Desde un punto de vista práctico, el mayor interés está en utilizar la derivada para encontrar los valores mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado esto? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de equipos... Es decir, en muchos ámbitos de la vida tenemos que solucionar problemas de optimización de algunos parámetros. Y estas son las tareas de encontrar los valores mayor y menor de una función.
Cabe señalar que el mayor y valor más pequeño Las funciones generalmente se buscan en algún intervalo X, que es el dominio completo de la función o parte del dominio. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto 
, un intervalo infinito.
En este artículo hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grande y más pequeño de una función definida explícitamente de una variable y=f(x).
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El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.
Veamos brevemente las definiciones principales.
El valor más grande de la función. 
eso para cualquiera 
la desigualdad es cierta.
El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor 
eso para cualquiera la desigualdad es cierta.
Estas definiciones son intuitivas: el valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado en el intervalo considerado en la abscisa.
Puntos estacionarios– estos son los valores del argumento en los que la derivada de la función se vuelve cero.
¿Por qué necesitamos puntos estacionarios para encontrar los valores más grande y más pequeño? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función diferenciable tiene un extremo ( mínimo local o máximo local) en un punto determinado, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor más grande (más pequeño) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.
Además, una función a menudo puede tomar sus valores más grande y más pequeño en puntos en los que la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.
Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Es siempre posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces, los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de definición de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores tanto infinitamente grandes como infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.
Para mayor claridad, daremos una ilustración gráfica. Mire las imágenes y muchas cosas quedarán más claras.
en el segmento
En la primera figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del segmento [-6;6].
Consideremos el caso representado en la segunda figura. Cambiemos el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande en el punto cuya abscisa corresponde al límite derecho del intervalo.
En la Figura 3, los puntos límite del segmento [-3;2] son las abscisas de los puntos correspondientes al valor mayor y menor de la función.
En un intervalo abierto
En la cuarta figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del intervalo abierto (-6;6).
En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.
en el infinito
En el ejemplo que se muestra en la séptima figura, la función toma valor más alto(max y) en un punto estacionario con abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y) se logra en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3.
Durante el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. A medida que x=2 se aproxima por la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la línea recta x=2 es asíntota vertical), y como la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura 8.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.
Escribamos un algoritmo que nos permita encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.
- Encontramos el dominio de definición de la función y comprobamos si contiene el segmento completo.
- Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (normalmente estos puntos se encuentran en funciones con un argumento bajo el signo de módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no existen tales puntos, pase al siguiente punto.
- Determinamos todos los puntos estacionarios que caen dentro del segmento. Para hacer esto, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, pase al siguiente punto.
- Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en puntos en los que la primera derivada no existe (si la hay), así como en x=a y x=b.
- De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el mayor y el menor; serán los valores mayor y menor requeridos de la función, respectivamente.
Analicemos el algoritmo para resolver un ejemplo para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento.
Ejemplo.
Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función.
- en el segmento;
- en el segmento [-4;-1] .
Solución.
El dominio de una función es el conjunto completo. numeros reales, excepto cero, es decir. Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.
Encuentra la derivada de la función con respecto a: 
Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1].
Determinamos puntos estacionarios a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.
Para el primer caso, calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4: 
Por tanto, el mayor valor de la función 
se logra en x=1, y el valor más pequeño 
– en x=2.
Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario): 
Deja que la función y =F(X) es continua en el intervalo [ a, b]. Como se sabe, dicha función alcanza sus valores máximo y mínimo en este segmento. La función puede tomar estos valores ya sea punto interno segmento [ a, b], o en el límite del segmento.
Para encontrar los valores mayor y menor de una función en el segmento [ a, b] necesario:
1) encuentre los puntos críticos de la función en el intervalo ( a, b);
2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;
3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, cuando X=A y x = b;
4) de todos los valores calculados de la función, seleccione el mayor y el menor.
Ejemplo. Encuentra los valores mayor y menor de una función.
en el segmento.
Encontrar puntos críticos:
Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
en el punto X= 3 y en el punto X= 0.
Estudio de una función de convexidad y punto de inflexión.
Función y = F (X) llamado convexo entre (a, b) , si su gráfica se encuentra debajo de la tangente trazada en cualquier punto de este intervalo, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo), si su gráfica está por encima de la tangente.
El punto a través del cual la convexidad se reemplaza por la concavidad o viceversa se llama punto de inflexión.
Algoritmo para examinar la convexidad y el punto de inflexión:
1. Encuentre puntos críticos del segundo tipo, es decir, puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.
2. Traza puntos críticos en la recta numérica, dividiéndola en intervalos. Encuentre el signo de la segunda derivada en cada intervalo; si , entonces la función es convexa hacia arriba, si, entonces la función es convexa hacia abajo.
3. Si al pasar por un punto crítico de segundo tipo el signo cambia y en este punto la segunda derivada es igual a cero, entonces este punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.
Asíntotas de la gráfica de una función. Estudio de una función para asíntotas.
Definición. La asíntota de la gráfica de una función se llama derecho, que tiene la propiedad de que la distancia desde cualquier punto de la gráfica hasta esta recta tiende a cero a medida que el punto de la gráfica se mueve indefinidamente desde el origen.
Hay tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal e inclinada.
Definición. La recta se llama asíntota vertical gráficos de funciones y = f(x), si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es igual al infinito, es decir
donde está el punto de discontinuidad de la función, es decir, no pertenece al dominio de definición.
Ejemplo.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – punto de quiebre.
Definición. Derecho y =A llamado asíntota horizontal gráficos de funciones y = f(x) en , si
Ejemplo.
|
X | |||
|
y |
Definición. Derecho y =kx +b (k≠ 0) se llama asíntota oblicua gráficos de funciones y = f(x) en donde
Esquema general para estudiar funciones y construir gráficas.
Algoritmo de investigación de funcionesy = f(x) :
1. Encuentra el dominio de la función. D (y).
2. Encuentre (si es posible) los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas (si X= 0 y en y = 0).
3. Examina la uniformidad y la imparidad de la función ( y (‒ X) = y (X) ‒ paridad; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ extraño).
4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.
5. Encuentra los intervalos de monotonicidad de la función.
6. Encuentra los extremos de la función.
7. Encuentre los intervalos de convexidad (concavidad) y los puntos de inflexión de la gráfica de funciones.
8. Con base en la investigación realizada, construye una gráfica de la función.
Ejemplo. Explora la función y construye su gráfica.
1) D (y) =
X= 4 – punto de quiebre.
2) cuando X = 0,
(0; - 5) – punto de intersección con Vaya.
En y = 0,
3)
y(‒
X)=
función vista general(ni par ni impar).
4) Examinamos las asíntotas.
a) verticales
segundo) horizontal
c) encontrar las asíntotas oblicuas donde
‒ecuación asíntota oblicua
5) segundo ecuación dada no es necesario encontrar intervalos de monotonicidad de la función.
6)
Estos puntos críticos dividen todo el dominio de definición de la función en el intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; +∞). Es conveniente presentar los resultados obtenidos en la forma de la siguiente tabla.
Dejemos que la función $z=f(x,y)$ sea definida y continua en algún punto acotado. zona cerrada$D$. Sea la función dada en esta región tener derivadas parciales finitas de primer orden (excepto, quizás, para un número finito de puntos). Para encontrar los valores mayor y menor de una función de dos variables en una región cerrada determinada, se requieren tres pasos de un algoritmo simple.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de la función $z=f(x,y)$ en un dominio cerrado $D$.
- Encuentra los puntos críticos de la función $z=f(x,y)$ perteneciente al dominio $D$. Calcule los valores de la función en los puntos críticos.
- Investiga el comportamiento de la función $z=f(x,y)$ en el límite de la región $D$, encontrando los puntos de posibles valores máximos y mínimos. Calcule los valores de la función en los puntos obtenidos.
- De los valores de función obtenidos en los dos párrafos anteriores, seleccione el mayor y el menor.
¿Cuáles son los puntos críticos? mostrar ocultar
Bajo puntos críticos implican puntos en los que ambas derivadas parciales de primer orden son iguales a cero (es decir, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ y $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o al menos una derivada parcial no existe.
A menudo, los puntos en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero se denominan puntos estacionarios. Por tanto, los puntos estacionarios son un subconjunto puntos críticos.
Ejemplo No. 1
Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=x^2+2xy-y^2-4x$ en una región cerrada, limitado por líneas$x=3$, $y=0$ y $y=x+1$.
Seguiremos lo anterior, pero primero nos ocuparemos del dibujo de un área determinada, que denotaremos con la letra $D$. Se nos da ecuaciones de tres líneas rectas que limitan esta zona. La recta $x=3$ pasa por el punto $(3;0)$ paralela al eje de ordenadas (eje Oy). La recta $y=0$ es la ecuación del eje de abscisas (eje Ox). Bueno, para construir la recta $y=x+1$, encontraremos dos puntos a través de los cuales trazaremos esta recta. Por supuesto, puedes sustituir un par de valores arbitrarios en lugar de $x$. Por ejemplo, sustituyendo $x=10$, obtenemos: $y=x+1=10+1=11$. Hemos encontrado el punto $(10;11)$ que se encuentra en la línea $y=x+1$. Sin embargo, es mejor encontrar aquellos puntos en los que la línea recta $y=x+1$ intersecta las líneas $x=3$ y $y=0$. ¿Por qué es esto mejor? Porque mataremos un par de pájaros de un tiro: conseguiremos dos puntos para construir la recta $y=x+1$ y al mismo tiempo averiguaremos en qué puntos esta recta corta otras rectas que limitan el área dada. La línea $y=x+1$ se cruza con la línea $x=3$ en el punto $(3;4)$, y la línea $y=0$ se cruza con el punto $(-1;0)$. Para no entorpecer el avance de la solución con explicaciones auxiliares, plantearé la cuestión de la obtención de estos dos puntos en una nota.
¿Cómo se obtuvieron los puntos $(3;4)$ y $(-1;0)$? mostrar ocultar
Empecemos desde el punto de intersección de las líneas $y=x+1$ y $x=3$. Las coordenadas del punto deseado pertenecen tanto a la primera como a la segunda recta, por lo tanto, para encontrar las coordenadas desconocidas, es necesario resolver el sistema de ecuaciones:
$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & x=3. \end(alineado) \right. $$
La solución a tal sistema es trivial: sustituyendo $x=3$ en la primera ecuación tendremos: $y=3+1=4$. El punto $(3;4)$ es el punto de intersección deseado de las líneas $y=x+1$ y $x=3$.
Ahora encontremos el punto de intersección de las líneas $y=x+1$ y $y=0$. Compongamos y resolvamos nuevamente el sistema de ecuaciones:
$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & y=0. \end(alineado) \right. $$
Sustituyendo $y=0$ en la primera ecuación, obtenemos: $0=x+1$, $x=-1$. El punto $(-1;0)$ es el punto de intersección deseado de las líneas $y=x+1$ y $y=0$ (eje x).
Ya está todo listo para construir un dibujo que quedará así:
La cuestión de la nota parece obvia, porque en la imagen se ve todo. Sin embargo, conviene recordar que un dibujo no puede servir como prueba. El dibujo es sólo para fines ilustrativos.
Nuestra área se definió mediante ecuaciones de líneas rectas que la delimitaban. Obviamente estas líneas definen un triángulo, ¿verdad? ¿O no es del todo obvio? O tal vez se nos dé un área diferente, delimitada por las mismas líneas:
Por supuesto, la condición dice que el área está cerrada, por lo que la imagen que se muestra es incorrecta. Pero para evitar tales ambigüedades, es mejor definir las regiones según sus desigualdades. ¿Estamos interesados en la parte del avión ubicada debajo de la recta $y=x+1$? Bien, entonces $y ≤ x+1$. ¿Nuestra área debería estar ubicada encima de la línea $y=0$? Genial, eso significa $y ≥ 0$. Por cierto, las dos últimas desigualdades se pueden combinar fácilmente en una: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(alineado) \right. $$
Estas desigualdades definen la región $D$, y la definen sin ambigüedades, sin permitir ninguna ambigüedad. Pero ¿en qué nos ayuda esto con la pregunta planteada al inicio de la nota? También ayudará :) Necesitamos comprobar si el punto $M_1(1;1)$ pertenece al área $D$. Sustituyamos $x=1$ y $y=1$ en el sistema de desigualdades que definen esta región. Si se satisfacen ambas desigualdades, entonces el punto se encuentra dentro de la región. Si al menos una de las desigualdades no se cumple, entonces el punto no pertenece a la región. Entonces:
$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right $$.
Ambas desigualdades son válidas. El punto $M_1(1;1)$ pertenece a la región $D$.
Ahora es el turno de estudiar el comportamiento de la función en el límite de la región, es decir vamos a . Comencemos con la línea recta $y=0$.
La línea recta $y=0$ (eje x) limita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituyamos $y=0$ en función dada$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Denotamos la función de una variable $x$ obtenida como resultado de la sustitución como $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Ahora, para la función $f_1(x)$ necesitamos encontrar los valores más grande y más pequeño en el intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontremos la derivada de esta función y la equiparemos a cero:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
El valor $x=2$ pertenece al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, por lo que también agregaremos $M_2(2;0)$ a la lista de puntos. Además, calculemos los valores de la función $z$ en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir en los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_4(3;0)$. Por cierto, si el punto $M_2$ no perteneciera al segmento considerado, entonces, por supuesto, no habría necesidad de calcular el valor de la función $z$ en él.
Entonces, calculemos los valores de la función $z$ en los puntos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Por supuesto, puedes sustituir las coordenadas de estos puntos en la expresión original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por ejemplo, para el punto $M_2$ obtenemos:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Sin embargo, los cálculos se pueden simplificar un poco. Para hacer esto, vale la pena recordar que en el segmento $M_3M_4$ tenemos $z(x,y)=f_1(x)$. Escribiré esto en detalle:
\begin(alineado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(alineado)
Por supuesto, en tal registros detallados Por lo general, no es necesario y en el futuro anotaremos brevemente todos los cálculos:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Ahora pasemos a la línea recta $x=3$. Esta línea recta limita la región $D$ bajo la condición $0 ≤ y ≤ 4$. Sustituyamos $x=3$ en la función dada $z$. Como resultado de esta sustitución obtenemos la función $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Para la función $f_2(y)$ necesitamos encontrar los valores más grande y más pequeño en el intervalo $0 ≤ y ≤ 4$. Encontremos la derivada de esta función y la equiparemos a cero:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
El valor $y=3$ pertenece al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, por lo que también sumaremos $M_5(3;3)$ a los puntos encontrados anteriormente. Además, es necesario calcular el valor de la función $z$ en los puntos en los extremos del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, es decir en los puntos $M_4(3;0)$ y $M_6(3;4)$. En el punto $M_4(3;0)$ ya hemos calculado el valor de $z$. Calculemos el valor de la función $z$ en los puntos $M_5$ y $M_6$. Déjame recordarte que en el segmento $M_4M_6$ tenemos $z(x,y)=f_2(y)$, por lo tanto:
\begin(alineado) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(alineado)
Y finalmente, considere el último límite de la región $D$, es decir línea recta $y=x+1$. Esta línea recta limita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituyendo $y=x+1$ en la función $z$, tendremos:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Una vez más tenemos una función de una variable $x$. Y nuevamente necesitamos encontrar los valores mayor y menor de esta función en el intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontremos la derivada de la función $f_(3)(x)$ y la equiparemos a cero:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
El valor $x=1$ pertenece al intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Si $x=1$, entonces $y=x+1=2$. Agreguemos $M_7(1;2)$ a la lista de puntos y averigüemos cuál es el valor de la función $z$ en este punto. Puntos en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir Los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_6(3;4)$ fueron considerados anteriormente, ya encontramos el valor de la función en ellos.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Se completa el segundo paso de la solución. Recibimos siete valores:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Pasemos a. Escogiendo los valores mayor y menor de los números obtenidos en el tercer párrafo, tendremos:
$$z_(mín)=-4; \; z_(máx.)=6.$$
El problema está solucionado, solo queda escribir la respuesta.
Respuesta: $z_(mín)=-4; \; z_(máx)=6$.
Ejemplo No. 2
Encuentra los valores mayor y menor de la función $z=x^2+y^2-12x+16y$ en la región $x^2+y^2 ≤ 25$.
Primero, hagamos un dibujo. La ecuación $x^2+y^2=25$ (esta es la línea límite de un área determinada) define un círculo con un centro en el origen (es decir, en el punto $(0;0)$) y un radio de 5. La desigualdad $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface todos los puntos dentro y sobre el círculo mencionado.
Actuaremos según. Encontremos derivadas parciales y descubramos los puntos críticos.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
No hay puntos en los que las derivadas parciales encontradas no existan. Averigüemos en qué puntos ambas derivadas parciales son simultáneamente iguales a cero, es decir Encontremos puntos estacionarios.
$$ \left \( \begin(alineado) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & x =6;\\ & y=-8 \end(alineado) \right $$.
Tenemos punto estacionario$(6;-8)$. Sin embargo, el punto encontrado no pertenece a la región $D$. Esto es fácil de demostrar sin siquiera recurrir al dibujo. Comprobemos si se cumple la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$, que define nuestra región $D$. Si $x=6$, $y=-8$, entonces $x^2+y^2=36+64=100$, es decir la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$ no se cumple. Conclusión: el punto $(6;-8)$ no pertenece al área $D$.
Entonces, no hay puntos críticos dentro de la región $D$. Movámonos a... Necesitamos estudiar el comportamiento de una función en el límite de una región determinada, es decir en el círculo $x^2+y^2=25$. Por supuesto, podemos expresar $y$ en términos de $x$ y luego sustituir la expresión resultante en nuestra función $z$. De la ecuación de un círculo obtenemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sustituyendo, por ejemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ en la función dada, tendremos:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤x≤5.$$
La solución adicional será completamente idéntica al estudio del comportamiento de la función en el límite de la región en el ejemplo anterior No. 1. Sin embargo, me parece más razonable aplicar el método de Lagrange en esta situación. Sólo nos interesará la primera parte de este método. Después de aplicar la primera parte del método de Lagrange, obtendremos puntos en los que examinaremos la función $z$ para valores mínimos y máximos.
Componemos la función de Lagrange:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Encontramos las derivadas parciales de la función de Lagrange y componemos el correspondiente sistema de ecuaciones:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (alineado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(alineado) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( alineado)\right.$ $
Para resolver este sistema, señalemos inmediatamente que $\lambda\neq -1$. ¿Por qué $\lambda\neq -1$? Intentemos sustituir $\lambda=-1$ en la primera ecuación:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
La contradicción resultante $0=6$ indica que el valor $\lambda=-1$ es inaceptable. Salida: $\lambda\neq -1$. Expresemos $x$ e $y$ en términos de $\lambda$:
\begin(alineado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(alineado)
Creo que aquí resulta obvio por qué estipulamos específicamente la condición $\lambda\neq -1$. Esto se hizo para ajustar la expresión $1+\lambda$ a los denominadores sin interferencia. Es decir, estar seguro de que el denominador $1+\lambda\neq 0$.
Sustituyamos las expresiones resultantes por $x$ y $y$ en la tercera ecuación del sistema, es decir en $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
De la igualdad resultante se deduce que $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Por lo tanto tenemos dos valores del parámetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. En consecuencia, obtenemos dos pares de valores $x$ y $y$:
\begin(alineado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(alineado)
Entonces, tenemos dos puntos posibles. extremo condicional, es decir. $M_1(3;-4)$ y $M_2(-3;4)$. Encontremos los valores de la función $z$ en los puntos $M_1$ y $M_2$:
\begin(alineado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(alineado)
Debemos seleccionar los valores mayor y menor de los que obtuvimos en el primer y segundo paso. Pero en en este caso la elección es pequeña :) Tenemos:
$$ z_(mín)=-75; \; z_(máx)=125. $$
Respuesta: $z_(mín)=-75; \; z_(máx.)=$125.
