D U de órdenes superiores
Como ya hemos dicho, las ecuaciones diferenciales pueden contener derivadas de varios órdenes.
Estas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que contienen tantas constantes de integración arbitrarias → ¿cuál es el orden? ecuación diferencial, es decir. para una ecuación diferencial de segundo orden habrá dos constantes arbitrarias C1 y C2, para una de tercer orden →C1, C2 y C3, etc.
Por tanto, la solución general ( integral general) tal ecuación diferencial tendrá una función
.
Para obtener una solución particular de tales ecuaciones diferenciales, es necesario establecer tantas condiciones iniciales como el orden de la ecuación diferencial, o cuantas constantes arbitrarias se obtengan en la solución general.
D U en diferenciales completos. factor integrador
Una ecuación diferencial de la forma se llama ecuación diferencial en diferenciales totales si lado izquierdo es el diferencial total de algunos función suave, es decir. Si 
, 
. Necesario y condición suficiente para que exista tal función tiene la forma: 
Para resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales, necesitas encontrar la función. Entonces la solución general de la ecuación diferencial se puede escribir en la forma de una constante arbitraria C.
Factor integrante para una ecuación diferencial
Se llama tal función, después de la multiplicación por la cual la ecuación diferencial se convierte en una ecuación en diferenciales totales. Si las funciones M y N en la ecuación tienen derivadas parciales continuas y no desaparecen simultáneamente, entonces existe un factor integrante. Sin embargo, método general no hay manera de encontrarlo.
Estructura solución general LNDU
Considere la ecuación diferencial lineal no homogénea.
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- lo que sea que es punto de partida(x0, y0, ), x0∈ , existen valores C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 tales que la función y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) satisface las condiciones iniciales y( x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .
Justo la siguiente declaración(teorema sobre la estructura de la solución general de lineal No ecuación homogénea).
Si todos los coeficientes de la ecuación de una ecuación diferencial lineal homogénea son continuos en el intervalo , y las funciones y1(x), y2(x),..., yn(x) forman un sistema de soluciones a la ecuación homogénea correspondiente , entonces la solución general de la ecuación no homogénea tiene la forma
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
donde C1,...,Cn son constantes arbitrarias, y*(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea.
LNDU 2do orden
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden.
Ecuación de la forma y" + py" + qy = f(x), donde p y q - numeros reales, f(x) - función continua, se llama ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.
La solución general de una ecuación es la suma de una solución particular de una ecuación no homogénea y una solución general de la ecuación homogénea correspondiente. Se ha estudiado la búsqueda de una solución general a una ecuación homogénea. Para encontrar una solución particular utilizamos el método coeficientes inciertos, que no contiene el proceso de integración.
Consideremos diferentes tipos lados derechos de la ecuación y" + py" + qy = f(x).
1) El lado derecho tiene la forma F(x) = Pn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n. Entonces se puede buscar una solución particular para y en la forma donde Qn (x) es un polinomio del mismo grado que Pn (x), y r es el número de raíces. Ecuación característica, igual a cero.
Ejemplo. Encuentre la solución general de la ecuación y" – 2y" + y = x+1.
Solución: La solución general de la correspondiente ecuación homogénea tiene la forma Y = ex (C1 + C2x). Dado que ninguna de las raíces de la ecuación característica k2 – 2k + 1 = 0 igual a cero(k1 = k2 = 1), luego buscamos una solución particular en la forma donde A y B son coeficientes desconocidos. Derivando dos veces y sustituyendo “y” en esta ecuación, encontramos –2A + Ax + B = x + 1.
Igualar los coeficientes en grados iguales x en ambos lados de la igualdad: A = 1, –2A + B = 1, – encontramos A = 1, B = 3. Entonces, una solución particular ecuación dada tiene la forma = x + 3, y su solución general es y = ex (C1 + C2x) + x + Z.
2) El lado derecho tiene la forma f(x) = eax Pn(x), donde Рn (x) es un polinomio de grado n. Entonces se debe buscar una solución particular en la forma donde Qn(x) es un polinomio del mismo grado que Pn (x), y r es el número de raíces de la ecuación característica igual a a. Si a = 0, entonces f(x) = Pn (x), es decir, ocurre el caso 1.
LOD con coeficientes constantes.
Considere la ecuación diferencial
¿Dónde están las constantes reales?
Para encontrar una solución general a la ecuación (8), hacemos esto. Componemos la ecuación característica para la ecuación (8): (9)
Sean las raíces de la ecuación (9), y entre ellas puede haber múltiplos. Son posibles los siguientes casos:
a) - real y diferente. La solución general de la ecuación homogénea será ;
b) las raíces de la ecuación característica son reales, pero entre ellas hay múltiplos, es decir , entonces la solución general será
c) si las raíces de la ecuación característica son complejas (k=a±bi), entonces la solución general tiene la forma .
Estructura general soluciones para LDE de segundo orden
Considere la ecuación diferencial lineal homogénea.
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
La solución general de esta ecuación en un intervalo es la función y = Φ(x, C1,..., Cn), dependiendo de n constantes arbitrarias C1,..., Cn y que satisfacen siguientes condiciones:
− para cualquier valores aceptables de constantes C1,..., Cn la función y = Φ(x, C1,..., Cn) es una solución a la ecuación de ;
− cualquiera que sea el punto inicial (x0, y0, ), x0∈ , existen valores C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 tales que la función y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) satisface las condiciones iniciales y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
La estructura de la solución general de dicha ecuación está determinada por el siguiente teorema.
Teorema 1. La solución general de la ecuación no homogénea (1) se representa como la suma de alguna solución particular de esta ecuación. y h y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea
Prueba. Necesitamos demostrar que la suma (3)
Existe una solución general a la ecuación (1).
Primero demostremos que la función (3) es una solución de la ecuación (1). Sustituyendo en su lugar en la suma en la ecuación (1) será:
Dado que – es una solución de la ecuación (2), la expresión en los primeros paréntesis de la ecuación (4) es idénticamente igual a cero. Porque y h es una solución a la ecuación (1), entonces la expresión en el segundo paréntesis (4) es igual a f(x). Por tanto, la igualdad (4) es una identidad. Por tanto, queda demostrada la primera parte del teorema.
Demostremos ahora que la expresión (3) es una solución general a la ecuación (1), es decir Demostremos que las constantes arbitrarias incluidas en él se pueden elegir de modo que condiciones iniciales (5)
cualesquiera que sean los números x 0, y 0, y (si solo las áreas donde las funciones un 1, un 2 Y f(x) continuo).
Notando que podemos representarlo como 
, Dónde y 1 , y 2 soluciones linealmente independientes de la ecuación (2), y C 1 Y C 2 son constantes arbitrarias, podemos reescribir la igualdad (3) en la forma. Entonces, según la condición (5), tendremos un sistema
.
A partir de este sistema de ecuaciones es necesario determinar C 1 Y C 2. Reescribamos el sistema en la forma
(6)
Determinante del sistema 
– existe un determinante de Wronski para las soluciones a la 1 Y a las 2 en el punto . Dado que estas funciones son linealmente independientes por condición, el determinante de Wronski no es igual a cero, por lo tanto el sistema (6) tiene única decisión C 1 Y C 2, es decir. hay tales significados C 1 Y C 2 en el cual la fórmula (3) determina la solución de la ecuación (1) que satisface las condiciones iniciales dadas.
Por lo tanto, si se conoce la solución general de la ecuación homogénea (2), entonces la tarea principal al integrar la ecuación no homogénea (1) es encontrar cualquier solución particular. y h.
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes y lado derecho tipo especial. Método de coeficientes indeterminados.
A veces es posible encontrar una solución más sencilla sin recurrir a la integración. Esto tiene lugar en casos especiales cuando la función f(x) tiene una mirada especial.
Tengamos la ecuación , (1)
Dónde pag Y q números reales y f(x) tiene una mirada especial. Consideremos varias posibilidades de este tipo para la ecuación (1).
Dejar parte derecha la ecuación (1) es el producto funcion exponencial a un polinomio, es decir parece 
, (2)
donde es un polinomio de enésimo grado. Entonces son posibles los siguientes casos:
un número - no es una raíz Ecuación característica 
.
En este caso se debe buscar una solución particular en la forma (3)
aquellos. en forma de polinomio también norte-ésimo grado, donde Un 0, Un 1,…, Un n se deben determinar los coeficientes.
Para determinarlos encontramos las derivadas y .
Sustituyendo y h, y en la ecuación (1) y reduciendo ambos lados por un factor tendremos:
Aquí hay un polinomio de enésimo grado, – un polinomio de (n-1)ésimo grado y – un polinomio de (n-2)ésimo grado.
Así, a la izquierda y a la derecha del signo igual hay polinomios norte-ésimo grado. Igualar coeficientes en los mismos grados X(el número de coeficientes desconocidos es igual a ), obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar los coeficientes A 0, A 1, ..., A n.
si el lado derecho de la ecuación (1) tiene la forma:
Para una ecuación diferencial lineal no homogénea norte- primer orden
y(norte) + a 1(X)y(norte- 1) + ... + un- 1 (X) y" + un(X)y = f(x),
Dónde y = y(X) - No función conocida, a 1(X),a 2(X), ..., un- 1(X), un(X), F(X) - conocido, continuo, justo:
1) si y 1(X) Y y 2(X) son dos soluciones a una ecuación no homogénea, entonces la función
y(X) = y 1(X) - y 2(X) - solución de la ecuación homogénea correspondiente;
2) si y 1(X) solución a una ecuación no homogénea, y y 2(X) es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, entonces la función
y(X) = y 1(X) + y 2(X) - solución de una ecuación no homogénea;
3) si y 1(X), y 2(X), ..., yn(X) - norte lineal decisiones independientes ecuación homogénea, y ych(X) - decisión arbitraria ecuación no homogénea,
entonces para cualquier valores iniciales
X 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,norte- 1
Expresión
y(X)=C 1 y 1(X) + C 2 y 2(X) + ... + cn yn(X) +ych(X)
llamado decisión general ecuación diferencial lineal no homogénea norte-ésimo orden.
Encontrar soluciones parciales de ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes con lados derechos de la forma:
Paquete(X)exp(a X)porque( bx) + Q metro(X)exp(a X)pecado( bx),
Dónde Paquete(X), q metro(X) - polinomios de grado k Y metro En consecuencia, existe un algoritmo simple para construir una solución particular, llamado método de selección.
El método de selección, o método de coeficientes indeterminados, es el siguiente.
La solución requerida a la ecuación se escribe como:
(pr(X)exp(a X)porque( bx) + qr(X)exp(a X)pecado( bx))xs,
Dónde pr(X), qr(X) - polinomios de grado r= máx( k, metro) Con desconocido coeficientes
pr , pr- 1, ..., pag 1, pag 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
De este modo, Para encontrar una solución general a una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes, se debe
encuentre la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (escriba la ecuación característica, encuentre todas las raíces de la ecuación característica yo 1, yo 2, ... , en, anote sistema fundamental soluciones y 1(X), y 2(X), ..., yn(X));
encontrar cualquier solución particular a la ecuación no homogénea ych(X);
escribe la expresión de la solución general
y(X)=C 1 y 1(X) + C 2 y 2(X) + ... + cn yn(X) + ych(X);
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes con un lado derecho especial. Método de coeficientes indeterminados.
Ecuación diferencial de la forma (1)
donde , f es una función conocida, llamada ecuación diferencial lineal de enésimo orden con coeficientes constantes. Si , entonces la ecuación (1) se llama homogénea; en caso contrario, no homogénea.
Para ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes y con el lado derecho de una forma especial, es decir, que consiste en sumas y productos de funciones, se puede buscar una solución particular mediante el método de coeficientes indeterminados. El tipo de solución particular depende de las raíces de la ecuación característica. A continuación se muestra una tabla de tipos de soluciones parciales de una ecuación lineal no homogénea con un lado derecho especial.
Plano complejo. Módulo y argumento de un número complejo. El significado principal del argumento. Significado geométrico
Los números complejos se escriben en la forma: a+ bi. Aquí a y b son números reales y i es unidad imaginaria, es decir. yo 2 = –1. El número a se llama abscisa y b es la ordenada del número complejo a+ bi. Dos números complejos a+ bi y a – bi se llaman números complejos conjugados.
Representación geométrica números complejos. Numeros reales están representados por puntos en la recta numérica:
Aquí, el punto A representa el número –3, el punto B representa el número 2 y O representa cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en Plano coordinado. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces Número complejo a+ bi estará representado por el punto P con abscisa a y ordenada b (ver figura). Este sistema de coordenadas se llama plano complejo.
El módulo de un número complejo es la longitud del vector OP que representa un número complejo en el plano de coordenadas (complejo). El módulo de un número complejo a+ bi se denota | a+bi | o la letra r y es igual a:
Los números complejos conjugados tienen el mismo módulo. __
El argumento de un número complejo es el ángulo entre el eje OX y el vector OP que representa este número complejo. Por tanto, tan = b/a.
