El logaritmo de 9 en base 4 es igual a. ¿Qué es un logaritmo?

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Explíquelo de forma más sencilla. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) igual a la potencia, al cual se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Argumento y base del logaritmo.

Cualquier logaritmo tiene la siguiente “anatomía”:

El argumento de un logaritmo generalmente se escribe en su nivel y la base se escribe en un subíndice más cercano al signo del logaritmo. Y esta entrada dice así: “logaritmo de veinticinco en base cinco”.

¿Cómo calcular el logaritmo?

Para calcular el logaritmo, debes responder la pregunta: ¿a qué potencia se debe elevar la base para obtener el argumento?

Por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Es por eso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Qué poder hace que cualquier número uno? ¡Cero, por supuesto!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En primer lugar, cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? Desde que sabemos lo que es potencia fraccionaria, y eso significa Raíz cuadrada es la potencia de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ejemplo : Calcular logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solución :

Respuesta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

¿Por qué se inventó el logaritmo?

Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la igualdad funcione. Por supuesto, \(x=2\).

Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\).Por qué igual ax? Ese es el punto.

Los más inteligentes dirán: “X es un poco menos que dos”. ¿Cómo escribir exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se inventó el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).

Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), como cualquier logaritmo es solo un número. Sí, parece inusual, pero es breve. Porque si quisiéramos escribirlo como decimal, quedaría así: \(1.892789260714.....\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)

Solución :

Respuesta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimales y naturales

Como se indica en la definición de logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que se inventó una notación corta especial para los logaritmos con ellas:

Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).

Eso es, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).

Eso es, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es algún número.

Identidad logarítmica básica

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y tiene este aspecto:

Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos exactamente cómo surgió esta fórmula.

Recordemos nota corta definiciones de logaritmo:

si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)

Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\). Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.

Puedes encontrar otras propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puedes simplificar y calcular los valores de expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.

Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)

Solución :

Respuesta : \(25\)

¿Cómo escribir un número como logaritmo?

Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Luego, en lugar de dos, puedes escribir \(\log_(2)(4)\).

Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), lo que significa que también podemos escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Lo mismo ocurre con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (ya sea en una ecuación, en una expresión o en una desigualdad); simplemente escribimos la base al cuadrado como argumento.

Lo mismo ocurre con el triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \)... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Y con cuatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Y con menos uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Y con un tercio:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ejemplo : Encuentra el significado de la expresión. \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solución :

Respuesta : \(1\)

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Este ley matemática fue deducida por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo(es decir, cualquier positivo) “b” por su base “a” se considera la potencia de “c” a la que se debe elevar la base “a” para obtener finalmente el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres especies individuales expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos está decidido. de forma estándar, que incluye simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• la base "a" siempre debe ser Por encima de cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora imaginemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo para valores grandes Necesitarás una tabla de grados. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre complejos temas matemáticos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier matemática expresiones numéricas se puede escribir como una ecuación logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para poderes negativos las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Dada una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1) > 3 - es desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (ejemplo: logaritmo 2 x = √9) implican una o más respuestas específicas. valores numéricos, mientras que al resolver las desigualdades se define como la región valores aceptables y los puntos de interrupción de esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también se incluyen en parte obligatoria exámenes de matemáticas. Para admisión a la universidad o aprobación. Examen de admisión En matemáticas es necesario saber cómo resolver este tipo de problemas correctamente.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero para cada desigualdad matemática o se puede aplicar la ecuación logarítmica algunas reglas. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o conducir a apariencia general. Simplifica los largos expresiones logarítmicas posible si utilizas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones de logaritmos naturales, es necesario aplicar. identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos la solución con ejemplos. problemas logarítmicos diferentes tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario expandir gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, utilizando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran frecuentemente en exámenes de admisión, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado ( Examen de Estado para todos los que abandonan la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la más fácil parte de prueba examen), pero también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere precisión y conocimiento perfecto temas "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y soluciones a los problemas están tomados de fuentes oficiales. Opciones del examen estatal unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

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Entonces, tenemos potencias de dos. Si tomas el número de la línea inferior, podrás encontrar fácilmente la potencia a la que tendrás que elevar dos para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, debes elevar dos a la cuarta potencia. Y para obtener 64, debes elevar dos a la sexta potencia. Esto se puede ver en la tabla.

Y ahora, en realidad, la definición del logaritmo:

El logaritmo en base a de x es la potencia a la que se debe elevar a para obtener x.

Designación: log a x = b, donde a es la base, x es el argumento, b es a lo que realmente es igual el logaritmo.

Por ejemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (el logaritmo en base 2 de 8 es tres porque 2 3 = 8). Con el mismo éxito log 2 64 = 6, ya que 2 6 = 64.

La operación de encontrar el logaritmo de un número con una base determinada se llama logaritmización. Entonces, agreguemos una nueva línea a nuestra tabla:

Desafortunadamente, no todos los logaritmos se calculan tan fácilmente. Por ejemplo, intente encontrar log 2 5. El número 5 no está en la tabla, pero la lógica dicta que el logaritmo estará en algún lugar del segmento. porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем mas grado dos, mayor es el número.

Estos números se llaman irracionales: los números después del punto decimal se pueden escribir hasta el infinito y nunca se repiten. Si el logaritmo resulta irracional, es mejor dejarlo así: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es importante entender que un logaritmo es una expresión con dos variables (la base y el argumento). Al principio, mucha gente confunde dónde está la base y dónde está el argumento. Para evitar malentendidos molestos, Sólo mira la foto:

Ante nosotros no hay más que la definición de logaritmo. Recordar: el logaritmo es una potencia, en el que se debe construir la base para obtener un argumento. Es la base la que está elevada a una potencia; está resaltada en rojo en la imagen. ¡Resulta que la base siempre está abajo! Este maravillosa regla Se lo digo a mis alumnos desde la primera lección y no hay confusión.

Hemos descubierto la definición; todo lo que queda es aprender a contar logaritmos, es decir. deshazte del signo "registro". Para empezar, observamos que de la definición se derivan dos hechos importantes:

1. El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto se desprende de la definición del grado. indicador racional, a lo que se reduce la definición de logaritmo.
2. La base debe ser diferente de uno, ya que uno, en cualquier grado, sigue siendo uno. Debido a esto, la pregunta “¿a qué potencia hay que elevar uno para obtener dos” no tiene sentido. ¡No existe tal grado!

Estas restricciones se denominan rango de valores aceptables(ODZ). Resulta que la ODZ del logaritmo se ve así: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tenga en cuenta que no existen restricciones sobre el número b (el valor del logaritmo). Por ejemplo, el logaritmo bien puede ser negativo: log 2 0,5 = −1, porque 0,5 = 2-1.

Sin embargo, ahora sólo estamos considerando expresiones numéricas, donde no es necesario conocer el CVD del logaritmo. Los autores de las tareas ya han tenido en cuenta todas las restricciones. Pero cuando se van ecuaciones logarítmicas y desigualdades, los requisitos del DHS serán obligatorios. Después de todo, la base y el argumento pueden contener construcciones muy sólidas que no necesariamente corresponden a las restricciones anteriores.

Ahora consideremos esquema general calcular logaritmos. Consta de tres pasos:

1. Expresa la base a y el argumento x como una potencia con la mínima base posible mayor que uno. En el camino, es mejor deshacerse de los decimales;
2. Resuelva la ecuación para la variable b: x = a b ;
3. El número b resultante será la respuesta.

¡Eso es todo! Si el logaritmo resulta irracional, esto ya será visible en el primer paso. El requisito de que la base sea mayor que uno es muy importante: esto reduce la probabilidad de error y simplifica enormemente los cálculos. Lo mismo con decimales: si los convierte inmediatamente en normales, habrá muchos menos errores.

Veamos cómo funciona este esquema usando ejemplos específicos:

Tarea. Calcula el logaritmo: log 5 25

1. Imaginemos la base y el argumento como una potencia de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Creemos y resolvamos la ecuación:
iniciar sesión 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Recibimos la respuesta: 2.

Tarea. Calcula el logaritmo:

Tarea. Calcula el logaritmo: log 4 64

1. Imaginemos la base y el argumento como una potencia de dos: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Creemos y resolvamos la ecuación:
   iniciar sesión 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Recibimos la respuesta: 3.

Tarea. Calcula el logaritmo: log 16 1

1. Imaginemos la base y el argumento como una potencia de dos: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Creemos y resolvamos la ecuación:
   iniciar sesión 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Recibimos la respuesta: 0.

Tarea. Calcula el logaritmo: log 7 14

1. Imaginemos la base y el argumento como una potencia de siete: 7 = 7 1 ; 14 no se puede representar como una potencia de siete, ya que 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Del párrafo anterior se desprende que el logaritmo no cuenta;
3. La respuesta es ningún cambio: log 7 14.

Una pequeña nota para último ejemplo. ¿Cómo puedes estar seguro de que un número no es una potencia exacta de otro número? Es muy simple: simplemente divídalo en factores primos. Si la expansión tiene al menos dos factores diferentes, el número no es una potencia exacta.

Tarea. Descubra si los números son potencias exactas: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado exacto, porque sólo hay un multiplicador;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - no es una potencia exacta, ya que existen dos factores: 3 y 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado exacto;
35 = 7 · 5 - nuevamente no es una potencia exacta;
14 = 7 · 2 - nuevamente no es un grado exacto;

Tenga en cuenta también que los números primos en sí son siempre potencias exactas de sí mismos.

logaritmo decimal

Algunos logaritmos son tan comunes que tienen nombre especial y designación.

El logaritmo decimal de x es el logaritmo en base 10, es decir La potencia a la que se debe elevar el número 10 para obtener el número x. Designación: lg x.

Por ejemplo, registro 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3-etc.

De ahora en adelante, cuando aparezca una frase como "Buscar LG 0.01" en un libro de texto, sepa: no se trata de un error tipográfico. Este logaritmo decimal. Sin embargo, si no estás familiarizado con esta notación, siempre puedes reescribirla:
registro x = registro 10 x

Todo lo que es cierto para los logaritmos ordinarios también lo es para los logaritmos decimales.

Logaritmo natural

Hay otro logaritmo que tiene su propia designación. En cierto modo, es incluso más importante que el decimal. Se trata de sobre el logaritmo natural.

El logaritmo natural de x es el logaritmo en base e, es decir la potencia a la que se debe elevar el número e para obtener el número x. Designación: ln x .

Muchos se preguntarán: ¿cuál es el número e? Este numero irracional, su valor exacto imposible de encontrar y registrar. Daré sólo las primeras cifras:
mi = 2,718281828459...

No entraremos en detalles sobre qué es este número y por qué es necesario. Solo recuerda que e es la base del logaritmo natural:
ln x = log e x

Así ln e = 1 ; En mi 2 = 2; En mi 16 = 16 - etc. Por otra parte, ln 2 es un número irracional. En general, el logaritmo natural de cualquier número racional irracional. Excepto, por supuesto, uno: ln 1 = 0.

Para los logaritmos naturales, son válidas todas las reglas que son verdaderas para los logaritmos ordinarios.

log a r b r = log a b o iniciar sesión= iniciar sesión a r b r

El valor de un logaritmo no cambiará si la base del logaritmo y el número bajo el signo del logaritmo se elevan a la misma potencia.

Bajo el signo del logaritmo solo pueden estar números positivos y la base del logaritmo no es igual a uno.

Ejemplos.

1) Compare log 3 9 y log 9 81.

log 3 9=2, ya que 3 2 =9;

log 9 81=2, ya que 9 2 =81.

Entonces log 3 9 = log 9 81.

Tenga en cuenta que la base del segundo logaritmo es igual al cuadrado de la base del primer logaritmo: 9=3 2, y el número bajo el signo del segundo logaritmo es igual al cuadrado del número bajo el signo del primero logaritmo: 81=9 2. Resulta que tanto el número como la base del primer logaritmo log 3 9 se elevaron a la segunda potencia, y el valor del logaritmo no cambió de esto:

A continuación, desde la extracción de la raíz. norte grado de entre A es el aumento de un numero A al grado ( 1/n), luego de log 9 81 puedes obtener log 3 9 tomando la raíz cuadrada del número y de la base del logaritmo:

2) Verifique la igualdad: log 4 25=log 0,5 0,2.

Veamos el primer logaritmo. Sacando la raíz cuadrada de la base. 4 y de entre 25 ; obtenemos: log 4 25=log 2 5.

Veamos el segundo logaritmo. Base logarítmica: 0,5= 1/2. El número bajo el signo de este logaritmo: 0,2= 1/5. Elevemos cada uno de estos números a la primera potencia menos:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Entonces log 0,5 0,2 = log 2 5. Conclusión: esta igualdad es cierta.

Resuelve la ecuación:

registro 4 x 4 + registro 16 81 = registro 2 (5x+2). Reduzcamos logaritmos de izquierda a base. 2 .

iniciar sesión 2 x 2 + iniciar sesión 2 3 = iniciar sesión 2 (5x+2). Saca la raíz cuadrada del número y la base del primer logaritmo. Extrae la raíz cuarta del número y la base del segundo logaritmo.

registro 2 (3x 2) = registro 2 (5x+2). Convierte la suma de logaritmos al logaritmo del producto.

3x2=5x+2. Recibido después de la potenciación.

3x2-5x-2=0. Vamos a decidir ecuación cuadrática Por formula general para una ecuación cuadrática completa:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 raíces reales.

Examen.

x=2.

registro 4 2 4 + registro 16 81 = registro 2 (5∙2+2);

registro 2 2 2 + registro 2 3 = registro 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

registro 2 12 = registro 2 12;

iniciar sesión a n b=(1/ norte)∙ iniciar sesión

Logaritmo de un número b Residencia en un igual al producto fracciones 1/ norte al logaritmo de un número b Residencia en a.

Encontrar:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , si se sabe que registro 2 3=b,iniciar sesión 5 2=c.

Solución.

Resolver ecuaciones:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Solución.

Reduzcamos estos logaritmos a base 2. Apliquemos la fórmula: iniciar sesión a n b=(1/ norte)∙ iniciar sesión

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Aquí hay términos similares:

(1+0,5+0,25) log2x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

iniciar sesión 2x=3. Por definición de logaritmo:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Solución. Convertimos el logaritmo de base 16 a base 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Convirtamos la suma de logaritmos en el logaritmo del producto.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x2-2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Por definición de logaritmo:

x2-5x+4=0. Según el teorema de Vieta:

x1 =1; x2=4. El primer valor de x no funcionará, ya que en x = 1 los logaritmos de esta igualdad no existen, porque Sólo los números positivos pueden estar bajo el signo del logaritmo.

Vamos a revisar ecuación dada en x=4.

Examen.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmo de un número b Residencia en A igual al logaritmo números b sobre una nueva base Con, dividido por el logaritmo de la base antigua A sobre una nueva base Con.

Ejemplos:

1) log2 3=lg3/lg2;

2) registro 8 7=ln7/ln8.

Calcular:

1) iniciar sesión 5 7, si se sabe que lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

C b / registro C a.

registro 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

Respuesta: iniciar sesión 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) iniciar sesión 5 7 , si se sabe que ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Solución. Aplicar la fórmula: log a b =log C b / registro C a.

Iniciar sesión 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Respuesta: iniciar sesión 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Encuentra x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Usamos la fórmula: iniciar sesión C b / registro C un = iniciar sesión . Obtenemos:

iniciar sesión 3 x = iniciar sesión 3 4 + iniciar sesión 3 6 + iniciar sesión 3 8;

iniciar sesión 3 x = iniciar sesión 3 (4∙6∙8);

log3x=log3192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Usamos la fórmula: iniciar sesión C b / registro C un = iniciar sesión a b . Obtenemos:

iniciar sesión 7 x = lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

iniciar sesión 7 x=lg143-lg (11∙13);

iniciar sesión 7 x = lg143-lg143;

x=1.

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