El número máximo de todos los conjuntos que son espacios vectoriales. Espacio lineal vectorial

Golovizin V.V. Conferencias sobre álgebra y geometría. 4

Conferencias sobre álgebra y geometría. Semestre 2.

Tema 22. Espacios vectoriales.

Resumen: definición de un espacio vectorial, sus propiedades más simples, sistemas de vectores, combinación lineal de un sistema de vectores, combinación lineal trivial y no trivial, sistemas de vectores linealmente dependientes e independientes, condiciones para la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores, subsistemas de un sistema de vectores, sistemas de columnas de un espacio vectorial aritmético.

cláusula 1. Definición de espacio vectorial y sus propiedades más simples.

Aquí, para comodidad del lector, repetimos el contenido del párrafo 13 de la conferencia 1.

Definición. Sea un conjunto arbitrario no vacío, cuyos elementos llamaremos vectores, K – un campo, cuyos elementos llamaremos escalares. Definamos una operación algebraica binaria interna en un conjunto, que denotaremos con el signo + y llamaremos suma vectorial. Definamos también una operación algebraica binaria externa en el conjunto, que llamaremos multiplicación de un vector por un escalar y denotaremos con el signo de multiplicación. En otras palabras, se definen dos mapeos:

Un conjunto junto con estas dos operaciones algebraicas se llama espacio vectorial sobre el campo K si se cumplen los siguientes axiomas:

1. La suma es asociativa, es decir.

2. Hay un vector cero, es decir

3. Para cualquier vector existe un opuesto:

El vector y opuesto al vector x generalmente se denota -x, por lo que

4. La suma es conmutativa, es decir .

5. La multiplicación de un vector por un escalar obedece a la ley de asociatividad, es decir

donde el producto es el producto de escalares definidos en el campo K.

6. , donde 1 es la unidad del campo K.

7. La multiplicación de un vector por un escalar es distributiva con respecto a la suma de vectores:

8. La multiplicación de un vector por un escalar es distributiva con respecto a la suma de escalares: .

Definición. Espacio vectorial sobre el campo de los números reales se llama espacio vectorial real.

Teorema. (Las propiedades más simples de los espacios vectoriales).

1. Sólo hay un vector cero en un espacio vectorial.

2. En el espacio vectorial, cualquier vector tiene un opuesto único.

3. o
.

4. .

Prueba. 1) Unicidad vector cero También se demuestra como la unicidad de la matriz identidad y, en general, como la unicidad del elemento neutro de cualquier operación algebraica binaria interna.

Sea 0 el vector cero del espacio vectorial V. Entonces. Dejar
– otro vector cero. Entonces. Tomemos el primer caso.
, y en el segundo –
. Entonces
Y
, de lo que se deduce que
, etc.

2a) Primero demostramos que el producto de un escalar cero y cualquier vector es igual a un vector cero.

Dejar
. Luego, aplicando los axiomas del espacio vectorial, obtenemos:

Con respecto a la suma, un espacio vectorial es un grupo abeliano y la ley de cancelación es válida en cualquier grupo. Aplicando la ley de cancelación, se desprende de la última igualdad.

.

2b) Ahora demostramos el enunciado 4). Dejar
– vector arbitrario. Entonces

Inmediatamente se deduce que el vector
es el opuesto del vector x.

2c) Deja ahora
. Luego, usando los axiomas del espacio vectorial,
Y
obtenemos:

2d) dejar
y supongamos que
. Porque
, donde K es un campo, entonces hay
. Multipliquemos la igualdad
dejado en
:
, que sigue
o
o
.

El teorema ha sido demostrado.

cláusula 2. Ejemplos de espacios vectoriales.

1) Un conjunto de funciones reales numéricas de una variable, continuas en el intervalo (0; 1) con respecto a las operaciones habituales de sumar funciones y multiplicar una función por un número.

2) Un conjunto de polinomios de una letra con coeficientes del campo K Respecto a la suma de polinomios y la multiplicación de polinomios por un escalar.

3) lotes números complejos sobre la suma de números complejos y la multiplicación por un número real.

4) Un conjunto de matrices del mismo tamaño con elementos del campo K con respecto a la suma de matrices y la multiplicación de matrices por un escalar.

El siguiente ejemplo es un caso especial importante del ejemplo 4.

5) Sea un número natural arbitrario. Denotemos por el conjunto de todas las columnas de altura n, es decir conjunto de matrices sobre un campo K de tamaño
.

El conjunto es un espacio vectorial sobre el campo K y se llama espacio vectorial aritmético de columnas de altura n sobre el campo K.

En particular, si en lugar de un campo arbitrario K tomamos el campo numeros reales, entonces el espacio vectorial
se llama espacio vectorial aritmético real de columnas de altura n.

De manera similar, un espacio vectorial también es un conjunto de matrices sobre un campo de tamaño K.
o, en otras palabras, cadenas de longitud n. También se denota por y también se le llama espacio vectorial aritmético de cadenas de longitud n sobre el campo K.

cláusula 3. Sistemas vectoriales espaciales.

Definición. Un sistema de vectores en un espacio vectorial es cualquier conjunto finito no vacío de vectores en este espacio.

Designación:
.

Definición. Expresión

, (1)

donde están los escalares del campo K, están los vectores del espacio vectorial V, se llama combinación lineal del sistema de vectores
. Los escalares se denominan coeficientes de esta combinación lineal.

Definición. Si todos los coeficientes de una combinación lineal (1) son iguales a cero, entonces dicha combinación lineal se llama trivial; en caso contrario, no trivial.

Ejemplo. Dejar
sistema de tres vectores en un espacio vectorial V. Entonces

– combinación lineal trivial de un sistema dado de vectores;

es una combinación lineal no trivial de un sistema dado de vectores, porque el primer coeficiente de esta combinación
.

Definición. Si cualquier vector x del espacio vectorial V se puede representar como:

entonces dicen que el vector x se expresa linealmente a través de los vectores del sistema
. En este caso también se dice que el sistema
representa linealmente el vector x.

Comentario. En esta definición y en la anterior, a menudo se omite la palabra “lineal” y se dice que el sistema representa un vector o el vector se expresa en términos de vectores del sistema, etc.

Ejemplo. Dejar
es un sistema de dos columnas de un espacio vectorial real aritmético de columnas de altura 2. Entonces la columna
expresado linealmente a través de las columnas del sistema o este sistema columnas representa linealmente la columna x. En realidad,

cláusula 4. Sistemas de vectores linealmente dependientes y linealmente independientes en un espacio vectorial.

Dado que el producto de un escalar cero por cualquier vector es un vector cero y la suma de los vectores cero es igual a un vector cero, entonces para cualquier sistema de vectores la igualdad

De ello se deduce que el vector cero se expresa linealmente a través de los vectores de cualquier sistema de vectores o, en otras palabras, cualquier sistema de vectores representa linealmente el vector cero.

Ejemplo. Dejar
. En este caso la columna nula se puede expresar linealmente a través de las columnas del sistema de más de una forma:

o

Para distinguir entre estos métodos de representación lineal del vector cero, introducimos la siguiente definición.

Definición. Si se cumple la igualdad

y al mismo tiempo todos los coeficientes, entonces dicen que el sistema
representa el vector nulo trivialmente. Si en igualdad (3) al menos uno de los coeficientes
No igual a cero, entonces dicen que el sistema de vectores
representa el vector nulo de forma no trivial.

En el último ejemplo vemos que existen sistemas de vectores que pueden representar el vector cero de formas no triviales. De siguiente ejemplo Veremos que existen sistemas de vectores que no pueden representar el vector cero de forma no trivial.

Ejemplo. Dejar
– un sistema de dos columnas de un espacio vectorial. Considere la igualdad:

,

Dónde
coeficientes desconocidos aún. Usando las reglas para multiplicar una columna por un escalar (número) y sumar columnas, obtenemos la igualdad:

.

De la definición de igualdad matricial se deduce que
Y
.

Por tanto, este sistema no puede representar la columna nula de una forma no trivial.

De los ejemplos anteriores se deduce que existen dos tipos de sistemas vectoriales. Algunos sistemas representan el vector nulo de forma no trivial, mientras que otros no. Obsérvese nuevamente que cualquier sistema de vectores representa trivialmente el vector cero.

Definición. Un sistema de vectores en un espacio vectorial que representa el vector nulo SÓLO trivialmente se llama linealmente independiente.

Definición. Un sistema de vectores en un espacio vectorial que puede representar el vector cero de una manera no trivial se llama linealmente dependiente.

La última definición se puede dar de forma más detallada.

Definición. Sistema vectorial
Se dice que el espacio vectorial V es linealmente dependiente si existe un conjunto de escalares de campo K distinto de cero.

Comentario. Cualquier sistema vectorial
Puede representar el vector nulo de forma trivial:

Pero esto no es suficiente para saber si un sistema dado de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente. De la definición se deduce que un sistema de vectores linealmente independiente no puede representar el vector cero de forma no trivial, sino sólo trivial. Por lo tanto, para verificar la independencia lineal de un sistema dado de vectores, debemos considerar la representación de cero mediante una combinación lineal arbitraria de este sistema de vectores:

Si esta igualdad es imposible siempre que al menos un coeficiente de esta combinación lineal sea distinto de cero, entonces este sistema es, por definición, linealmente independiente.

Entonces en los ejemplos del párrafo anterior el sistema de columnas
es linealmente independiente y el sistema de columnas
es linealmente dependiente.

La independencia lineal del sistema de columnas se demuestra de manera similar. ,, ... ,

del espacio donde K es un campo arbitrario, n es un número natural arbitrario.

Los siguientes teoremas proporcionan varios criterios para la dependencia lineal y, en consecuencia, la independencia lineal de los sistemas vectoriales.

Teorema. (Condición necesaria y suficiente para la dependencia lineal de un sistema de vectores).

Un sistema de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente si y sólo si uno de los vectores del sistema se expresa linealmente en términos de otros vectores de este sistema.

Prueba. Necesidad. Deja que el sistema
linealmente dependiente. Entonces, por definición, representa el vector cero de manera no trivial, es decir existe una combinación lineal no trivial de este sistema de vectores igual al vector cero:

donde al menos uno de los coeficientes de esta combinación lineal no es igual a cero. Dejar
,
.

Dividamos ambos lados de la igualdad anterior por este coeficiente distinto de cero (es decir, multipliquemos por :

Denotemos:
, Dónde.

aquellos. uno de los vectores del sistema se expresa linealmente a través de otros vectores de este sistema, etc.

Adecuación. Sea uno de los vectores del sistema expresado linealmente a través de otros vectores de este sistema:

Movamos el vector V lado derecho esta igualdad:

Dado que el coeficiente del vector es igual
, entonces tenemos una representación no trivial de cero mediante un sistema de vectores
, lo que significa que este sistema de vectores es linealmente dependiente, etc.

El teorema ha sido demostrado.

Consecuencia.

1. Un sistema de vectores en un espacio vectorial es linealmente independiente si y solo si ninguno de los vectores del sistema se expresa linealmente en términos de otros vectores de este sistema.

2. Un sistema de vectores que contiene uno o dos vectores cero. vector igual, es linealmente dependiente.

Prueba.

1) Necesidad. Sea el sistema linealmente independiente. Supongamos lo contrario y existe un vector del sistema que se expresa linealmente a través de otros vectores de este sistema. Entonces, según el teorema, el sistema es linealmente dependiente y llegamos a una contradicción.

Adecuación. Que ninguno de los vectores del sistema se exprese en términos de los demás. Supongamos lo contrario. Sea el sistema linealmente dependiente, pero del teorema se deduce que hay un vector del sistema que se expresa linealmente a través de otros vectores de este sistema, y ​​nuevamente llegamos a una contradicción.

2a) Sea el sistema un vector cero. Supongamos con certeza que el vector
:. Entonces la igualdad es obvia.

aquellos. uno de los vectores del sistema se expresa linealmente a través de los otros vectores de este sistema. Del teorema se deduce que tal sistema de vectores es linealmente dependiente, etc.

Tenga en cuenta que este hecho se puede probar directamente a partir de la definición de un sistema de vectores linealmente dependiente.

Porque
, entonces la siguiente igualdad es obvia

Esta es una representación no trivial del vector cero, lo que significa que el sistema
es linealmente dependiente.

2b) Sea el sistema dos vectores iguales. Dejar con certeza
. Entonces la igualdad es obvia.

Aquellos. el primer vector se expresa linealmente a través de los vectores restantes del mismo sistema. Del teorema se deduce que este sistema es linealmente dependiente, etc.

Al igual que la anterior, esta afirmación se puede probar directamente definiendo un sistema linealmente dependiente.

De hecho, desde
, entonces la igualdad es verdadera

aquellos. tenemos una representación no trivial del vector cero.

La investigación ha sido probada.

Teorema (Sobre la dependencia lineal de un sistema de un vector.

Un sistema formado por un vector es linealmente dependiente si y sólo si este vector es cero.

Prueba.

Necesidad. Deja que el sistema
linealmente dependiente, es decir hay una representación no trivial del vector cero

,

Dónde
Y
. De las propiedades más simples del espacio vectorial se deduce que entonces
.

Adecuación. Deje que el sistema consista en un vector cero.
. Entonces este sistema representa el vector cero de manera no trivial

,

de donde sigue dependencia lineal sistemas
.

El teorema ha sido demostrado.

Consecuencia. Un sistema formado por un vector es linealmente independiente si y sólo si este vector es distinto de cero.

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

Material de Wikipedia: la enciclopedia libre

Vector(o lineal) espacio- una estructura matemática, que es un conjunto de elementos llamados vectores, para los cuales se definen las operaciones de suma entre sí y multiplicación por un número - un escalar. Estas operaciones están sujetas a ocho axiomas. Los escalares pueden ser elementos del campo numérico real, complejo o de cualquier otro tipo. Un caso especial de un espacio de este tipo es el habitual espacio euclidiano tridimensional, cuyos vectores se utilizan, por ejemplo, para representar fuerzas físicas. Cabe señalar que un vector como elemento del espacio vectorial no necesariamente tiene que especificarse en forma de segmento dirigido. Generalizar el concepto de "vector" a un elemento de un espacio vectorial de cualquier naturaleza no solo no causa confusión de términos, sino que también permite comprender o incluso predecir una serie de resultados que son válidos para espacios de naturaleza arbitraria.

Los espacios vectoriales son objeto de álgebra lineal. Una de las principales características de un espacio vectorial es su dimensión. La dimensión es número máximo lineal elementos independientes espacio, es decir, recurrir a lo bruto descripción geométrica, el número de direcciones inexpresables entre sí utilizando únicamente las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El espacio vectorial puede estar dotado de estructuras adicionales, como una norma o un producto interno. Estos espacios aparecen naturalmente en el análisis matemático, principalmente en forma de espacios funcionales de dimensión infinita ( Inglés), donde las funciones . Muchos problemas de análisis requieren descubrir si una secuencia de vectores converge a este vector. La consideración de tales preguntas es posible en espacios vectoriales con estructura adicional, en la mayoría de los casos, una topología adecuada, que nos permite definir los conceptos de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y Hilbert, permiten un estudio más profundo.

Además de los vectores, álgebra lineal también estudia tensores de rango superior (un escalar se considera un tensor de rango 0, un vector se considera un tensor de rango 1).

Los primeros trabajos que anticiparon la introducción del concepto de espacio vectorial se remontan al siglo XVII. Fue entonces cuando comenzó a desarrollarse la geometría analítica, la doctrina de las matrices, los sistemas de ecuaciones lineales y los vectores euclidianos.

Definición

Lineal, o espacio vectorial $V\backslash izquierda(F\backslash derecha)$ sobre el campo $F$- este es un cuatro ordenado $(V,F,+,\backslash cdot)$, Dónde

• $V$- un conjunto no vacío de elementos de naturaleza arbitraria, que se denominan vectores;
• $F$- campo (algebraico) cuyos elementos se llaman escalares;
• Operación definida suma vectores $V\backslash veces\; V\backslash a\; V$, que asocia cada par de elementos $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ conjuntos $V$ $V$ los llamó cantidad y designado $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operación definida multiplicar vectores por escalares $F\backslash veces\; V\backslash a\; V$, haciendo coincidir cada elemento $\backslash lambda$ campos $F$ y cada elemento $\backslash mathbf(x)$ conjuntos $V$ el único elemento del conjunto $V$, denotado $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ o $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Los espacios vectoriales definidos en el mismo conjunto de elementos, pero en campos diferentes, serán espacios vectoriales diferentes (por ejemplo, el conjunto de pares de números reales $\backslash mathbb(R)^2$ puede ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de los números reales o unidimensional - sobre el campo de los números complejos).

Las propiedades más simples

1. Un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo suma.
2. Elemento neutro $\backslash mathbf(0)\; \backslash en\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ para cualquiera $\backslash mathbf(x)\; \backslash en\; V$.
4. Para cualquiera $\backslash mathbf(x)\; \backslash en\; V$ elemento opuesto $-\backslash mathbf(x)\backslash en\; V$ es lo único que se sigue de las propiedades del grupo.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ para cualquiera $\backslash mathbf(x)\; \backslash en\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ para cualquier $\backslash alfa\; \backslash en\; F$ Y $\backslash mathbf(x)\; \backslash en\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ para cualquiera $\backslash alfa\; \backslash en\; F$.

Definiciones y propiedades relacionadas

Subespacio

Definición algebraica: Subespacio lineal o subespacio vectorial - subconjunto no vacío $k$ espacio lineal $V$ tal que $k$ en sí mismo es un espacio lineal con respecto a los definidos en $V$ Operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El conjunto de todos los subespacios generalmente se denota como $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Para que un subconjunto sea un subespacio es necesario y suficiente que

1. para cualquier vector $\backslash mathbf(x)\backslash en\; K$, vector $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ también pertenecía $k$, para cualquier $\backslash alfa\backslash en\; F$;
2. para todos los vectores $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash en\; K$, vector $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ también pertenecía $k$.

Las dos últimas declaraciones equivalen a lo siguiente:

Para todos los vectores $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash en\; K$, vector $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ también pertenecía $k$ para cualquier $\backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash en\; F$.

En particular, un espacio vectorial que consta de un solo vector cero es un subespacio de cualquier espacio; cada espacio es un subespacio de sí mismo. Los subespacios que no coinciden con estos dos se llaman propio o no trivial.

Propiedades de los subespacios

• La intersección de cualquier familia de subespacios es nuevamente un subespacio;
• Suma de subespacios $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash en\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ se define como un conjunto que contiene todas las sumas posibles de elementos $k\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash en\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash en\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • La suma de una familia finita de subespacios es nuevamente un subespacio.

Combinaciones lineales

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$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

La combinación lineal se llama:

Base. Dimensión

Vectores $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ son llamados linealmente dependiente, si existe una combinación lineal no trivial de ellos igual a cero:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

De lo contrario estos vectores se llaman independiente linealmente.

Esta definición permite la siguiente generalización: demonio conjunto finito vectores de $V$ llamado linealmente dependiente, si some es linealmente dependiente final un subconjunto del mismo, y independiente linealmente, si algo de eso final el subconjunto es linealmente independiente.

Propiedades de la base:

• Cualquier $norte$ elementos linealmente independientes $norte$-forma espacial dimensional base este espacio.
• cualquier vector $\backslash mathbf(x)\; \backslash en\; V$ se puede representar (únicamente) como una combinación lineal finita Elementos basicos:

caparazón lineal

caparazón lineal $\backslash mathcal\; V(X)$ subconjuntos $X$ espacio lineal $V$- intersección de todos los subespacios $V$ que contiene $X$.

El tramo lineal es un subespacio. $V$.

La concha lineal también se llama subespacio generado $X$. También dicen que cáscara lineal $\backslash mathcal\; V(X)$- espacio, estirado un montón de $X$.

caparazón lineal $\backslash mathcal\; V(X)$ consta de todas las combinaciones lineales posibles de varios subsistemas finitos de elementos de $X$. En particular, si $X$ es un conjunto finito, entonces $\backslash mathcal\; V(X)$ consta de todas las combinaciones lineales de elementos $X$. Por tanto, el vector cero siempre pertenece al casco lineal.

Si $X$ es un conjunto linealmente independiente, entonces es una base $\backslash mathcal\; V(X)$ y por tanto determina su dimensión.

Ejemplos

• Un espacio nulo cuyo único elemento es cero.
• Espacio de todas las funciones. $X\backslash a\; F$ con soporte finito forma un espacio vectorial de dimensión igual a la cardinalidad $X$.
• El campo de los números reales puede considerarse como un espacio vectorial de dimensión continua sobre el campo de los números racionales.
• Cualquier campo es un espacio unidimensional sobre sí mismo.

Estructuras adicionales

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Espacio vectorial"

Notas

Literatura

• Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. - 5to. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. 5ª edición. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu.Álgebra lineal y geometría. 2da ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 p.
• Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte 2: Álgebra lineal. - 3º. - M.: Nauka., 2004. - 368 p. - (Libro de texto universitario).
• Maltsev A. I. Conceptos básicos de álgebra lineal. - 3º. - M.: Nauka, 1970. - 400 p.

• Póstnikov M. M.Álgebra lineal (Lecciones magistrales de geometría. Semestre II). - 2do. - M.: Nauka, 1986. - 400 p.
• Strang G.Álgebra lineal y sus aplicaciones = Álgebra lineal y es Aplicaciones. - M.: Mir, 1980. - 454 p.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G.Álgebra lineal. 6ª edición. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Espacios vectoriales de dimensiones finitas. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
• Faddeev D.K. Conferencias sobre álgebra. - 5to. - San Petersburgo. : Lan, 2007. - 416 p.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O.Álgebra lineal y geometría. - 1º. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
• Schreyer O., Sperner G. Introducción al álgebra lineal en presentación geométrica = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (traducción del alemán). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Un extracto que caracteriza el espacio vectorial.

Al regresar de la revista, Kutuzov, acompañado por el general austríaco, entró en su oficina y, llamando al ayudante, ordenó que le entregaran algunos documentos relacionados con el estado de las tropas llegadas y cartas recibidas del archiduque Fernando, que comandaba el ejército avanzado. . El príncipe Andrei Bolkonsky entró en la oficina del comandante en jefe con los documentos necesarios. Kutuzov y un miembro austríaco del Gofkriegsrat se sentaron frente al plan colocado sobre la mesa.
"Ah..." dijo Kutuzov, mirando a Bolkonsky, como si con esta palabra invitara al ayudante a esperar, y continuó la conversación que había iniciado en francés.
"Sólo digo una cosa, general", dijo Kutuzov con una agradable expresión y entonación, que te obligaba a escuchar atentamente cada palabra pronunciada tranquilamente. Estaba claro que el propio Kutuzov disfrutaba escuchándose a sí mismo. "Sólo digo una cosa, general, que si el asunto dependiera de mi deseo personal, entonces la voluntad de Su Majestad el Emperador Francisco se habría cumplido hace mucho tiempo". Me habría unido al Archiduque hace mucho tiempo. Y, créame, sería una alegría para mí personalmente entregar el mando más alto del ejército a un general con más conocimientos y habilidades que yo, del que tanto abunda Austria, y renunciar a toda esta pesada responsabilidad. Pero las circunstancias son más fuertes que nosotros, general.
Y Kutuzov sonrió con una expresión como si dijera: “Tienes todo el derecho a no creerme, y ni siquiera a mí me importa en absoluto si me crees o no, pero no tienes por qué decirme esto. Y ese es el punto”.
El general austriaco parecía descontento, pero no pudo evitar responder a Kutuzov en el mismo tono.
“Al contrario”, dijo con tono gruñón y enojado, tan contrario al significado halagador de las palabras que decía, “al contrario, la participación de Su Excelencia en causa común muy valorado por Su Majestad; pero creemos que la actual desaceleración priva a las gloriosas tropas rusas y a sus comandantes en jefe de los laureles que acostumbran a cosechar en las batallas”, concluyó su frase aparentemente preparada.
Kutuzov hizo una reverencia sin cambiar su sonrisa.
“Y estoy tan convencido y, basándose en la última carta con la que me honró Su Alteza el Archiduque Fernando, supongo que las tropas austriacas, bajo el mando de un asistente tan hábil como el general Mack, ahora han obtenido una victoria decisiva y ya no Necesitamos nuestra ayuda”, dijo Kutuzov.
El general frunció el ceño. Aunque no hubo noticias positivas sobre la derrota de los austriacos, hubo demasiadas circunstancias que confirmaron los rumores generales desfavorables; Por lo tanto, la suposición de Kutuzov sobre la victoria de los austriacos era muy parecida al ridículo. Pero Kutuzov sonrió dócilmente, siempre con la misma expresión, que decía que tenía derecho a asumirlo. En realidad, última carta, que recibió del ejército de Mack, le informó de la victoria y de lo más rentable. posición estratégica ejército.
"Dame esta carta aquí", dijo Kutuzov, volviéndose hacia el príncipe Andrei. - Por favor, mira. - Y Kutuzov, con una sonrisa burlona en la punta de los labios, leyó en alemán al general austríaco el siguiente pasaje de una carta del archiduque Fernando: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Tenemos fuerzas bastante concentradas, alrededor de 70.000 personas, para que podamos atacar y derrotar al enemigo si cruza Lech. Como ya poseemos Ulm, podemos conservar el beneficio del mando de ambas orillas del Danubio, por lo tanto, cada minuto, si el enemigo no cruza el Lech, cruza el Danubio, corre hacia su línea de comunicación y, desde abajo, cruza el Danubio de regreso. al enemigo, si decide volcar todo su poder sobre nuestros fieles aliados, impedir que se cumpla su intención. De esta manera esperaremos con alegría el momento en que el imperio Ejército ruso Estaremos completamente preparados, y luego juntos encontraremos fácilmente la oportunidad de prepararle al enemigo el destino que se merece”.]

4.3.1 Definición de espacio lineal

Dejar ā , , - elementos de algún conjunto ā , , Tierra λ , μ - numeros reales, λ , μ R..

El conjunto L se llamalineal oespacio vectorial, si se definen dos operaciones:

1 0 . Suma. Cada par de elementos de este conjunto está asociado con un elemento del mismo conjunto, llamado suma

ā + =

2°.Multiplicar por un número. cualquier número real λ y elemento ā l coincide con un elemento del mismo conjunto λ ā l y se cumplen las siguientes propiedades:

1. a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. existe elemento cero
, tal que ā +=ā ;

4. existe elemento opuesto -
tal que ā +(-ā )=.

Si λ , μ - números reales, entonces:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elementos del espacio lineal ā, , ... se llaman vectores.

Ejercicio. Demuéstrate que estos conjuntos forman espacios lineales:

1) muchos vectores geométricos en la superficie;

2) Muchos vectores geométricos en el espacio tridimensional;

3) Un conjunto de polinomios de algún grado;

4) Un conjunto de matrices de la misma dimensión.

4.3.2 Vectores linealmente dependientes e independientes. Dimensión y base del espacio.

Combinación lineal vectores ā 1 , ā 2 , …, ā norte lse llama vector del mismo espacio de la forma:

,

Dónde λ Soy números reales.

Vectores ā 1 , .. , ā norte son llamadosindependiente linealmente, si su combinación lineal es un vector cero si y sólo si todo λ i son iguales a cero, eso es

λ yo = 0

Si la combinación lineal es un vector cero y al menos uno de λ i es diferente de cero, entonces estos vectores se llaman linealmente dependientes. Esto último significa que al menos uno de los vectores se puede representar como una combinación lineal de otros vectores. De hecho, incluso si, por ejemplo,
. Entonces,
, Dónde

.

Un sistema ordenado de vectores linealmente independientes al máximo se llama base espacio l. El número de vectores base se llama dimensión espacio.

Supongamos que hay norte vectores linealmente independientes, entonces el espacio se llama norte-dimensional. Otros vectores espaciales se pueden representar como una combinación lineal. norte vectores de base. Por base norte- Se puede tomar espacio dimensional. cualquier norte vectores linealmente independientes de este espacio.

Ejemplo 17. Encuentra la base y la dimensión de estos espacios lineales:

a) un conjunto de vectores que se encuentran en una línea (colineal con alguna línea)

b) un conjunto de vectores pertenecientes al plano

c) un conjunto de vectores del espacio tridimensional

d) un conjunto de polinomios de grado no superior a dos.

Solución.

A) Dos vectores cualesquiera que se encuentren en una línea recta serán linealmente dependientes, ya que los vectores son colineales.
, Eso
, λ - escalar. En consecuencia, la base de un espacio dado es sólo un (cualquier) vector distinto de cero.

Generalmente este espacio está designado R, su dimensión es 1.

b) cualesquiera dos vectores no colineales
será linealmente independiente y tres vectores cualesquiera en el plano serán linealmente independientes. Para cualquier vector , hay números  Y  tal que
. El espacio se llama bidimensional y se denota por R 2 .

La base de un espacio bidimensional está formada por dos vectores cualesquiera no colineales.

V) Tres vectores cualesquiera no coplanares serán linealmente independientes y forman la base del espacio tridimensional. R 3 .

GRAMO) Como base para el espacio de polinomios de grado no mayor a dos, podemos elegir los siguientes tres vectores: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 es un polinomio idénticamente igual a uno). este espacio será tridimensional.

Vector(o lineal) espacio- estructura matemática, que es un conjunto de elementos llamados vectores, para los cuales se definen las operaciones de suma entre sí y multiplicación por un número - escalar. Estas operaciones están sujetas a ocho axiomas. Los escalares pueden ser elementos de un campo numérico real, complejo o de cualquier otro tipo. Un caso especial de un espacio de este tipo es el habitual espacio euclidiano tridimensional, cuyos vectores se utilizan, por ejemplo, para representar fuerzas físicas. Cabe señalar que un vector como elemento del espacio vectorial no necesariamente tiene que especificarse en forma de segmento dirigido. Generalizar el concepto de "vector" a un elemento de un espacio vectorial de cualquier naturaleza no solo no causa confusión de términos, sino que también permite comprender o incluso predecir una serie de resultados que son válidos para espacios de naturaleza arbitraria.

Los espacios vectoriales son objeto de álgebra lineal. Una de las principales características de un espacio vectorial es su dimensión. La dimensión representa el número máximo de elementos del espacio linealmente independientes, es decir, recurriendo a una descripción geométrica aproximada, el número de direcciones que no pueden expresarse entre sí mediante únicamente las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El espacio vectorial puede estar dotado de estructuras adicionales, por ejemplo, una norma o un producto interno. Estos espacios aparecen naturalmente en el análisis matemático, principalmente en forma de espacios funcionales de dimensión infinita. (Inglés), donde las funciones son los vectores. Muchos problemas de análisis requieren descubrir si una secuencia de vectores converge a un vector dado. La consideración de tales cuestiones es posible en espacios vectoriales con estructura adicional, en la mayoría de los casos una topología adecuada, que permite definir los conceptos de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y Hilbert, permiten un estudio más profundo.

Además de los vectores, el álgebra lineal también estudia tensores de rango superior (un escalar se considera un tensor de rango 0, un vector se considera un tensor de rango 1).

Los primeros trabajos que anticiparon la introducción del concepto de espacio vectorial se remontan al siglo XVII. Fue entonces cuando comenzó a desarrollarse la geometría analítica, la doctrina de las matrices, los sistemas de ecuaciones lineales y los vectores euclidianos.

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  Lineal, o espacio vectorial V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) sobre el campo F (\displaystyle F)- este es un cuatro ordenado (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Dónde

  • V (\displaystyle V)- un conjunto no vacío de elementos de naturaleza arbitraria, que se denominan vectores;
  • F (\displaystyle F)- un campo cuyos elementos se llaman escalares;
  • Operación definida suma vectores V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), que asocia cada par de elementos x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) conjuntos V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) los llamó cantidad y designado x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
  • Operación definida multiplicar vectores por escalares F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), haciendo coincidir cada elemento λ (\displaystyle\lambda) campos F (\displaystyle F) y cada elemento x (\displaystyle \mathbf (x) ) conjuntos V (\displaystyle V) el único elemento del conjunto V (\displaystyle V), denotado λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) o λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

  Los espacios vectoriales definidos en el mismo conjunto de elementos, pero en campos diferentes, serán espacios vectoriales diferentes (por ejemplo, el conjunto de pares de números reales R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) puede ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de los números reales o unidimensional - sobre el campo de los números complejos).

  Las propiedades más simples

  1. Un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo suma.
  2. Elemento neutro 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \en V)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) para cualquiera .
  4. Para cualquiera x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \en V) elemento opuesto − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) es lo único que se sigue de las propiedades del grupo.
  5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) para cualquiera x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \en V).
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) para cualquier y x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \en V).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) para cualquiera α ∈ F (\displaystyle \alpha \en F).

  Definiciones y propiedades relacionadas

  Subespacio

  Definición algebraica: Subespacio lineal o subespacio vectorial- subconjunto no vacío K (\displaystyle K) espacio lineal V (\displaystyle V) tal que K (\displaystyle K) en sí mismo es un espacio lineal con respecto a los definidos en V (\displaystyle V) Operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El conjunto de todos los subespacios generalmente se denota como L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Para que un subconjunto sea un subespacio es necesario y suficiente que

  Las dos últimas declaraciones equivalen a lo siguiente:

  Para todos los vectores x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K), vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) también pertenecía K (\displaystyle K) para cualquier α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

  En particular, un espacio vectorial que consta de un solo vector cero es un subespacio de cualquier espacio; cada espacio es un subespacio de sí mismo. Los subespacios que no coinciden con estos dos se llaman propio o no trivial.

  Propiedades de los subespacios

  Combinaciones lineales

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  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

  La combinación lineal se llama:

  Base. Dimensión

  Vectores x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) son llamados linealmente dependiente, si existe una combinación lineal no trivial de ellos igual a cero:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 , | α1 | + | α2 | + … + | α norte | ≠ 0. (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf ( x) _(n)=\mathbf (0) ,\quad \ |\alpha _(1)|+|\alpha _(2)|+\ldots +|\alpha _(n)|\neq 0.)

  De lo contrario estos vectores se llaman independiente linealmente.

  Esta definición permite la siguiente generalización: conjunto infinito vectores de V (\displaystyle V) llamado linealmente dependiente, si some es linealmente dependiente final un subconjunto del mismo, y independiente linealmente, si algo de eso final el subconjunto es linealmente independiente.

  Propiedades de la base:

  x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

  caparazón lineal

  caparazón lineal subconjuntos X (\displaystyle X) espacio lineal V (\displaystyle V)- intersección de todos los subespacios V (\displaystyle V) que contiene X (\displaystyle X).

  El tramo lineal es un subespacio. V (\displaystyle V).

  La concha lineal también se llama subespacio generado X (\displaystyle X). También se dice que la cáscara lineal V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- espacio, estirado un montón de X (\displaystyle X).