Seguimos trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos considerado sistemas que tienen una solución única. Estos sistemas se pueden solucionar de cualquier forma: por método de sustitución("escuela"), según las fórmulas de Cramer, método matricial , método gaussiano. Sin embargo, en la práctica, dos casos más están muy extendidos:

1) el sistema es inconsistente (no tiene soluciones);

2) el sistema tiene infinitas soluciones.

Para estos sistemas, se utiliza el más universal de todos los métodos de solución: método gaussiano. De hecho, el método “escuela” también conducirá a la respuesta, pero en Matemáticas avanzadas Es común utilizar el método gaussiano. eliminación secuencial desconocido. Aquellos que no estén familiarizados con el algoritmo del método gaussiano, estudien primero la lección. método gaussiano

Las transformaciones matriciales elementales en sí son exactamente iguales., la diferencia estará en el final de la solución. Primero, veamos un par de ejemplos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Ejemplo 1

¿Qué le llama inmediatamente la atención sobre este sistema? El número de ecuaciones es menor que el número de variables. Hay un teorema que dice: “Si el número de ecuaciones del sistema es menor que el número de variables, entonces el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones”. Y ya sólo queda descubrirlo.

El comienzo de la solución es completamente normal: escribimos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la reducimos a vista escalonada:

(1). En el paso superior izquierdo necesitamos obtener (+1) o (–1). No existen tales números en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no dará nada. La unidad tendrá que organizarse por sí misma y esto se puede hacer de varias maneras. Esto es lo que hicimos. A la primera línea le sumamos la tercera línea, multiplicada por (–1).

(2). Ahora obtenemos dos ceros en la primera columna. A la segunda línea le sumamos la primera línea, multiplicada por 3. A la tercera línea le sumamos la primera, multiplicada por 5.

(3). Una vez completada la transformación, ¿siempre es recomendable ver si es posible simplificar las cadenas resultantes? Poder. Dividimos la segunda línea entre 2, al mismo tiempo que obtenemos la deseada (–1) en el segundo paso. Divide la tercera línea por (–3).

(4). Agregue una segunda línea a la tercera línea. Probablemente todos notaron la mala línea que resultó de transformaciones elementales:

. Está claro que esto no puede ser así.

De hecho, reescribamos la matriz resultante.

Volvamos al sistema de ecuaciones lineales:

Si, como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma , Dóndeλ es un número distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones).

¿Cómo anotar el final de una tarea? Necesitas escribir la frase:

“Como resultado de transformaciones elementales, se obtuvo una cadena de la forma, donde λ ≠ 0 " Respuesta: “El sistema no tiene soluciones (inconsistente)”.

Tenga en cuenta que en este caso no hay inversión del algoritmo gaussiano, no hay soluciones y simplemente no hay nada que encontrar.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.

Le recordamos nuevamente que su solución puede diferir de la nuestra, el método Gaussiano no lo especifica; algoritmo inequívoco, el orden de las acciones y las acciones mismas deben adivinarse en cada caso de forma independiente.

Otro característica técnica soluciones: las transformaciones elementales se pueden detener En seguida, tan pronto como una línea como , donde λ ≠ 0 . Consideremos ejemplo condicional: supongamos que después de la primera transformación se obtiene la matriz

Esta matriz aún no se ha reducido a forma escalonada, pero no hay necesidad de más transformaciones elementales, ya que apareció una línea de la forma, donde λ ≠ 0 . Se debe dar inmediatamente la respuesta de que el sistema es incompatible.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, es casi un regalo para el estudiante, en vista de que resulta solución corta, a veces literalmente en 2-3 acciones. Pero todo en este mundo está equilibrado, y un problema en el que el sistema tiene infinitas soluciones es simplemente más largo.

Ejemplo 3:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Hay 4 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo que el sistema puede tener una única solución, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. Sea como fuere, el método gaussiano nos conducirá en cualquier caso a la respuesta. Ésta es su versatilidad.

El comienzo vuelve a ser estándar. Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Eso es todo y tenías miedo.

(1). Tenga en cuenta que todos los números de la primera columna son divisibles por 2, por lo que 2 está bien en el paso superior izquierdo. A la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por (–4). A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por (–2). A la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por (–1).

¡Atención! Muchos pueden sentirse tentados por la cuarta línea. sustraer primera linea. Esto se puede hacer, pero no es necesario; la experiencia demuestra que la probabilidad de error en los cálculos aumenta varias veces. Simplemente sumamos: a la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por (–1) – ¡exactamente!

(2). Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas se pueden eliminar. Aquí nuevamente necesitamos mostrar mayor atención , pero ¿son las líneas realmente proporcionales? Para estar seguro, sería una buena idea multiplicar la segunda línea por (–1) y dividir la cuarta línea por 2, lo que dará como resultado tres líneas idénticas. Y solo después de eso, elimina dos de ellos. Como resultado de transformaciones elementales, la matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada:

Al escribir una tarea en un cuaderno, es recomendable tomar las mismas notas con lápiz para mayor claridad.

Reescribamos el sistema de ecuaciones correspondiente:

"Común" la única solución Aquí no huele a sistema. Mala línea donde λ ≠ 0, también no. Esto significa que este es el tercer caso restante: el sistema tiene infinitas soluciones.

Un conjunto infinito de soluciones de un sistema se escribe brevemente en la forma del llamado solución general del sistema.

Encontramos la solución general del sistema usando el inverso del método gaussiano. Para sistemas de ecuaciones con número infinito Aparecen nuevos conceptos: "variables básicas" Y "variables libres". Primero definamos que variables tenemos básico, y qué variables - gratis. No es necesario explicar los términos en detalle. álgebra lineal, sólo recuerda que existen tales variables básicas Y variables libres.

Las variables básicas siempre "se asientan" estrictamente en los pasos de la matriz.. EN en este ejemplo las variables básicas son X 1 y X 3 .

Las variables libres lo son todo. restante variables que no recibieron un paso. En nuestro caso hay dos de ellos: X 2 y X 4 – variables libres.

Ahora necesitas Todovariables básicas expresar solo a travésvariables libres. Lo contrario del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba. De la segunda ecuación del sistema expresamos la variable básica X 3:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero sustituimos la expresión encontrada:

Queda por expresar la variable básica. X 1 a través de variables libres X 2 y X 4:

Al final conseguimos lo que necesitábamos. Todo variables básicas ( X 1 y X 3) expresado solo a través variables libres ( X 2 y X 4):

De hecho, decisión común listo:

¿Cómo escribir correctamente la solución general? En primer lugar, las variables libres se escriben en la solución general "por sí mismas" y estrictamente en sus lugares. EN en este caso variables libres X 2 y X 4 debe escribirse en la segunda y cuarta posición:

Las expresiones resultantes para las variables básicas. y obviamente debe escribirse en la primera y tercera posición:

De la solución general del sistema se pueden encontrar infinitos soluciones privadas. Es muy sencillo. variables libres X 2 y X 4 se llaman así porque se pueden dar cualquier valores finales . Los valores más populares son los valores cero, ya que esta es la solución parcial más fácil de obtener.

Sustituyendo ( X 2 = 0; X 4 = 0) en la solución general, obtenemos una de las soluciones particulares:

, o es una solución particular correspondiente a variables libres con valores ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Otro par dulce son los unos, sustituyamos ( X 2 = 1 y X 4 = 1) en la solución general:

, es decir (-1; 1; 1; 1) – otra solución particular.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones ya que podemos dar variables libres cualquier significados.

Cada la solución particular debe satisfacer a cada ecuación del sistema. Ésta es la base para una comprobación “rápida” de la corrección de la solución. Tomemos, por ejemplo, la solución particular (-1; 1; 1; 1) y sustitúyala en lado izquierdo cada ecuación del sistema original:

Todo debe unirse. Y con cualquier solución particular que reciba, todo también debería estar de acuerdo.

Estrictamente hablando, comprobar una determinada solución a veces es engañoso, es decir, alguna solución particular puede satisfacer cada ecuación del sistema, pero la solución general en sí misma se encuentra incorrectamente. Por tanto, en primer lugar, la verificación de la solución general es más exhaustiva y fiable.

Cómo comprobar la solución general resultante. ?

No es difícil, pero requiere algunas transformaciones prolongadas. Necesitamos tomar expresiones. básico variables, en este caso y , y sustitúyalos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Recibió parte derecha la primera ecuación original del sistema.

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene el lado derecho de la segunda ecuación inicial del sistema.

Y luego, a los lados izquierdos de la tercera y cuarta ecuación del sistema. Esta verificación lleva más tiempo, pero garantiza el 100% de exactitud de la solución general. Además, algunas tareas requieren comprobar la solución general.

Ejemplo 4:

Resuelva el sistema usando el método gaussiano. Encuentre la solución general y dos particulares. Verifique la solución general.

Ejemplo 5:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general.

Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

(1). Agregue la primera línea a la segunda línea. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3.

(2). A la tercera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por (–5). A la cuarta línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por (–7).

(3). La tercera y cuarta línea son iguales, eliminamos una de ellas. Esta es una belleza:

Las variables básicas se encuentran en los escalones, por lo tanto, variables básicas.

Sólo hay una variable libre que no obtuvo ningún paso aquí: .

(4). Movimiento inverso. Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:

De la tercera ecuación:

Consideremos la segunda ecuación y sustituyamos en ella la expresión encontrada:

, , ,

Consideremos la primera ecuación y sustituyamos las expresiones encontradas y en ella:

Por tanto, la solución general con una variable libre X 4:

Una vez más, ¿cómo resultó? variable libre X 4 se encuentra solo en el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas , , también están en su lugar.

Comprobemos inmediatamente la solución general.

Sustituimos las variables básicas , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que se encuentra la solución general correcta.

Ahora de la solución general encontrada. obtenemos dos soluciones particulares. Todas las variables se expresan aquí a través de un único variable libre x 4 . No hay necesidad de devanarse los sesos.

Dejar X 4 = 0 entonces – la primera solución particular.

Dejar X 4 = 1 entonces – otra solución privada.

Respuesta: Decisión común: . Soluciones privadas:

Y .

Ejemplo 6:

Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya hemos comprobado la solución general; se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de la nuestra. Lo principal es que las decisiones generales coinciden. Probablemente muchos notaron un momento desagradable en las soluciones: muy a menudo, al invertir el método de Gauss, teníamos que jugar con fracciones ordinarias. En la práctica, este es el caso; los casos en los que no hay fracciones son mucho menos comunes. Esté preparado mentalmente y, lo más importante, técnicamente.

Detengámonos en las características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos. La solución general de un sistema a veces puede incluir una constante (o constantes).

Por ejemplo, una solución general: . Aquí una de las variables básicas es igual a numero constante: . No hay nada exótico en esto, sucede. Obviamente, en este caso, cualquier solución particular contendrá un cinco en la primera posición.

Rara vez, pero hay sistemas en los que numero de ecuaciones mas cantidad variables. Sin embargo, el método gaussiano funciona en las condiciones más duras. Debe reducir con calma la matriz extendida del sistema a una forma gradual utilizando un algoritmo estándar. Un sistema así puede ser inconsistente, puede tener infinitas soluciones y, aunque parezca extraño, puede tener una única solución.

Repitamos nuestro consejo: para sentirse cómodo resolviendo un sistema mediante el método gaussiano, debe ser bueno resolviendo al menos una docena de sistemas.

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:

Solución:Escribamos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada.

Transformaciones elementales realizadas:

(1) Se han intercambiado la primera y tercera líneas.

(2) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por (–6). La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por (–7).

(3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por (–1).

Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma., Dónde λ ≠ 0 .Esto significa que el sistema es inconsistente.Respuesta: no hay soluciones.

Ejemplo 4:

Solución:Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Conversiones realizadas:

(1). La primera línea, multiplicada por 2, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.

No hay unidad para el segundo paso. , y la transformación (2) tiene como objetivo obtenerlo.

(2). La tercera línea se añadió a la segunda línea, multiplicada por –3.

(3). La segunda y tercera líneas se intercambiaron (movimos el -1 resultante al segundo paso)

(4). La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 3.

(5). A las dos primeras líneas se les cambió el signo (multiplicado por –1), la tercera línea se dividió por 14.

Contrarrestar:

(1). Aquí son las variables básicas (que están en los pasos), y – variables libres (que no dieron un paso).

(2). Expresemos las variables básicas en términos de variables libres:

De la tercera ecuación: .

(3). Considere la segunda ecuación:, soluciones privadas:

Respuesta: Decisión común:

Números complejos

En esta sección introduciremos el concepto. Número complejo, considerar algebraico, trigonométrico Y forma exponencial Número complejo. También aprenderemos a realizar operaciones con números complejos: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces.

Para dominar los números complejos no se requieren conocimientos especiales de un curso superior de matemáticas y el material es accesible incluso para los escolares. Basta con poder realizar operaciones algebraicas con números "normales" y recuerde la trigonometría.

Primero, recordemos los Números “ordinarios”. En matemáticas se les llama muchos numeros reales y se designan con la letra R, o R (espesado). Todos los números reales se encuentran en la conocida recta numérica:

El grupo de los números reales es muy variado: aquí hay números enteros, fracciones y Numeros irracionales. Al mismo tiempo, cada punto eje numérico debe corresponder a algún número real.

Solución de sistemas lineales. ecuaciones algebraicas(SLAE) es sin duda el tema más importante del curso de álgebra lineal. Gran cantidad Los problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

levantar método óptimo soluciones a su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
estudiar la teoría del método elegido,
resuelva su sistema de ecuaciones lineales revisando soluciones detalladas ejemplos típicos y tareas.

Breve descripción del material del artículo.

primero demoslo todo definiciones necesarias, conceptos e introducir notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación secuencial de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Después de esto, pasaremos a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. vista general, en el que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de homogéneos y sistemas heterogéneos ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo se escribe la solución general de un SLAE utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que se pueden reducir a lineales, así como varias tareas, en cuya solución surgen SLAE.

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Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas - coeficientes (algunos reales o números complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial escribir este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - matriz principal del sistema, - matriz de columnas de variables desconocidas, - matriz de columnas miembros libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Por lo general, la matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada linea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. La ecuación matricial para valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones del sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no lo es igual a cero, entonces llamaremos a dichos SLAE elemental. Tales sistemas de ecuaciones tienen una solución única, y en el caso sistema homogéneo todas las variables desconocidas son cero.

Comenzamos a estudiar tales SLAE en escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresó la siguiente variable desconocida y la sustituyó en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , entonces la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Mediante el uso matriz inversa La solución a este sistema se puede encontrar como .

Construyamos la matriz inversa usando la matriz de sumas algebraicas elementos de la matriz A (si es necesario, ver artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas orden superior al tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es diferente de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en eliminar secuencialmente las variables desconocidas: primero se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida x n en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar el trazo hacia adelante del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , para cuarta ecuación sumamos el segundo multiplicado por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos el segundo multiplicado por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos lo contrario del método gaussiano: calculamos x n a partir de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus lados izquierdo y derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

EN caso general el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

Menor orden más alto La matriz A, distinta de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores;

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de la matriz extendida también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:

La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:

Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:

Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante menos numero variables desconocidas n, luego en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor, y trasladamos los términos restantes a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r principales variables desconocidas se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante utilizando el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de limítrofe de menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:

Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:

Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:

Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y transferimos el resto de signos opuestos a los lados derechos:

Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , Dónde - números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma

Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:

Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumir.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor igual al numero variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que encontramos mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema de ecuaciones lineales resultante encontramos las principales variables desconocidas mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Míralo Descripción detallada y analizó ejemplos en el artículo del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos de sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos linealmente soluciones independientes SLAE homogénea como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) son matrices columnares de dimensión n por 1 ), entonces la solución general a este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con coeficientes constantes arbitrarios C 1, C 2, ..., C (n-r), es decir, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula lo establece todo. soluciones posibles el SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), según la fórmula obtendremos una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Demos incógnitas gratis valores variables 1,0,0,…,0 y calcular las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, utilizando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si a las incógnitas libres les damos los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X (2). Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,…,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las incógnitas principales obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente y es la solución particular del sistema original. SLAE heterogéneo, que obtenemos dando a las incógnitas libres los valores 0,0,...,0 y calculando los valores de las incógnitas principales.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Echemos . Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. sistema fundamental Las soluciones de este SLAE constan de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
.

Un número infinito de soluciones de un sistema se escriben brevemente en la forma de la llamada solución general del sistema.

Encontramos la solución general del sistema usando el inverso del método gaussiano.

Primero necesitamos definir qué variables tenemos. básico y que variables gratis. No tienes que preocuparte por los términos del álgebra lineal, solo recuerda que existen tales variables básicas Y variables libres.

Las variables básicas siempre "se asientan" estrictamente en los pasos de la matriz..
En este ejemplo, las variables básicas son y

Las variables libres lo son todo. restante variables que no recibieron un paso. En nuestro caso hay dos: – variables libres.

Ahora necesitas Todo variables básicas expresar solo a través variables libres.

Lo contrario del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba.
De la segunda ecuación del sistema expresamos la variable básica:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero sustituimos la expresión encontrada:

Queda por expresar la variable básica en términos de variables libres:

Al final conseguimos lo que necesitábamos. Todo las variables básicas ( y ) se expresan solo a través variables libres:

De hecho, la solución general está lista:

¿Cómo escribir correctamente la solución general?
Las variables libres se escriben en la solución general "por sí mismas" y estrictamente en sus lugares. En este caso, las variables libres deberán escribirse en la segunda y cuarta posición:
.

Las expresiones resultantes para las variables básicas. y obviamente debe escribirse en la primera y tercera posición:

De la solución general del sistema se pueden encontrar infinitos soluciones privadas. Es muy sencillo.

Se pueden dar variables libres. cualquier valor. Los valores más populares son los valores cero, ya que la solución particular es la más fácil de obtener. Sustituyamos en la solución general:

– solución privada.

Otro bonito par son los unos, sustituyémoslos en la solución general:

– otra solución privada.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones(ya que podemos dar variables libres cualquier valores)

Cada la solución particular debe satisfacer a cada ecuación del sistema. Ésta es la base para una comprobación “rápida” de la corrección de la solución. Tomemos, por ejemplo, una solución particular y sustitúyala en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema original:

Todo debe unirse. Y con cualquier solución particular que reciba, todo también debería estar de acuerdo.

Pero, estrictamente hablando, comprobar una determinada solución a veces es engañoso, es decir, alguna solución particular puede satisfacer cada ecuación del sistema, pero la solución general en sí misma se encuentra incorrectamente.

Por tanto, la verificación de la solución general es más exhaustiva y fiable. Cómo comprobar la solución general resultante. ?

No es difícil, pero sí bastante tedioso. Necesitamos tomar expresiones. básico variables, en este caso y , y sustitúyalos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene el lado derecho de la ecuación original.

Ejemplo 4

Resuelva el sistema usando el método gaussiano. Encuentre la solución general y dos particulares. Verifique la solución general.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí, por cierto, nuevamente el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, lo que significa que queda inmediatamente claro que el sistema será inconsistente o tendrá un número infinito de soluciones. ¿Qué es importante en el proceso de decisión en sí? Atención, y atención de nuevo. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Y un par de ejemplos más para reforzar el material.

Ejemplo 5

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general.

Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

(1) Agregue la primera línea a la segunda línea. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3.
(2) A la tercera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –5. A la cuarta línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –7.
(3) La tercera y cuarta línea son iguales, eliminamos una de ellas.

Esta es una belleza:

Las variables básicas se encuentran en los escalones, por lo tanto, variables básicas.
Sólo hay una variable libre que no consiguió paso:

Contrarrestar:
Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:
De la tercera ecuación:

Consideremos la segunda ecuación y sustituyamos en ella la expresión encontrada:

Consideremos la primera ecuación y sustituyamos las expresiones encontradas y en ella:

Sí, una calculadora que calcula fracciones ordinarias sigue siendo conveniente.

Entonces la solución general es:

Una vez más, ¿cómo resultó? La variable libre ocupa por sí sola el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas , , también ocuparon sus lugares ordinales.

Comprobemos inmediatamente la solución general. El trabajo es para negros, pero ya lo hice, así que cógelo =)

Sustituimos tres héroes , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución general se encuentra correctamente.

Ahora de la solución general encontrada. obtenemos dos soluciones particulares. La única variable libre aquí es el chef. No hay necesidad de devanarse los sesos.

Déjalo ser entonces – solución privada.
Déjalo ser entonces – otra solución privada.

Respuesta: Decisión común: , soluciones privadas: , .

No debería haberme acordado de los negros, porque me vinieron a la cabeza todo tipo de motivos sádicos, y recordé una caricatura en la que miembros del Ku Klux Klan con sus túnicas blancas corren por el campo de fútbol detrás de un jugador de fútbol negro. Me siento y sonrío en silencio. Ya sabes lo que distrae...

Muchas matemáticas son dañinas, muy similares. ejemplo final para una decisión independiente.

Ejemplo 6

Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya verifiqué la solución general, se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de mi solución, lo principal es que las soluciones generales coinciden.

Probablemente, muchas personas notaron un momento desagradable en las soluciones: muy a menudo, durante el curso inverso del método gaussiano, teníamos que jugar con fracciones ordinarias. En la práctica, este es el caso; los casos en los que no hay fracciones son mucho menos comunes. Esté preparado mentalmente y, lo más importante, técnicamente.

Me detendré en algunas características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos.

La solución general del sistema a veces puede incluir una constante (o constantes), por ejemplo: . Aquí una de las variables básicas es igual a un número constante: . No hay nada exótico en esto, sucede. Obviamente, en este caso, cualquier solución particular contendrá un cinco en la primera posición.

Rara vez, pero hay sistemas en los que el número de ecuaciones es mayor que el número de variables. El método gaussiano funciona en las condiciones más severas; se debe reducir tranquilamente la matriz extendida del sistema a una forma gradual utilizando un algoritmo estándar. Un sistema así puede ser inconsistente, puede tener infinitas soluciones y, aunque parezca extraño, puede tener una única solución.

Y, por supuesto, repetiré mi consejo: para sentirse cómodo resolviendo un sistema mediante el método gaussiano, debe dominar la resolución de al menos una docena de sistemas.

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Solución:Escribamos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada.

Transformaciones elementales realizadas:
(1) Se han intercambiado la primera y tercera líneas.
(2) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –6. La primera línea se añadió a la tercera línea, multiplicada por –7.
(3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1.
Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma. , Dónde , lo que significa que el sistema es inconsistente.
Respuesta: no hay soluciones.

Ejemplo 4: Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Conversiones realizadas:
(1) La primera línea multiplicada por 2 se agregó a la segunda línea. La primera línea multiplicada por 3 se agregó a la tercera línea.

No hay unidad para el segundo paso. , y la transformación (2) tiene como objetivo obtenerlo.

(2) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por –3.
(3) Se intercambiaron la segunda y tercera línea (movimos el -1 resultante al segundo paso)
(4) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 3.
(5) Se cambió el signo de las dos primeras líneas (multiplicado por –1), la tercera línea se dividió por 14.

Movimiento inverso.
– variables básicas (las de los escalones), – variables libres (las que no consiguieron un paso).

1. Sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.

Los sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro se resuelven utilizando los mismos métodos básicos que sistemas convencionales ecuaciones: método de sustitución, método de suma de ecuaciones y método gráfico. Conocimientos de interpretación gráfica. sistemas lineales Facilita la respuesta a la pregunta sobre el número de raíces y su existencia.

Ejemplo 1.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Solución.

Veamos varias formas de resolver esta tarea.

1 vía. Usamos la propiedad: el sistema no tiene soluciones si la razón de los coeficientes delante de x es igual a la razón de los coeficientes delante de y, pero no igual a la razón de los términos libres (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Entonces nosotros tenemos:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 o sistema

(y 2 – 3 = 1,
(un ≠ 2.

De la primera ecuación a 2 = 4, por tanto, teniendo en cuenta la condición de que a ≠ 2, obtenemos la respuesta.

Respuesta: a = -2.

Método 2. Resolvemos por el método de sustitución.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Después de la resta en la primera ecuación. multiplicador común y fuera de paréntesis obtenemos:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

El sistema no tiene soluciones si la primera ecuación no tiene soluciones, es decir

(y 2 – 4 = 0,
(un – 2 ≠ 0.

Obviamente, a = ±2, pero teniendo en cuenta la segunda condición, la respuesta sólo viene con un resultado negativo.

Respuesta: a = -2.

Ejemplo 2.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Solución.

Según la propiedad, si la razón de los coeficientes de x e y es la misma y es igual a la razón de los miembros libres del sistema, entonces tiene un número infinito de soluciones (es decir, a/a 1 = b/ segundo 1 = c/c 1). Por lo tanto 8/a = a/2 = 2/1. Al resolver cada una de las ecuaciones resultantes, encontramos que a = 4 es la respuesta en este ejemplo.

Respuesta: un = 4.

2. Sistemas ecuaciones racionales con parámetro

Ejemplo 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Solución.

Multipliquemos la primera ecuación del sistema por 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 5|x| = 4 – una. Esta ecuación tendrá una solución única para a = 4. En otros casos, esta ecuación tendrá dos soluciones (para a< 4) или ни одного (при а > 4).

Respuesta: a = 4.

Ejemplo 4.

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene una solución única.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Solución.

Resolveremos este sistema utilizando el método gráfico. Por tanto, la gráfica de la segunda ecuación del sistema es una parábola elevada a lo largo del eje Oy hacia arriba en un segmento unitario. La primera ecuación especifica un conjunto de rectas paralelas a la recta y = -x (Foto 1). En la figura se ve claramente que el sistema tiene solución si la recta y = -x + a es tangente a la parábola en un punto con coordenadas (-0,5, 1,25). Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación de la línea recta en lugar de x e y, encontramos el valor del parámetro a:

1,25 = 0,5 + a;

Respuesta: a = 0,75.

Ejemplo 5.

Usando el método de sustitución, averigüe en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Solución.

De la primera ecuación expresamos y y la sustituimos en la segunda:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Reduzcamos la segunda ecuación a la forma kx = b, que tendrá una solución única para k ≠ 0. Tenemos:

hacha + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Representamos el trinomio cuadrado a 2 + 3a + 2 como producto de paréntesis

(a + 2)(a + 1), y a la izquierda quitamos x de paréntesis:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Obviamente, a 2 + 3a no debe ser igual a cero, por lo tanto,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, lo que significa a ≠ 0 y ≠ -3.

Respuesta: un ≠ 0; ≠ -3.

Ejemplo 6.

Usando el método de solución gráfica, determine en qué valor del parámetro a el sistema tiene una solución única.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Solución.

Según la condición, construimos un círculo con centro en el origen y un radio de 3 segmento unitario, es precisamente esto lo que especifica la primera ecuación del sistema

x 2 + y 2 = 9. La segunda ecuación del sistema (y = |x| + a) es una línea discontinua. Mediante el uso Figura 2 consideramos todo posibles casos su ubicación con respecto al círculo. Es fácil ver que a = 3.

Respuesta: a = 3.

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Sin embargo, en la práctica hay dos casos más generalizados:

– El sistema es inconsistente (no tiene soluciones);
– El sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.

Nota : El término “consistencia” implica que el sistema tiene al menos alguna solución. En una serie de problemas, primero es necesario examinar la compatibilidad del sistema; cómo hacerlo; consulte el artículo sobre; rango de matrices.

Para estos sistemas, se utiliza el más universal de todos los métodos de solución: método gaussiano. De hecho, el método "escolar" también conducirá a la respuesta, pero en matemáticas superiores se acostumbra utilizar el método gaussiano de eliminación secuencial de incógnitas. Aquellos que no estén familiarizados con el algoritmo del método gaussiano, estudien primero la lección. Método gaussiano para tontos.

Ejemplo 1

¿Qué le llama inmediatamente la atención sobre este sistema? El número de ecuaciones es menor que el número de variables. Si el número de ecuaciones es menor que el número de variables, entonces podemos decir inmediatamente que el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones. Y ya sólo queda descubrirlo.

El comienzo de la solución es completamente normal: escribimos la matriz extendida del sistema y, utilizando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

(1) En el paso superior izquierdo necesitamos obtener +1 o –1. No existen tales números en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no dará nada. La unidad tendrá que organizarse por sí misma y esto se puede hacer de varias maneras. Hice esto: A la primera línea le sumamos la tercera línea, multiplicada por -1.

(2) Ahora obtenemos dos ceros en la primera columna. A la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 5.

(3) Una vez completada la transformación, ¿siempre es recomendable ver si es posible simplificar las cadenas resultantes? Poder. Dividimos la segunda línea entre 2 y al mismo tiempo obtenemos el –1 requerido en el segundo paso. Divide la tercera línea por –3.

(4) Agregue la segunda línea a la tercera línea.

Probablemente todos notaron la mala línea que resultó de transformaciones elementales: . Está claro que esto no puede ser así. De hecho, reescribamos la matriz resultante. Volvamos al sistema de ecuaciones lineales:

Si, como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma donde es un número distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones).

¿Cómo anotar el final de una tarea? Dibujemos con tiza blanca: “como resultado de transformaciones elementales se obtiene una cadena de la forma , donde ” y damos la respuesta: el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Si, de acuerdo con la condición, es necesario INVESTIGAR la compatibilidad del sistema, entonces es necesario formalizar la solución en un estilo más sólido utilizando el concepto rango matricial y el teorema de Kronecker-Capelli.

Tenga en cuenta que aquí no hay ninguna inversión del algoritmo gaussiano: no hay soluciones y simplemente no hay nada que encontrar.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección. Les recuerdo nuevamente que su solución puede diferir de la mía; el algoritmo gaussiano no tiene una "rigidez" fuerte.

Otra característica técnica de la solución: se pueden detener las transformaciones elementales. En seguida, tan pronto como una línea como , donde . Consideremos un ejemplo condicional: supongamos que después de la primera transformación se obtiene la matriz . La matriz aún no se ha reducido a la forma escalonada, pero no hay necesidad de más transformaciones elementales, ya que apareció una línea de la forma, donde . Se debe dar inmediatamente la respuesta de que el sistema es incompatible.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, esto es casi un regalo, debido a que se obtiene una solución corta, a veces literalmente en 2-3 pasos.

Pero todo en este mundo está equilibrado, y un problema en el que el sistema tiene infinitas soluciones es simplemente más largo.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

El comienzo vuelve a ser estándar. Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Eso es todo y tenías miedo.

(1) Tenga en cuenta que todos los números de la primera columna son divisibles por 2, por lo que 2 está bien en el paso superior izquierdo. A la segunda línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –4. A la tercera línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por –1.

¡Atención! Muchos pueden sentirse tentados por la cuarta línea. sustraer primera linea. Esto se puede hacer, pero no es necesario; la experiencia demuestra que la probabilidad de error en los cálculos aumenta varias veces. Simplemente agregue: A la cuarta línea agregue la primera línea multiplicada por –1 – ¡exactamente!

(2) Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas se pueden eliminar.

Aquí nuevamente necesitamos mostrar mayor atención, pero ¿son las líneas realmente proporcionales? Para estar seguro (especialmente para una tetera), sería una buena idea multiplicar la segunda línea por –1 y dividir la cuarta línea por 2, lo que dará como resultado tres líneas idénticas. Y solo después de eso, elimina dos de ellos.

Como resultado de transformaciones elementales, la matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada:

Al escribir una tarea en un cuaderno, es recomendable tomar las mismas notas con lápiz para mayor claridad.

Reescribamos el sistema de ecuaciones correspondiente:

Aquí no huele a una solución única "ordinaria" para el sistema. Tampoco hay una mala línea. Esto significa que este es el tercer caso restante: el sistema tiene infinitas soluciones. A veces, según la condición, es necesario investigar la compatibilidad del sistema (es decir, demostrar que existe una solución), puedes leer sobre esto en el último párrafo del artículo. ¿Cómo encontrar el rango de una matriz? Pero por ahora repasemos lo básico:

Un conjunto infinito de soluciones de un sistema se escribe brevemente en la forma del llamado solución general del sistema .

Encontramos la solución general del sistema usando el inverso del método gaussiano.

Las variables básicas siempre "se asientan" estrictamente en los pasos de la matriz..
En este ejemplo, las variables básicas son y

Las variables libres lo son todo. restante variables que no recibieron un paso. En nuestro caso hay dos: – variables libres.

Ahora necesitas Todo variables básicas expresar solo a través variables libres.

Lo contrario del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba.
De la segunda ecuación del sistema expresamos la variable básica:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero sustituimos la expresión encontrada:

Queda por expresar la variable básica en términos de variables libres:

Al final conseguimos lo que necesitábamos. Todo las variables básicas ( y ) se expresan solo a través variables libres:

De hecho, la solución general está lista:

Las expresiones resultantes para las variables básicas. y obviamente debe escribirse en la primera y tercera posición:

Dar variables gratis valores arbitrarios, puedes encontrar infinitos soluciones privadas. Los valores más populares son ceros, ya que la solución particular es la más fácil de obtener. Sustituyamos en la solución general:

– solución privada.

Otro bonito par son los unos, sustituyémoslos en la solución general:

– otra solución privada.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones(ya que podemos dar variables libres cualquier valores)

Cada la solución particular debe satisfacer a cada ecuación del sistema. Ésta es la base para una comprobación “rápida” de la corrección de la solución. Tomemos, por ejemplo, una solución particular y sustitúyala en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema original:

Todo debe unirse. Y con cualquier solución particular que reciba, todo también debería estar de acuerdo.

Por tanto, la verificación de la solución general es más exhaustiva y fiable. Cómo comprobar la solución general resultante. ?

No es difícil, pero sí bastante tedioso. Necesitamos tomar expresiones. básico variables, en este caso y , y sustitúyalos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene el lado derecho de la ecuación original.

Ejemplo 4

Resuelva el sistema usando el método gaussiano. Encuentre la solución general y dos particulares. Verifique la solución general.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí, por cierto, nuevamente el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, lo que significa que queda inmediatamente claro que el sistema será inconsistente o tendrá un número infinito de soluciones. ¿Qué es importante en el proceso de decisión en sí? Atención, y atención de nuevo.. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Y un par de ejemplos más para reforzar el material.

Ejemplo 5

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general.

Solución: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

Esta es una belleza:

Las variables básicas se encuentran en los escalones, por lo tanto, variables básicas.
Sólo hay una variable libre que no consiguió paso:

Contrarrestar:
Expresemos las variables básicas mediante una variable libre:
De la tercera ecuación:

Consideremos la segunda ecuación y sustituyamos en ella la expresión encontrada:

Consideremos la primera ecuación y sustituyamos las expresiones encontradas y en ella:

Sí, una calculadora que calcula fracciones ordinarias sigue siendo conveniente.

Entonces la solución general es:

Una vez más, ¿cómo resultó? La variable libre ocupa por sí sola el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas también ocuparon sus lugares ordinales.

Comprobemos inmediatamente la solución general. El trabajo es para negros, pero ya lo hice, así que cógelo =)

Sustituimos tres héroes , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución general se encuentra correctamente.

Ahora de la solución general encontrada. obtenemos dos soluciones particulares. La única variable libre aquí es el chef. No hay necesidad de devanarse los sesos.

Déjalo ser entonces – solución privada.
Sea, entonces, otra solución particular.

Respuesta: Decisión común: , soluciones privadas: , .

No debería haberme acordado de los negros... ...porque me vinieron a la cabeza todo tipo de motivos sádicos y recordé el famoso photoshop en el que miembros del Ku Klux Klan con túnicas blancas corren por el campo detrás de un jugador de fútbol negro. Me siento y sonrío en silencio. Ya sabes lo que distrae...

Muchas matemáticas son dañinas, así que un ejemplo final similar para resolverlas usted mismo.

Ejemplo 6

Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya verifiqué la solución general, se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de mi solución, lo principal es que las soluciones generales coinciden.

Me detendré en algunas características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos.

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar muchas de sus soluciones. Y la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un par de valores de variables, - presentación

Definiciones, conceptos, designaciones.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

Un número infinito de soluciones de un sistema se escriben brevemente en la forma de la llamada solución general del sistema.