El valor entero más grande de la función. ¿Cómo encontrar el valor más grande de una función? Recomendaciones metodológicas para las clases prácticas Tema: Introducción

En muchas áreas de la vida, es posible que se enfrente a la necesidad de resolver algo usando números, por ejemplo, en economía y contabilidad, solo puede encontrar el mínimo y el máximo de algunos indicadores usando la optimización. parámetros especificados. Y esto no es más que encontrar los valores más grande y más pequeño en un segmento determinado de la función. Ahora veamos cómo encontrar valor más alto funciones.

Encontrar el mayor valor: instrucciones

1. Descubra en qué segmento de la función necesita calcular el valor, designelo con puntos. Este intervalo puede ser abierto (cuando la función es igual al segmento), cerrado (cuando la función está en el segmento) e infinito (cuando la función no termina).
2. Encuentra la función derivada.
3. Encuentra los puntos en el segmento de función donde la derivada es igual a cero y listo. puntos críticos. Luego calcula los valores de la función en estos puntos y resuelve la ecuación. Encuentre el mayor entre los valores obtenidos.
4. Revelar valores de función en puntos finales, determine el mayor de ellos
5. Compare los datos con el valor más grande y seleccione el más grande. Este será el valor más grande de la función.

¿Cómo encontrar el valor entero más grande de una función? Necesitas calcular si la función es par o impar y luego resolver ejemplo específico. Si el número se obtiene con una fracción, no lo tengas en cuenta; el resultado del valor entero mayor de la función será solo un número entero.

El estudio de tal objeto de análisis matemático como función es de gran importancia. significado y en otras áreas de la ciencia. Por ejemplo, en análisis Economico Es necesario evaluar constantemente el comportamiento. funciones beneficio, es decir, determinar su mayor significado y desarrollar una estrategia para lograrlo.

Instrucciones

El estudio de cualquier comportamiento siempre debe comenzar con la búsqueda del dominio de definición. Generalmente por condición tarea específica es necesario determinar el mayor significado funciones ya sea en toda esta área, o en un intervalo específico de la misma con fronteras abiertas o cerradas.

Basado en , el más grande es significado funciones y(x0), en el que para cualquier punto en el dominio de definición se cumple la desigualdad y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Gráficamente, este punto será el más alto si los valores de los argumentos se colocan a lo largo del eje de abscisas y la función misma a lo largo del eje de ordenadas.

Para determinar el mayor significado funciones, siga el algoritmo de tres pasos. Tenga en cuenta que debe poder trabajar con unilateral y , así como calcular la derivada. Entonces, dejemos que se dé alguna función y(x) y necesitemos encontrar su mayor significado en un cierto intervalo con valores límite A y B.

Descubra si este intervalo está dentro del alcance de la definición. funciones. Para hacer esto, debe encontrarlo considerando todas las restricciones posibles: la presencia de una fracción en la expresión, raíz cuadrada etc. El dominio de definición es el conjunto de valores de argumentos para los cuales la función tiene sentido. Determine si el intervalo dado es un subconjunto del mismo. En caso afirmativo, continúe con el siguiente paso.

Encuentra la derivada funciones y resuelve la ecuación resultante igualando la derivada a cero. De esta forma obtendrás los valores de los llamados puntos estacionarios. Evaluar si al menos uno de ellos pertenece al intervalo A, B.

En la tercera etapa, considere estos puntos y sustituya sus valores en la función. Dependiendo del tipo de intervalo, realice los siguientes pasos adicionales. Si hay un segmento de la forma [A, B], los puntos límite se incluyen en el intervalo; esto se indica entre paréntesis. Calcular valores funciones para x = A y x = B. Si el intervalo es abierto (A, B), los valores límite se perforan, es decir no están incluidos en el mismo. Resuelva límites unilaterales para x→A y x→B. Un intervalo combinado de la forma [A, B) o (A, B), uno de cuyos límites le pertenece, el otro no. Encuentre el límite unilateral cuando x tiende al valor perforado y sustitúyalo por el otro. la función Intervalo infinito de dos lados (-∞, +∞) o intervalos infinitos de un lado de la forma: , (-∞, B). Para los límites reales A y B, proceda de acuerdo con los principios ya descritos, y para los límites reales A y B. infinitos, busque límites para x→-∞ y x→+∞, respectivamente.

La tarea en esta etapa

Recomendaciones metodológicas para el estudio del tema “Conjunto de valores de funciones. Los valores mayor y menor de una función”.

En las matemáticas mismas, el principal medio

para lograr la verdad: inducción y analogía.

Dado: - función. denotemos
- dominio de definición de la función.

El conjunto (dominio) de valores de una función es el conjunto de todos aquellos valores que puede tomar una función
.Geométricamente, esto significa la proyección de la gráfica de una función sobre el eje.
.

Si hay un punto tal que para cualquiera del conjunto hay una desigualdad
, entonces dicen que la función en el conjunto adquiere su nai bajo valor

Si hay un punto tal que para cualquiera del conjunto se cumple la desigualdad
, entonces dicen que la función en el conjunto adquiere su valor más alto .

La función se llama delimitado por debajo en el set si tal número existe
. Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función no es más baja que la línea recta.
.

La función se llama acotado superiormente en el set si tal número existe , que para cualquiera del conjunto la desigualdad es verdadera
. Geométricamente, esto significa que la gráfica de la función no es más alta que la línea recta.

La función se llama limitado en el conjunto si está limitado a este conjunto desde abajo y desde arriba. La acotación de una función significa que su gráfica se encuentra dentro de una determinada banda horizontal.

Desigualdad de Cauchy sobre la media aritmética y la media geométrica
:

>,>0) Ejemplo:

Los valores mayor y menor de una función en un intervalo.

(segmento, intervalo, rayo)

Propiedades de funciones continuas en un intervalo.

1. Si una función es continua en un segmento, entonces alcanza tanto su valor máximo como su mínimo en él.

2. Una función continua puede alcanzar sus valores máximo y mínimo tanto en los extremos de un segmento como dentro de él.

3. Si el valor más grande (o más pequeño) se logra dentro del segmento, entonces solo en un punto estacionario o crítico.

Algoritmo para encontrar los valores más grandes y más pequeños. función continua en el segmento

1. Encuentra la derivada
.

2. Encuentre puntos estacionarios y críticos que se encuentran dentro del segmento. .

3. Encuentre los valores de la función en los puntos críticos y estacionarios seleccionados y en los extremos del segmento, es decir
Y
.

4.Entre los valores encontrados, seleccione el más pequeño (este será
) y el más grande (este será
)

Propiedades de funciones continuas que son monótonas en un intervalo:

Aumento continuo en un segmento. la función alcanza su mayor valor en
, el más pequeño – en
.

Decreciente continuo en un segmento. la función alcanza su mayor valor en y su mínimo en .

Si el valor de la función
no negativo en algún intervalo, entonces esta función y la función
, donde n es un número natural, toma el valor más grande (más pequeño) en el mismo punto.

Encontrar los valores más grandes y más pequeños función continua en el intervalo
o en viga

(problemas de optimización).

Si una función continua tiene un único punto extremo en un intervalo o rayo y este extremo es un máximo o un mínimo, entonces en este punto el mayor o valor más pequeño funciones ( o )

Aplicación de la propiedad de monotonicidad de funciones.

1. Una función compleja compuesta de dos funciones crecientes es creciente.

2.Si la función aumenta y la función
disminuye, entonces la función
- disminuyendo.

3. La suma de dos funciones crecientes (decrecientes), función creciente (decreciente).

4. Si en la ecuación.
el lado izquierdo es una función creciente (o decreciente), entonces la ecuación tiene como máximo una raíz.

5.Si la función aumenta (disminuye) y la función disminuye (aumenta), entonces la ecuación
tiene como máximo una solución.

6. Ecuación
tiene al menos una raíz si y sólo si

pertenece a múltiples significados
funciones .

Aplicación de la propiedad de funciones acotadas.

1. Si el lado izquierdo de la ecuación (desigualdad) (
menor o igual a algún número (
), A parte derecha es mayor o igual a este número (), entonces el sistema mantiene
cuya solución es la solución de la ecuación (desigualdad) misma.

Tareas de autocontrol

Solicitud:

3. Encuentra todos los valores para los cuales la ecuación.
tiene una solución.

Tarea

1.Encuentra el valor más grande de la función:

, Si
.

2. Encuentra el valor más pequeño de la función:

.

3. Encuentra el valor entero más grande de la función:

. los que corresponden a mayor. Ideal-...

Desde un punto de vista práctico, el mayor interés está en utilizar la derivada para encontrar los valores mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado esto? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de equipos... Es decir, en muchos ámbitos de la vida tenemos que solucionar problemas de optimización de algunos parámetros. Y estas son las tareas de encontrar los valores mayor y menor de una función.

Cabe señalar que los valores mayor y menor de una función generalmente se buscan en un determinado intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio de definición. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto , un intervalo infinito.

En este artículo hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de forma explícita. función dada una variable y=f(x) .

Navegación de páginas.

El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.

Veamos brevemente las definiciones principales.

El valor más grande de la función. eso para cualquiera la desigualdad es cierta.

El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor eso para cualquiera la desigualdad es cierta.

Estas definiciones son intuitivas: el valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado en el intervalo considerado en la abscisa.

Puntos estacionarios– estos son los valores del argumento en los que la derivada de la función se vuelve cero.

¿Por qué necesitamos puntos estacionarios para encontrar los valores más grande y más pequeño? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función diferenciable tiene un extremo ( mínimo local o máximo local) en un punto determinado, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor más grande (más pequeño) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.

Además, una función a menudo puede tomar sus valores más grande y más pequeño en puntos en los que la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.

Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Es siempre posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces, los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de definición de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores tanto infinitamente grandes como infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.

Para mayor claridad, daremos una ilustración gráfica. Mire las imágenes y muchas cosas quedarán más claras.

en el segmento

En la primera figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del segmento [-6;6].

Consideremos el caso representado en la segunda figura. Cambiemos el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en punto estacionario, y el mayor, en el punto con la abscisa correspondiente al límite derecho del intervalo.

En la Figura 3, los puntos límite del segmento [-3;2] son ​​las abscisas de los puntos correspondientes al valor mayor y menor de la función.

En un intervalo abierto

En la cuarta figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del intervalo abierto (-6;6).

En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.

en el infinito

En el ejemplo presentado en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y) en un punto estacionario con abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y) se logra en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3.

Durante el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. A medida que x=2 se aproxima por la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la línea recta x=2 es asíntota vertical), y como la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura 8.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.

Escribamos un algoritmo que nos permita encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.

1. Encontramos el dominio de definición de la función y comprobamos si contiene el segmento completo.
2. Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (normalmente estos puntos se encuentran en funciones con un argumento bajo el signo de módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no existen tales puntos, pase al siguiente punto.
3. Determinamos todos los puntos estacionarios que caen dentro del segmento. Para hacer esto, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, pase al siguiente punto.
4. Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en puntos en los que la primera derivada no existe (si la hay), así como en x=a y x=b.
5. De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el mayor y el menor; serán los valores mayor y menor requeridos de la función, respectivamente.

Analicemos el algoritmo para resolver un ejemplo para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento.

Ejemplo.

Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función.

• en el segmento;
• en el segmento [-4;-1] .

Solución.

El dominio de una función es el conjunto completo. numeros reales, excepto cero, es decir. Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.

Encuentra la derivada de la función con respecto a:

Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1].

Determinamos puntos estacionarios a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.

Para el primer caso calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4:

Por tanto, el mayor valor de la función se logra en x=1, y el valor más pequeño – en x=2.

Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario):

En este artículo hablaré sobre cómo aplicar la habilidad de encontrar al estudio de una función: encontrar su valor mayor o menor. Y luego resolveremos varios problemas de la Tarea B15 de banco abierto tareas para.

Como de costumbre, primero recordemos la teoría.

Al comienzo de cualquier estudio de una función, encontramos que

Para encontrar el valor mayor o menor de una función, es necesario examinar en qué intervalos la función aumenta y en cuáles disminuye.

Para hacer esto, necesitamos encontrar la derivada de la función y examinar sus intervalos de signo constante, es decir, los intervalos en los cuales la derivada conserva su signo.

Los intervalos en los que la derivada de una función es positiva son intervalos de función creciente.

Los intervalos en los que la derivada de una función es negativa son intervalos de función decreciente.

1 . Resolvamos la tarea B15 (No. 245184)

Para solucionarlo seguiremos el siguiente algoritmo:

a) Encuentra el dominio de definición de la función.

b) Encontremos la derivada de la función.

c) Igualémoslo a cero.

d) Encontremos los intervalos de signo constante de la función.

e) Encuentre el punto en el que la función toma el mayor valor.

f) Encuentre el valor de la función en este punto.

Doy una solución detallada a esta tarea en el VIDEO TUTORIAL:

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2. Resolvamos la tarea B15 (No. 282862)

Encuentra el valor más grande de la función. en el segmento

Es obvio que la función toma el mayor valor en el segmento en el punto máximo, en x=2. Encontremos el valor de la función en este punto:

Respuesta: 5

3. Resolvamos la tarea B15 (No. 245180):

Encuentra el valor más grande de la función.

1. título="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Porque según el dominio de definición de la función original title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Numerador igual a cero en . Comprobemos si pertenece funciones ODZ. Para hacer esto, verifiquemos si la condición title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Título="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

esto significa que el punto pertenece a la función ODZ

Examinemos el signo de la derivada a la derecha e izquierda del punto:

Vemos que la función adquiere su mayor valor en el punto . Ahora encontremos el valor de la función en:

Observación 1. Tenga en cuenta que en este problema no encontramos el dominio de definición de la función: solo fijamos las restricciones y comprobamos si el punto en el que la derivada es igual a cero pertenece al dominio de definición de la función. Esto resultó ser suficiente para esta tarea. Sin embargo, este no es siempre el caso. Depende de la tarea.

Nota 2. Al estudiar el comportamiento función compleja puedes usar esta regla:

• Si la función externa de una función compleja es creciente, entonces la función toma su mayor valor en el mismo punto en el que función interna toma el mayor valor. Esto se desprende de la definición de una función creciente: una función aumenta en el intervalo I si valor mas alto el argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.
• Si la función externa de una función compleja es decreciente, entonces la función toma su valor más grande en el mismo punto en el que la función interna toma su valor más pequeño. . Esto se desprende de la definición de función decreciente: una función disminuye en el intervalo I si un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función

En nuestro ejemplo, la función externa aumenta en todo el dominio de definición. Bajo el signo del logaritmo hay una expresión - trinomio cuadrático, que, con un coeficiente principal negativo, toma el mayor valor en el punto . A continuación, sustituimos este valor de x en la ecuación de la función y encontrar su mayor valor.