Tema 13 Procesos aleatorios Conceptos básicos. Ley de distribución y. Estacionario, ergonómico
Conferencia 13Procesos aleatorios
Conceptos básicos. Ley de distribución y principales características.
procesos aleatorios. Estacionario, ergódico, aleatorio elemental.
procesos
(Akhmetov S.K.)
Definiciones
Un proceso aleatorio X(t) es un proceso cuyo valor enpara cualquier t fijo = ti es SV X(ti)
La implementación de un proceso aleatorio X(t) es una función no aleatoria
x(t), en el que se convierte el proceso aleatorio X(t) como resultado del experimento
La sección transversal de un proceso aleatorio (función aleatoria) es aleatoria
el valor de X(ti) en t = ti.
El proceso aleatorio X(t) se llama proceso con discreto
tiempo, si el sistema en el que ocurre puede cambiar
sus estados sólo en los momentos t1, t2, t3….. tn, cuyo número
finito o contable
tiempo, si el sistema pasa de un estado a otro puede
ocurrir en cualquier momento t del periodo observado
Un proceso aleatorio X(t) se llama proceso con flujo continuo.
Indique si su sección transversal en cualquier momento t representa
No es una cantidad discreta, sino continua.
El proceso aleatorio X(t) se llama proceso con discreto
Indique si en algún momento está configurado.
los estados son finitos o contables, es decir, si su sección en cualquier
El momento t se caracteriza por una variable aleatoria discreta.
Clasificación de procesos aleatorios.
Así, todas las empresas conjuntas se pueden dividir en 4 clases:Procesos
tiempo;
Procesos
tiempo;
Procesos
tiempo;
Procesos
tiempo.
con estado discreto y discreto
con estado discreto y continuo
Con estado continuo y discreto
con estado continuo y continuo
La mayoría de los procesos hidrológicos son
procesos con un estado continuo y continuo
tiempo. Pero al entrar en un paso de tiempo discreto,
pasar de un proceso de tiempo continuo a
proceso de tiempo discreto. Sin embargo, el proceso continúa
continuo según el estado
Principales características de los procesos aleatorios.
Sección transversal de un proceso aleatorio x(t) para cualquier valor fijoEl argumento t representa el SV, que tiene una ley de distribución.
F(t,x) = P(X(t)< x}
Esta es una ley de distribución unidimensional del proceso aleatorio X(t)
Pero no es una característica exhaustiva de la empresa conjunta, ya que
caracteriza las propiedades de cualquier sección, excepto la individual, y no da
Ideas sobre la distribución conjunta de dos o más secciones.
Esto se puede ver en la figura, que muestra dos SP con diferentes probabilidades
estructuras, pero aproximadas distribuciones idénticas SV en cada
sección
Principales características de los procesos aleatorios.
Por tanto, una característica más completa del SP es la ley bidimensionaldistribución
F(t1,t2,x1,x2) = P(X(t1)< x1, X(t2) < x2}
EN caso general una característica exhaustiva de SP es la ley de distribución n-dimensional
En la práctica, en lugar de leyes de distribución multidimensionales, utilizan
principales características de la empresa conjunta, tales como MO, dispersión, inicial y
puntos centrales, pero sólo para la empresa conjunta estas características no
números, pero funciones
La expectativa matemática de SP X(t) es una función no aleatoria mx(t),
que para cualquier valor del argumento t es igual al valor matemático
esperando el apartado correspondiente de la empresa conjunta:
donde f1(x,t) es la densidad de distribución unidimensional de SP X(t)
Principales características de los procesos aleatorios.
MO SP representa alguna función "promedio" alrededordonde se produce la propagación de SP
Si restamos su MO al SP X(t), obtenemos un SP centrado:
X0(t) = X(t) – mx(t)
La dispersión de SP X(t) es una función no aleatoria de SP X(t), que
para cualquier valor del argumento t es igual a la dispersión de la sección transversal correspondiente del SP X(t)
SP X(t) = D = M(2)
La desviación estándar de SP X(t) se llama no aleatoria.
función σx(t), que es igual a la raíz cuadrada de la varianza del SP:
σx(t) = σ = √Dx(t)
Principales características de los procesos aleatorios.
Para caracterizar completamente la empresa conjunta, es necesario tener en cuenta la relaciónentre diferentes secciones. Por tanto, al complejo de los enumerados.
características, también es necesario agregar la función de correlación SP:
La función de correlación (o covarianza) SP X(t) se llama
función no aleatoria Kx(t,t’), que para cada par de valores
los argumentos t y t’ es igual a la correlación de las secciones correspondientes X(t) y X(t’)
Kx(t,t’) = M( x )
o
Kx(t,t’) = M = M - mx(t) mx(t’)
Propiedades de la función de correlación:
- con igualdad t = t’ función de correlación igual a la varianza del SP, es decir
Kx(t,t’) = Dx(t)
- la función de correlación Kx(t,t’) es simétrica con respecto a su
argumentos, es decir
Kx(t,t’) = Kx(t’,t)
Principales características de los procesos aleatorios.
La función de correlación normalizada rx(t,t’) SP X(t) se llamafunción obtenida al dividir la función de correlación por el producto
desviaciones estándar σx(t) σx(t’)
rx(t,t’) = /(σx(t)σx(t’)) = /(√(Dx(t)Dx(t’))
Propiedades de la función de correlación normalizada:
- si los argumentos t y t’ son iguales, la función de correlación normalizada
igual a uno rx(t,t’) = 1
-la función de correlación normalizada es simétrica con respecto a
sus argumentos, es decir, rx(t,t’) = rx(t’,t)
- la función de correlación normalizada en valor absoluto no excede
unidad rx(t,t’) ≤ 1
Principales características de los procesos aleatorios.
SP escalar es cuando estamos hablando acerca de sobre una empresa conjunta, como era antespor.
Vector Joint Venture es cuando se consideran 2 o más Joint Ventures.
Supongamos que los caudales de agua se especifican en varias secciones a lo largo del tiempo.
En este caso, para caracterizar el SP, es necesario saber para cada uno
proceso escalar:
-MES
-función de correlación
-función de correlación cruzada
Función de correlación cruzada Ri,j(t,t’) de dos
Los procesos X(t) y X(t’) son una función no aleatoria de dos
argumentos t y t’, que para cada par de valores t y t’ es igual a
covarianzas ( conexión lineal) dos secciones de la empresa en participación X(t) y X(t’)
Ri,j(t,t’) = M
Procesos aleatorios estacionarios
Las empresas conjuntas estacionarias son empresas conjuntas en las que todos los probabilísticoslas características no dependen del tiempo, es decir:
- mx = constante
- Dx = constante
La diferencia entre empresas conjuntas estacionarias y no estacionarias se muestra en la figura.
a) SP estacionario
b) empresa conjunta no estacionaria para la región de Moscú
c) SP no estacionario en dispersión
Propiedades de la función de correlación de un SP estacionario.
Paridad de una función a partir de su argumento, es decir, kx(τ) = kx(-τ)τ – desplazamiento de todos los argumentos de tiempo del SP en la misma cantidad Θ
k – función de correlación de SP en Kx(t1,t2) = kx(τ)
El valor de la función de correlación del SP estacionario en cero.
el desplazamiento τ es igual a la dispersión del SP
Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)
|kx(τ)| ≤kx(0)
Además de la función de correlación, una normalizada
función de correlación del SP estacionario, que se llama
función de autocorrelación
rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)
Procesos aleatorios ergódicos
La propiedad ergódica de las empresas conjuntas es cuando una a la vez es suficiente.La implementación a largo plazo de la empresa conjunta se puede juzgar sobre la empresa conjunta en su conjunto.
Una condición suficiente para la ergodicidad del SP es la condición
lím kx(τ) = 0
como τ → ∞, es decir con corte creciente entre secciones
la función de correlación decae
La figura muestra a) SP no ergódico y b) ergódico.
En la práctica (la mayoría de las veces) nos vemos obligados a aceptar la hipótesis de que
estacionariedad y ergodicidad de los procesos hidrológicos, de modo que
Estoy feliz de juzgar todo. población
Procesos aleatorios elementales
SP elemental (e.s.p) es una función del argumento t, porcuya dependencia de t está representada por una función ordinaria no aleatoria,
que incluye uno o más SV ordinarios como argumento
Es decir, cada SV genera su propia implementación del SP.
Por ejemplo, si en algún tramo la rama de disminución de inundaciones es
estable y descrito por la ecuación
Q(t) = Qne-at
a - parámetro regional (a>0)
Qn - flujo de agua en momento inicial tiempo t = t0
entonces el proceso de disminución de las inundaciones puede considerarse e.s.p., donde a no es aleatorio
valor, Qn - variable aleatoria
Objetivos principales
Podemos distinguir dos tipos principales de problemas, cuya solución requiere el uso de la teoría de funciones aleatorias.
tarea directa (análisis): los parámetros de un determinado dispositivo y su características probabilísticas(expectativas matemáticas, funciones de correlación, leyes de distribución) de la función (señal, proceso) que llega a su “entrada”; es necesario determinar las características en la "salida" del dispositivo (se utilizan para juzgar la "calidad" del funcionamiento del dispositivo).
problema inverso (síntesis): se especifican las características probabilísticas de las funciones de “entrada” y “salida”; se requiere diseñar un dispositivo óptimo (encontrar sus parámetros) que transforme una función de entrada dada en tal función de salida, que tiene las características dadas. La solución a este problema requiere, además del aparato de funciones aleatorias de atracción, otras disciplinas y en este libro no considerado.
Definición de una función aleatoria
Función aleatoria llamada función de un argumento no aleatorio t, que para cada valor fijo del argumento es una variable aleatoria. Funciones aleatorias argumento t denotar en letras mayúsculas X(t), Y(t) etc.
Por ejemplo, si U- variable aleatoria, entonces la función X(!)=CU - aleatorio. De hecho, para cada valor fijo del argumento, esta función es una variable aleatoria: para t( = 2
obtenemos una variable aleatoria Xx = AU en t 2= 1,5 - variable aleatoria x2 = 2,25 Ud. etc.
Para abreviar la presentación adicional, introducimos el concepto de sección.
Sección Una función aleatoria es una variable aleatoria correspondiente a un valor fijo del argumento de una función aleatoria. Por ejemplo, para una función aleatoria X(t) = t 2 U, dado anteriormente, con valores de argumento 7, = 2 y t 2= 1,5 se obtuvieron en consecuencia variables aleatorias X ( = AUn X 2 = 2.2577, que son las secciones de la función aleatoria dada.
Entonces, una función aleatoria puede considerarse como un conjunto de variables aleatorias (X(?)), dependiendo del parámetro t. Otra interpretación de una función aleatoria es posible si introducimos el concepto de su implementación.
Implementación (trayectoria, función selectiva) función aleatoria X(t) llamar a una función de argumento no aleatorio t, igual al que puede resultar una función aleatoria como resultado de la prueba.
Así, si en un experimento se observa una función aleatoria, en realidad se observa una de sus posibles implementaciones; Obviamente, cuando se repita el experimento, se observará una implementación diferente.
Implementaciones de funciones X(t) denotar letras minusculas x t (t) t x 2 (t) etc., donde el índice indica el número de prueba. Por ejemplo, si X(t)= (/pecado t, Dónde Ud.- variable aleatoria continua, que en la primera prueba tomó posible significado y ( = 3, y en la segunda prueba y 2 = 4.6, luego implementaciones X(t) son respectivamente funciones no aleatorias X ( (t) = 3pecado t Y x 2 (t) = 4.6pecado t.
Entonces, una función aleatoria puede considerarse como un conjunto de sus posibles implementaciones.
Aleatorio (estocástico) proceso llamar a la función de argumento aleatorio t, que se interpreta como tiempo. Por ejemplo, si un avión debe volar a una velocidad constante determinada, entonces, en realidad, debido a la influencia de factores aleatorios (fluctuaciones de temperatura, cambios en la fuerza del viento, etc.), cuya influencia no se puede tener en cuenta de antemano, la velocidad cambia. En este ejemplo, la velocidad del avión es una función aleatoria de un argumento que cambia continuamente (tiempo), es decir La velocidad es un proceso aleatorio.
Tenga en cuenta que si el argumento de una función aleatoria cambia discretamente, entonces se forman los valores correspondientes de la función aleatoria (variables aleatorias) secuencia aleatoria.
El argumento de una función aleatoria no puede ser solo el tiempo. Por ejemplo, si el diámetro de un hilo de tejer se mide a lo largo de su longitud, entonces, debido a la influencia de factores aleatorios, el diámetro del hilo cambia. En este ejemplo, el diámetro es una función aleatoria de un argumento que varía continuamente (la longitud del hilo).
Obviamente, generalmente es imposible definir analíticamente una función aleatoria (mediante una fórmula). En casos especiales, si se conoce la forma de una función aleatoria y sus parámetros definitorios son variables aleatorias, se puede especificar analíticamente. Por ejemplo, las funciones aleatorias son:
X(t)= sen Qf, donde Q es una variable aleatoria,
X(t)= G/pecado t, Dónde U- valor aleatorio,
X(t) = G/sen Qt, donde ACERCA DE. Y .
En particular, para Y==0 obtenemos D z ( t)= METRO[| (t)|] 2 =Dx(t), es decir, se cumple el requisito (**).
Teniendo en cuenta que valor esperado suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos, tenemos
dz(t)=M[| (t)| 2 ]=METRO{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=METRO[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D y(t).
Entonces, la varianza de una función aleatoria compleja es igual a la suma de las varianzas de sus partes real e imaginaria:
D z ( t)=Dx(t)+D y(t).
Se sabe que la función de correlación de una función aleatoria real X(t) en diferentes significados argumentos iguales a la varianza Dx(t). Generalicemos la definición de la función de correlación a funciones aleatorias complejas. z(t) para que cuando valores iguales argumentos t 1 = t 2 = t función de correlación k z(t,t) era igual a la varianza dz(t), es decir, para que se cumpla el requisito
k z(t,t)=Dz(t). (***)
La función de correlación de la función aleatoria compleja Z.(t) son llamados momento de correlación secciones ( t 1) y ( t 2)
k z(t 1 ,t 2)= METRO.
En particular, con valores iguales de los argumentos.
k z(t,t)= METRO=METRO[| | 2 ]=dz(t).
es decir, se cumple el requisito (***).
Si funciones aleatorias reales X(t) Y Y(t) están correlacionados, entonces
k z(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].
Si X(t) Y Y(t) no están correlacionados, entonces
k z(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).
Generalicemos la definición de la función de correlación cruzada a funciones aleatorias complejas. z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Y z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i para que, en particular, cuando Y 1 =S 2 = 0 requisito cumplido
Función de correlación cruzada de dos funciones aleatorias complejas llamar a una función (no aleatoria)
En particular, cuando Y 1 =S 2 =0 obtenemos
es decir, se cumple el requisito (****).
La función de correlación cruzada de dos funciones aleatorias complejas se expresa mediante las funciones de correlación cruzada de sus partes real e imaginaria. la siguiente fórmula:
Tareas
1. Encuentre la expectativa matemática de funciones aleatorias:
a) X(t)=Ut 2 donde U- variable aleatoria, y METRO(Ud.)=5 ,
b)X(t)=U cos2 t+Vt, Dónde Ud. Y V- variables aleatorias y METRO(Ud.)=3 ,METRO(V)=4 .
Reps. a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. Kx(t 1 ,t 2) función aleatoria X(t). Encuentre funciones de correlación de funciones aleatorias:
a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).
Reps. a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Se especifica la variación Dx(t) función aleatoria X(t). Encuentre la varianza de funciones aleatorias: a) Y(t)=X(t)+e tb)Y(t)=tX(t).
Responder. a) dy(t)=Dx(t); b) dy(t)= t 2 Dx(t).
4. Encuentre: a) expectativa matemática; b) función de correlación; c) varianza de una función aleatoria X(t)=usin 2t, Dónde U- variable aleatoria, y METRO(Ud.)=3 ,D(Ud.)=6 .
Responder. A) mx(t) =3pecado 2t; b) Kx(t 1 ,t 2)= 6pecado 2t 1 pecado 2t 2; V) Dx(t)=6pecado 2 2t.
5. Encuentre la función de correlación normalizada de la función aleatoria. X(t), conociendo su función de correlación Kx(t 1 ,t 2)=3porque(t 2 -t 1).
Reps. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Encuentre: a) función de correlación mutua; b) función de correlación cruzada normalizada de dos funciones aleatorias X(t)=(t+1)Ud. y Y( t)= (t 2 + 1)Ud., Dónde U- variable aleatoria, y D(Ud.)=7.
Responder. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +1)( t 2 2 +1); b) xy(t 1 ,t 2)=1.
7. Se dan funciones aleatorias. X(t)= (t- 1)Ud. Y Y(t)=t 2 Ud., Dónde Ud. Y V- variables aleatorias no correlacionadas, y METRO(Ud.)=2, METRO(V)= 3,D(Ud.)=4 , D(V)=5 . Encuentre: a) expectativa matemática; b) función de correlación; c) varianza de la suma z(t)=X(t)+Y(t).
Nota. Asegúrese de que la función de correlación cruzada de las funciones aleatorias dadas sea igual a cero y, por lo tanto, X(t) Y Y(t) no están correlacionados.
Responder. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2; b) k z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - yo)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.
8. Se da la expectativa matemática. mx(t)=t 2 +1 función aleatoria X(t). Encuentre la esperanza matemática de su derivada.
9. Se da la expectativa matemática. mx(t)= t 2 +3 función aleatoria X(t). Encuentra la expectativa matemática de una función aleatoria. Y(t)=tX"(t)+t 3.
Reps. m y (t)=t 2 (t+2).
10. La función de correlación está dada. Kx(t 1 ,t 2)= función aleatoria X(t). Encuentra la función de correlación de su derivada.
11. La función de correlación está dada. Kx(t 1 ,t 2)= función aleatoria X(t). Encuentra funciones de correlación cruzada.
