1. Considere vectores arbitrarios. Supongamos primero que estos vectores son linealmente independientes. En este caso, el determinante de Gram compilado para cualquiera de estos vectores será distinto de cero. Entonces, suponiendo según (22)
(23)
y multiplicando término por término estas desigualdades y la desigualdad
, (24)
.
Por tanto, el determinante de Gram para linealmente vectores independientes positivo, para los linealmente dependientes es cero. El determinante de Gram nunca es negativo.
Denotemos por abreviatura 
. Luego de (23) y (24)
¿Dónde está el área de un paralelogramo construido sobre y ? Más,
,
¿Dónde está el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores? Siguiendo más adelante encontramos:
,
y finalmente
. (25)
Es natural llamarlo el volumen de un paralelepípedo de dimensiones construido sobre vectores como sobre aristas.
Denotemos por , las coordenadas del vector en alguna base ortonormal en , y sea
Luego basado en (14)
y por lo tanto [ver fórmula (25)]
. (26)
Esta igualdad tiene el siguiente significado geométrico:
Volumen al cuadrado de un paralelepípedo. igual a la suma volúmenes cuadrados de sus proyecciones sobre todos los subespacios coordenados-dimensionales. En particular, cuando de (26) se sigue:
. (26)
Utilizando las fórmulas (20), (21), (22), (26), (26"), se resuelven una serie de problemas métricos básicos de geometría analítica unitaria dimensional y euclidiana.
2. Volvamos a la expansión (15). Se sigue directamente de esto:
que, en combinación con (22), da la desigualdad (para vectores arbitrarios 
)
en este caso, el signo igual se cumple si y sólo si el vector es ortogonal a los vectores.
A partir de aquí es fácil obtener la llamada desigualdad de Hadamard.
donde el signo igual se cumple si y sólo si los vectores son ortogonales por pares. La desigualdad (29) expresa el siguiente hecho geométricamente obvio:
El volumen de un paralelepípedo no excede el producto de las longitudes de sus aristas y es igual a este producto sólo cuando el paralelepípedo es rectangular.
Se puede dar la desigualdad de Hadamard. aspecto normal, poniendo en (28) e introduciendo en consideración el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores en alguna base ortonormal:
.
Luego de (26") y (28) se sigue
. (28)
3. Establezcamos ahora una desigualdad de Hadamard generalizada, que abarque tanto la desigualdad (27) como la desigualdad (28):
y el signo igual se cumple si y sólo si cada uno de los vectores es ortogonal a cualquiera de los vectores o uno de los determinantes, 
igual a cero.
La desigualdad (28") tiene el siguiente significado geométrico:
El volumen de un paralelepípedo no excede el producto de los volúmenes de dos caras adicionales y es igual a este producto si y sólo si estas caras son ortogonales entre sí o al menos una de ellas tiene volumen cero.
Estableceremos la validez de la desigualdad (29) de forma inductiva respecto del número de vectores. La desigualdad es verdadera cuando este número es 1 [ver fórmula (27)].
Introduzcamos dos subespacios y, respectivamente, con bases y . Obviamente, . Consideremos expansiones ortogonales.
.
Reemplazando el cuadrado del volumen del paralelepípedo por el producto del cuadrado del volumen de la base por el cuadrado de la altura [ver. fórmula (22)], encontramos
En este caso, de la descomposición vectorial se sigue:
, (31)
y aquí la señal se produce sólo cuando .
Usando ahora las relaciones (30), (30"), (31) y el supuesto de inducción, obtenemos:
Tenemos desigualdad (29). Pasando a aclarar cuándo ocurre el signo en esta desigualdad, suponemos que 
Y 
. Entonces según (30") también 
Y . Dado que en las relaciones (32) el signo igual se cumple en todas partes, entonces, además, según el supuesto de inducción, cada uno de los vectores es ortogonal a cada uno de los vectores. Evidentemente el vector también tiene esta propiedad.
Por tanto, la desigualdad generalizada de Hadamard queda completamente establecida.
4. También se puede dar una forma analítica a la desigualdad generalizada de Hadamard (29).
Sea una forma hermitiana definida positiva arbitraria. Considerando las coordenadas de un vector en un espacio de dimensiones con una base, tomamos la forma como forma métrica básica en (ver página 224). Entonces se convertirá en un espacio unitario. Apliquemos la desigualdad generalizada de Hadamard a los vectores base: - matriz real de coeficientes de forma cuadrática definida positiva entre los vectores y, definiéndola a partir de la relación
.
De la desigualdad de Bunyakovsky se deduce que tiene un valor real.
Dicen que en un espacio lineal real X operación definida multiplicación de vectores escalares, si cualquier par de vectores x y en de X obediente Número Real Lo que es llamado producto escalar vectores X Y en y está designado por el símbolo (x,y), y si por alguna X. y z € X y cualquier numero real A se realizan los siguientes Axiomas del producto escalar:
- 1. (x,y) =(y,; X).
- 2. (.t + y,z)= (x,z) + (y,z).
- 3. (ah, y) = a(x,y).
- 4. (x,x)> 0 en x F 0 y (x, X)= 0 en X = 0.
Ejemplo 8.1. Sea X el espacio vectores geométricos, estudió en álgebra vectorial. El producto escalar, definido como el producto de las longitudes de dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos, satisface los axiomas del producto escalar. ?
Ejemplo 8.2. EN espacio aritmético kp altura de la columna PAG producto escalar vectores
se puede determinar mediante la fórmula
No es difícil comprobar la validez de los axiomas del producto escalar. Por ejemplo, comprobemos la viabilidad del axioma 4. Tenga en cuenta que
Pero la suma de cuadrados es positiva si al menos uno de los números Xi distinto de cero (o xf 0), y es igual a cero si todos los x* son iguales a cero (es decir, x = 0). ?
Ejemplo 8.3. En el espacio lineal de polinomios con coeficientes reales de grado no superior a PAG- La fórmula puede introducir 1 producto escalar.
La verificación de los axiomas del producto escalar se basa en las propiedades. integral definida y no es difícil. ?
Ejemplo 8.4. en el espacio lineal sa,b] funciones de una variable real, continua en el intervalo [a, 6], el producto escalar se puede introducir de la misma manera que en el espacio lineal de polinomios, usando una integral definida: 
La verificación de los axiomas del producto escalar se realiza de la misma forma que en el ejemplo anterior. ?
De los axiomas 2 y 3 se deduce que cualquier combinación lineal finita de vectores se puede multiplicar escalarmente en otra combinación lineal de vectores de acuerdo con la regla de multiplicar un polinomio por un polinomio, es decir, según la fórmula
Válido espacio lineal, en el que se define la multiplicación escalar de vectores, se llama Espacio euclidiano. Un espacio lineal de dimensión finita se puede convertir en un espacio euclidiano de muchas formas. Si en un espacio euclidiano de n dimensiones X base fija mi, mi^,..., e n, entonces cualquier vector X y Y tener descomposiciones en él
y fórmula (8.1) para vectores alheña da
o en forma matricial donde debería estar
De este modo, el producto escalar en el espacio euclidiano X está completamente determinado por la matriz D. No todas las matrices cuadradas pueden aparecer en la fórmula (8.3). Pero si un producto escalar en una base dada está determinado por alguna matriz Г, entonces es fácil entender que la misma matriz, sólo que en una base diferente, también determina el producto escalar. Manteniendo la matriz Г y cambiando las bases, obtenemos conjunto infinito productos escalares en un espacio lineal π-dimensional dado.
La matriz Г involucrada en la fórmula (8.3) se llama matriz de gramos base e = (e x, b2,..., e p). La matriz de Gram (matriz de productos escalares) se puede definir no solo para bases, sino también para sistemas finitos de vectores ordenados arbitrariamente.
Observemos algunas propiedades de la matriz de Gram de la base en el espacio euclidiano de n dimensiones.
1. Matriz de gramos GRAMO simétrico y para cualquier columna n-dimensionalXF 0 satisface la condiciónxtGRAMOX > 0, en particular los elementos diagonales(ei,ej) = ef G mi* Las matrices de gramos son semiequivalentes.
La simetría de la matriz de Gram se deriva del axioma 1 del producto escalar, según el cual (e*, ej)= (e^, e*) para dos vectores de base cualesquiera, y la condición xt GRAMO x > 0, xf 0, equivale al axioma 4 del producto escalar.
matriz simétrica A, satisfaciendo la condición xtAh > > 0, x F 0, llamado positivo definitivo. Teniendo en cuenta este término, la propiedad probada suena así: la matriz de Gram es definida positiva.
2. matrices de gramos G y G" dos bases e y e" del espacio euclidiano están relacionadas por la relación
donde T es la matriz de transición de la base e a la base mi".
De hecho, al pasar de la base e a la base ¡mi! coordenadas X Y en dos vectores X Y en convertido a coordenadas X" Y y" según fórmulas (ver sección 4.6)
Por lo tanto, la matriz T T GRAMO t hay una matriz de Gram para la base ¡mi!.
3. El determinante de la matriz de Gram de cualquier base es positivo.
De hecho, de la fórmula (8.4) se deduce que cuando se cambia la base, el determinante de la matriz de Gram conserva su signo (o permanece igual a cero), ya que el determinante de la matriz de transición es distinto de cero:
Queda por tener en cuenta que como matriz de Gram Г podemos tomar la matriz identidad (ver el comentario a continuación), que tiene un determinante igual a uno.
4. Todas las diagonales de esquina menores
Matrices de gramos de base e lf e2 , ... e n son positivos.
De hecho, para cualquiera A podemos considerar el subespacio Lfc = (ei,...,efc) como un espacio euclidiano independiente.
Entonces el determinante de la matriz de Gram para la base ei, 62, ..., coincidirá con D^. Según la propiedad anterior, este determinante es positivo.
Comentario. Insecto. 9.C se establece que la propiedad 4 es necesaria y condición suficiente certeza positiva matriz cuadrada. Por lo tanto, la propiedad 4 se deriva de la propiedad 1. Cualquier matriz definida positiva es la matriz de Gram de alguna base en un espacio euclidiano dado. De hecho, el producto escalar puede definirse mediante la fórmula (8.3), en la que cualquier matriz definida positiva puede tomarse como Γ. Entonces, el axioma 1 del producto escalar se derivará de la simetría de la matriz Г, los axiomas 2 y 3, de la propiedad de distributividad. producto matricial, y el axioma 4 - de la condición de precisión positiva de G. En consecuencia, cualquier matriz con la propiedad 4 puede considerarse como una matriz de Gram. En particular, se puede elegir la matriz identidad como matriz de Gram, es decir en una base determinada mi, ..., e p definir el producto escalar
fórmula
Como ya se señaló, el concepto de matriz de Gram se puede introducir para un sistema finito de vectores ordenado arbitrariamente. Al mismo tiempo y en caso general la matriz de Gram permanece simétrica, pero otras propiedades (definición positiva, positividad del determinante) se pierden. Se cumple la siguiente afirmación.
Teorema 8.1.La matriz de Gram de un sistema de vectores es no singular si y sólo si este sistema es linealmente independiente. La matriz de Gram no es lineal sistema dependiente vectores es definido positivo y, en particular, tiene un determinante positivo. El determinante de la matriz de Gram de un sistema de vectores linealmente dependiente es igual a cero.
> Cualquier sistema de vectores linealmente independiente puede considerarse como base en algún espacio euclidiano, es decir, en su cáscara lineal. Según las propiedades de la matriz de Gram de la base, la matriz de Gram del sistema de vectores considerado es positiva definida. Por lo tanto, toda ella menores de esquina, en particular, su determinante, son positivos. Esto también significa que la matriz de Gram es lineal sistema independiente vectores no es degenerado.
Multiplicar esta igualdad de vectores escalarmente por vectores un, un2 , y para,
obtenemos un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
en relación con los coeficientes ac, Alaska considerado lineal
combinaciones. La matriz de este sistema es la matriz de Gram Г del sistema vectorial un, un,2 , ..., CLK Si la matriz Г es no singular, entonces sistema homogéneo sólo tiene solución cero. Esto significa que el sistema de vectores considerado. un, un2 , , un a independiente linealmente.
Si el sistema de vectores A, ^ k linealmente dependiente, entonces el considerado sistema lineal tiene soluciones distintas de cero. Por tanto, su determinante, es decir el determinante de la matriz de Gram Г del sistema de vectores considerado es igual a cero.
definición: Determinante de Gram, sistema de vectores ( mi 1 , mi 2 , …, ek} llamado determinante
GRAMO( mi 1 , mi 2 , …, ek) = 
.
temperatura . Para que el sistema de vectores ( mi 1 , mi 2 , …, ek) Espacio euclidiano es era
linealmente dependiente, es necesario y suficiente que Г( mi 1 , mi 2 , …, ek) era igual
◀ Necesidad. Dejar mi 1 , mi 2 , …, ek linealmente dependiente. Entonces ek= un 1 mi 1 + un 2 mi 2 +…+ ek–1 un k–1 y en Г( mi 1 , mi 2 , …, ek) los elementos de la última fila parecen un 1 ( mi 1 ,y yo) + un 2 ( mi 2 ,y yo) + …+ un k –1 (ek –1 ,y yo), es decir. Última línea es una combinación lineal del resto Þ Г( mi 1 , mi 2 , …, ek) = 0.
Adecuación. Sea G( mi 1 , mi 2 , …, ek) = 0 Þ sus rectas son linealmente dependientes Þ $b 1 , b 2 , …, b k segundo 1 ( mi 1 ,y yo) + … + b k(e k, e yo) = 0 Þ (b 1 mi 1 + … + b k e k= 0 y no todos b i= 0 Þ mi 1 , mi 2 , …, ek linealmente dependiente. Contradicción
Consecuencia. Si mi 1 , mi 2 , …, ek son linealmente independientes, entonces Г( mi 1 , mi 2 , …, ek) ¹ 0. Además, Г( mi 1 , mi 2 , …, ek) > 0
◀ Considerando ℒ( mi 1 , mi 2 , …, ek). Entonces ( e k, e yo) – elementos de una matriz de alguna simetría forma bilineal, correspondiente al cual forma cuadrática define el producto escalar, es decir es positivo definido. Por tanto, según el criterio de Sylvester D 1 > 0, D 2 > 0,…, D k> 0. Pero D k= Г( mi 1 , mi 2 , …, ek)
§2. Bases mutuas.
Coordenadas covariantes y contravariantes de vectores.
Dejar es– Espacio euclidiano, sea ( mi 1 , mi 2 , …, e n)base en es Y ( mi 1 , mi 2 , …, e n)otra base en es. Bases ( y yo) Y ( y yo) se llaman recíprocos si ( y yo, e j) = = .
Kronecker-Capelli.
temperatura . Cualquier base ( y yo) de es tiene una base recíproca única.
◀ dejar e j= mi 1 + mi 2 + … + e n. Multiplicar la igualdad escalarmente por y yo.
(y yo, e j) = (y yo, mi 1) + (y yo, mi 2) + … + (y yo, e n) = , i, j = 1, 2, …, norte.
Tenemos sistema heterogéneo norte-ecuaciones lineales con norte desconocido, el determinante de este sistema es Г( mi 1 , mi 2 , …, e n) ¹ 0, es decir el sistema tiene una solución única distinta de cero.
Por lo tanto los vectores e j se determinan de manera inequívoca. Asegurémonos de que formen una base (es decir, que sean linealmente independientes).
deja un 1 mi 1 + un 1 mi 2 + …+ un n n= 0. Multiplicar escalarmente por y yo.
un 1 ( y yo, mi 1) + un 2 ( y yo, mi 2) +… + un norte(y yo, e n) = 0 Þ a i= 0, i, j = 1, 2, …, norte
Comentario : si base ( y yo) es ortonormal, entonces su base mutua coincide con la base dada.
Dejar ( y yo) Y ( e j) bases mutuas en es.
Entonces "xО es 
(1)
(X 1 , X 2 , …, xn) se llaman coordenadas covariantes del vector X.
(X 1 , X 2 , …, xn) se llaman coordenadas contravariantes del vector X.
Acuerdo: Sea una expresión compuesta de factores que están equipados. Número finitoíndices (superior e inferior). En este caso, se acuerda que todos los subíndices se designen diferentes símbolos(similares a los superiores). Si en tal expresión hay dos índices idénticos, de los cuales uno es superior y el otro es inferior, entonces se considera que la suma se realiza sobre dichos índices del 1 al norte.) obtenemos e j= g ji e i; e j= g ji e i.
Producto escalar de vectores especificados por coordenadas.
Deja entrar la base mi
se dan vectores A
= x1 mi 1
+ x2 mi 2
+ … + xn e n
, V
= a la 1 mi 1
+ a las 2 mi 2
+ … + y norte e n
. Entonces ( a,c) =
(x1 mi 1
+ x2 mi 2
+ … + xn e n
)×( a la 1 mi 1
+ a las 2 mi 2
+ … + y norte e n
) = 
= xT×G× en, Dónde xt– cadena de coordenadas vectoriales A
, y – columna de coordenadas vectoriales V
. Entonces, ( a,c)
= xT×G× en(42).
Propiedades de la matriz de Gram.
10 . La matriz de Gram es simétrica con respecto a la diagonal principal.
Esto se desprende del hecho de que ( e k, e s ) = (e s, e k ).
20 . Los elementos diagonales de la matriz de Gram son estrictamente positivos.
Esto se desprende del hecho de que ek ¹ 0 y por lo tanto ( e k, e k ) > 0.
treinta . Para una matriz de Gram y cualquier norte- columna dimensional X se cumple la condición xT×G× X> 0.
Esto se desprende del cuarto axioma de la definición de producto escalar.
matriz simétrica A, satisfaciendo la condición xT ×A× X> 0 para cualquier
columna distinta de cero X, llamado positivo definitivo. Por lo tanto, la matriz
Grama positivo definitivo.
4 0 . Dejar mi = (mi 1 , mi 2, ... , e n ) Y mi 1 = (mi 1 1 , mi 2 1, ... , es 1 ) – dos bases en es , GRAMO Y G 1– Matrices de gramos de un producto escalar dado en bases mi Y mi 1 respectivamente. Dejar t– matriz de transición desde la base mi a la base mi 1 . Entonces ( a,c) = xT×G× y, x = T×x 1, y = T×y 1, x T = (T×x 1)t=(x1)T × T T. Por eso, ( a,c) = ((x1)T × T T)× G×(Т×у 1) = (x1)T ×(T T× G×T)× y 1. Pero ( a,c) = (x1)T × G 1 × y 1. De aquí
GRAMO 1 = T T × GRAMO × T(43)
La fórmula (42) proporciona una conexión entre matrices de Gram en diferentes bases.
50 . Los determinantes de las matrices de Gram en todas las bases tienen el mismo signo.
De la fórmula (42) se sigue ú G 1ú =ú T Tú ×ú GRAMOú ×ú tú = ú GRAMOú ×ú tú 2. Porque tú 2 > 0, entonces ú G 1ú y ú GRAMO Tienes los mismos signos.
Ejemplos.
1.
En abundancia m2
matrices cuadradas con elementos reales, el producto escalar viene dado por la fórmula 
. Encuentre la matriz de Gram de este producto en la base mi 1
= , mi 2
= , mi 3
= , mi 4
= .
Solución. Encontremos todos los productos por pares. Elementos basicos: (mi 1, mi 1 ) = 1, (mi 1, mi 2 ) = (mi 2, mi 1 ) = 0, (mi 1, mi 3 ) = (mi 3, mi 1 ) = 0, (mi 1, mi 4 ) = (mi 4, mi 1 ) = 0, (mi 2 , mi 2 ) = 1, (mi 2, mi 3 ) = (mi 3, mi 2 ) = 0, (mi 2, mi 4 ) = (mi 4, mi 2 ) = 0, (mi 3, mi 3 ) = 1, (mi 3, mi 4 ) = (mi 4, mi 3 ) = 0, (mi 4, mi 4 ) = 1. Por lo tanto,
2.
En el espacio R
[X] de polinomios de grado no superior a 3, el producto escalar viene dado por la fórmula 
, Dónde a Y b– números reales fijos, a< b.
Componga la matriz de Gram en la base (1, x, x2, x3).
Solución. Encontremos todos los productos por pares de elementos básicos: (1, 1) = = licenciado en Letras,
(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x2) = (x2, 1) = = ), (1, x3) = (x 3, 1) = = ), (x,x)= = ), (x, x2) = (x 2 , x) = = ), (x, x 3) = (x 3 , x) = = ), (x2,x2) = = ), (x2,x3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = = ). La matriz de Gram se verá así:
GRAMO = 
.
3. En base ( mi 1, mi 2, mi 3 ) espacio mi 3 el producto escalar viene dado por la matriz de Gram GRAMO= . Encuentra el producto escalar de vectores. A = (1, –5, 4) y V = (–3, 2, 7).
Solución. Usando la fórmula (41), obtenemos ( A , V ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Introducción de métricas en el espacio euclidiano.
Dejar es – norte- espacio euclidiano dimensional. Llamemos al producto escalar de un vector por sí mismo cuadrado escalar de este vector , es decir. ( un, un ) = un 2 . Según el cuarto axioma del producto escalar un 2 ³ 0.
Definición 47. Longitud del vector llamado valor aritmético raíz cuadrada del cuadrado escalar de este vector. aquellos. ú A ú = (44)
Propiedades de longitud del vector:
1. cualquier vector A tiene una longitud y solo una, ú A ú ³ 0.
2. ú a × A ú = úaú×ú A ú para cualquier A Î es .
3. Para cualquier vector A Y V de es la desigualdad ú es verdadera a×b ú £ú A ú ×ú V ú.
Prueba.(A -a V ) 2 = A 2-2a( a,c ) + un 2 × V 2 ³ 0 para cualquier a О r. Porque trinomio cuadrático es no negativo para cualquier valor de a, entonces su discriminante no es positivo, es decir ( a,c ) 2 – A 2× V 2 £ 0, o ( a,c ) 2 £ A 2× V 2. Por lo tanto tú a×b ú £ú A ú ×ú V ú (45). El signo igual en esta fórmula será si y sólo si los vectores son proporcionales.
Definición 48. Un vector de longitud unitaria se llama vector unitario o ortom .
4 0 . Para cualquiera que no vector cero hay una unidad unitaria proporcional a ella.
Si un ¹ 0 , el nu A ú ¹ 0. Por lo tanto, existe un vector un 0 = A . Obviamente, un 0 ú =1.
Definición 49. El ángulo entre vectores distintos de cero a y tal número real se llama j, que (46).
Ángulo entre vectores A y también se puede denotar .
Propiedades de los ángulos.
1 0 . Para dos vectores cualesquiera distintos de cero, el ángulo entre ellos está definido.
De la fórmula (44) se deduce que Por lo tanto, j existe.
2 0 . Si a ¹ 0, b ¹ 0, entonces .
Definición 48. Dos vectores distintos de cero se llaman ortogonal , si su producto escalar es igual a cero.
Los vectores ortogonales se denotan. A ^v.
3 0 . Si A ^V , a ¹ 0, b ¹ 0, Eso ( a A )^ (b V ).
4 0 . Si A ^V Y A ^Con , Eso A ^(V + Con ).
Definición 50. El conjunto de todos los vectores en el espacio. es , ortogonal al vector A , al que se le suma el vector cero se llama complemento ortogonal del vector a .
5 0 . Complemento vectorial ortogonal A es ( norte – 1) subespacio euclidiano dimensional en es .
Prueba.
De las propiedades 3 0 y 4 0 se deduce que el conjunto considerado l es subespacio lineal V es . Desde en es Si el producto escalar está definido, entonces también está definido en el complemento ortogonal, por lo tanto, l es un subespacio euclidiano. Además, Con Î l Û ( A , Con ) = 0 (*). Vamos a arreglarlo es base. Dejar A = (un 1, un 2,…, un n), Con = (x 1, x 2,…, x n). Entonces Con Î l Û aT ×G×x = 0 (**). La ecuación (**) es lineal ecuación homogénea Con norte desconocido. sistema fundamental sus soluciones consisten en ( norte– 1) soluciones. Por lo tanto, el espacio de soluciones de la ecuación (**) es ( norte– 1)-dimensional.
Dejar mi k – subespacio del espacio es . denotemos mi conjunto que consta del vector cero y todos los vectores ortogonales a cualquier vector distinto de cero de mi k .En otras palabras Con Î mi Û ( Con , A ) = 0 para todos A Î mi k . Espacio complemento ortogonal E Al espacio mi k .
