Empecemos con propiedades del logaritmo de uno. Su formulación es la siguiente: el logaritmo de la unidad es igual a cero, es decir, registrar un 1=0 para cualquier a>0, a≠1. La demostración no es difícil: dado que a 0 =1 para cualquier a que cumpla las condiciones anteriores a>0 y a≠1, entonces la igualdad log a 1=0 a demostrar se deriva inmediatamente de la definición del logaritmo.
Pongamos ejemplos de la aplicación de la propiedad considerada: log 3 1=0, log1=0 y .
Pasemos a la siguiente propiedad: logaritmo de un número igual a la base igual a uno , eso es, iniciar sesión a = 1 para a>0, a≠1. De hecho, dado que a 1 =a para cualquier a, entonces, por definición del logaritmo, log a a=1.
Ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos son las igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 y lne=1.
Por ejemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 y 
.
Logaritmo del producto de dos números positivos x e y igual al producto logaritmos de estos números: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Demostremos la propiedad del logaritmo de un producto. Debido a las propiedades del título. a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, y dado que por la identidad logarítmica principal a log a x =x y a log a y =y, entonces a log a x ·a log a y =x·y. Por lo tanto, un log a x+log a y =x·y, de donde, según la definición de logaritmo, se sigue la igualdad que se está demostrando.
Mostremos ejemplos del uso de la propiedad del logaritmo de un producto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 y 
.
La propiedad del logaritmo de un producto se puede generalizar al producto. número finito n números positivos x 1 , x 2 ,…, x n como iniciar sesión a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Esta igualdad se puede demostrar sin problemas.
Por ejemplo, el logaritmo natural del producto se puede sustituir por la suma de tres logaritmos naturales de los números 4, e, y.
Logaritmo del cociente de dos números positivos x e y igual a la diferencia logaritmos de estos números. La propiedad del logaritmo de un cociente corresponde a una fórmula de la forma , donde a>0, a≠1, xey son unos números positivos. La validez de esta fórmula está probada al igual que la fórmula del logaritmo de un producto: ya que 
, entonces por definición de logaritmo.
A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad del logaritmo: 
.
Pasemos a propiedad del logaritmo de la potencia. El logaritmo de un grado es igual al producto del exponente por el logaritmo del módulo de la base de ese grado. Escribamos esta propiedad del logaritmo de una potencia como fórmula: log a b p =p·log a |b|, donde a>0, a≠1, b y p son números tales que el grado b p tiene sentido y b p >0.
Primero demostramos que esta propiedad es positiva b. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como un log a b , luego b p =(a log a b) p , y la expresión resultante, debido a la propiedad de la potencia, es igual a a p·log a b . Entonces llegamos a la igualdad b p =a p·log a b, de la cual, por la definición de logaritmo, concluimos que log a b p =p·log a b.
Queda por demostrar esta propiedad para b negativo. Aquí observamos que la expresión log a b p para b negativo sólo tiene sentido para exponentes pares p (ya que el valor del grado b p debe ser mayor que cero, de lo contrario el logaritmo no tendrá sentido), y en este caso b p =|b| pag. Entonces b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de donde log a b p =p·log a |b| .
Por ejemplo, 
y ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Se deduce de la propiedad anterior propiedad del logaritmo de la raíz: el logaritmo de la raíz enésima es igual al producto de la fracción 1/n por el logaritmo de la expresión radical, es decir, 
, donde a>0, a≠1, n – número natural, mayor que uno, b>0.
La prueba se basa en la igualdad (ver), que es válida para cualquier b positivo, y la propiedad del logaritmo de la potencia: 
.
A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad: 
.
Ahora demostremos fórmula para pasar a una nueva base logarítmica amable 
. Para ello basta con demostrar la validez de la igualdad log c b=log a b·log c a. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como log a b, luego log c b=log c a log a b. Queda por utilizar la propiedad del logaritmo del grado: log c a log a b =log a b log c a. Esto prueba la igualdad log c b=log a b·log c a, lo que significa que también se ha probado la fórmula para pasar a una nueva base logarítmica.
Mostremos un par de ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos: y 
.
La fórmula para pasar a una nueva base le permite pasar a trabajar con logaritmos que tienen una base "conveniente". Por ejemplo, se puede utilizar para ir a logaritmos naturales o decimales para poder calcular el valor de un logaritmo a partir de una tabla de logaritmos. La fórmula para pasar a una nueva base de logaritmo también permite, en algunos casos, encontrar el valor de un logaritmo determinado cuando se conocen los valores de algunos logaritmos con otras bases.
A menudo usado caso especial Fórmulas para la transición a una nueva base del logaritmo con c=b de la forma. 
. Esto muestra que log a b y log b a – . Por ejemplo, 
.
La fórmula también se utiliza a menudo. 
, lo cual es conveniente para encontrar valores de logaritmos. Para confirmar nuestras palabras, mostraremos cómo se puede utilizar para calcular el valor de un logaritmo de la forma. Tenemos 
. Para probar la fórmula 
basta con utilizar la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo a: 
.
Queda por demostrar las propiedades de comparación de logaritmos.
Demostremos que para cualquier número positivo b 1 y b 2, b 1 log a b 2 , y para a>1 – la desigualdad log a b 1 Finalmente, queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de los logaritmos. Limitémonos a la prueba de su primera parte, es decir, demostraremos que si a 1 >1, a 2 >1 y a 1 1 es verdadero log a 1 b>log a 2 b . Los demás enunciados de esta propiedad de los logaritmos se demuestran según un principio similar. Usemos el método opuesto. Supongamos que para a 1 >1, a 2 >1 y a 1 1 es verdadero log a 1 b≤log a 2 b . Con base en las propiedades de los logaritmos, estas desigualdades se pueden reescribir como 
Y 
respectivamente, y de ellos se deduce que log b a 1 ≤log b a 2 y log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Entonces, de acuerdo con las propiedades de potencias con las mismas bases, las igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 y b log b a 1 ≥b log b a 2 deben cumplirse, es decir, a 1 ≥a 2 . Entonces llegamos a una contradicción con la condición a 1
Referencias.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).
El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos -2 al cuadrado, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 es igual a 2.
Identidad logarítmica básica
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. El lado izquierdo se define sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho se define para cualquier b y no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.
Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.
Logaritmo del producto y logaritmo del cociente
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Me gustaría advertir a los escolares que no utilicen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Al usarlos "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.
De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.
Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay una reducción del rango de valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede conducir a una pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).
El grado se puede sacar del signo del logaritmo.
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.
Fórmula para pasar a una nueva fundación
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ese raro caso en el que la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.
Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos un caso especial importante de la fórmula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Algunos ejemplos sencillos con logaritmos
Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.
Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).
Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| iniciar sesión a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde es necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.
Definición en matemáticas
Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.
Tipos de logaritmos
Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:
- Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
- Decimal a, donde la base es 10.
- Logaritmo de cualquier número b en base a>1.
Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.
Reglas y algunas restricciones.
En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:
- La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
- si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.
¿Cómo resolver logaritmos?
Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.
Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.
Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:
Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!
Ecuaciones y desigualdades
Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.
Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.
La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver una desigualdad, tanto el rango aceptable Los valores y los puntos se determinan rompiendo esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.
- La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
- El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
- El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.
Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.
Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;
pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.
Ejemplos de problemas y desigualdades
Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.
Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, conviene averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.
A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.
A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.
Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones
Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.
- La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, utilizando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.
Asignaciones del Examen Estatal Unificado
Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".
Se toman ejemplos y soluciones a problemas de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.
Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.
- Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
- Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.
Logaritmo con base a es una función de y (x) = iniciar sesión x, inversa a la función exponencial con base a: x (y) = a y.
logaritmo decimal es el logaritmo en la base de un número 10 : iniciar sesión x ≡ iniciar sesión 10 x.
logaritmo natural es el logaritmo en base de e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
La gráfica del logaritmo se obtiene de la gráfica de la función exponencial. imagen reflejada con respecto a la línea recta y = x. A la izquierda están las gráficas de la función y(x) = iniciar sesión x por cuatro valores bases de logaritmos 2 : un = 8 : un = 1/2 , un = 1/8 y un = 1 . 0 < a < 1 La gráfica muestra que cuando a >
el logaritmo aumenta monótonamente. A medida que x aumenta, el crecimiento se ralentiza significativamente. En
el logaritmo disminuye monótonamente.
Propiedades del logaritmo Dominio, conjunto de valores, creciente, decreciente. El logaritmo es
| función monótona | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| , por lo tanto no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo se presentan en la tabla. | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Dominio de definición | Rango de valores | Monótono |
| aumenta monótonamente 0 | disminuye monótonamente 1 | disminuye monótonamente 1 |
| Ceros, y = 0 | x = | x = |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x =
No Valores privados
El logaritmo en base 10 se llama
logaritmo decimal y se denota de la siguiente manera: Logaritmo a base mi
:
llamado
logaritmo natural
Fórmulas básicas para logaritmos.
Propiedades del logaritmo que surgen de la definición de la función inversa:
La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias. Fórmula de reemplazo base Logaritmo- Este
operación matemática es la operación matemática inversa del logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en productos de factores.
Prueba de fórmulas básicas para logaritmos.
Las fórmulas relacionadas con los logaritmos se derivan de fórmulas para funciones exponenciales y de la definición de función inversa.
Considere la propiedad de la función exponencial.
.
Entonces
.
Apliquemos la propiedad de la función exponencial.
:
.
Probemos la fórmula de reemplazo de bases.
;
.
Suponiendo c = b, tenemos:
función inversa
El inverso del logaritmo en base a es función exponencial con exponente a.
Si entonces
Si entonces
Derivada del logaritmo
Derivada del logaritmo del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >
Para encontrar la derivada de un logaritmo, se debe reducir a la base. y se denota de la siguiente manera:.
;
.
Integral
La integral del logaritmo se calcula integrando por partes: .
Entonces,
Expresiones usando números complejos
Considere la función de números complejos z:
.
vamos a expresar numero complejo z vía módulo r y argumento φ
:
.
Luego, usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O
Sin embargo, el argumento φ
no definido unívocamente. si pones
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes norte.
Por tanto, el logaritmo, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.
Expansión de series de potencias
Cuando se produce la ampliación:
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
En proporción
Se puede establecer la tarea de encontrar cualquiera de los tres números a partir de los otros dos dados. Si se dan a y luego N, se encuentran mediante exponenciación. Si N y entonces a están dados sacando la raíz del grado x (o elevándolo a la potencia). Consideremos ahora el caso en el que, dados a y N, necesitamos encontrar x.
Sea positivo el número N: sea positivo el número a y distinto de uno: .
Definición. El logaritmo del número N en base a es el exponente al que se debe elevar a para obtener el número N; el logaritmo se denota por
Así, en la igualdad (26.1) el exponente se encuentra como el logaritmo de N en base a. Publicaciones
tener mismo significado. La igualdad (26.1) a veces se considera la identidad principal de la teoría de los logaritmos; en realidad expresa la definición del concepto de logaritmo. Por esta definición La base del logaritmo a siempre es positiva y distinta de la unidad; el número logarítmico N es positivo. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos. Se puede demostrar que cualquier número con una base determinada tiene un logaritmo bien definido. Por lo tanto, la igualdad implica. Tenga en cuenta que la condición aquí es esencial; de lo contrario, la conclusión no estaría justificada, ya que la igualdad es verdadera para cualquier valor de x e y.
Ejemplo 1. Encontrar
Solución. Para obtener un número, debes elevar la base 2 a la potencia Por tanto.
Puede tomar notas al resolver dichos ejemplos de la siguiente forma:
Ejemplo 2. Encuentra .
Solución. Tenemos
En los ejemplos 1 y 2, encontramos fácilmente el logaritmo deseado representando el número de logaritmo como una potencia de la base con indicador racional. EN caso general, por ejemplo, para, etc., esto no se puede hacer, ya que el logaritmo tiene un valor irracional. Prestemos atención a una cuestión relacionada con esta afirmación. En el párrafo 12 dimos el concepto de la posibilidad de determinar cualquier grado real de un determinado numero positivo. Esto fue necesario para la introducción de los logaritmos, que, en general, pueden ser números irracionales.
Veamos algunas propiedades de los logaritmos.
Propiedad 1. Si el número y la base son iguales, entonces el logaritmo es igual a uno y, a la inversa, si el logaritmo es igual a uno, entonces el número y la base son iguales.
Prueba. Dejemos que por la definición de logaritmo tenemos y de donde
Por el contrario, dejemos entonces por definición
Propiedad 2. El logaritmo de uno con cualquier base es igual a cero.
Prueba. Por definición de logaritmo (la potencia cero de cualquier base positiva es igual a uno, ver (10.1)). Desde aquí
Q.E.D.
La afirmación inversa también es cierta: si , entonces N = 1. De hecho, tenemos .
Antes de formular siguiente propiedad logaritmos, acordamos decir que dos números a y b se encuentran en el mismo lado del tercer número c si ambos son mayores que c o menores que c. Si uno de estos números es mayor que c y el otro es menor que c, entonces diremos que están a lo largo lados diferentes del pueblo
Propiedad 3. Si el número y la base se encuentran en el mismo lado de uno, entonces el logaritmo es positivo; Si el número y la base están en lados opuestos de uno, entonces el logaritmo es negativo.
La prueba de la propiedad 3 se basa en el hecho de que la potencia de a es mayor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es positivo o la base es menor que uno y el exponente es negativo. Una potencia es menor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es negativo o la base es menor que uno y el exponente es positivo.
Hay cuatro casos a considerar:
Nos limitaremos a analizar el primero de ellos; el lector considerará por su cuenta el resto.
Supongamos entonces que en igualdad el exponente no puede ser ni negativo ni igual a cero, por lo tanto, es positivo, es decir, tal como se requiere demostrar.
Ejemplo 3. Descubra cuáles de los siguientes logaritmos son positivos y cuáles son negativos:
Solución, a) ya que el número 15 y la base 12 se encuentran en el mismo lado de uno;
b) ya que 1000 y 2 están ubicados en un lado de la unidad; en este caso no importa que la base sea mayor que el número logarítmico;
c) dado que 3,1 y 0,8 se encuentran en lados opuestos de la unidad;
G); ¿Por qué?
d) ; ¿Por qué?
Las siguientes propiedades 4-6 a menudo se denominan reglas de logaritmación: permiten, conociendo los logaritmos de algunos números, encontrar los logaritmos de su producto, cociente y grado de cada uno de ellos.
Propiedad 4 (regla del logaritmo del producto). Logaritmo del producto de varios números positivos a una base determinada. igual a la suma logaritmos de estos números en la misma base.
Prueba. Sean positivos los números dados.
Para el logaritmo de su producto, escribimos la igualdad (26.1) que define el logaritmo:
Desde aquí encontraremos
Comparando los exponentes de la primera y la última expresión, obtenemos la igualdad requerida:
Tenga en cuenta que la condición es esencial; el logaritmo del producto de dos números negativos tiene sentido, pero en este caso obtenemos
En general, si el producto de varios factores es positivo, entonces su logaritmo es igual a la suma de los logaritmos de los valores absolutos de estos factores.
Propiedad 5 (regla para tomar logaritmos de cocientes). El logaritmo de un cociente de números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor, llevados a la misma base. Prueba. Constantemente encontramos
Q.E.D.
Propiedad 6 (regla del logaritmo de potencias). Logaritmo de la potencia de algún número positivo. igual al logaritmo este número multiplicado por el exponente.
Prueba. Escribamos nuevamente la identidad principal (26.1) del número:
Q.E.D.
Consecuencia. El logaritmo de la raíz de un número positivo es igual al logaritmo. número radical, dividido por el exponente raíz:
La validez de este corolario se puede probar imaginando cómo y utilizando la propiedad 6.
Ejemplo 4. Llevar logaritmo a base a:
a) (se supone que todos los valores b, c, d, e son positivos);
b) (se supone que ).
Solución, a) Conviene acudir a esta expresión a potencias fraccionarias:
Con base en las igualdades (26.5)-(26.7), ahora podemos escribir:
Notamos que se realizan operaciones más simples sobre los logaritmos de los números que sobre los números mismos: al multiplicar números se suman sus logaritmos, al dividir se restan, etc.
Es por eso que los logaritmos se utilizan en la práctica informática (ver párrafo 29).
La acción inversa del logaritmo se llama potenciación, a saber: la potenciación es la acción mediante la cual se encuentra el número mismo a partir de un logaritmo dado de un número. Esencialmente, la potenciación no es una acción especial: se reduce a elevar una base a un poder ( igual al logaritmo números). El término "potenciación" puede considerarse sinónimo del término "exponenciación".
Al potenciar, se deben utilizar las reglas inversas a las reglas de la logaritmación: sustituir la suma de logaritmos por el logaritmo del producto, la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente, etc. En particular, si hay un factor delante del signo del logaritmo, luego durante la potenciación debe transferirse al exponente grados bajo el signo del logaritmo.
Ejemplo 5. Encuentre N si se sabe que
Solución. En relación con la regla de potenciación recién expuesta, transferiremos los factores 2/3 y 1/3 que se encuentran delante de los signos de los logaritmos en el lado derecho de esta igualdad a exponentes bajo los signos de estos logaritmos; obtenemos
Ahora reemplazamos la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente:
para obtener la última fracción de esta cadena de igualdades, liberamos a la fracción anterior de la irracionalidad en el denominador (sección 25).
Propiedad 7. Si la base es mayor que uno, entonces numero mayor tiene un logaritmo mayor (y un número menor tiene uno menor), si la base es menor que uno, entonces un número mayor tiene un logaritmo menor (y un número menor tiene uno mayor).
Esta propiedad también se formula como regla para tomar logaritmos de desigualdades, cuyos lados son positivos:
Al tomar logaritmos de desigualdades con una base mayor que uno, se conserva el signo de la desigualdad, y cuando se logaritman con una base menor que uno, el signo de la desigualdad cambia al opuesto (ver también el párrafo 80).
La prueba se basa en las propiedades 5 y 3. Considere el caso en el que Si , entonces y, tomando logaritmos, obtenemos
(a y N/M se encuentran en el mismo lado de la unidad). Desde aquí
El caso a sigue, el lector lo descubrirá por sí solo.
