Tecnologías de la información automatizadas y modelos matemáticos en problemas socioeconómicos.
S. M. Doguchaeva
Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor Asociado,
Universidad Financiera de
Gobierno de la Federación Rusa
Moscú
Anotación.
La responsabilidad social del emprendimiento debería ayudar a las empresas a minimizar consecuencias negativas sus actividades productivas, la preocupación por la introducción de nuevas tecnologías de la información y la promoción de la salud de los empleados. El desarrollo innovador moderno de la economía rusa requiere la formación de un modelo socioeconómico en el que el Estado, teniendo en cuenta las características del territorio, actúe en interés de toda la sociedad, y no sólo de las grandes empresas.
Sistemas de información, problemas socioeconómicos, modelos matemáticos, tecnologías en la nube, desarrollo innovador.
Problemas de organización de la seguridad de la información en la nube diferentes actividades económicas.
Doguchaeva Svetlana Magomedovna
Candidato de Física y Matemáticas
Ciencias, Profesor Titular, Universidad de Finanzas.
Instituto Económico y Financiero por Correspondencia (Moscú)
Abstracto.
La responsabilidad social de las empresas debe ayudar a las empresas a minimizar los efectos negativos de sus actividades productivas, cuidando la introducción de nuevas tecnologías de la información y mejorando la salud de los empleados. El desarrollo innovador moderno de la economía rusa requiere la formación de un modelo socioeconómico en el que el Estado, dadas las características del territorio, actúe en interés de toda la sociedad, no sólo de las grandes empresas.
Palabras clave:
Sistemas de información, problemas sociales y económicos, modelos matemáticos,Tecnología en la nube, desarrollo innovador.
La ciencia económica rusa compara objetivamente su experiencia de reforma y la elección del camino que debe tomar la economía social en la etapa de su modernización y transformación en una innovadora, permitiendo elevar el sistema de conocimientos a un nuevo nivel y fortalecer las posibilidades. de aplicar la teoría a la práctica. Con la transición a una economía social y de la información, la popularidad de los sistemas de procesamiento de información y gestión empresarial ha aumentado significativamente. En esta etapa, se necesitan actividades coordinadas de todos los participantes en el proceso socioeconómico basadas en la confianza mutua.
Las tecnologías de la información informática son procesos en problemas socioeconómicos que consisten en reglas claramente reguladas para realizar operaciones. grados variables complejidad sobre los datos almacenados en las nubes. este trabajo más que relevante, porque aborda problemas asociados a la contaminación ambiente acuático Estamos precisamente en el nivel en el que se debe prestar una atención significativa a la situación socioeconómica del país.
En los países desarrollados, la producción de equipos y tecnologías medioambientales es una de las más rentables, por lo que el mercado socioeconómico se está desarrollando rápidamente. Las empresas de Europa occidental dedicadas al negocio medioambiental están utilizando con éxito las tendencias modernas en política medioambiental para aumentar sus beneficios. La esencia de tales cambios es que tanto la dirección como los especialistas deben recibir información casi instantáneamente para analizar la situación.
La base metodológica del estudio incluye los siguientes métodos: análisis del sistema, análisis sujeto-objeto, análisis económico, análisis situacional, etc. La relevancia del estudio se debe a que los problemas socioeconómicos se encuentran hoy entre los más importantes y globales.
Los procesos de difusión que ocurren en la atmósfera y el océano representan un problema prácticamente importante en la investigación socioeconómica. En el contexto de la creación de un nuevo mecanismo económico y legal para la gestión ambiental, las posibilidades de utilizar una serie de modelos económicos y matemáticos y tecnologías de la información resolver problemas de gestión ambiental industrial.
Para resolver problemas socioeconómicos, el trabajo considera modelos matemáticos de procesos de absorción y oxidación en un ambiente acuático estratificado. En el trabajo se discuten nuevas tecnologías ambientales para la purificación y análisis de ambientes de aire y agua. Consideremos nuevas formulaciones de tales problemas.
En el Mar Negro hay una colección de diversos orgánicos y no orgánicos. materia orgánica con concentraciones neutras en oxígeno en el agua, consumiéndola y entrando en reacciones de oxidación con ella.
Relativamente neutrales incluyen numerosas sustancias orgánicas, en particular carbono orgánico, así como gases disueltos, nitrógeno, dióxido de carbono, metano y sulfuro de hidrógeno. Todos ellos se difunden por las profundidades del Mar Negro mediante mecanismos de difusión molecular y turbulenta, se transportan por convección (ascenso o caída vertical de masas de agua) y, lo más importante, interactúan directamente o mediante complejas cadenas de reacciones intermedias con el oxígeno. Esto conduce a una disminución de las concentraciones tanto de oxígeno como de las sustancias mencionadas que reaccionan con él.
Los economistas e investigadores prácticos modernos señalan que actualmente la influencia humana sobre la naturaleza está alcanzando tal escala que los mecanismos reguladores naturales ya no pueden neutralizar de forma independiente muchas de sus consecuencias indeseables y dañinas.
La naturaleza de las reacciones de sustancias neutras con el oxígeno es diferente. Su reacción de oxidación conduce al consumo completo de oxígeno en grandes cantidades sulfuro de hidrógeno, o a la desaparición del sulfuro de hidrógeno. El descubrimiento de sulfuro de hidrógeno en las aguas profundas del Mar Negro llevó a suponer una distribución limitada de oxígeno en las profundidades. Los estudios expedicionarios realizados permitieron establecer el límite inferior de la distribución vertical del oxígeno, que es una superficie isooxigénica de concentración cero.
Las ideas básicas de difusión, química y biología sobre la dinámica del proceso de redistribución de concentraciones en profundidad se reducen a los siguientes sistemas:
Arriba:
Más bajo
Los límites de la capa de coexistencia son isosuperficies móviles con concentraciones cero y flujos de sulfuro de hidrógeno/isosulfuro/ y oxígeno/isooxígeno/, respectivamente. Las elevaciones o depresiones locales de las interfaces están determinadas principalmente por el patrón de circulación del agua. En los centros de los giros ciclónicos se observa un aumento de las isosuperficies, y en sus periferias y en los centros de los giros anticiclónicos se observa una profundización.
El mecanismo de distribución de oxígeno y sulfuro de hidrógeno es la difusión y se caracteriza por el coeficiente de difusión turbulenta.
Que periódicamente depende del tiempo.
Donde y son los valores promedio y de amplitud,
– período de fluctuaciones anuales.
Y dependen en gran medida de la profundidad.
en la capa superior
Disminuye monótonamente hasta cierto punto. valor mínimo en la haloclina a una profundidad de 60 a 80 m, y luego aumenta monótonamente con la profundidad.
Estos hallazgos son importantes para evaluar la eficiencia socioeconómica de las zonas de protección ambiental, porque En Rusia, todas las áreas de la economía deben transformarse en innovadoras en un tiempo relativamente corto.
En la capa de coexistencia tiene lugar una difusión turbulenta, acompañada de la reacción de oxidación del sulfuro de hidrógeno. La potencia del efluente de oxígeno consumido en este caso es varias veces mayor que la potencia del efluente de sulfuro de hidrógeno, donde es el coeficiente cinético de la reacción de oxidación.
El oxígeno proviene de la atmósfera, se forma como resultado de la fotosíntesis y se consume para consumo bioquímico, cuya base es la oxidación del sulfuro de hidrógeno. El sulfuro de hidrógeno se forma como resultado de la descomposición de la materia orgánica, la actividad de las bacterias reductoras de sulfato y posiblemente proviene del fondo marino.
Una descripción cuantitativa de la dinámica de estos problemas está asociada a dificultades metodológicas, informativas y algorítmicas.
El papel principal lo juegan las estimaciones óptimas obtenidas en este trabajo, que expresan la eficiencia del uso de recursos, la eficiencia comparativa de los objetos del sistema optimizado, que se incluyen en la resolución de problemas de modelado económico y matemático utilizando infraestructura de TI.
La potencia de las fuentes de oxígeno disminuye con la profundidad según una ley exponencial y tiene un ciclo anual claramente definido. Porque profundidades máximas, en el que todavía se produce la fotosíntesis, no supera los 60-70 m, entonces por debajo de estas profundidades no hay fuentes de oxígeno, es decir.
De manera similar, se puede suponer que la descomposición de sustancias orgánicas ocurre por debajo limite superior capa de coexistencia y el poder de las fuentes de sulfuro de hidrógeno 
Cambia periódicamente a lo largo del año.
En el caso general, para determinar los campos de concentración de oxígeno.
Y sulfuro de hidrógeno,
Llegamos a un problema tipo Stefan no estacionario.
Dejar
La región en términos de variables espaciales ocupa todo el volumen del Mar Negro.
En la zona
Se produce una difusión turbulenta de oxígeno.
– área de difusión y reacción de oxígeno y sulfuro de hidrógeno,
Región de difusión turbulenta de sulfuro de hidrógeno.
Aquí, hay una zona plana ocupada por la superficie del mar,
La superficie del fondo del mar,
Concentraciones cero de isosulfuro e isooxígeno por determinar.
Durante la investigación en esta área se utilizaron materiales de nuevas tecnologías ecológicas previamente estudiados en seminarios científicos y prácticos sobre economía social, conferencias y simposios sobre el problema de los sistemas informáticos en Rusia.
Hoy, más que nunca, Rusia necesita una nueva idea económica que no sólo consolide la sociedad y los recursos intelectuales y materiales, sino que también conduzca a un aumento real de la competitividad. economía nacional y su desarrollo sostenible en el futuro.
El principal problema que hay que resolver hoy es construir gestión eficaz La investigación y el desarrollo como procesos de generación de conocimiento innovador utilizando las nuevas capacidades tecnológicas de nuestro tiempo.
EN Últimamente Se habla mucho de “nubes ecológicas”, de trabajar en un entorno respetuoso con el medio ambiente. Las empresas que eligen la nube pueden lograr una reducción acumulada de su huella de carbono de al menos un 30% en comparación con ejecutar las mismas aplicaciones en su propia infraestructura de TI.
En congresos internacionales también se discute el problema de la economía “Verde”, relacionada con el desarrollo de proyectos ambientalmente sustentables en las empresas, y uno de estos asuntos importantes se refiere a las dificultades para recopilar datos fuente y calcular el consumo de electricidad y las emisiones dióxido de carbono a la atmósfera, es decir, el “New Green Deal”.
durante la conferencia IDC IT Security Road show 2015, que tendrá lugar el 10 de septiembre en Moscú, Habrá una oportunidad no sólo de familiarizarse con los productos de los principales fabricantes nacionales y mundiales propuestos para resolver estos problemas, sino también de discutir con los expertos las cuestiones más urgentes relacionadas con la provisión de estructuras de TI "verdes" para resolver los problemas socioeconómicos en Rusia. ., B Se considerarán muchas cuestiones relacionadas con la distribución generalizada de las infraestructuras virtuales y en la nube, así como el uso generalizado del acceso móvil a los recursos corporativos y las soluciones modernas para garantizar la seguridad de las infraestructuras virtuales y en la nube.
Formalmente, el mercado de servicios en la nube en Rusia está creciendo a un ritmo más rápido que la industria global. Su dinámica se estima entre el 40% y el 60%, frente al 20%-25% global. Según las previsiones de IDC, el segmento alcanzará los 1.200 millones de dólares en 2015. Orange Business Services cree que la proporción de servicios en la nube y servicios relacionados alcanzará el 13% del volumen total de todo el mercado ruso de servicios de TI en 2016.
Al construir centros de datos (centros de datos), muchas empresas utilizan ahora las últimas tecnologías "verdes": un sistema inteligente de gestión de edificios (BMS) permite el seguimiento las 24 horas del día de los parámetros actuales para utilizar la energía de forma más eficiente y aumentar la seguridad.
Una de las principales tareas socioeconómicas de nuestro tiempo es la formación de especialistas en el campo de las tecnologías de la información y el procesamiento de resultados de datos utilizando nuevos hardware y software. La base teórica y metodológica de la investigación es el trabajo científico de especialistas rusos y extranjeros en el ámbito socioeconómico, la investigación aplicada sobre las características del proceso de desarrollo de los servicios de TI.
Para superar la crisis medioambiental y socioeconómica en Rusia se están tomando decisiones serias, pero es necesario recorrer los tramos más críticos del camino. Ellos decidirán si Rusia saldrá de la crisis o permanecerá en el abismo de la ignorancia medioambiental y la falta de voluntad para guiarse por las leyes fundamentales del desarrollo de la biosfera y las limitaciones que de ellas se derivan. Una de las tareas prioritarias de la política ambiental en Rusia es el análisis de información estadística sobre indicadores de costos que caracterizan la escala de las medidas de protección ambiental, el flujo de recursos financieros, la efectividad de las decisiones tomadas, etc. Esto requerirá una reestructuración de la ciencia y la tecnología en su relación con la naturaleza, garantizando así la ecologización del desarrollo social y competencia ambiental, incluido medios innovadores Control instrumental de la contaminación. http://www.tadviser.ru/ http://www.datafort.ru/ Proveedor de servicios líder.
ABA I. DECLARACIONES DE PROBLEMAS CLÁSICOS Y ESPECIALES
CON FRONTERAS LIBRES.
I. Características generales de los problemas de transferencia y difusión de masa con reacción.
I. Problemas de valores límite iniciales para superficies niveladas del campo de concentración. Efectos cualitativos de los procesos de difusión acompañados de adsorción y reacciones químicas.
I. Estabilización en tiempo finito a soluciones estacionarias espacialmente localizadas.
ABAII. ESTUDIO DE PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA NO LINEAL Y
DIFUSIÓN DE IMPUREZAS PASIVAS EN AMBIENTES ESTRATIFICADOS.
Un método para separar variables en una ecuación de transporte y difusión parabólica cuasilineal.
Soluciones exactas a problemas de difusión y transferencia desde fuentes concentradas, instantáneas y de acción permanente en medio en reposo.
ABAIII. MODELOS MATEMÁTICOS DE PROCESOS DE DIFUSIÓN
CON REACCIÓN.
Método de Rothe y ecuaciones integrales del problema.
Problemas de fronteras libres en el problema de la contaminación y la autodepuración por fuente puntual.
TERATURA.
Introducción de la tesis (parte del resumen) sobre el tema "Métodos constructivos para resolver problemas de valores en la frontera con fronteras libres para ecuaciones no lineales de tipo parabólico"
Al estudiar no lineal problemas de valores límite, que describen los procesos de contaminación y recreación del medio ambiente, reflejando, junto con la difusión, la adsorción y las reacciones químicas, son de particular interés los problemas de tipo Stefan con un límite libre y fuentes que dependen significativamente del campo de concentración deseado.
Problemas no lineales con fronteras libres en problemas ambientales permítanos describir la localización realmente observada de los procesos de contaminación (recreación) ambiente. La no linealidad aquí se debe tanto a la dependencia del tensor de difusión turbulenta K como de los efluentes contaminantes / de la concentración c. En el primer caso, la localización espacial se logra debido a la degeneración, cuando en c = O y K = 0. Sin embargo, ocurre solo en un momento dado r y está ausente en z.
La evolución de los procesos de difusión con reacción, que se estabilizan hasta estados estacionarios límite con una localización espacial claramente definida, puede describirse mediante modelos matemáticos con una dependencia especial de los sumideros /(c). Este último modela el consumo de materia debido a reacciones químicas de orden fraccionario, cuando /(c) = . En este caso, independientemente de la degeneración del coeficiente de difusión, existe una localización espaciotemporal de la perturbación de la difusión del medio. En cualquier momento /, la perturbación de difusión local ocupa una determinada región 0(7), limitada de antemano por la superficie libre previamente desconocida Г(7). El campo de concentración c(p, /) en este caso es una onda de difusión con un frente Г(/), que se propaga a través de un medio no perturbado, donde c = O.
Es bastante natural que estos efectos cualitativos sólo puedan obtenerse sobre la base de un enfoque no lineal para modelar los procesos de reacción.
Sin embargo, este enfoque está asociado con importantes dificultades matemáticas al estudiar los problemas no lineales con fronteras libres que surgen aquí, cuando se deben determinar un par de funciones: el campo de concentración c(p,t) y la frontera libre Г(/) = ((p,t): c(p ,t) = О). Estos problemas, como ya se señaló, pertenecen a problemas de física matemática más complejos y poco estudiados.
Se han realizado muchas menos investigaciones sobre problemas de valores en la frontera con fronteras libres debido a su complejidad, que está asociada tanto con su no linealidad como con el hecho de que requieren una especificación a priori de las características topológicas de los campos que se buscan. Entre los trabajos que consideran la solucion de este tipo de problemas, cabe destacar los trabajos de A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, etc. Con algunas restricciones sobre determinadas funciones en las obras de A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina demostró los teoremas de existencia y unicidad para la solución de un problema de valores en la frontera con una frontera libre para la ecuación del calor.
Igualmente importante es el desarrollo de métodos efectivos para la solución aproximada de problemas de esta clase, que permitirán establecer dependencias funcionales de los principales parámetros del proceso con los datos de entrada, permitiendo calcular y predecir la evolución del proceso. bajo consideración.
Debido a la rápida mejora tecnologia computacional eficaz métodos numéricos soluciones a tales problemas. Estos incluyen el método de líneas rectas, el método de proyección-cuadrícula, desarrollado en los trabajos de G.I Marchuk, V.I. Recientemente, se ha utilizado con éxito el método de campo fijo, cuya idea principal es que se fija un límite en movimiento y se establece en él una parte de las condiciones de contorno conocidas, se resuelve el problema de valor de límite resultante y luego, usando las condiciones de contorno restantes y la solución resultante, se encuentra una posición nueva y más precisa del límite libre, etc. El problema de encontrar el límite libre se reduce a la solución posterior de una serie de problemas clásicos de valores de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias.
Dado que los problemas con fronteras libres no se han estudiado completamente y su solución está asociada a importantes dificultades, su estudio y solución requiere la participación de nuevas ideas, el uso de todo el arsenal. métodos constructivos análisis no lineal, logros modernos física matemática, matemáticas computacionales y las capacidades de la tecnología informática moderna. En términos teóricos, las cuestiones de existencia, unicidad, positividad, estabilización y localización espaciotemporal de las soluciones siguen siendo relevantes para tales problemas.
El trabajo de tesis está dedicado a la formulación de nuevos problemas con fronteras libres que modelen los procesos de transporte y difusión con la reacción de sustancias contaminantes en problemas ambientales, su estudio cualitativo y, principalmente, el desarrollo de métodos constructivos para construir soluciones aproximadas a tales problemas.
El primer capítulo ofrece una descripción general de los problemas de difusión en entornos activos, es decir, ambientes en los que los efluentes dependen significativamente de la concentración. Se indican restricciones de flujo basadas físicamente, bajo las cuales el problema se reduce al siguiente problema con límites libres para un cuasilineal ecuación parabólica: c, = div(K(p, t, c) grado) - div(cu) - f (c)+ w en Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) en cm c)grado, n)+ac = accp en S(t), c)gradc,n) = 0 en Г if), donde K(p,t,c) es el tensor de difusión turbulenta; ü es el vector velocidad del medio, c(p,t) es la concentración del medio.
En el primer capítulo se presta considerable atención a la formulación de problemas de valores límite iniciales para superficies del nivel de concentración en el caso de procesos de difusión dirigida, cuando existe una correspondencia uno a uno entre la concentración y una de las coordenadas espaciales. La dependencia monótona de c(x,y,z,t) de z nos permite transformar la ecuación diferencial, las condiciones iniciales y de contorno del problema para el campo de concentración en una ecuación diferencial y las correspondientes condiciones adicionales para el campo de su superficies niveladas - z = z(x,y,c, t). Esto se logra diferenciando las funciones inversas, resolviendo la ecuación de la superficie conocida S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) y leyendo la identidad nuevamente con(x ,y,zs, t)=c(x,y,t). La ecuación diferencial (1) para c se transforma luego en una ecuación para z- Az=zt-f (c)zc, donde
2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz
Al pasar de independiente variables x,y,z a variables independientes x>y,c dominio fisico Q(i) se transforma en una región no física Qc(/), limitada por la parte del plano c = 0, por la que pasa la superficie libre Г, y por la superficie desconocida generalmente libre c=c(x,y ,t), por la que pasa la superficie conocida S(t).
A diferencia del operador divKgrad ■ del problema directo, el operador A problema inverso esencialmente no lineal. La tesis prueba la positividad del operador correspondiente A forma cuadrática e+rf+yf-latf-lßrt, y así se establece su elipticidad, lo que nos permite considerar formulaciones de problemas de valores en la frontera para él. Integrando por partes, obtuvimos un análogo de la primera fórmula de Green para el operador A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy
Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *
Consideramos un problema con frontera libre para un campo de concentración c = c(x,y,z,1), cuando la condición de Dirichlet div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 se especifica en la superficie (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)
ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp
En este caso, la transición relativa a la superficie nivelada r = r(x, y, c^) hizo posible deshacerse de superficie libre c=c(x,y,?), ya que está completamente determinado por la condición de Dirichlet c(x,y^) = d>(x,y,rx(x,y^),O-Como resultado, el El siguiente problema de límite de borde inicial se obtiene para un operador parabólico fuertemente no lineal^ - - en un dominio C2c(0: variable en el tiempo pero ya conocido):<9/
Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t )=-co, x,y&D(t), t>0.
Aquí también estudiamos la cuestión de la unicidad de la solución al problema (3). Con base en el análogo obtenido de la primera fórmula de Green para el operador A, teniendo en cuenta las condiciones de contorno después de transformaciones elementales pero bastante engorrosas utilizando la desigualdad de Young, se establece la monotonicidad del operador A en las soluciones zx y z2 del problema.
Lg2 - Ar1)(r2 -)(bcc1us1c< 0 . (4)
Por otro lado, utilizando la ecuación diferencial, las condiciones de frontera y las condiciones iniciales se demuestra que
La contradicción resultante demuestra el teorema de unicidad para la solución del problema de Dirichlet para superficies de niveles de concentración c(x,y,t)
Teorema 1. Si la función fuente w es constante, la función sumidero f(c) aumenta monótonamente y /(0) = 0, entonces la solución al problema de Dirichlet (2) para superficies niveladas es positiva y única.
El tercer párrafo del primer capítulo analiza los efectos cualitativos de los procesos de difusión acompañados de adsorción y reacciones químicas. Estos efectos no pueden describirse basándose en la teoría lineal. Si en este último caso la velocidad de propagación es infinita y por tanto no existe localización espacial, entonces el valor considerado modelos no lineales difusión con reacción con las dependencias funcionales del coeficiente de difusión turbulenta K y la densidad de los efluentes (cinética de reacciones químicas) / de la concentración c establecidas en el trabajo nos permiten describir los efectos realmente observados velocidad final distribución, localización espacial y estabilización en un tiempo finito (recreación) de contaminantes. El trabajo estableció que los efectos enumerados se pueden describir utilizando los modelos propuestos si existe una integral impropia con w 1
K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;
00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz
El problema estacionario en forma libre de coordenadas tiene la forma div(K(c)grade) = f(c) en Q\P (0< с < оо},
K(cgradc,n)) + ac = 0 en 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grado,п) = 0 en Г s (с = 0) = dQ. PD,
JJJ/(c)dv + cds = q. como
En un semi-barrio con eQ del punto Pe Г, la transición a la forma de notación semicoordenada permitió obtener el problema de Cauchy drj
K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) en co rj<0
8) dcc = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,
OT] donde m] es la coordenada medida a lo largo de la normal a Γ en el punto P, y las otras dos coordenadas cartesianas m1, m2 se encuentran en el plano tangente a Γ en el punto P. Como en co podemos suponer que c(m1, m2 , g/) depende débilmente de las coordenadas tangenciales, es decir, c(tx, t2,1]) = c(t]), luego para determinar c(t]) a partir de (8) el problema de Cauchy drj drj f(c ), TJ sigue< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj
Se ha obtenido una solución exacta al problema (9)
77(s)= rehacer 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема
Teorema 2. Una condición necesaria para la existencia de una solución espacialmente localizada de los problemas no locales con fronteras libres bajo consideración es la existencia de una integral impropia (b).
Además, se ha demostrado que la condición (6) es necesaria y suficiente 1 para la existencia de una solución espacialmente localizada al siguiente problema estacionario unidimensional con frontera libre r(c), 0
00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g es decir, se lleva a cabo
Teorema 3. Si la función /(c) satisface las condiciones f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 existe una solución positiva al problema de valores límite no locales (11) y es única.
Aquí también consideramos cuestiones de recreación ambiental en un tiempo finito que son muy importantes para la práctica. En los trabajos de V.V. Kalashnikov y A.A. Samarsky, utilizando teoremas de comparación, este problema se reduce a resolver la desigualdad diferencial.< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.
A su vez, para el tiempo de recreación la estimación w
t<]. ск х)
En contraste con estos enfoques, la tesis intentó obtener estimaciones más precisas que tuvieran en cuenta la distribución inicial de la concentración co (x) y su portador “(0). Para ello, utilizando estimaciones a priori obtenidas en el trabajo, se encontró una desigualdad diferencial para la norma al cuadrado de la solución Ж
13) de donde se sigue una estimación más precisa de T t<
1+ /?>(())] donde c es la raíz de la ecuación
Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■
El segundo capítulo está dedicado a la modelización de los procesos de transferencia y difusión de impurezas pasivas en medios estratificados. El punto de partida aquí es el problema (1) con /(c) = 0 y la condición de frontera de Dirichlet o condición no local c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0(p) en 0(0),
C(P>*) = φ(р,0 en o = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 en Г(Г ).
Se consideran problemas unidimensionales de difusión turbulenta, teniendo en cuenta la dependencia del coeficiente de difusión de la escala, el tiempo y la concentración. Representan problemas locales y no locales para la ecuación cuasilineal ds.
1 d dt g"-1 dg p-\
K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,
16) donde K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; Birkhoff en la forma c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,
17) donde las funciones y el parámetro p se determinan en el proceso de separación de variables en (16). Como resultado, obtuvimos una ecuación diferencial ordinaria para B(t]) en] y la representación
Оn+m+p-2)/pBk £® drj
C.B-ij-dtl, oh
Para dos valores de una constante arbitraria C( - C, = y
С1 = ^Ур la ecuación (18) permite soluciones exactas dependiendo de una constante arbitraria. Esto último puede determinarse cumpliendo ciertas condiciones adicionales. En el caso de la condición de frontera de Dirichlet c(0,0 = B0[f^)]"n/p (20), se obtiene una solución exacta espacialmente localizada en el caso k > 0, m< 2:
2-t Gf\h;
L/k 0<г <гф(/),
Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, y la solución exacta no localizada en el caso de k<0, т <2:
1/k 0< г < 00.
22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.
Aquí f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o
Para k -» 0, de las soluciones obtenidas se sigue la solución del problema lineal с(r,0 = ВйШт-т) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, que se transforma para f(1) = 1 y m = 0 en la solución fundamental de la ecuación de difusión.
También se obtuvieron soluciones exactas en el caso de fuentes concentradas instantáneas o de acción permanente, cuando se cumple una condición de frontera no local adicional de la forma
23) donde o)n es el área de la esfera unitaria (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).
Las soluciones exactas encontradas para k > 0 de la forma (21) representan una onda de difusión que se propaga a través de un medio no perturbado con una velocidad finita. en k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.
Se consideran los problemas de difusión de fuentes puntuales y lineales que actúan constantemente en un medio en movimiento, cuando se utiliza una ecuación cuasi lineal para determinar la concentración.
Vdivc = -^S(r),
24) donde K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) es la función delta de Dirac, O es la potencia de la fuente. La interpretación de la coordenada x como tiempo/ también hizo posible obtener soluciones parciales exactas a un problema no local de la forma (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1
2С2 (2 + 2к)К0 к
La solución (25) permite en principio describir la localización espacial de una perturbación de difusión. En este caso, se determina el frente de onda en difusión, separando las regiones con concentraciones nulas y distintas de cero. Para k -» 0, implica la conocida solución de Roberts, que, sin embargo, no permite describir la localización espacial.
El tercer capítulo de la disertación está dedicado al estudio de problemas específicos de difusión con reacción en un ambiente de aire estratificado, que es el siguiente problema unidimensional con frontera libre uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, su = 0, x = s(t), t > 0.
Se realizó una implementación numérico-analítica del problema (26), basada en el método de Rothe, que permitió obtener la siguiente aproximación de siete dígitos del problema en forma de un sistema de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto al valor aproximado u(x) = u(x,1k), y 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.
La solución (27) se reduce a ecuaciones integrales no lineales del tipo Volterra y una ecuación no lineal para x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V l / gl/g
0 < X < 5, к(р.
Para cálculos numéricos, resolver el sistema (28) utilizando una aproximación de dimensión finita se reduce a encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con respecto a los valores nodales y. = u(x)) y i-.
Aquí también se consideran los problemas de fronteras libres en el problema de la contaminación y la autopurificación de la atmósfera por fuentes puntuales. En ausencia de una superficie adsorbente 5(0 (tie&3 = 0) en el caso de fuentes de contaminación planas, cilíndricas o puntuales, cuando la concentración depende de una coordenada espacial: la distancia a la fuente y el tiempo, la unidimensional más simple Se obtiene un problema no local con una frontera libre.
-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; ah
1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^
La construcción de una solución al problema (29), (30) se llevó a cabo mediante el método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales.
Al transformar las variables dependientes e independientes, el problema de límites libres no locales sobre una fuente puntual se reduce a forma canónica d2i di 1st d L, h l g---= x rir, 0
5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,
Pmg + = d(t), m > 0, que contiene solo una función que define la función d(t).
En casos particulares, se obtienen soluciones exactas de los correspondientes problemas estacionarios no locales con frontera libre para la ecuación de Emden-Fowler con 12 y 1 en l.
2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о
En particular, cuando /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, donde* = (Зз)1/3.
Junto con el método de Rothe, en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales, la solución al problema no estacionario (32) se construye mediante el método de linealización equivalente. Este método utiliza esencialmente la construcción de una solución a un problema estacionario. Como resultado, el problema se reduce al problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución se puede obtener mediante uno de los métodos aproximados, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.
Se presentan para defensa los siguientes resultados:
Estudio de efectos cualitativos de la localización espaciotemporal;
Establecimiento de las condiciones necesarias para la localización espacial hasta estados estacionarios limitantes;
Teorema sobre la unicidad de la solución de un problema con frontera libre en el caso de condiciones de Dirichlet sobre una superficie conocida;
Obtención por el método de separación de variables de familias exactas localizadas espacialmente de soluciones parciales de ecuaciones parabólicas cuasilineales degeneradas;
Desarrollo de métodos efectivos para la solución aproximada de problemas unidimensionales locales no estacionarios y no locales con límites libres basados en la aplicación del método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales;
Obtención de soluciones precisas espacialmente localizadas a problemas de difusión estacionaria con reacción.
Conclusión de la tesis. sobre el tema "Física Matemática", Doguchaeva, Svetlana Magomedovna
Los principales resultados del trabajo de tesis se pueden formular de la siguiente manera.
1. Se han estudiado efectos cualitativamente nuevos de la localización espaciotemporal.
2. Se han establecido las condiciones necesarias para la localización espacial y la estabilización hasta estados estacionarios límite.
3. Se demuestra el teorema sobre la unicidad de la solución del problema con frontera libre en el caso de condiciones de Dirichlet en una superficie conocida.
4. Utilizando el método de separación de variables, se obtuvieron familias exactas localizadas espacialmente de soluciones parciales de ecuaciones parabólicas cuasilineales degeneradas.
5. Se han desarrollado métodos eficaces para la solución aproximada de problemas estacionarios unidimensionales con fronteras libres basados en la aplicación del método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales.
6. Se obtuvieron soluciones exactas espacialmente localizadas a problemas estacionarios de difusión con reacción.
Basado en el método variacional en combinación con el método de Rothe, el método de ecuaciones integrales no lineales, se han desarrollado métodos de solución efectivos con el desarrollo de algoritmos y programas para cálculos numéricos en una computadora, y soluciones aproximadas de locales unidimensionales no estacionarios. y se han obtenido problemas no locales con límites libres, lo que permite describir la localización espacial en problemas de contaminación y autopurificación de ambientes estratificados de agua y aire.
Los resultados del trabajo de tesis se pueden utilizar para formular y resolver diversos problemas de las ciencias naturales modernas, en particular la metalurgia y la criomedicina.
CONCLUSIÓN
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Doguchaeva, Svetlana Magomedovna AUTOR |
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candidato de ciencias físicas y matemáticas TITULO ACADEMICO |
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Nálchik LUGAR DE PROTECCIÓN |
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2000 AÑO DE PROTECCIÓN |
01.01.03 CÓDIGO de la Comisión Superior de Certificación de RF |
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derechos de manos
Doguchaeva Svetlana Magomedovna
Métodos constructivos para resolver problemas de valores en la frontera con fronteras libres para ecuaciones no lineales de tipo parabólico.
Especialidad 01.01.03 - Física matemática
disertación para el grado de candidato de ciencias físicas y matemáticas
Nálchik
El trabajo se llevó a cabo en la Universidad Estatal Kabardino-Balkarian que lleva su nombre. SM. Berbekov y el Instituto de Matemáticas HAH de Ucrania.
Responsable científico: Doctor en Física y Matemáticas
Ciencias, Profesor Berezovsky A.A.
Opositores oficiales: Doctor en Física y Matemáticas
Ciencias, Profesor Shogenov V.Kh. Candidata de Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesora Asociada Bechelova A.R.
Organización líder: Instituto de Investigación
Matemática Aplicada y Automatización KBSC RAS
La defensa se realizará el 28 de diciembre de 2000. a las 10.22 horas en una reunión del Consejo especializado K063.88.06 en la Universidad Estatal Kabardino-Balkarian en la dirección:
360004, Nálchik, calle. Chernyshevsky, 173.
La disertación se puede encontrar en la biblioteca KBSU.
Secretario científico DS K063.88.06 Ph.D. Kaygermazov A.A.
descripción general del trabajo
Relevancia del tema. Al estudiar problemas de valores límite no lineales que describen los procesos de contaminación y recreación del medio ambiente, reflejando, junto con la difusión, la adsorción y las reacciones químicas, son de particular interés los problemas de tipo Stefan con un límite libre y fuentes que dependen significativamente del campo de concentración deseado. interés. En términos teóricos, las cuestiones de existencia, unicidad, estabilización y localización espacial de las soluciones siguen siendo relevantes para tales problemas. En términos prácticos, el desarrollo de métodos numéricos y analíticos eficaces para resolverlos parece especialmente importante.
El desarrollo de métodos eficaces para la solución aproximada de problemas de esta clase permite establecer dependencias funcionales de los principales parámetros del proceso con los datos de entrada, permitiendo calcular y predecir la evolución del proceso considerado.
Entre los trabajos que consideran la solucion de problemas tipo Stefan con frontera libre, destacan los trabajos de A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein y otros.
Objetivo de la obra. El propósito de esta disertación es estudiar problemas con fronteras libres en una nueva formulación que modele los procesos de transferencia y difusión, teniendo en cuenta la reacción de los contaminantes en problemas ambientales; su investigación cualitativa y, principalmente, el desarrollo de métodos constructivos para construir soluciones aproximadas a los problemas planteados.
Métodos generales de investigación. Los resultados del trabajo se obtuvieron utilizando el método de separación de variables de Birkhoff, el método de ecuaciones integrales no lineales, el método de Rothe, así como el método de linealización equivalente.
Novedad científica y valor práctico. Por primera vez se consideran planteamientos de problemas como el problema de Stefan estudiado en la tesis. Para esta clase de problemas se obtuvieron los siguientes resultados principales para la defensa:
1. Se han estudiado efectos cualitativamente nuevos de la localización espacio-temporal.
2. Se han establecido las condiciones necesarias para la localización espacial y la estabilización hasta estados estacionarios limitantes.
Los resultados de la tesis se pueden utilizar para formular y resolver diversos problemas de las ciencias naturales modernas, en particular la metalurgia y la criomemedicina, y parecen ser métodos muy eficaces para pronosticar, por ejemplo, el medio ambiente aéreo.
Aprobación del trabajo. Los principales resultados de la disertación fueron presentados y discutidos en el seminario del Departamento de Física Matemática y Teoría de Oscilaciones No Lineales del Instituto de Matemáticas de la HAH de Ucrania y el Departamento de Física Matemática de la Universidad Taras Shevchenko de Kiev, en el Centro Internacional Conferencia "Problemas no lineales de ecuaciones diferenciales y física matemática" (agosto de 1997, Nalchik), en el seminario de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Estatal de Kabardino-Balkarian sobre física matemática y matemáticas computacionales.
Estructura y alcance del trabajo. El trabajo de tesis consta de una introducción, tres capítulos, una conclusión y una lista de literatura citada que contiene 82 títulos. Alcance del trabajo:
Son 96 páginas escritas en entorno Microsoft Office 97 (estilo Times Roman).
La introducción fundamenta la relevancia del tema, formula el propósito de la investigación, proporciona una breve descripción y análisis del estado actual de los problemas que se estudian en la disertación y proporciona una anotación de los resultados obtenidos.
El primer capítulo proporciona una descripción general de los problemas de difusión en medios activos, es decir, medios en los que los efluentes dependen significativamente de la concentración. Se indican restricciones de flujo basadas físicamente, bajo las cuales el problema se reduce al siguiente problema con límites libres Г(/) para una ecuación parabólica cuasilineal en la región Cl(t):
с, = div(K(p,t,c)gradc)~ div(cu)- f(c) + w en Q(i), t > 0, сИ = с0ИвП(0)
(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - accp en S(t), (1)
c(p,t) = 0, (K(p,t,c) grad(c,n)) = 0 en T(i),
donde K(p,t,c) es el tensor de difusión turbulenta; y es el vector velocidad del medio, c(p,t) es la concentración del medio.
En el primer capítulo se presta considerable atención a la formulación de problemas de valores límite iniciales para superficies del nivel de concentración en el caso de procesos de difusión dirigida, cuando existe una correspondencia uno a uno entre la concentración y una de las coordenadas espaciales. La dependencia monótona c = c(x,y, z,t) de z nos permite transformar la ecuación diferencial, las condiciones iniciales y de contorno del problema para el campo de concentración en una ecuación diferencial y las correspondientes condiciones adicionales para el campo de sus superficies de nivel z = z(x,y,c ,t). Esto se logra diferenciando funciones inversas, resolviendo la ecuación de una superficie conocida S:<$>(x,y,z,t) = 0 funciones, resolución de la ecuación de la superficie conocida S: y, z, t) = 0 -» z = zs (x, y, t) y pro-
leyendo la identidad c(x,y,r5^)=c(x,y^). La ecuación diferencial (1) para C se transforma luego en una ecuación para r - Ar - r, - /(c)rc,
donde Ar = Ym(K-Ugg)-
Año = rx1 + r y] + k,
Al pasar de las variables independientes x, y, z a las variables independientes x, y, c, el área física se transforma en un área no física limitada por parte
el plano c=O, en el que va la superficie libre Г, y la superficie desconocida generalmente libre c=c(x,y,1), en la que va la superficie conocida 5(1).
A diferencia del operador cYu^ac1c del problema directo, el operador A del problema inverso es esencialmente no lineal. La tesis demuestra la positividad de la ecuación cuadrática correspondiente al operador A
forma +m]2 +y£2 -2a^ - 2/3m]^ y así se establece su elipticidad, lo que nos permite considerar problemas para él en esta formulación. Integrando por partes, obtuvimos un análogo de la primera fórmula de Green para el operador A
c(x,y,1) c(0
jjdxdy |y Azdc-
Consideramos un problema con frontera libre para un campo de concentración c = c(x, y, 1,1), cuando la condición de Dirichlet se especifica en la superficie £(£)
diviK.grais) - c, = /(c) - c>, Re * > O c(P,0) = co(P), ReI(0),
c =
с = 0, K- = 0, PeY(t), t> О ôn
En este caso, la transición relativa a la superficie nivelada z = z(x,y,c,о) nos permitió deshacernos de la superficie libre c = c(x, y,t), ya que está completamente determinada por la Condición de Dirichlet c(x,y,0 = área conocida: Qc(i) : Az = z, - (/(ñ) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с z(x,y,c,t) = zs(x,y,c,t), c = c(x,y,t), x,y e D(t), t> 0, zc(x,y ,0,0 = -°°, x,yeD(t), t> 0, Aquí también examinamos la cuestión de la unicidad de la solución al problema (3). El siguiente teorema se cumple Teorema 1. Si la función fuente W = COïlSt, la función sumidero f(c) aumenta monótonamente y /(o) = 0, entonces la solución al problema de Dirichlet (2) para superficies niveladas es positiva y única. El tercer párrafo del primer capítulo analiza los efectos cualitativos de los procesos de difusión acompañados de adsorción y reacciones químicas. Estos efectos no pueden describirse basándose en la teoría lineal. Si en este último la velocidad de propagación es infinita y por lo tanto no hay localización espacial, entonces se consideran los modelos no lineales de difusión con reacción, con las dependencias funcionales del coeficiente de difusión turbulenta K y la densidad del efluente (cinética de una reacción química) f sobre la concentración c establecida en el trabajo, permiten describir los efectos realmente observados de la co-reacción. velocidad finita de propagación, localización espacial y estabilización durante un tiempo finito (recreación) de contaminantes. El trabajo estableció que los efectos enumerados pueden describirse utilizando los modelos propuestos si existe una integral impropia ¡K(w)~2dw< оо (4) Se considera el correspondiente (1) problema de valor de frontera inicial no local con d - O ffed^ 1 Ac), o oz\ oz) en c(z,0) = 0, 0< z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t>0; 00 0 corriente continua C( El problema estacionario en forma libre de coordenadas tiene la forma: div(K(c) grado) = f(c) en Q \ P (0< с < да}, (.K(c)grad(c,n))+ac = 0 en S = dQf)dD, (5) c = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 en Г=(с = 0) = aoP£>, jff/(c)dv + afj cds = Q. En una semi-barrio del punto P e G, la transición a la forma de notación semicoordinada permitió obtener el problema de Cauchy. Divx(K(c)gradTc) = /(c) en (O (^<0),(6) c = 0, K(c)- = 0,7 = 0,07 donde 17 es la coordenada medida a lo largo de la normal R a Γ en el punto P, y las otras dos coordenadas cartesianas r, r2 se encuentran en el plano tangente a Γ en el punto P. Como en o podemos suponer que c(r, r2 μ) depende débilmente de las coordenadas tangenciales, es decir c(r,m2 Г]) = c(t]), entonces para determinar c(//) a partir de (6) se sigue el problema de Cauchy Ad- =/(c), r|<0, c = o, ad-=0,7 = 0. Se obtiene una solución exacta al problema (7). 77(s) = |l:(i>) 21 K(y)/(y)<ь (8) o |_ 0 y se demuestra el siguiente teorema Teorema 2. Una condición necesaria para la existencia de una solución espacialmente localizada de los problemas no locales considerados con fronteras libres es la existencia de una integral impropia (4). Además, se ha demostrado que la condición (4) es necesaria y suficiente para la existencia de una solución espacialmente localizada al siguiente problema estacionario no local con frontera libre: 0 < г < оо, c(oo) = 0, DG(c)-= 0, g es decir, tiene lugar Teorema 3. Si la función f(c) satisface las condiciones f(c) = c2/M, V2 Aquí también consideramos cuestiones de recreación ambiental en un tiempo finito que son muy importantes para la práctica. En las obras de V.V. Kalashnikov (1974) y A.A. Samarsky (1982) con la ayuda de teoremas de comparación, este problema se reduce a resolver la desigualdad diferencial. - < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt dependiendo de la coordenada) solución. Al mismo tiempo se obtuvo una estimación del tiempo de recreación. En contraste con estos enfoques, la tesis intentó obtener estimaciones más precisas que tuvieran en cuenta la distribución inicial de la concentración de CD (x) y su portador 5(0). Para ello, utilizando estimaciones a priori obtenidas en el trabajo, se encontró una desigualdad diferencial para la norma al cuadrado de la solución. de lo cual se sigue una estimación más precisa para T t< ,(1+/?жо) donde c es la raíz de la ecuación "(1 -ru2lUg 2_0-/у с /2 =<р, y(t) HkMI2 , s(0) = ~-p(l + /))c El segundo capítulo está dedicado a la modelización de los procesos de transferencia y difusión de impurezas pasivas en medios estratificados. El punto de partida aquí es el problema (1) con /(c) 3 O y la condición de frontera de Dirichlet o la condición no local ct = div(K(p,t,c)gradc) - div(cü) + ñ en Q(t ), t> ACERCA DE с(р,0) = со(р) en OD, c(p,t) = q>(p,t) en S(t) o jc(p,t)dv = Q(t), (13) c(p,t) = O, (K(p,t,c)grad(c,n)) = 0 en Г(0) Los problemas unidimensionales de difusión turbulenta se consideran teniendo en cuenta la dependencia del coeficiente de difusión en escala, tiempo y concentración representan problemas locales y no locales para la ecuación cuasilineal. donde K(g,(,c) =K0<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция; K0, myk son algunas constantes. Las soluciones particulares de esta ecuación se buscan mediante el método de separación de variables en la forma c(r,t) = f(t)B(rj), р>О, donde las funciones /(/),5(r]),φ(/) y el parámetro p se determinan en el proceso de separación de variables en (14). Como resultado, se obtuvo una ecuación diferencial ordinaria para B(t]) y presentaciones c(r,t)^(t)f B(rj), = significado arbitrario constante C, - Cx y Cx = (t ^/la ecuación (16) permite obtener resultados exactos ny soluciones que dependen de una constante arbitraria. Esto último puede determinarse cumpliendo ciertas condiciones adicionales. En el caso de la condición de frontera de Dirichlet ñ(0.0 = В0[ф(0]У* (18) se obtuvo una solución exacta espacialmente localizada en el caso k>0,m<2: t)0 = [v*K0(2 - t)p / k]P"(2~t\ p = pk + 2-t. y la solución exacta no localizada en el caso de<0, т<2: 0<г<гф(0 , гД0<г<со s(r,1)=В«Ш-п ACERCA DE< Г < 00. (20) u = [k0(2-t)r/vU1|4"(2_t)5 R = 2-t-p\k[ Aquí= |f(t)s1t; gf (/) = . Cuando k 0 de recibido- de las siguientes soluciones sigue la solución del problema lineal cM = vM) G/(1"t) exp[- g2- /(1 - t)gK^)\ que, cuando φ(() = 1 y m - 0, se transforma en la solución fundamental de la ecuación de difusión. También se obtuvieron soluciones exactas en el caso de fuentes concentradas instantáneas o de acción permanente, cuando se cumple una condición de frontera no local adicional de la forma q = donde son es el área de una esfera unitaria (i>1 = 2, eog = 27u, o)b = 4l"). Las soluciones exactas encontradas para k > O de la forma (19) representan una onda de difusión que se propaga a través de un medio no perturbado con una velocidad finita. en k< 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает. donde K(r,x,c) = KcK(x)gtsk, ô(r)~ Función delta de Dirac; Fuente de energía Q. La interpretación de la coordenada X como tiempo / también permitió obtener soluciones parciales exactas para (22) 0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00, " 2Скг(2 + 2к)Кь ko lky(2 + 2ku La solución (23) permite en principio describir la localización espacial de una perturbación de difusión. En este caso, se determina el frente de onda en difusión, separando las regiones con concentraciones nulas y distintas de cero. Para k -> 0, implica la conocida solución de Roberts, que, sin embargo, no permite describir la localización espacial. El tercer capítulo de la disertación está dedicado al estudio de problemas específicos de difusión con reacción en un ambiente de aire estratificado, que es el siguiente problema unidimensional con frontera libre. susx~u1=/(u)> 0< лт < £(/), />0, u(x,0) = u0(x), 0<х< 5(0), (24) su -II = ~)g<р, х = 0, ¿>0, u- 0, su= 0, x = ¿>0. Se realizó una implementación numérica y analítica del problema (24), basada en el método de Rothe, que permitió obtener la siguiente aproximación del problema en forma de un sistema de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto a la valor aproximado u(x) = u(x^k), y u(x) = u(x,1k_)): u"-t~1u = ir - r"1u, 0< дг < u"-Ui = -bср, x = 0, (25) n(l) = 0 n"O) = 0. La solución al problema (25) se reduce a las ecuaciones integrales no lineales de Volterra. u(x) - l/t ¡зИ-^ Para cálculos numéricos, resolver (26), (27) usando una aproximación de dimensión finita se reduce a encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con respecto a los valores nodales u] = u(x]) a sj. Aquí también se consideran los problemas de fronteras libres en el problema de la contaminación y la autopurificación de la atmósfera por fuentes puntuales. por precisionistas. En ausencia de una superficie adsorbente S(t) (mesS = 0) en el caso de fuentes de contaminación planas, cilíndricas o puntuales, cuando la concentración depende de una coordenada espacial: la distancia a la fuente y el tiempo, la forma unidimensional más simple Se obtiene un problema no local con una frontera libre. -^=/(s),0<г<гф(0,">0, 1 d f „_, 8 s g""1 dg( dgu c(r,0) = 0, 0< г < (0) (28) с(r,0 = 0, - = 0, r = gf(0, t> 0; 2--- = xx~rir, 0<л I 1 T + - \QiDdt (29) La construcción de una solución al problema (28), (29) se llevó a cabo mediante el método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales. Al transformar las variables dependientes e independientes, el problema no local con una frontera libre alrededor de una fuente puntual se reduce a una forma canónica u(x,0) = 0, 0<л; <5(0), (5(0) = 0), (30) m(5(g),g) = m;s(5(g),g) = 0, g>0 En casos particulares, se obtienen soluciones exactas de los correspondientes problemas estacionarios no locales con frontera libre para la ecuación de Emden-Fowler. ■ xx~ßuß, 0 u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q ] = (1 / 6)(2 s + x)(s -x)r, donde Junto con el método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales, la solución al problema no estacionario (31) se construye mediante el método de linealización equivalente. Este método utiliza esencialmente la construcción de una solución a un problema estacionario. Como resultado, el problema se reduce al problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución se puede obtener mediante uno de los métodos aproximados, por ejemplo, el método de Runge-Kutta. 1. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Localización espacial y estabilización en procesos de difusión con reacción //Dopovda HAH Decoración. -1998. -No 2. -CON. 1-5. 2. Berezovsky N.A., Doguchaeva S.M. Los problemas de Stefan en el problema de la contaminación y la autopurificación del medio ambiente por fuentes puntuales // Problemas de valores límite no lineales de la física matemática y sus aplicaciones. - Kiev: Instituto de Matemáticas HAH de Ucrania, 1995. - 3. Berezovska JI.M., Doguchaeva S.M. Problema de D1r1hle para el r1vrya superior del campo de concentración // Métodos matemáticos en los avances científicos y técnicos - Kshv: Instituto de Matemáticas HAH Ukrashi, 1996.-P.9-14. 4. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Modelo matemático de obstrucción y autopurificación del punto medio otuchuny punto por punto dzherel //Problemas con fronteras libres y problemas no locales para ecuaciones parabólicas no lineales. - Kiev: Instituto de Matemáticas HAH de Ucrania, 1996. P.13-16. 5. Doguchaeva S.M. Problemas de fronteras libres en problemas ambientales // Problemas de valores de frontera no lineales Matemáticas. física y sus aplicaciones - Kiev: Inst. Matemáticas HAH de Ucrania, 1995.- 6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Modelos matemáticos de dispersión, descomposición y sorción de gas, humo y otros tipos de contaminación en una atmósfera turbulenta // Conferencia internacional sobre ecuaciones diferenciales no lineales, Kiev, 21 al 27 de agosto de 1995, p. . 187. 7. Doguchaeva S.M. Localización espacial de soluciones a problemas de valores en la frontera para una ecuación parabólica degenerada en un problema ambiental // Problemas de valores en la frontera no lineales Matemáticas. Los físicos y sus aplicaciones.-Kiev: Instituto de Matemáticas HAH de Ucrania, 1996.-S. 100-104. 8. Doguchaeva S.M. Problema de Cauchy unidimensional para superficies a nivel de campo de concentración //Problemas con fronteras libres y problemas no locales para ecuaciones parabólicas no lineales. -Kiev: Instituto de Matemáticas HAH de Ucrania, 1996 - P. 27-30. 9. Doguchaeva S.M. Efectos cualitativos de los procesos de difusión y transferencia de masa, acompañados de adsorción y reacciones químicas // Problemas no lineales de ecuaciones diferenciales y física matemática. -Kiev: Instituto de Matemáticas, 1997,-S. 103-106. 10. Doguchaeva S.M. Problemas con límites libres para una ecuación parabólica degenerada en el problema ambiental //Dopovts HAH Decoraciones. - 1999. - N° 12 - P.28-29. ABA I. DECLARACIONES DE PROBLEMAS CLÁSICOS Y ESPECIALES CON FRONTERAS LIBRES. I. Características generales de los problemas de transferencia y difusión de masa con reacción. I. Problemas de valores límite iniciales para superficies niveladas del campo de concentración. Efectos cualitativos de los procesos de difusión acompañados de adsorción y reacciones químicas. I. Estabilización en tiempo finito a soluciones estacionarias espacialmente localizadas. ABAII. ESTUDIO DE PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA NO LINEAL Y DIFUSIÓN DE IMPUREZAS PASIVAS EN AMBIENTES ESTRATIFICADOS. Un método para separar variables en una ecuación de transporte y difusión parabólica cuasilineal. Soluciones exactas a problemas de difusión y transferencia desde fuentes concentradas, instantáneas y de acción permanente en medio en reposo. ABAIII. MODELOS MATEMÁTICOS DE PROCESOS DE DIFUSIÓN CON REACCIÓN. Método de Rothe y ecuaciones integrales del problema. Problemas de fronteras libres en el problema de la contaminación y la autodepuración por fuente puntual. TERATURA. Introducción disertación en matemáticas, sobre el tema "Métodos constructivos para resolver problemas de valores en la frontera con fronteras libres para ecuaciones no lineales de tipo parabólico" Al estudiar problemas de valores límite no lineales que describen los procesos de contaminación y recreación del medio ambiente, reflejando, junto con la difusión, la adsorción y las reacciones químicas, son de particular interés los problemas de tipo Stefan con un límite libre y fuentes que dependen significativamente del campo de concentración deseado. interés. Los problemas no lineales con límites libres en los problemas ambientales permiten describir la localización realmente observada de los procesos de contaminación (recreación) ambiental. La no linealidad aquí se debe tanto a la dependencia del tensor de difusión turbulenta K como de los efluentes contaminantes / de la concentración c. En el primer caso, la localización espacial se logra debido a la degeneración, cuando en c = O y K = 0. Sin embargo, ocurre solo en un momento dado r y está ausente en z. La evolución de los procesos de difusión con reacción, que se estabilizan hasta estados estacionarios límite con una localización espacial claramente definida, puede describirse mediante modelos matemáticos con una dependencia especial de los sumideros /(c). Este último modela el consumo de materia debido a reacciones químicas de orden fraccionario, cuando /(c) = . En este caso, independientemente de la degeneración del coeficiente de difusión, existe una localización espaciotemporal de la perturbación de la difusión del medio. En cualquier momento /, la perturbación de difusión local ocupa una determinada región 0(7), limitada de antemano por la superficie libre previamente desconocida Г(7). El campo de concentración c(p, /) en este caso es una onda de difusión con un frente Г(/), que se propaga a través de un medio no perturbado, donde c = O. Es bastante natural que estos efectos cualitativos sólo puedan obtenerse sobre la base de un enfoque no lineal para modelar los procesos de reacción. Sin embargo, este enfoque se asocia con importantes dificultades matemáticas al estudiar los problemas no lineales con fronteras libres que surgen aquí, cuando es necesario determinar un par de funciones: el campo de concentración c(p,t) y la frontera libre Г(/) = ( (p,t): c(p,t) = O). Estos problemas, como ya se señaló, pertenecen a problemas de física matemática más complejos y poco estudiados. Se han realizado muchas menos investigaciones sobre problemas de valores en la frontera con fronteras libres debido a su complejidad, que está asociada tanto con su no linealidad como con el hecho de que requieren una especificación a priori de las características topológicas de los campos que se buscan. Entre los trabajos que consideran la solucion de este tipo de problemas, cabe destacar los trabajos de A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, etc. Con algunas restricciones sobre determinadas funciones en las obras de A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina demostró los teoremas de existencia y unicidad para la solución de un problema de valores en la frontera con una frontera libre para la ecuación del calor. Igualmente importante es el desarrollo de métodos efectivos para la solución aproximada de problemas de esta clase, que permitirán establecer dependencias funcionales de los principales parámetros del proceso con los datos de entrada, permitiendo calcular y predecir la evolución del proceso. bajo consideración. Debido a la rápida mejora de la tecnología informática, se están desarrollando cada vez más métodos numéricos eficaces para resolver este tipo de problemas. Estos incluyen el método de líneas rectas, el método de proyección-cuadrícula, desarrollado en los trabajos de G.I Marchuk, V.I. Recientemente, se ha utilizado con éxito el método de campo fijo, cuya idea principal es que se fija un límite en movimiento y se establece en él una parte de las condiciones de contorno conocidas, se resuelve el problema de valor de límite resultante y luego, usando las condiciones de contorno restantes y la solución resultante, se encuentra una posición nueva y más precisa del límite libre, etc. El problema de encontrar el límite libre se reduce a la solución posterior de una serie de problemas clásicos de valores de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Dado que los problemas con límites libres no se han estudiado completamente y su solución está asociada con importantes dificultades, su investigación y solución requiere la participación de nuevas ideas, el uso de todo el arsenal de métodos constructivos de análisis no lineal, los logros modernos de la física matemática, matemáticas computacionales y las capacidades de la tecnología informática moderna. En términos teóricos, las cuestiones de existencia, unicidad, positividad, estabilización y localización espaciotemporal de las soluciones siguen siendo relevantes para tales problemas. El trabajo de tesis está dedicado a la formulación de nuevos problemas con fronteras libres que modelen los procesos de transporte y difusión con la reacción de sustancias contaminantes en problemas ambientales, su estudio cualitativo y, principalmente, el desarrollo de métodos constructivos para construir soluciones aproximadas a tales problemas. El primer capítulo proporciona una descripción general de los problemas de difusión en medios activos, es decir, medios en los que los efluentes dependen significativamente de la concentración. Se indican restricciones de flujo basadas físicamente, bajo las cuales el problema se reduce al siguiente problema con límites libres para una ecuación parabólica cuasilineal: с, = div(K(p, t, с) grado) - div(cu) - f ( ñ)+ w en Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) en cm c)grado, n)+ac = accp en S(t), c)gradc,n) = 0 en Г if), donde K(p,t,c) es el tensor de difusión turbulenta; ü es el vector velocidad del medio, c(p,t) es la concentración del medio. En el primer capítulo se presta considerable atención a la formulación de problemas de valores límite iniciales para superficies del nivel de concentración en el caso de procesos de difusión dirigida, cuando existe una correspondencia uno a uno entre la concentración y una de las coordenadas espaciales. La dependencia monótona de c(x,y,z,t) de z nos permite transformar la ecuación diferencial, las condiciones iniciales y de contorno del problema para el campo de concentración en una ecuación diferencial y las correspondientes condiciones adicionales para el campo de su superficies niveladas - z = z(x,y,c, t). Esto se logra diferenciando las funciones inversas, resolviendo la ecuación de la superficie conocida S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) y leyendo la identidad nuevamente con(x ,y,zs, t)=c(x,y,t). La ecuación diferencial (1) para c se transforma luego en una ecuación para z- Az=zt-f (c)zc, donde 2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz Al pasar de variables independientes x, y, z a variables independientes x>y, c, la región física Q(i) se transforma en la región no física Qc(/), limitada por la parte del plano c = 0, en la que pasa la superficie libre Г, y libre en el caso general, una superficie desconocida c=c(x,y,t), en la que va la superficie conocida S(t). En contraste con el operador divKgrad ■ del problema directo, el operador A del problema inverso es esencialmente no lineal. La tesis demuestra la positividad de la forma cuadrática e+rf+yf-latf-lßrt correspondiente al operador A, y con ello establece su elipticidad, lo que nos permite considerar formulaciones de problemas de valores en la frontera para él. Integrando por partes, obtuvimos un análogo de la primera fórmula de Green para el operador A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í * Consideramos un problema con frontera libre para un campo de concentración c = c(x,y,z,1), cuando la condición de Dirichlet div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 se especifica en la superficie (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2) ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp En este caso, la transición relativa a la superficie nivelada r = r(x,y,c^) nos permitió deshacernos de la superficie libre c=c(x,y,?), ya que está completamente determinada por el método de Dirichlet. condición c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- Como resultado, el siguiente problema de valor de frontera inicial para un operador parabólico fuertemente no lineal^ - - en un tiempo- dominio variable pero ya conocido C2c(0:<9/ Az = z(~zc, x,yED(t), 0 Aquí también estudiamos la cuestión de la unicidad de la solución al problema (3). Con base en el análogo obtenido de la primera fórmula de Green para el operador A, teniendo en cuenta las condiciones de contorno después de transformaciones elementales pero bastante engorrosas utilizando la desigualdad de Young, se establece la monotonicidad del operador A en las soluciones zx y z2 del problema. Lg2 - Ar1)(r2 -)(bcc1us1c< 0 . (4) Por otro lado, utilizando la ecuación diferencial, las condiciones de frontera y las condiciones iniciales se demuestra que La contradicción resultante demuestra el teorema de unicidad para la solución del problema de Dirichlet para superficies de niveles de concentración c(x,y,t) Teorema 1. Si la función fuente w es constante, la función sumidero f(c) aumenta monótonamente y /(0) = 0, entonces la solución al problema de Dirichlet (2) para superficies niveladas es positiva y única. El tercer párrafo del primer capítulo analiza los efectos cualitativos de los procesos de difusión acompañados de adsorción y reacciones químicas. Estos efectos no pueden describirse basándose en la teoría lineal. Si en este último la velocidad de propagación es infinita y, por tanto, no hay localización espacial, entonces se consideran modelos no lineales de difusión con reacción, con dependencias funcionales del coeficiente de difusión turbulenta K y la densidad de los efluentes (cinética de reacciones químicas). ) / sobre la concentración c establecida en el trabajo, permiten describir los efectos realmente observados de una velocidad finita de propagación, localización espacial y estabilización durante un tiempo finito (recreación) de contaminantes. El trabajo estableció que los efectos enumerados se pueden describir utilizando los modelos propuestos si existe una integral impropia con w 1 K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0; 00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz El problema estacionario en forma libre de coordenadas tiene la forma div(K(c)grade) = f(c) en Q\P (0< с < оо}, K(cgradc,n)) + ac = 0 en 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grado,п) = 0 en Г s (с = 0) = dQ. PD, JJJ/(c)dv + cds = q. como En un semi-barrio con eQ del punto Pe Г, la transición a la forma de notación semicoordenada permitió obtener el problema de Cauchy drj K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) en co rj<0 8) dcc = 0, K(c)~ = 0,77 = 0, OT] donde m] es la coordenada medida a lo largo de la normal a Γ en el punto P, y las otras dos coordenadas cartesianas m1, m2 se encuentran en el plano tangente a Γ en el punto P. Como en co podemos suponer que c(m1, m2 , g/) depende débilmente de las coordenadas tangenciales, es decir, c(tx, t2,1]) = c(t]), luego para determinar c(t]) a partir de (8) el problema de Cauchy drj drj f(c ), TJ sigue< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj Se ha obtenido una solución exacta al problema (9) 77(s)= rehacer 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема Teorema 2. Una condición necesaria para la existencia de una solución espacialmente localizada de los problemas no locales con fronteras libres bajo consideración es la existencia de una integral impropia (b). Además, se ha demostrado que la condición (6) es necesaria y suficiente 1 para la existencia de una solución espacialmente localizada al siguiente problema estacionario unidimensional con frontera libre r(c), 0<г<со, 00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g es decir, se lleva a cabo Teorema 3. Si la función /(c) satisface las condiciones f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 existe una solución positiva al problema de valores límite no locales (11) y es única. Aquí también consideramos cuestiones de recreación ambiental en un tiempo finito que son muy importantes para la práctica. En los trabajos de V.V. Kalashnikov y A.A. Samarsky, utilizando teoremas de comparación, este problema se reduce a resolver la desigualdad diferencial.< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение. A su vez, para el tiempo de recreación la estimación w t<]. ск х) En contraste con estos enfoques, la tesis intentó obtener estimaciones más precisas que tuvieran en cuenta la distribución inicial de la concentración co (x) y su portador “(0). Para ello, utilizando estimaciones a priori obtenidas en el trabajo, se encontró una desigualdad diferencial para la norma al cuadrado de la solución Ж 13) de donde se sigue una estimación más precisa de T t< 1+ /?>(())] donde c es la raíz de la ecuación Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■ El segundo capítulo está dedicado a la modelización de los procesos de transferencia y difusión de impurezas pasivas en medios estratificados. El punto de partida aquí es el problema (1) con /(c) = 0 y la condición de frontera de Dirichlet o condición no local c, = (I\(K(p,T,c)%gys)-<И\{сй) + а>en 0(0, t>0 с(р,0) = с0(р) en 0(0), C(P>*) = φ(р,0 en o = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 en Г(Г ). Se consideran problemas unidimensionales de difusión turbulenta, teniendo en cuenta la dependencia del coeficiente de difusión de la escala, el tiempo y la concentración. Representan problemas locales y no locales para la ecuación cuasilineal ds. 1 d dt g"-1 dg p-\ K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3, 16) donde K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; 17) donde las funciones y el parámetro p se determinan en el proceso de separación de variables en (16). Como resultado, obtuvimos una ecuación diferencial ordinaria para B(t]) en] y la representación Оn+m+p-2)/pBk £® drj C.B-ij-dtl, oh Para dos valores de una constante arbitraria C( - C, = y С1 = ^Ур la ecuación (18) permite soluciones exactas dependiendo de una constante arbitraria. Esto último puede determinarse cumpliendo ciertas condiciones adicionales. En el caso de la condición de frontera de Dirichlet c(0,0 = B0[f^)]"n/p (20), se obtiene una solución exacta espacialmente localizada en el caso k > 0, m< 2: 2-t Gf\h; L/k 0<г <гф(/), Oh, novia(/)<г< оо, Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, y la solución exacta no localizada en el caso de k<0, т <2: 1/k 0< г < 00. 22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\. Aquí f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o Para k -» 0, de las soluciones obtenidas se sigue la solución del problema lineal с(r,0 = ВйШт-т) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, que se transforma para f(1) = 1 y m = 0 en la solución fundamental de la ecuación de difusión. También se obtuvieron soluciones exactas en el caso de fuentes concentradas instantáneas o de acción permanente, cuando se cumple una condición de frontera no local adicional de la forma 23) donde o)n es el área de la esfera unitaria (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z). Las soluciones exactas encontradas para k > 0 de la forma (21) representan una onda de difusión que se propaga a través de un medio no perturbado con una velocidad finita. en k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает. Se consideran los problemas de difusión de fuentes puntuales y lineales que actúan constantemente en un medio en movimiento, cuando se utiliza una ecuación cuasi lineal para determinar la concentración. Vdivc = -^S(r), 24) donde K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) es la función delta de Dirac, O es la potencia de la fuente. La interpretación de la coordenada x como tiempo/ también hizo posible obtener soluciones parciales exactas a un problema no local de la forma (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1 novia(x)<Г<СС, mk 0<г<гф (х), Ф 2С2 (2 + 2к)К0 к La solución (25) permite en principio describir la localización espacial de una perturbación de difusión. En este caso, se determina el frente de onda en difusión, separando las regiones con concentraciones nulas y distintas de cero. Para k -» 0, implica la conocida solución de Roberts, que, sin embargo, no permite describir la localización espacial. El tercer capítulo de la disertación está dedicado al estudio de problemas específicos de difusión con reacción en un ambiente de aire estratificado, que es el siguiente problema unidimensional con frontera libre uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, su = 0, x = s(t), t > 0. Se realizó una implementación numérico-analítica del problema (26), basada en el método de Rothe, que permitió obtener la siguiente aproximación de siete dígitos del problema en forma de un sistema de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto al valor aproximado u(x) = u(x,1k), y 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0. La solución (27) se reduce a ecuaciones integrales no lineales del tipo Volterra y una ecuación no lineal para x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V l / gl/g 0 < X < 5, к(р. Para cálculos numéricos, resolver el sistema (28) utilizando una aproximación de dimensión finita se reduce a encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con respecto a los valores nodales y. = u(x)) y i-. Aquí también se consideran los problemas de fronteras libres en el problema de la contaminación y la autopurificación de la atmósfera por fuentes puntuales. En ausencia de una superficie adsorbente 5(0 (tie&3 = 0) en el caso de fuentes de contaminación planas, cilíndricas o puntuales, cuando la concentración depende de una coordenada espacial: la distancia a la fuente y el tiempo, la unidimensional más simple Se obtiene un problema no local con una frontera libre. -- = /(s), 0<г<гф(О,/>0, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, ^>0; ah 1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^ La construcción de una solución al problema (29), (30) se llevó a cabo mediante el método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales. Al transformar las variables dependientes e independientes, el problema no local con una frontera libre alrededor de una fuente puntual se reduce a la forma canónica<х<^(г), г>0, 5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0, Pmg + = d(t), m > 0, que contiene solo una función que define la función d(t). En casos particulares, se obtienen soluciones exactas de los correspondientes problemas estacionarios no locales con frontera libre para la ecuación de Emden-Fowler con 12 y 1 en l. 2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о En particular, cuando /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, donde* = (Зз)1/3. Junto con el método de Rothe, en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales, la solución al problema no estacionario (32) se construye mediante el método de linealización equivalente. Este método utiliza esencialmente la construcción de una solución a un problema estacionario. Como resultado, el problema se reduce al problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución se puede obtener mediante uno de los métodos aproximados, por ejemplo, el método de Runge-Kutta. Se presentan para defensa los siguientes resultados: Estudio de efectos cualitativos de la localización espaciotemporal; Establecimiento de las condiciones necesarias para la localización espacial hasta estados estacionarios limitantes; Teorema sobre la unicidad de la solución de un problema con frontera libre en el caso de condiciones de Dirichlet sobre una superficie conocida; Obtención por el método de separación de variables de familias exactas localizadas espacialmente de soluciones parciales de ecuaciones parabólicas cuasilineales degeneradas; Desarrollo de métodos efectivos para la solución aproximada de problemas unidimensionales locales no estacionarios y no locales con límites libres basados en la aplicación del método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales; Obtención de soluciones precisas espacialmente localizadas a problemas de difusión estacionaria con reacción. Conclusión de la tesis.
sobre el tema "Física matemática"
Los principales resultados del trabajo de tesis se pueden formular de la siguiente manera. 1. Se han estudiado efectos cualitativamente nuevos de la localización espaciotemporal. 2. Se han establecido las condiciones necesarias para la localización espacial y la estabilización hasta estados estacionarios límite. 3. Se demuestra el teorema sobre la unicidad de la solución del problema con frontera libre en el caso de condiciones de Dirichlet en una superficie conocida. 4. Utilizando el método de separación de variables, se obtuvieron familias exactas localizadas espacialmente de soluciones parciales de ecuaciones parabólicas cuasilineales degeneradas. 5. Se han desarrollado métodos eficaces para la solución aproximada de problemas estacionarios unidimensionales con fronteras libres basados en la aplicación del método de Rothe en combinación con el método de ecuaciones integrales no lineales. 6. Se obtuvieron soluciones exactas espacialmente localizadas a problemas estacionarios de difusión con reacción. Basado en el método variacional en combinación con el método de Rothe, el método de ecuaciones integrales no lineales, se han desarrollado métodos de solución efectivos con el desarrollo de algoritmos y programas para cálculos numéricos en una computadora, y soluciones aproximadas de locales unidimensionales no estacionarios. y se han obtenido problemas no locales con límites libres, lo que permite describir la localización espacial en problemas de contaminación y autopurificación de ambientes estratificados de agua y aire. Los resultados del trabajo de tesis se pueden utilizar para formular y resolver diversos problemas de las ciencias naturales modernas, en particular la metalurgia y la criomedicina. CONCLUSIÓN Lista de fuentes disertación y resumen en matemáticas, candidata de ciencias físicas y matemáticas, Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, Nalchik 1. Arsenin V.Ya. 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