Igual a cero:
.sistema ortogonal si está completo, se puede utilizar como base para el espacio. En este caso, la descomposición de cualquier elemento se puede calcular mediante las fórmulas: , donde .
El caso en el que la norma de todos los elementos se denomina sistema ortonormal.
Ortogonalización
Cualquier sistema completo linealmente independiente en un espacio de dimensión finita es una base. Por lo tanto, desde una base simple se puede pasar a una base ortonormal.
Descomposición ortogonal
Al descomponer los vectores de un espacio vectorial según una base ortonormal, el cálculo se simplifica producto escalar: , dónde y .
ver también
Fundación Wikimedia. 2010.
Vea qué es “Sistema ortogonal” en otros diccionarios:
1) Ah... Enciclopedia Matemática
- (ortogonios griego rectangular) un sistema finito o contable de funciones que pertenecen al espacio (separable) de Hilbert L2(a,b) (funciones cuadráticamente integrables) y que satisfacen las condiciones llamadas F ción g(x). pesando O. s. f.,* significa... ... Enciclopedia física
Sistema de funciones??n(x)?, n=1, 2,..., especificado en el segmento TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL transformación lineal euclidiano espacio vectorial, manteniendo sin cambios las longitudes o (equivalentemente) productos escalares de vectores... Gran diccionario enciclopédico
Sistema de funciones (φn(x)), n = 1, 2, ..., especificado en el intervalo [a, b] y que satisface siguiente condición ortogonalidad: para k≠l, donde ρ(x) es alguna función llamada peso. Por ejemplo, el sistema trigonométrico es 1, sen x, cos x, sen 2x,... ... diccionario enciclopédico
Un sistema de funciones ((фn(х)), n=1, 2, ..., definido en el intervalo [a, b] y que satisface la condición de traza y ortogonalidad para k no es igual a l, donde p(x ) es una función determinada, llamada peso. Por ejemplo, sistema trigonométrico 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
Un sistema de funciones ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonales con peso ρ (x) en el intervalo [a, b], es decir, tales que Ejemplos. sistema trigonométrico 1, cos nx, sen nx; n = 1, 2,..., O.s. F. con peso 1 en el segmento [π, π]. Bessel... Gran enciclopedia soviética
Las coordenadas ortogonales son aquellas en las que el tensor métrico tiene forma diagonal. donde d En sistemas de coordenadas ortogonales q = (q1, q²,…, qd) las superficies de coordenadas son ortogonales entre sí. En particular, en sistema cartesiano coordenadas... ...Wikipedia
sistema multicanal ortogonal- - [L.G. Diccionario inglés-ruso sobre tecnologías de la información. M.: Empresa estatal TsNIIS, 2003.] Temas tecnologías de la información en general EN multiplexortogonal...
sistema de coordenadas de una imagen (fotogramétrica)- Sistema de coordenadas espaciales ortogonales derechas, fijadas sobre una imagen fotogramétrica mediante imágenes de marcas fiduciales. [GOST R 51833 2001] Temas: fotogrametría... Guía del traductor técnico
sistema- 4.48 sistema: Combinación de elementos interactivos organizados para lograr uno o más objetivos específicos. Nota 1 Un sistema puede considerarse como un producto o los servicios que proporciona. Nota 2 En la práctica... ... Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica.
Definición. Vectoresa Yb se llaman ortogonales (perpendiculares) entre sí si su producto escalar es igual a cero, es decira × b = 0.
Para vectores distintos de cero a Y b la igualdad del producto escalar a cero significa que cos j= 0, es decir . vector cero es ortogonal a cualquier vector, porque a × 0 = 0.
Ejercicio. Sean y sean vectores ortogonales. Entonces es natural considerar la diagonal de un rectángulo con lados y . Pruebalo
,
aquellos. cuadrado de la longitud diagonal de un rectángulo igual a la suma cuadrados de las longitudes de sus dos lados no paralelos(Teorema de pitágoras).
Definición. Sistema vectoriala 1 ,…, a m se llama ortogonal si dos vectores cualesquiera de este sistema son ortogonales.
Por tanto, para un sistema ortogonal de vectores a 1 ,…,a metro la igualdad es verdadera: a i × a j= 0 en i¹ j, i= 1,…, metro; j= 1,…,metro.
Teorema 1.5. Un sistema ortogonal que consta de vectores distintos de cero es linealmente independiente. .
□ Realizamos la prueba por contradicción. Supongamos que el sistema ortogonal de vectores distintos de cero a 1 , …, a metro linealmente dependiente. Entonces
yo 1 a 1 + …+ l metroa metro= 0 , donde . (1.15)
Sea, por ejemplo, l 1 ¹ 0. Multiplique por a 1 ambos lados de la igualdad (1.15):
yo 1 a 1× a 1 + …+ l metro a metro × a 1 = 0.
Todos los términos excepto el primero son iguales a cero debido a la ortogonalidad del sistema. a 1 , …, a metro. Entonces yo 1 a 1× a 1 = 0, que sigue a 1 = 0 , lo que contradice la condición. Nuestra suposición resultó ser errónea. Esto significa que el sistema ortogonal de vectores distintos de cero es linealmente independiente. ■
Se cumple el siguiente teorema.
Teorema 1.6. En el espacio R n siempre hay una base que consta de vectores ortogonales(base ortogonal)
(no hay pruebas).
Las bases ortogonales son convenientes principalmente porque los coeficientes de expansión de un vector arbitrario sobre dichas bases simplemente se determinan.
Supongamos que necesitamos encontrar la descomposición de un vector arbitrario. b sobre una base ortogonal mi 1 ,…,mi norte. Compongamos una expansión de este vector con coeficientes de expansión aún desconocidos para esta base:
Multipliquemos ambos lados de esta igualdad escalarmente por el vector mi 1 . En virtud de los axiomas 2° y 3° del producto escalar de vectores, obtenemos
Desde los vectores base mi 1 ,…,mi norte son mutuamente ortogonales, entonces todos los productos escalares de los vectores básicos, con excepción del primero, son iguales a cero, es decir el coeficiente está determinado por la fórmula
.
Multiplicando a su vez la igualdad (1.16) por otros vectores base, obtenemos fórmulas simples para calcular los coeficientes de expansión vectorial b :
. (1.17)
Las fórmulas (1.17) tienen sentido porque.
Definición. Vectora se llama normalizado (o unidad) si su longitud es igual a 1, es decir. (a , a )= 1.
Cualquier vector distinto de cero se puede normalizar. Dejar a
¹ 0
. Entonces 
, y el vector es un vector normalizado.
Definición. Sistema vectorial mi 1 ,…,mi n se llama ortonormal si es ortogonal y la longitud de cada vector del sistema es igual a 1, es decir
(1.18)
Como siempre hay una base ortogonal en el espacio Rn y los vectores de esta base pueden normalizarse, entonces siempre hay una base ortonormal en Rn.
Un ejemplo de base ortonormal del espacio R n es el sistema de vectores mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi norte=(0,0,…,1) con el producto escalar definido por la igualdad (1.9). En forma ortonormal mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi norte=(0,0,…,1) fórmula (1.17) para determinar las coordenadas de la descomposición vectorial b tener la forma más simple:
Dejar a Y b – dos vectores arbitrarios del espacio R n con base ortonormal mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi norte=(0,0,…,1). Denotamos las coordenadas de los vectores. a Y b en la base mi 1 ,…,mi norte en consecuencia a través de a 1 ,…,a norte Y b 1 ,…, b norte y encuentre la expresión para el producto escalar de estos vectores a través de sus coordenadas en sobre esta base, es decir. pretendamos que
, 
.
De la última igualdad, en virtud de los axiomas y relaciones del producto escalar (1.18), obtenemos
Finalmente tenemos
. (1.19)
De este modo, en base ortonormal, el producto escalar de dos vectores cualesquiera es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de estos vectores.
Consideremos ahora una base completamente arbitraria (en términos generales, no ortonormal) en el espacio euclidiano n-dimensional R n y encontremos una expresión para el producto escalar de dos vectores arbitrarios. a Y b a través de las coordenadas de estos vectores en la base especificada.
