y sirvió de base para la creación de la teoría de funciones analíticas de Weierstrass.

Lagrange operó con series formales y obtuvo la serie maravillosos teoremas. En particular, por primera vez y con bastante rigor demostró la solucion del problema inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias en series de potencias formales.

Lagrange fue el primero en plantear la cuestión de evaluar la precisión de las aproximaciones proporcionadas por las sumas parciales de la serie de Taylor: al final Teorías de funciones analíticas. derivó lo que ahora se llama la fórmula de Taylor con un término restante en forma de Lagrange. Sin embargo, en contraste autores modernos, Lagrange no vio la necesidad de utilizar este resultado para justificar la convergencia de la serie de Taylor.

La pregunta es si las funciones utilizadas en el análisis realmente pueden descomponerse en serie de potencia, posteriormente se convirtió en tema de discusión. Por supuesto, Lagrange sabía que en algunos puntos las funciones elementales pueden no expandirse a una serie de potencias, pero en esos puntos no son diferenciables en ningún sentido. Cauchy en su análisis algebraico dio como contraejemplo la función

ampliado por cero en cero. Esta función es suave en todas partes del eje real y en cero tiene una serie de Maclaurin cero, que, por tanto, no converge al valor F(X). Contra este ejemplo, Poisson objetó que Lagrange definió la función como una única expresión analítica, mientras que en el ejemplo de Cauchy la función se define de manera diferente en cero y en . Solo en finales del XIX siglo, Pringsheim demostró que existe una función infinitamente diferenciable, dada por una sola expresión, para la cual la serie de Maclaurin diverge. Un ejemplo de tal función es la expresión

Mayor desarrollo

Bibliografía

Literatura educativa

Libros de texto estándar

Durante muchos años, los siguientes libros de texto han sido populares en Rusia:

Kudryavtsev, L.D. , Curso de análisis matemático (en tres volúmenes).

T. 1. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. T.2. Filas. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. T. 3. Análisis armónico. Elementos del análisis funcional. Atención especial El libro de texto se centra en la presentación de datos cualitativos y métodos analíticos, también reflejó algunos aplicaciones geométricas análisis. Destinado a estudiantes universitarios de las especialidades de física, matemáticas y física de la ingeniería, así como a estudiantes de otras especialidades para una formación matemática profunda.

Courant, R. (en dos volúmenes). El principal descubrimiento metodológico del curso: primero se exponen simplemente las ideas principales y luego se dan evidencia rigurosa. Escrito por Courant mientras era profesor en la Universidad de Göttingen en los años 1920 bajo la influencia de las ideas de Klein, luego trasladado a suelo americano en los años 1930. La traducción rusa de 1934 y sus reimpresiones dan el texto basado en la edición alemana, la traducción de los años 1960 (la llamada cuarta edición) es una recopilación de las versiones alemana y americana del libro de texto y, por lo tanto, es muy detallada.
Fikhtengolts, Grigori Mijáilovich. Curso de calculo diferencial e integral(V tres volúmenes) // Mat. El análisis en EqWorld es un tutorial muy bueno, pero un poco anticuado.

y un libro de problemas

Demidovich, B.P., Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático.// Mat. análisis en EqWorld

Hay varias publicaciones que dicen ser AntiDemidovich:

Lyashko I. I. et al. Guía de referencia para Matemáticas avanzadas . volúmenes 1-5

La mayoría de universidades tienen sus propias guías de análisis:

Universidad Estatal de Moscú, Mecánica y Matemáticas:

Arkhipov G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikov V. N. Conferencias sobre matemáticas. análisis.
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte IM: Nauka, 1981. 544 p.
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte II. M.: Nauka, 1984. 640 p.

Ilyin V. A., Sadovnichy V. A., Sendov Bl. X. Análisis Matemático (en dos partes)

Universidad Estatal de Moscú, Facultad de Física:

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lo esencial Análisis matemático(en dos partes) // http://lib.homelinux.org.
Butuzov V.F. Estera. análisis de preguntas y tareas // http://lib.homelinux.org.

MSTU.

Matemáticas en Universidad Tecnica Colección de libros de texto en 21 volúmenes.

NSU, Mecánica y Matemáticas:

Reshetnyak Yu. Curso de análisis matemático. Parte I. Libro 1. Introducción al análisis matemático. Calculo diferencial funciones de una variable. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 1999. 454 con ISBN 5-86134-066-8.
Reshetnyak Yu. Curso de análisis matemático. Parte I. Libro 2. Cálculo integral de funciones de una variable. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 1999. 512 con ISBN 5-86134-067-6.
Reshetnyak Yu. Curso de análisis matemático. Parte II. Libro 1. Fundamentos del análisis suave en espacios multidimensionales. Teoría de series. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 2000. 440 con ISBN 5-86134-086-2.
Reshetnyak Yu. Curso de análisis matemático. Parte II. Libro 2. Cálculo integral de funciones de varias variables. Cálculo integral sobre variedades. Externo formas diferenciales. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 2001. 444 con ISBN 5-86134-089-7.
Shvédov I. A. Curso compacto de análisis matemático: Parte 1. Funciones de una variable, Parte 2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables.

Phystech, Moscú

Kudryavtsev L. D. Curso de análisis matemático (en tres volúmenes)

Libros de texto avanzados

Libros de texto:

Rudin U. Fundamentos del análisis matemático. M., 1976: un libro pequeño, escrito de forma muy clara y concisa.

Problemas de mayor dificultad:

G. Polia, G. Szege, Problemas y teoremas a partir del análisis. Parte 1, Parte 2, 1978. ( La mayoría de material se refiere a TFKP)
Pascal, E.(Nápoles). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Archivo de Internet

Directorios

Obras clásicas

El Hospital. Análisis de infinitesimales // Mat. análisis en EqWorld
Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlín, 1914.
Euler. Introducción al análisis, Cálculo diferencial, Cálculo integral //Mat. análisis en EqWorld (El segundo volumen de Introducción al análisis se guardó con un error)
Cauchy. Resumen lecciones de cálculo diferencial e integral //Mat. análisis en EqWorld
Tormenta. Curso de análisis. T.1,2 - Curso clásico parisino escuela politecnica Década de 1830.
Gursa E. Curso de Matemáticas. análisis. T. 1.1, 1.2 // Mat. análisis en EqWorld

Libros históricos

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik. 4 volúmenes, Gotinga, 1796-1800
Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
Historia de las matemáticas editada por A. P. Yushkevich (en tres volúmenes):

Markushevich A.I. Ensayos sobre la historia de la teoría de funciones analíticas. 1951
Vileitner G. Historia de las matemáticas desde Descartes hasta mediados del siglo XIX. 1960
Primero libro de texto ruso según estera. análisis: M.E. Vashchenko-Zakharchenko, Análisis Algebraico o Álgebra Superior. 1887

Notas

Miércoles, por ejemplo, Cornell Un curso
Newton I. Trabajos matemáticos . M, 1937.
Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. LMS, vol V, p. 220-226. Rusia. Traducción: Uspekhi Mat. Ciencias, vol. 3, v. 1 (23), pág. 166-173.
El Hospital. Análisis infinitesimal. M.-L.: GTTI, 1935. (En adelante: L'Hopital) // Mat. análisis en EqWorld
L'Hopital, cap. 1, def. 2.
L'Hopital, cap. 4, def. 1.
L'Hopital, cap. 1, requisito 1.
L'Hopital, cap. 1, requisito 2.
L'Hopital, cap. 2, def.
L'Hopital, § 46.
L'Hopital está preocupado por otra cosa: dy para él la longitud del segmento y es necesario explicar qué significa ser negativo. Incluso puede entenderse que la observación hecha en los § 8-10 significa que al disminuir y con crecimiento X debería estar escrito dXy = ydX − Xdy , pero esto no se usa más.
L'Hopital, § 46.
Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlín, 1914.

El estudiante debe:

saber:

· determinación del límite de una función en un punto;

propiedades del límite de una función en un punto;

· fórmulas límites maravillosos;

· determinación de la continuidad de una función en un punto,

propiedades de funciones continuas;

· definición de derivada, su geometría y significado fisico; derivadas tabulares, reglas de diferenciación;

regla para calcular la derivada función compleja; definición del diferencial de una función, sus propiedades; definición de derivados y diferenciales de orden superior; determinación del extremo de una función, función convexa, puntos de inflexión, asíntotas;

· definición de integral indefinida, sus propiedades, integrales tabulares;

· fórmulas de integración mediante cambio de variable y por partes para la integral indefinida;

· definición de integral definida, sus propiedades, la fórmula básica del cálculo integral: la fórmula de Newton-Leibniz;

· fórmulas de integración mediante cambio de variable y por partes para una integral definida;

· significado geométrico integral definida, aplicación de una integral definida.

ser capaz de:

· calcular límites de secuencias y funciones; revelar incertidumbres;

· calcular derivadas de funciones complejas, derivadas y diferenciales de órdenes superiores;

· encontrar extremos y puntos de inflexión de funciones;

· realizar investigaciones de funciones utilizando derivadas y construir sus gráficas.

· calcular integrales indefinidas y definidas utilizando el método de cambio de variable y por partes;

· integrar funciones racionales, irracionales y algunas trigonométricas, aplicar sustitución universal; aplicar una integral definida para encontrar las áreas de figuras planas.

Límite de función. Propiedades del límite de una función. Límites unilaterales. El límite de la suma, producto y cociente de dos funciones. Funciones continuas, sus propiedades. Continuidad de funciones elementales y complejas. Límites notables.

Determinación de la derivada de una función. Derivadas de funciones elementales básicas. Diferenciabilidad de una función. Diferencial de funciones. Derivada de una función compleja. Reglas de diferenciación: derivada de suma, producto y cociente. Derivados y diferenciales de orden superior. Descubriendo incertidumbres. Funciones crecientes y decrecientes, condiciones para aumentar y disminuir. Extremos de funciones, condición necesaria existencia de un extremo. Encontrar extremos usando la primera derivada. Funciones convexas. Puntos de inflexión. Asíntotas. Estudio completo funciones.

Integral indefinida, sus propiedades. Tabla de integrales básicas. Método de reemplazo de variables. Integración por partes. Integración funciones racionales. integrando algunos funciones irracionales. Sustitución universal.

Integral definida, sus propiedades. Fórmula básica cálculo integral. Integración por cambio de variable y por partes en una integral definida. Aplicaciones de una integral definida.

El cálculo diferencial es una rama del análisis matemático que estudia las derivadas, las diferenciales y su uso en el estudio de funciones.

Historia de la apariencia

El cálculo diferencial se convirtió en una disciplina independiente en la segunda mitad del siglo XVII, gracias a los trabajos de Newton y Leibniz, quienes formularon los principios fundamentales del cálculo diferencial y notaron las conexiones entre integración y diferenciación. A partir de ese momento, la disciplina se desarrolló junto con el cálculo de integrales, formando así la base del análisis matemático. La aparición de estos cálculos abrió una nueva periodo moderno V mundo matemático y provocó el surgimiento de nuevas disciplinas en la ciencia. También amplió la posibilidad de utilizar la ciencia matemática en la ciencia y la tecnología.

Conceptos básicos

El cálculo diferencial se basa en Conceptos fundamentales matemáticas. Ellos son: continuidad, función y límite. Después de un tiempo aceptaron aspecto moderno, gracias al cálculo integral y diferencial.

Proceso de creación

Formación de cálculo diferencial en forma aplicada, y luego. método científico Ocurrió antes del surgimiento de la teoría filosófica creada por Nikolai Kuzansky. Sus obras son consideradas desarrollo evolutivo de los juicios de la ciencia antigua. A pesar de que el propio filósofo no era matemático, su contribución al desarrollo de la ciencia matemática es innegable. Kuzansky fue uno de los primeros en abandonar la consideración de la aritmética como el campo de la ciencia más preciso, poniendo en duda las matemáticas de esa época.

De los antiguos matemáticos criterio universal era uno, mientras que el filósofo propuso el infinito como una nueva medida en lugar de un número exacto. En este sentido, la representación de la exactitud en ciencia matemática. El conocimiento científico, según él, se divide en racional e intelectual. El segundo es más exacto, según el científico, ya que el primero da sólo un resultado aproximado.

Idea

La idea y el concepto básicos del cálculo diferencial están relacionados con la función en pequeñas vecindades de ciertos puntos. Para hacer esto, es necesario crear un aparato matemático para estudiar una función cuyo comportamiento en una pequeña vecindad puntos establecidos cercano al comportamiento de un polinomio o función lineal. Esto se basa en la definición de derivada y diferencial.

La aparición fue causada gran número tareas de Ciencias Naturales y matemáticos, que llevaron a encontrar los valores de límites de un tipo.

Una de las principales tareas que se da como ejemplo, a partir de la escuela secundaria, es determinar la velocidad de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta y construir una línea tangente a esta curva. El diferencial está relacionado con esto porque es posible aproximar la función en una pequeña vecindad del punto de función lineal en cuestión.

En comparación con el concepto de derivada de una función de una variable real, la definición de diferenciales simplemente pasa a la función Naturaleza general, en particular la imagen de un espacio euclidiano sobre otro.

Derivado

Dejemos que el punto se mueva en la dirección del eje Oy; tomemos x como el tiempo, que se cuenta desde un determinado comienzo del momento. Dicho movimiento se puede describir utilizando la función y=f(x), que se asigna a cada momento x de las coordenadas del punto que se está moviendo. Esta función en mecánica se llama ley del movimiento. La característica principal del movimiento, especialmente el movimiento desigual, es que cuando un punto se mueve a lo largo del eje Oy de acuerdo con la ley de la mecánica, en un momento aleatorio x adquiere la coordenada f(x). En el momento x + Δx, donde Δx denota el incremento de tiempo, su coordenada será f(x + Δx). Así se forma la fórmula Δy = f(x + Δx) - f(x), que se llama incremento de la función. Representa el camino recorrido por un punto en el tiempo de x a x + Δx.

En relación con la aparición de esta velocidad en el momento del tiempo, se introduce una derivada. En una función arbitraria, la derivada en un punto fijo se llama límite (siempre que exista). Puede indicarse mediante ciertos símbolos:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación.

Cálculo diferencial de una función de varias variables.

Este método de cálculo se utiliza al estudiar una función con varias variables. Dadas dos variables x e y, la derivada parcial con respecto a x en el punto A se llama derivada de esta función con respecto a x con y fija.

Puede estar indicado por los siguientes símbolos:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x o ∂f(x,y)'/∂x.

Habilidades requeridas

Para aprender con éxito y poder resolver difusiones se requieren habilidades de integración y diferenciación. Para que sea más fácil entender las ecuaciones diferenciales, debes tener un buen conocimiento del tema de las derivadas y tampoco estaría de más aprender a buscar la derivada de implícitamente. función dada. Esto se debe al hecho de que en el proceso de aprendizaje a menudo tendrás que utilizar integrales y diferenciación.

Tipos de ecuaciones diferenciales

En casi todos pruebas Existen 3 tipos de ecuaciones asociadas: homogéneas, con variables separables, lineales no homogéneas.

También hay tipos de ecuaciones más raros: con diferenciales completos, ecuaciones de Bernoulli y otras.

Conceptos básicos de la solución

Para empezar, debemos recordar las ecuaciones algebraicas de curso escolar. Contienen variables y números. Para resolver una ecuación ordinaria, necesitas encontrar un conjunto de números que satisfagan condición dada. Como regla general, tales ecuaciones tenían solo una raíz, y para verificar la exactitud solo fue necesario sustituir este valor en lugar de la incógnita.

La ecuación diferencial es similar a esta. EN caso general dicha ecuación de primer orden incluye:

Variable independiente.
Derivada de la primera función.
Función o variable dependiente.

EN en algunos casos Puede que falte una de las incógnitas, x o y, pero esto no es tan importante, ya que la presencia de la primera derivada, sin derivadas de orden superior, es necesaria para que la solución y el cálculo diferencial sean correctos.

Resolver una ecuación diferencial significa encontrar el conjunto de todas las funciones que se ajustan a una expresión dada. Un conjunto similar de funciones a menudo se llama decisión general DU.

Cálculo integral

El cálculo integral es una de las ramas del análisis matemático que estudia el concepto de integral, las propiedades y los métodos de su cálculo.

A menudo, el cálculo de la integral ocurre al calcular el área. figura curvilínea. Esta área significa el límite al que tiende el área de un polígono inscrito en una figura dada con un aumento gradual de sus lados, mientras que estos lados pueden hacerse menores que cualquier valor pequeño arbitrario previamente especificado.

La idea principal al calcular el área de un arbitrario. figura geométrica Consiste en calcular el área de un rectángulo, es decir, demostrar que su área es igual al producto de su largo por su ancho. Cuando estamos hablando acerca de sobre geometría, entonces todas las construcciones se hacen usando una regla y un compás, y luego la relación entre el largo y el ancho es significado racional. Al calcular el área triángulo rectángulo podemos determinar que si ponemos el mismo triángulo uno al lado del otro, se formará un rectángulo. En un paralelogramo, el área se calcula usando un método similar, pero un poco más complicado, usando un rectángulo y un triángulo. En los polígonos, el área se calcula a través de los triángulos incluidos en él.

Al determinar el área de una curva arbitraria. este método no lo haré. Si lo divides en cuadrados unitarios, entonces habrá espacios vacíos. En este caso intentan utilizar dos coberturas, con rectángulos arriba y abajo, como resultado incluyen la gráfica de la función y no la incluyen. Lo importante aquí es el método de división en estos rectángulos. Además, si tomamos divisiones cada vez más pequeñas, entonces el área superior e inferior deberían converger en un valor determinado.

Deberías volver al método de dividir en rectángulos. Hay dos métodos populares.

Riemann formalizó la definición de integral creada por Leibniz y Newton como el área de un subgrafo. En este caso, consideramos figuras que constan de un cierto número de rectángulos verticales y se obtienen dividiendo un segmento. Cuando al reducir la compartimentación hay un límite al que se reduce el área figura similar, este límite se llama integral de Riemann de una función en un intervalo dado.

El segundo método es la construcción de la integral de Lebesgue, que consiste en dividir el dominio definido en partes del integrando y luego compilar la suma integral a partir de los valores obtenidos en estas partes, dividiendo su rango de valores en intervalos, y luego resumiéndolo con las medidas correspondientes de las imágenes inversas de estas integrales.

Beneficios modernos

Fichtenholtz escribió uno de los principales manuales para el estudio del cálculo diferencial e integral: "Curso de cálculo diferencial e integral". Su libro de texto es una guía fundamental para el estudio del análisis matemático, que ha pasado por numerosas ediciones y traducciones a otros idiomas. Creado para estudiantes universitarios y se ha utilizado de muchas maneras durante mucho tiempo. Instituciones educacionales como una de las principales ayudas al estudio. Proporciona datos teóricos y habilidades prácticas. Publicado por primera vez en 1948.

Algoritmo de investigación de funciones

Para estudiar una función utilizando métodos de cálculo diferencial, debes seguir un algoritmo ya definido:

Encuentra el dominio de definición de la función.
Encuentra las raíces de la ecuación dada.
Calcular los extremos. Para hacer esto, necesitas calcular la derivada y los puntos donde es igual a cero.
Sustituimos el valor resultante en la ecuación.

Tipos de ecuaciones diferenciales

ED de primer orden (de lo contrario, cálculo diferencial de una variable) y sus tipos:

Ecuación separable: f(y)dy=g(x)dx.
Las ecuaciones más simples, o cálculo diferencial de una función de una variable, que tienen la fórmula: y"=f(x).
DE lineal no homogénea de primer orden: y"+P(x)y=Q(x).
Ecuación diferencial de Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a.
Ecuación con diferenciales totales: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus tipos:

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con valores constantes del coeficiente: y n +py"+qy=0 p, q pertenece a R.
Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con valor constante coeficientes: y n +py"+qy=f(x).
Ecuación diferencial lineal homogénea: y n +p(x)y"+q(x)y=0, y ecuación no homogénea segundo orden: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores y sus tipos:

Ecuación diferencial que permite una reducción en orden: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Ecuación lineal orden superior homogéneo: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, y no homogéneo: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Etapas de la resolución de un problema con una ecuación diferencial.

Con la ayuda del control remoto, no sólo matemático o preguntas fisicas, pero también diversos problemas de biología, economía, sociología y otros. A pesar de la amplia variedad de temas, al resolver este tipo de problemas se debe seguir una única secuencia lógica:

Elaboración de DU. Uno de los más etapas dificiles, lo que requiere la máxima precisión, ya que cualquier error conducirá a resultados completamente incorrectos. Se deben tener en cuenta todos los factores que influyen en el proceso y condiciones iniciales. También debes basarte en hechos y conclusiones lógicas.
Solución de la ecuación compilada. Este proceso más fácil que el primero punto, ya que sólo requiere la ejecución estricta de cálculos matemáticos.
Análisis y evaluación de los resultados obtenidos. La solución resultante debe evaluarse para establecer el valor práctico y teórico del resultado.

Un ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales en medicina.

El uso de la DE en el campo de la medicina se encuentra en la construcción de estudios epidemiológicos. modelo matemático. Al mismo tiempo, no debemos olvidar que estas ecuaciones también se encuentran en biología y química, cercanas a la medicina, porque el estudio de diferentes poblaciones biológicas Y procesos quimicos en el cuerpo humano.

En el ejemplo anterior de epidemia, podemos considerar la propagación de la infección en una sociedad aislada. Los habitantes se dividen en tres tipos:

Infectados, número x(t), formados por individuos portadores de la infección, cada uno de los cuales es infeccioso (el período de incubación es corto).
El segundo tipo incluye individuos susceptibles y(t), capaces de infectarse por contacto con individuos infectados.
El tercer tipo incluye individuos no susceptibles z(t), que son inmunes o han muerto debido a una enfermedad.

El número de individuos es constante, registro de nacimiento, muertes naturales y la migración no se tiene en cuenta. Habrá dos hipótesis subyacentes.

El porcentaje de morbilidad en un determinado momento es igual a x(t)y(t) (el supuesto se basa en la teoría de que el número de casos es proporcional al número de intersecciones entre representantes enfermos y susceptibles, lo que en un primer momento La aproximación será proporcional a x(t)y(t)), en Por lo tanto, el número de personas enfermas aumenta y el número de personas susceptibles disminuye a una tasa que se calcula mediante la fórmula ax(t)y(t) ( a > 0).

El número de individuos inmunes que adquirieron inmunidad o murieron aumenta a un ritmo proporcional al número de casos, bx(t) (b > 0).

Como resultado, puede crear un sistema de ecuaciones teniendo en cuenta los tres indicadores y sacar conclusiones basadas en él.

Ejemplo de uso en economía.

El cálculo diferencial se utiliza a menudo en análisis Economico. La tarea principal del análisis económico es el estudio de cantidades de la economía que se escriben en forma de función. Esto se utiliza para resolver problemas como cambios en los ingresos inmediatamente después de un aumento de impuestos, la introducción de derechos, cambios en los ingresos de una empresa cuando cambia el costo de los productos, en qué proporción es posible reemplazar a los empleados jubilados con equipos nuevos. Para resolver tales preguntas, es necesario construir una función de enlace a partir de las variables de entrada, que luego se estudian mediante cálculo diferencial.

EN esfera económica A menudo es necesario encontrar los indicadores más óptimos: productividad laboral máxima, ingresos más altos, costos más bajos, etc. Cada uno de estos indicadores es una función de uno o más argumentos. Por ejemplo, la producción puede considerarse como una función de los insumos de mano de obra y capital. En este sentido, encontrar un valor adecuado se puede reducir a encontrar el máximo o mínimo de una función de una o más variables.

Los problemas de este tipo crean una clase de problemas extremos en campo económico, cuya solución requiere cálculo diferencial. Cuando es necesario minimizar o maximizar un indicador económico en función de otro indicador, entonces, en el punto máximo, la relación entre el incremento de la función y los argumentos tenderá a cero si el incremento del argumento tiende a cero. De lo contrario, cuando actitud similar se esfuerza por algo positivo o valor negativo, el punto especificado no es adecuado, porque al aumentar o disminuir el argumento, puede cambiar cantidad dependiente en la dirección requerida. En la terminología del cálculo diferencial, esto significará que la condición requerida para el máximo de una función es el valor cero de su derivada.

En economía, a menudo hay problemas para encontrar el extremo de una función con varias variables, porque indicadores económicos se componen de muchos factores. Preguntas similares están bien estudiados en la teoría de funciones de varias variables utilizando métodos de cálculo diferencial. Tareas similares incluir no sólo funciones a maximizar y minimizar, sino también restricciones. Se aplican preguntas similares a programación matemática, y se resuelven utilizando métodos especialmente desarrollados, también basados en esta rama de la ciencia.

Entre los métodos de cálculo diferencial utilizados en economía, una sección importante es el análisis de límites. En el ámbito económico, este término denota un conjunto de técnicas para estudiar indicadores y resultados variables al cambiar el volumen de creación y consumo, a partir del análisis de sus indicadores limitantes. Indicador de límite Se consideran derivadas o derivadas parciales para varias variables.

El cálculo diferencial de varias variables es un tema importante en el campo del análisis matemático. Para estudio detallado Puede utilizar diversos materiales didácticos para instituciones de educación superior. Uno de los más famosos fue creado por Fichtenholtz: "Curso de cálculo diferencial e integral". Como sugiere el nombre, las habilidades para trabajar con integrales son de considerable importancia para resolver ecuaciones diferenciales. Cuando se realiza el cálculo diferencial de una función de una variable, la solución se vuelve más sencilla. Aunque, cabe señalar, está sujeto a las mismas reglas básicas. Para estudiar una función en cálculo diferencial en la práctica, basta con seguir un algoritmo ya existente, que se da en la escuela secundaria y que se complica sólo un poco cuando se introducen nuevas variables.

OPCIONES DE TAREAS DE CONTROL

para estudiantes de tiempo completo

Facultad de Matemáticas

parte 5

SAN PETERSBURGO

Publicado por decisión del Departamento de Análisis Matemático y RIS de la Universidad Pedagógica Estatal de Rusia que lleva su nombre. AI. Herzen

El manual metodológico está destinado a estudiantes de tiempo completo de 1 a 3 años de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Estatal de Rusia que lleva su nombre. AI. Herzen.

De acuerdo con el programa de análisis matemático, el manual incluye 28 opciones diferentes para pruebas caseras individuales sobre los temas “Cálculo diferencial de funciones de varias variables”, “Integrales múltiples y sus aplicaciones”. Antes de las opciones de prueba se da alguna información teórica y se analizan ejemplos, cuya solución va acompañada de instrucciones metodológicas para los mismos.

El material del manual se puede utilizar para clases prácticas, exámenes y exámenes en los departamentos de ciencias naturales de instituciones de educación superior.

Profesor Titular O.S. Korsakova,

candidato de ciencias físicas y matemáticas, asistente K.G. Mezhevich

Revisor: Jefe de Departamento matemáticas. análisis de la Universidad Pedagógica Estatal de Rusia que lleva su nombre. AI. Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Curso de análisis matemático. M.: Educación, 1972, vol.

Vilenkin N.Ya. y otros. Libro de problemas para el curso de análisis matemático. - M.: Educación, 1971. Partes 1,2.

Kuznetsov A.A. Colección de tareas en matemáticas superiores. METRO.: Escuela de posgrado, 1983.

Kudryavtsev L.D. Curso de análisis matemático. M.: Escuela Superior, 1988. T. 1,2.

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Colección de problemas de análisis matemático. Funciones de varias variables. San Petersburgo, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Espacios métricos. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Tutorial/ LGPI lleva el nombre. AI. Herzen.-L., 1985.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Cálculo integral de funciones de varias variables y ecuaciones diferenciales. Libro de texto / Instituto Pedagógico Estatal de Leningrado que lleva el nombre. AI. Herzen.-L., 1986.

Fikhtengolts G.M. Fundamentos del análisis matemático. - M.: Nauka, 1968. T.1, 2.

Funciones de varias variables.

DOMINIO DE DEFINICIÓN Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Deja que cada punto
número coincidente
. Luego dicen eso en el set. D determinado función numérica de varias variables
.

Un montón de D llamado dominio de definición funciones, punto
-argumento funciones.

Consideraremos más a fondo la función de dos variables.
. Tenga en cuenta que todo lo que se dice a continuación se puede extender a la función norte variables, donde norte>2 .

conjunto de todos los puntos
, para lo cual la función
, definido analíticamente, tiene sentido, se llama natural dominio de definición esta función.

Por ejemplo, el alcance de la función.
es un círculo abierto de radio 2 con centro en el origen, que viene dado por la desigualdad
.

Cronograma funciones
, Dónde
, se llama conjunto. Define alguna superficie en el espacio.
.

Por ejemplo, la gráfica de la función.
,
, es un paraboloide.

Ejemplo 1. Encontremos el dominio de definición de la función.
.

Función definido en aquellos puntos del plano
, Dónde
.

Esta desigualdad equivale a la combinación de dos sistemas:

Y
.

El primer sistema de desigualdades se satisface con las coordenadas de todos los puntos ubicados en la parábola.
o encima de él, y acostado en un semiplano
. Este conjunto está sombreado en la Figura 1. El segundo sistema se satisface con las coordenadas de los puntos que se encuentran en el conjunto sombreado en la Fig. 2. En consecuencia, el dominio de definición de esta función es la unión de los conjuntos encontrados, es decir conjunto, que está resaltado mediante un sombreado en la Fig. 3.

Arroz. 1 figura. 2 figura. 3

línea de nivel funciones
, llamado conjunto de puntos
, satisfaciendo la ecuación
.

Los niveles se determinan de manera similar (o superficie nivelada) funciones norte variables si norte>2.

Ejemplo 2. Encontremos las líneas de nivel de función.
.

Tenga en cuenta que la función está definida en todo el plano.
.

Para construir líneas de nivel es necesario que cualquier
encontrar el conjunto de puntos en el plano, coordenadas X, y que satisfacen la ecuación
. Por lo tanto, si
, Eso
, y si
, Eso
.

Es obvio que Con no puede ser negativo (en este caso dicen que Con-nivel de función en C<0 es el conjunto vacío).

Encontremos la línea de nivel en c=0:

De manera similar, se encuentran líneas de nivel para diferentes с>0.

En la Fig. 4 muestra las líneas de nivel para c=0, c=1 Y c=2.

LÍMITE DE FUNCIÓN

Conjunto (círculo abierto de radio
centrado en un punto
) se llama -alrededores puntos
. A través de
denotaremos la vecindad perforada de un punto
.

Punto
llamado punto límite conjuntos
, si la intersección es alguna -barrio de un punto
Y muchos D contiene al menos un punto distinto de
, es decir. Para

.

Tenga en cuenta que el punto límite puede no pertenecer al conjunto D.

Deja que la función
definido en el set D y punto
- punto límite D.

Número A llamado límite de la función
en el punto
, si es para cualquier vecindario
puntos A (
) existe-barrio
puntos
tal que para cualquier punto

valor de la función
cae en las proximidades
.

De este modo,

:

)

:

).

Ejemplo 3. Probemos que
.

Tenga en cuenta que esta función está definida en todo el plano excepto en el punto (0,0 ) .

Porque el
, entonces para cualquier
existe
(a saber
) tal que para todos los puntos
, satisfaciendo la condición
, la desigualdad es cierta
.

Función
llamado continuo en un punto
, Si
.

La función se llama continuo en el setD, si es continua en todos los puntos del conjunto D.

Ejemplo 4. 1) Función
es continua en el punto (0,0) porque
(ver ejemplo 3).

2) Función
en el punto (0,0) hay una discontinuidad, porque

DERIVADAS PARCIALES. FUNCIÓN DIFERENCIAL

Deja que la función
definido en alguna vecindad del punto
. Si hay límites finitos
Y
, entonces se llaman Derivadas parciales funciones
en el punto
por variables X Y y están designados en consecuencia
Y
(o:
Y
).

Para calcular la derivada parcial (o ) disfrutar fórmulas conocidas y reglas para derivar una función de una variable, considerando otra variable y (o X) valor constante.

Ejemplo 5. Encontremos las derivadas parciales de la función.
.

si contamos y= constante, Eso - función de potencia de X, Es por eso
.

Si X= constante, Eso - funcion exponencial de y, y por lo tanto
.

Función
llamado diferenciable en el punto
, si hay números A Y EN tal que el incremento

funciones F en el punto
representable en la forma

Dónde
en
.

Parte principal del incremento completo
, lineal con respecto a
Y
, es decir.
, llamado diferencial completo funciones
en el punto
y es designado
.

De este modo,

.

Por definición, el diferencial de una variable independiente es su incremento, es decir
,
.

La función se llama diferenciable en el conjuntoD, si es diferenciable en cada punto del conjunto D.

Teorema 1. Si la función
diferenciable en el punto
Y

es su diferencial en este punto, entonces en este punto hay derivadas parciales de la función F, y además,

=A,
=EN.

El teorema 1 permite calcular el diferencial de la función. F según la fórmula

+
.

Según el teorema 1, si una función es diferenciable en un punto, entonces existen derivadas parciales de la función en ese punto. Lo opuesto no es verdad. Para que una función sea diferenciable se requiere más de condiciones fuertes que la presencia de derivadas parciales en un punto.

Teorema 2. Si derivadas parciales
Y
funciones F existir en alguna vecindad del punto
y son continuos en
, entonces la función F diferenciable en el punto
.

Ejemplo 6. Calculemos las derivadas parciales y diferenciales de la función.
en el punto (1, 1/5).

,

,

,
;

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA

Teorema 3. Deja que las funciones
Y
definido en alguna vecindad del punto
, y la función
definido en alguna vecindad del punto.

Si la función F diferenciable en el punto
, y en el punto
hay derivados
, entonces en el punto
hay una derivada de una función compleja
, y

,
.

Ejemplo 7. Encontremos las derivadas parciales de una función compleja.
, Dónde,.

Ejemplo 8. Encontremos la derivada de una función compleja.
, Dónde
,
. En este ejemplo funciones X Y y depender de una variable t, entonces es una función compleja
- una función de una variable.

Ejemplo 9. Dejar F(tu) - función diferenciable arbitraria. Demostremos que la función
satisface la ecuación
. Pongamos
.

Por eso,

DERIVADOS PARCIALES Y DIFERENCIALES

PEDIDOS SUPERIORES

Deja que la función
en las proximidades de un punto
tiene una derivada parcial .

Derivada parcial de una función por variable X llamado derivada parcial segundo orden por variable X y es designado o
.

Derivada parcial por variable y llamado derivada parcial segundo orden por variables X Y y y es designado o
.

Las derivadas parciales de segundo orden se definen de manera similar Y (
Y
) como derivadas parciales de la función .

Derivados Y son llamados derivadas parciales mixtas.

Teorema 4. Deja que la función
definido junto con sus derivadas parciales ,,
,
en algun barrio del punto

Y
continuo en este punto. Entonces los valores de las derivadas mixtas en este punto son iguales, es decir

=

.

Las derivadas parciales de derivadas de segundo orden se denominan derivadas parciales de tercer orden:
etc.

Derivada parcial (respecto de cualquiera de las variables independientes) de orden derivada parcial metro-1 se llama derivada parcial de orden metro.

El teorema 4 también es válido para derivadas mixtas de tercer, cuarto y superior orden. Por ejemplo, si la función
se define junto con sus derivadas parciales hasta el orden 3 inclusive en alguna vecindad del punto
y derivados mixtos
,
Y
son continuas en este punto, entonces los valores de las derivadas mixtas en este punto son iguales a:

=

=

.

Diferencial de segundo orden una función de dos variables se llama diferencial de primer orden.

Si la función
dos veces continuamente diferenciable en alguna vecindad del punto
(es decir, hay derivadas parciales continuas de la función F hasta el segundo orden inclusive en las proximidades del punto
), Entonces

Ejemplo 10. Encontremos las derivadas de segundo orden de una función compleja dos veces continuamente diferenciable
, Dónde
,
.

,
.

=
,

calculamos de manera similar

DERIVADO DIRECCIONAL. DEGRADADO

Dejar yo - vector unitario en
con coordenadas
.

Derivada de una función
hacia vector yo en el punto
llamado .

La derivada direccional se denota

.

Degradado funciones F en el punto
es un vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales de una función en un punto:

graduado F
= (
,
) =
i +
j.

Es fácil demostrar que la derivada direccional yo igual a producto escalar vector de gradiente y vector yo:

=

+

=
,

donde  es el ángulo entre los vectores graduado F
Y yo.

De la última fórmula se deduce que la derivada con respecto a la dirección del vector graduado F
Tiene valor más alto entre derivadas en diferentes direcciones y es igual al módulo del vector gradiente.

Ejemplo 11. Encontremos la derivada de la función.
en el punto METRO(1, 0) en la dirección del vector Minnesota, Dónde norte (5, 3) .

Vector Minnesota tiene coordenadas (4, 3),
. Esto significa el vector unitario yo tiene coordenadas (4/5, 3/5). Calculemos las derivadas parciales en el punto METRO:
,
. Entonces
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Ejemplo 12. Encontremos la derivada de la función.
en el punto (2,3) en la dirección del vector gradiente en este punto.

Calculemos las derivadas parciales:

,
.

La derivada en la dirección del vector gradiente en un punto es igual al valor absoluto del vector graduado F. Por eso,

PLANO TANGENTE Y NORMAL A LA SUPERFICIE

Para diferenciable en un punto
funciones
la siguiente relación es verdadera:

Dónde
,
(esto se desprende de la definición de diferencial de primer orden). Impares A Y EN están claramente definidos:
=A,
=EN.

La ecuacion

es la ecuación del avión que pasa por el punto
. Este avión se llama plano de la tangente a la gráfica de la función
en el punto
.

Por tanto, el plano tangente a la gráfica de la función.
en un punto hay un plano tal que la diferencia entre sus aplicaciones y el valor de la función
en este punto hay una cantidad que es infinitamente pequeña comparada con  en   0 .

Ecuación de la normal a la gráfica de una función.
en el punto
parece

Si la ecuación de una superficie lisa está dada implícitamente
, entonces la ecuación del plano tangente en el punto
parece

y la ecuación normal en este punto es:

Ejemplo 13. Escribamos la ecuación del plano tangente y la normal a la superficie.
en el punto (-2, 1, 4).

,
. La ecuación del plano tangente es: o
.

Ecuación normal: .

EXTREMA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Punto
llamado punto máximo local (mínimo local) funciones
,
, si hay una vecindad del punto
, para todos los puntos cuya desigualdad

(
).

Puntos máximos locales y mínimo local las funciones se llaman puntos extremos locales.

Por ejemplo, el punto (0,0) es el punto mínimo de la función.
.

Teorema 5 (condición necesaria para el extremo). Si la función
tiene en el punto
extremo local y en este punto hay derivadas parciales F, Eso

=0 y
=0.

Punto
llamado punto estacionario funciones F, Si
=0 y
=0.

Teorema 6 (condición suficiente para un extremo). Deja que la función
dos veces continuamente diferenciable en alguna vecindad de un punto estacionario
.

Denotemos  =

- (

) 2 . Entonces

1) si  > 0, entonces en el punto
función F tiene un extremo local: máximo en

> 0 y mínimo en

< 0;

2) si  < 0, entonces en el punto
función F no tiene extremo;

3) si  = 0, entonces en el punto
función F puede tener o no un extremo local (en este caso, se requiere investigación adicional).

Ejemplo 14. Examinamos la función para el extremo.

Tenga en cuenta que la función tu definidos y diferenciables en todo el plano.
,
. Igualando las derivadas parciales a cero y resolviendo el sistema resultante, encontramos los puntos estacionarios de la función: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, por lo tanto, en el punto (1, 2) la función tiene un mínimo, tu(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, por lo tanto, en el punto (-1, -2) la función tiene un máximo, tu(-1, -2) = 31.

VALORES MÁXIMOS Y MÁS PEQUEÑOS DE UNA FUNCIÓN

Deja que la función
continuo en un conjunto cerrado acotado D.

Recuerde que muchos
llamado limitado, si tal vecindario existe Ud. (0,0), que
Ud. (0,0); un montón de
llamado cerrado, si contiene todos sus puntos límite.

Según el teorema de Weierstrass, existen puntos
Y
, Qué
es el valor más grande de la función en el conjunto D, A
- su valor más pequeño en el conjunto D.

Una función que es diferenciable en un dominio limitado y continua en su frontera alcanza sus valores mayor y menor ya sea en puntos estacionarios, o en puntos límite D.

Ejemplo 15. Encontremos los valores más grande y más pequeño de la función en el conjunto. D, limitado por líneas rectas
,
,
.

y(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - estacionario

puntos de función tu (ver ejemplo 14), pero (-2,-1),

(-1,-2) no pertenecen D.

tu (2, 1) = -23, tu (1, 2) = -25.

D Estudiemos el comportamiento de la función. tu en

X establecer límite D.

Arroz. 5
. Esta es una función de una variable,

que acepta valor más pequeño en el punto
, y el valor más grande en el punto
:tu (4,0) = -45, tu (0,0)= 3;

2)
,
. En este segmento
. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento, calculamos sus valores en puntos estacionarios y en los extremos del segmento:
;
, Pero
, entonces calculamos tu (0,0) = 3, tu (0,
)= =
, tu (0,4) = 7. El valor más grande está en el punto (0,4) y el más pequeño está en el punto (0,
);

3)
,
. Aquí

Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios y en los extremos del segmento: ;; tu (0,4)= 7, tu (3/2, 5/2) = -20, tu (5/2,3/2)= -18, tu (4,0) = -45. En esta sección del límite, el valor más grande de la función está en el punto (0,4) y el más pequeño en el punto (4,0).

De los valores más pequeños y más grandes de la función obtenidos en los párrafos 1)-3) en varias secciones del límite y de los valores de la función en puntos estacionarios, seleccionamos el más grande y el más pequeño. Valor más alto: tu (0,4)= 7, valor más pequeño: tu (4,0)= -45.