El modo libre del circuito no depende de fuentes de energía, está determinado únicamente por la estructura del circuito y los parámetros de sus elementos. De esto se deduce que las raíces de la ecuación característica p1, p2,…, pn serán las mismas para todos funciones variables(corrientes y tensiones).
Ecuación característica Puede ser hecho varios métodos. El primer método es clásico, cuando la ecuación característica se compila estrictamente de acuerdo con la ecuación diferencial. esquema clásico. Al calcular procesos transitorios en un circuito complejo, se elabora un sistema de ecuaciones diferenciales "m" según las leyes de Kirchhoff para el diagrama del circuito después de la conmutación. Desde las raíces Ecuación característica son comunes a todas las variables, entonces la solución del sistema ecuaciones diferenciales realizado en relación con cualquier variable (opcional). Como resultado de la solución se obtiene una ecuación diferencial no homogénea con una variable. Redacte una ecuación característica de acuerdo con la ecuación diferencial resultante y determine sus raíces.
Ejemplo. Dibuje una ecuación característica y determine sus raíces para las variables en el diagrama de la figura. 59.1. Los parámetros de los elementos se especifican de forma general.
Sistema de ecuaciones diferenciales según las leyes de Kirchhoff:
Resolvamos el sistema de ecuaciones para la variable i 3, como resultado obtenemos una ecuación diferencial no homogénea:
La segunda forma de compilar una ecuación característica es igualar a cero el determinante principal del sistema de ecuaciones de Kirchhoff para las variables componentes libres.
Sea la componente libre de una corriente arbitraria la forma i ksw = A k e pt, entonces:
El sistema de ecuaciones de las componentes libres se obtiene a partir del sistema de ecuaciones diferenciales de Kirchhoff sustituyendo las derivadas de las variables por el factor p y las integrales por 1/p. Para el ejemplo considerado, el sistema de ecuaciones para componentes libres tiene la forma:
Ecuación característica y su raíz:
La tercera forma de compilar una ecuación característica (ingeniería) es igualar la resistencia del operador de entrada del circuito a cero en relación con cualquiera de sus ramas.
La resistencia del operador de un elemento se obtiene a partir de su resistencia compleja simplemente reemplazando el factor jω por p, por lo tanto
Para el ejemplo en cuestión:
El tercer método es el más simple y económico, por lo que se utiliza con mayor frecuencia al calcular procesos transitorios en circuitos eléctricos.
Las raíces de la ecuación característica caracterizan el proceso transitorio libre en un circuito sin fuentes de energía. Este proceso se produce con pérdidas de energía y por tanto decae con el tiempo. De esto se deduce que las raíces de la ecuación característica deben ser negativas o tener una parte real negativa.
EN caso general el orden de la ecuación diferencial que describe el proceso transitorio en el circuito y, por lo tanto, el grado de la ecuación característica y el número de sus raíces son iguales al número de condiciones iniciales independientes, o al número de dispositivos de almacenamiento de energía independientes ( bobinas L y condensadores C). Si el diagrama del circuito contiene condensadores C1, C2,... conectados en paralelo o bobinas L1, L2,... conectadas en serie, al calcular los procesos transitorios deben sustituirse por un elemento equivalente C E = C1 + C2 + .. o L E = L1 + L2+…
De este modo, forma general Las soluciones para cualquier variable al calcular un proceso transitorio se pueden compilar solo a partir de un análisis del diagrama del circuito, sin compilar ni resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.
Para el ejemplo discutido anteriormente.
Representación matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SODE) con coeficientes constantes
SODE lineal homogéneo con coeficientes constantes $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,
donde $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\izquierda(x\derecha),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- las funciones requeridas de la variable independiente $x$, coeficientes $a_(jk),\; 1\le j,k\le n$ -- representamos los números reales dados en notación matricial:
- matriz de funciones requeridas $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
- matriz de soluciones derivadas $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- Matriz de coeficientes SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.
Ahora, según la regla de la multiplicación de matrices, este SODE se puede escribir en forma de ecuación matricial $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Método general para resolver SODE con coeficientes constantes.
Sea una matriz de algunos números $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) )\end(array)\right)$.
La solución al SODE se encuentra de la siguiente forma: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. EN forma matricial: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
De aquí obtenemos:
Ahora ecuación matricial A este SODA se le puede dar la forma:
La ecuación resultante se puede representar de la siguiente manera:
La última igualdad muestra que el vector $\alpha $ se transforma usando la matriz $A$ en un vector paralelo $k\cdot \alpha $. Esto significa que el vector $\alpha $ es vector propio matriz $A$, correspondiente valor propio$k$.
El número $k$ se puede determinar a partir de la ecuación $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.
Esta ecuación se llama característica.
Sean diferentes todas las raíces $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ de la ecuación característica. Para cada valor $k_(i) $ del sistema $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ una matriz de valores se puede definir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
Uno de los valores de esta matriz se elige al azar.
Finalmente, la solución de este sistema en forma matricial se escribe de la siguiente manera:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,
donde $C_(i) $ son constantes arbitrarias.
Tarea
Resuelva el sistema DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.
Escribimos la matriz del sistema: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
En forma matricial, este SODE se escribe de la siguiente manera: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin(matriz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(matriz)\right)$.
Obtenemos la ecuación característica:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, es decir, $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.
Las raíces de la ecuación característica son: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(1) =1$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0,\]
es decir, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right ) ) =0$.
Poniendo $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.
Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(2) =9$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0, \]
es decir, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right ) ) =0$.
Poniendo $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.
Obtenemos la solución de SODE en forma matricial:
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]
En la forma habitual, la solución del SODE tiene la forma: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.
Ecuación diferencial en forma simbólica
Ecuación diferencial en forma clásica.
Ecuación diferencial homogénea
Ecuación característica
Polinomio característico
Función de transmisión
Raíces de la ecuación característica:
Solución general de una ecuación diferencial.
Dado que las raíces son complejas y conjugadas por pares, la naturaleza del proceso de transición no es monótona (oscilatoria).
Las raíces de la ecuación característica están en el semiplano izquierdo. El sistema es estable.
La función de transferencia de frecuencia, o ganancia compleja W(j), se puede ingresar de dos maneras:
1. Hallando la respuesta a una sinusoidal (señal armónica).
2. Usando la transformada de Fourier.
Comencemos con el primer método y encontremos la respuesta del sistema (2.2.1) ante una señal armónica, la cual presentaremos en forma exponencial.
donde Xm y son la amplitud y la frecuencia circular.
desde en sistema lineal Si no hay distorsiones no lineales, entonces en estado estable la salida también tendrá una señal armónica de la misma frecuencia, en el caso general con diferente amplitud y fase, es decir
Para determinar la amplitud y la fase, sustituimos las expresiones de las señales (2.4.11), (2.4.12) y sus derivadas en la ecuación diferencial y después de reducir por ejt 0 y transformaciones elementales obtenemos la identidad
Estas relaciones pueden considerarse como una definición de la función de transferencia de frecuencia. ellos contienen significado fisico función de transferencia de frecuencia y de ellos se deriva un método para su determinación experimental midiendo las amplitudes de señales armónicas en la entrada y salida y el desfase entre ellas para la misma frecuencia.
En el caso del segundo método para determinar la función de transferencia de frecuencia, compare (2.4.13) y (2.2.15). De la comparación se deduce que la frecuencia Función de transmisión es un caso especial de la función de transferencia de Laplace para p = j, es decir
Dado que la función de transferencia de Laplace es aplicable a señales de forma arbitraria (cualquiera), la función de transferencia de frecuencia también es aplicable para encontrar la respuesta a una señal. forma libre, y no necesariamente armónico. De (2.4.5) para la imagen de Fourier de la reacción tenemos
La reacción en sí, es decir, el original, se encuentra según la fórmula de inversión.
Así, a partir de la segunda definición de función de transferencia de frecuencia, se obtiene el método de frecuencia (método de la transformada de Fourier) para encontrar la reacción:
1. Para una señal de entrada determinada, busque la imagen usando Fourier.
2. Encuentre la imagen de Fourier de la reacción usando (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. Según la fórmula de inversión ( conversión inversa Fourier) encontramos la reacción
La naturaleza de la transformación de la señal de entrada por un enlace o sistema está determinada por la función de transferencia de frecuencia o las características de frecuencia correspondientes. Los tipos de características de frecuencia están estrechamente relacionados con las formas de grabación. números complejos, ya que para la función de transferencia de frecuencia es un número complejo.
Principales características de frecuencia (Fig. 2.4.3-2.4.6).
1. Característica amplitud-fase (APC): dependencia de W(j) de plano complejo al cambiar de - a + (Fig. 2.4.3). Dado que Wх() = Wх(-) - incluso función, y Wу() = Wу(-) - Función impar, luego AFC para< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 y normalmente no se representa.
2. Características de frecuencia real Wх() e imaginaria Wу() (Fig. 2.4.4): dependencias de las partes real e imaginaria con la frecuencia. Teniendo en cuenta la paridad de la característica real y la rareza de la imaginaria, para ellos< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - Número Real(sale a Wх()), y en impar - imaginario (sale a Wy()).
3. Características de frecuencia de amplitud (AFC) y fase (PFC): dependencias de A() y () de la frecuencia (Fig. 2.4.5). Debido a la uniformidad de A() y la imparidad de (), son para< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Respuesta en frecuencia inversa W-1(j) = 1/ W(j). Determinando la amplitud y el argumento (fase) de la fracción según la regla (2.4.6), encontramos
De la conexión entre las formas de escribir números complejos se deduce que a partir del AFC es posible construir Wх(), Wу() o А(), (), así como W-1(j) y viceversa. La Figura 2.4.6 muestra la característica inversa de la característica de la Figura 2.4.3. La figura muestra un círculo de radio unitario. De acuerdo con la regla (2.4.22), los puntos correspondientes a A() > 1 se encuentran dentro de un círculo de radio unitario. El punto A() = 1 permanece en el círculo, pero la fase cambia al opuesto (en 180).
Sin embargo, se consideran enlaces para los que no se cumple la condición de viabilidad física. Esto es válido en un cierto rango de frecuencia. Si el espectro de la señal en la entrada del enlace cae fuera de este rango, se producirán distorsiones en la respuesta que no están previstas por la función de transferencia del enlace.
5. Características de frecuencia logarítmica.
Las más utilizadas son las características logarítmicas. Para explicarlos, presentemos la función de transferencia de frecuencia en forma exponencial y tomemos logaritmo natural de:
es igual expresión compleja; su parte real es el logaritmo del módulo y su parte imaginaria es la fase.
En la práctica se toma logaritmo decimal, de modo que las características logarítmicas de amplitud (LAH) y fase (LPH) están determinadas por las expresiones:
El eje de abscisas en los gráficos muestra la frecuencia en escala logarítmica, es decir. lg. Sin embargo, es recomendable realizar la digitalización directamente en valores de frecuencia circular, y para marcar se puede utilizar la Tabla 2.4.1. Valores
Tabla 2.4.1
La amplitud se mide en decibeles y la fase en grados. Para marcar el eje x directamente en valores (rad/s), puedes utilizar cualquiera de las tres escalas (básica, cuadrática y cúbica) regla de cálculo(Figura 2.4.7).
Si tomamos D mm como una década, entonces, por ejemplo, 0,301 deca (correspondiente a = 2 rad/s) será 0,301D mm, 1,301 deca (correspondiente a 20 rad/s) será D+0,301D mm, etc. . Por lo tanto, los puntos con digitalización en el rango de 1 a 10 se desplazan una década hacia la derecha y se digitalizan de 10 a 100, etc. (Fig. 2.4.7), desplazarse una década hacia la izquierda desde la posición original y digitalizar de 0,1 a 1, etc.
Si 2/1 = 10, entonces la distancia entre frecuencias es igual a una década (log10 = 1), si 2/1 = 2, entonces la distancia es igual a una octava.
Dado que log(= 0) = -, entonces el punto = 0 está en el infinito hacia la izquierda. Por lo tanto, el eje de ordenadas se dibuja en cualquier lugar de modo que el rango de frecuencia de interés caiga en el gráfico. Dado que 20lg1 = 0, entonces L() > 0 si A()>1 y L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Consideremos el LAC del enlace inercial. Tenemos
A() = ; . (2.4.24)
A la izquierda de la frecuencia de acoplamiento 0, es decir en el caso de 0, despreciamos el signo del radical de magnitud 2 en comparación con 02. Entonces
L() 20lg(k). (2.4.25)
En consecuencia, a la izquierda de 0, el LAX asintótico es una línea recta horizontal a una altura de 20lg(k). Si k = 1, entonces esta línea recta coincide con el eje de frecuencia.
A la derecha de la frecuencia conjugada 0, donde 0, obtenemos de manera similar una línea recta con una pendiente de -20 dB/dec, ya que log se traza a lo largo del eje de abscisas.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
En el punto 0 tenemos un error al reemplazar la característica exacta (real) por una asintótica, igual a
Lacc(0)=Lacc(0)+L(0),
Eso característica real en el punto 0 se encuentra por debajo del asintótico en 3 dB. En la práctica, un error de 3 dB se considera pequeño y no se tiene en cuenta.
Características logarítmicas de los enlaces.
Tabla 2.4.6
De la Tabla 2.4.6 se desprende:
1. La pendiente y, en consecuencia, el cambio de fase en bajas frecuencias sólo pueden proporcionarse integrando o diferenciando enlaces. Si, por ejemplo, hay r enlaces integradores en la función de transferencia, entonces la pendiente del LAC en bajas frecuencias es igual y el desplazamiento de fase es correspondientemente igual.
2. n raíces del denominador (polos de la función de transferencia), es decir El grado del denominador n, corresponde a la pendiente del LAC a altas frecuencias, igual a, y en el caso de un sistema de fase mínimo, en consecuencia, un desplazamiento de fase de altas frecuencias Ah, es igual.
3. Las raíces del numerador (ceros de la función de transferencia) a altas frecuencias corresponden de manera similar a la pendiente del LAC, igual a, y al cambio de fase.
4. En el caso de una función de transferencia
En un sistema de fase mínima con n polos y n1 ceros, la pendiente del LAC a altas frecuencias es igual y el desplazamiento de fase es igual a grados.
Construcción de características logarítmicas de sistemas.
y restauración de la función de transferencia según LAX
Si los enlaces del sistema están conectados en serie, entonces
y para el módulo y argumento de la ganancia compleja del sistema en lazo abierto, respectivamente, tenemos:
Obviamente,
En consecuencia, para construir LAC y LFC, es necesario resumir las características correspondientes de los enlaces individuales.
Ejemplo 2.4.3. Construya LAC y LFC usando la función de transferencia
Dónde; Con; Con. En consecuencia, las frecuencias de acoplamiento son iguales; ;.
Representemos la función de transferencia como producto de las funciones de transferencia del enlace integrador.
enlaces inerciales
y forzando
Amplitud logarítmica y características de fase Los enlaces individuales, así como los sistemas LAC y LFC resultantes, se representan en las Fig. 2.4.13 y 2.4.14.
En la Fig. 2.4.13, las líneas gruesas muestran el LAC asintótico de los enlaces. Las características de los dos enlaces inerciales con las funciones de transferencia y en las gráficas se fusionan, pero hay que tenerlas en cuenta dos veces. Esto también se aplica a la gestión física de estas unidades. Para construir el LAC resultante, las características de los enlaces restantes se agregaron secuencialmente al LAC del enlace integrador cuando se movía a lo largo del eje de frecuencia de izquierda a derecha a medida que se encontraban las frecuencias conjugadas. Después de la siguiente frecuencia de acoplamiento, la pendiente del LAC cambió a. El incremento de pendiente correspondió al enlace al que pertenecía la frecuencia de apareamiento.
Analizando los resultados del ejemplo y las características de los enlaces típicos (Tabla 2.4.6), podemos concluir que el LAC de un sistema de bucle abierto se puede construir inmediatamente, sin pasar por la construcción intermedia del LAC de los enlaces y su suma, de acuerdo a la regla:
1. Encuentra las frecuencias conjugadas y gráficalas en el eje de frecuencias. Por conveniencia, dibuje el eje y a la izquierda de la frecuencia conjugada más baja.
2. En u = 1, reserve 20 logk y por este punto dibuje una línea recta con una pendiente de -20 dB/dec, si el sistema tiene enlaces integradores, o con una pendiente de +20 dB/dec, si el sistema tiene enlaces diferenciadores (en = 0 de baja frecuencia, la asíntota LAX es paralela al eje x).
3. Al pasar de izquierda a derecha de cada una de las frecuencias de acoplamiento, la característica experimenta un incremento de pendiente de -20 dB/dec (para el enlace inercial), -40 dB/dec (para el enlace oscilante), +20 dB/ dec (para el enlace forzado), +40 dB /dec (para el enlace opuesto al oscilatorio). Si las frecuencias de acoplamiento de varios enlaces son iguales, entonces el incremento en la pendiente del LAC es igual al incremento total de todos los enlaces. Si hay al menos una frecuencia de conjugación menor que la unidad, entonces el punto 20lgk en u = 1 no estará en el LAC resultante.
4. Introducir una corrección al LAC asintótico en presencia de enlaces oscilatorios o inversos.
Para controlar la exactitud de la construcción del LAC y LFC, es útil recordar que la pendiente del LAC en la región de alta frecuencia (n > ?) es igual a 20 (m-n) dB/dec, donde m es el orden del numerador, n es el orden del denominador de la función de transferencia del sistema. Además
donde se toma el signo menos en presencia de vínculos integradores y el signo más en presencia de vínculos diferenciadores. Del análisis de la metodología para construir el LAC a partir de la función de transferencia se desprende la posibilidad de una transición inversa, es decir, restaurar la función de transferencia del sistema de fase mínima a partir del LAC.
Al restaurar la función de transferencia de un sistema de fase mínima según LAC, escribimos una fracción, en cuyo numerador ponemos coeficiente global fortaleciendo y luego hacemos el relleno de la fracción. Con base en la pendiente de la sección de baja frecuencia, determinamos el número de enlaces integradores o diferenciadores (formalmente, una pendiente negativa corresponde a enlaces integradores y, en consecuencia, un multiplicador en el denominador, una pendiente positiva corresponde a un multiplicador en el numerador , y el factor de pendiente es 20 decibelios). En el caso de pendiente cero, no existen vínculos integradores ni diferenciadores. A continuación, al movernos de izquierda a derecha, a medida que las frecuencias de conjugación se encuentran, analizamos el incremento (cambio) de la pendiente. Si el incremento es +20 dB/dec, entonces escribimos en el numerador para el enlace forzado del tipo, si el incremento es -20 dB/dec, entonces escribimos en el denominador para el enlace inercial del tipo. En el caso de un incremento de pendiente de +40 dB/dec, escribimos dos vínculos de fuerza en el numerador; en el caso de un incremento de pendiente de -20 dB/dec, escribimos dos vínculos inerciales de la forma en el denominador. Si el LAX muestra una corrección para el coeficiente de amortiguación, entonces en lugar de dos vínculos forzados o inerciales escribimos el inverso del vínculo oscilatorio u oscilatorio (un multiplicador en el numerador o denominador). Si la relación de inclinación es 3 o más, anotamos el número correspondiente de enlaces con las mismas frecuencias de conjugación. Para determinar la ganancia, encontramos el punto de intersección de la continuación de la sección de baja frecuencia del LAC con la línea recta vertical con la abscisa y lo determinamos usando la ordenada de este punto.
En el caso de un sistema de fase mínima en los binomios y trinomios mencionados anteriormente, tomamos los signos "+". Si hubiera enlaces que no fueran de fase mínima, entonces sería necesario tomar el signo "-". En este caso, el LAH seguiría siendo el mismo, pero el LPH sería diferente. Por tanto, en el caso de un sistema de fase mínima, la recuperación es inequívoca y no hay necesidad de controlar el AFC.
Ejemplo 2.4.4. Restaurar la función de transferencia del sistema de fase mínima según LAC Fig. 2.4.15.
Fig.2.4.15.
De acuerdo con las consideraciones anteriores, la función de transferencia del sistema de fase mínima será igual a
Usando el circuito RLC de la tarea 1, escriba la función de transferencia de frecuencia y expresiones analíticas características de frecuencia.
5. Construya la característica amplitud-fase (APC).
6. Construir características de amplitud y frecuencia de fase.
7. Construir características de frecuencia reales e imaginarias.
8. Construir características logarítmicas (LAH y LFC). Determinar a qué tipo de vínculos correctivos pertenece este vínculo (integrador, diferenciador, integrodiferenciador). ¿Qué frecuencias es este filtro?
9. Utilizando el AFC, construya la respuesta de frecuencia inversa.
Función de transferencia de frecuencia en forma paramétrica.
Respuesta de frecuencia de amplitud
Respuesta de frecuencia de fase
Respuesta de frecuencia real
