Dans cet article, nous présenterons concept de racine d'un nombre. Nous procéderons séquentiellement : commençons par racine carrée, à partir de là on passe à la description de la racine cubique, après quoi on généralise la notion de racine en définissant la racine du nième degré. En même temps, nous présenterons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.
Racine carrée, racine carrée arithmétique
Pour comprendre la définition de la racine d’un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d’un nombre : le carré d’un nombre.
Commençons avec définitions de racine carrée.
Définition
Racine carrée d'un est un nombre dont le carré est égal à a.
Afin d'apporter exemples de racines carrées, prenons plusieurs nombres, par exemple 5, −0,3, 0,3, 0, et mettons-les au carré, nous obtenons les nombres 25, 0,09, 0,09 et 0, respectivement (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 et 0 2 =0·0=0 ). Alors, d'après la définition donnée ci-dessus, le nombre 5 est la racine carrée du nombre 25, les nombres −0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.
Il convient de noter que pour aucun nombre a, il n’existe a dont le carré est égal à a. À savoir, pour tout nombre négatif a, il n’existe pas de nombre réel b dont le carré est égal à a. En fait, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 est nombre non négatif pour tout b. Ainsi, sur un plateau nombres réels il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif. Autrement dit, sur l’ensemble des nombres réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie et n’a aucune signification.
Cela nous amène à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. La justification de ce fait peut être considérée manière constructive, utilisé pour trouver la valeur de la racine carrée.
Ensuite, la question logique suivante se pose : « Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois ou même plus » ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si a est un nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est deux et les racines sont . Justifions cela.
Commençons par le cas a=0 . Montrons d’abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.
Montrons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu’il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.
Passons aux cas où a est un nombre positif. Nous avons dit plus haut qu'il existe toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit la racine carrée de a le nombre b. Disons qu'il existe un nombre c, qui est aussi la racine carrée de a. Alors, par définition d'une racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont vraies, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , alors (b−c)·(b+c)=0 . L'égalité résultante est valide propriétés des opérations avec des nombres réels possible uniquement lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi, les nombres b et c sont égaux ou opposés.
Si nous supposons qu'il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors en raisonnant comme ceux déjà donnés, il est prouvé que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d’un nombre positif est deux et les racines carrées sont des nombres opposés.
Pour faciliter le travail avec les racines carrées racine négative« se sépare » du positif. A cet effet, il est introduit définition de la racine carrée arithmétique.
Définition
Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a.
La notation de la racine carrée arithmétique de a est . Le signe s’appelle le signe arithmétique de la racine carrée. On l'appelle aussi le signe radical. Par conséquent, vous pouvez parfois entendre à la fois « racine » et « radical », ce qui signifie le même objet.
Le nombre sous le signe arithmétique de la racine carrée s'appelle nombre radical, et l'expression sous le signe racine est expression radicale, tandis que le terme « nombre radical» est souvent remplacé par « expression radicale ». Par exemple, dans la notation le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation l'expression a est une expression radicale.
Lors de la lecture, le mot « arithmétique » est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme « la racine carrée de sept virgule vingt-neuf ». Le mot « arithmétique » n’est utilisé que lorsqu’ils veulent souligner que nous parlons de spécifiquement sur la racine carrée positive d'un nombre.
À la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition d'une racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .
Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . Racine carrée arithmétique de zéro égal à zéro, c'est, . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens à la notation tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes . Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.
Sur la base de la définition de la racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.
En conclusion de ce paragraphe, notons que les racines carrées du nombre a sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x.
Racine cubique d'un nombre
Définition de la racine cubique du nombre a est donné de la même manière que la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube composé d'un nombre et non d'un carré.
Définition
Racine cubique d'un est un nombre dont le cube est égal à a.
Donne moi exemples racines cubes
. Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple 7, 0, −2/3, et cubez-les : 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Ensuite, sur la base de la définition d’une racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et -2/3 est la racine cubique de -8/27.
On peut montrer que la racine cubique d’un nombre, contrairement à la racine carrée, existe toujours, non seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude des racines carrées.
De plus, il n’existe qu’une seule racine cubique de numéro donné un. Démontrons la dernière affirmation. Pour ce faire, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.
Il est facile de montrer que si a est positif, la racine cubique de a ne peut être ni un nombre négatif ni zéro. En effet, soit b la racine cubique de a, alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a. Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera respectivement un nombre négatif ou zéro. Ainsi, la racine cubique d’un nombre positif a est un nombre positif.
Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il existe une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Par conséquent, b 3 −c 3 =a−a=0, mais b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. De la première égalité nous avons b=c, et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tout nombre positif b et c comme somme de trois termes positifs b 2, b·c et c 2. Cela prouve le caractère unique de la racine cubique d'un nombre positif a.
Lorsque a=0, la racine cubique du nombre a est uniquement le nombre zéro. En effet, si l'on suppose qu'il existe un nombre b, qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0.
Pour un a négatif, des arguments similaires à ceux d’un a positif peuvent être donnés. Premièrement, nous montrons que la racine cubique d’un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu’il existe une deuxième racine cubique d’un nombre négatif et montrons qu’elle coïncidera nécessairement avec la première.
Ainsi, il existe toujours une racine cubique de tout nombre réel a donné, et une racine unique.
Donne moi définition de la racine cubique arithmétique.
Définition
Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le cube est égal à a.
La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé index racine. Le nombre sous le signe racine est nombre radical, l'expression sous le signe racine est expression radicale.
Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des notations dans lesquelles sous le signe de la racine cubique arithmétique sont nombres négatifs. Nous les comprendrons ainsi : , où a est un nombre positif. Par exemple, 
.
Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général Propriétés des racines.
Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique ; cette action est abordée dans l'article extraire des racines : méthodes, exemples, solutions.
Pour conclure ce point, disons que la racine cubique du nombre a est une solution de la forme x 3 =a.
racine nième, racine arithmétique du degré n
Généralisons le concept de racine d'un nombre - nous introduisons définition de la nième racine pour n.
Définition
nième racine d'un est un nombre dont la puissance n est égale à a.
Depuis cette définition il est clair que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré c indicateur naturel nous avons accepté un 1 =a .
Ci-dessus, nous avons examiné des cas particuliers de la nième racine pour n=2 et n=3 - racine carrée et racine cubique. Autrement dit, une racine carrée est une racine du deuxième degré et une racine cubique est une racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines de degrés pairs (c'est-à-dire pour n = 4, 6, 8 , ...), le deuxième groupe - les racines des degrés impairs (c'est-à-dire avec n=5, 7, 9, ...). Cela est dû au fait que les racines des puissances paires sont similaires aux racines carrées et que les racines des puissances impaires sont similaires aux racines cubiques. Traitons-les un par un.
Commençons par les racines dont les puissances sont les nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons déjà dit, elles sont semblables à la racine carrée du nombre a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair du nombre a, et ce sont des nombres opposés.
Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine de degré pair (nous la notons 2 m, où m est un entier naturel) à partir du numéro a . Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de degré 2·m du nombre a. Alors b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mais on connaît la forme b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou que b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0, puisque sur son côté gauche se trouve une expression qui est non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.
Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont similaires à la racine cubique. Autrement dit, n'importe quelle racine degré étrange du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a il est unique.
L'unicité d'une racine de degré impair 2·m+1 du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique de a. Seulement ici au lieu de l'égalité a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = est utilisée (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). L'expression entre parenthèses peut être réécrite comme suit b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, avec m=2 on a b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 +c 2 +b·c entre parenthèses elle-même haut degré l'imbrication, est positive comme la somme des nombres positifs. Maintenant, en passant séquentiellement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, nous sommes convaincus qu'ils sont également positifs comme somme de nombres positifs. En conséquence, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0, c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c.
Il est temps de comprendre la notation des nièmes racines. A cet effet, il est donné définition de la racine arithmétique du nième degré.
Définition
Racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.
Degré racine nà partir d'un nombre réel un, Où n- nombre naturel, un tel nombre réel s'appelle X, n dont le ième degré est égal à un.
Degré racine n du numéro un est indiqué par le symbole . Selon cette définition.
Trouver la racine n-ème degré parmi un appelé extraction de racine. Nombre UN s'appelle un nombre radical (expression), n- indicateur de racine. Pour bizarre n il y a une racine n-ème puissance pour tout nombre réel un. Quand même n il y a une racine n-ième puissance uniquement pour les nombres non négatifs un. Pour lever l'ambiguïté sur la racine n-ème degré parmi un, le concept de racine arithmétique est introduit n-ème degré parmi un.
Le concept de racine arithmétique de degré N
Si n- nombre naturel, plus grand 1 , alors il y a, et un seul, nombre non négatif X, de telle sorte que l'égalité soit satisfaite. Ce nombre X appelé racine arithmétique n puissance d'un nombre non négatif UN et est désigné . Nombre UN s'appelle un nombre radical, n- indicateur de racine.
Ainsi, selon la définition, la notation , où , signifie, d'une part, cela et, d'autre part, cela, c'est-à-dire .
Notion de degré c indicateur rationnel
Degré avec exposant naturel : soit UN est un nombre réel, et n- un nombre naturel supérieur à un, n-ème puissance du nombre UN appeler le travail n facteurs dont chacun est égal UN, c'est à dire. . Nombre UN- la base du diplôme, n- exposant. Une puissance avec un exposant nul : par définition, si , alors . Puissance nulle d'un nombre 0 cela n'a pas de sens. Un diplôme avec un exposant entier négatif : supposé par définition si et n est un nombre naturel, alors . Degré c indicateur fractionnaire: cru par définition si et n- entier naturel, m est un entier, alors .
Opérations avec racines.
Dans toutes les formules ci-dessous, le symbole désigne une racine arithmétique (l'expression radicale est positive).
1. Racine du produit de plusieurs facteurs égal au produit racines de ces facteurs :
2. Racine de l'attitude égal au rapport racines du dividende et du diviseur :
3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance : 
4. Si vous augmentez le degré de la racine n fois et en même temps augmentez le nombre radical à la nième puissance, alors la valeur de la racine ne changera pas : 
5. Si vous réduisez le degré de la racine de n fois et extrayez simultanément la nième racine du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
Élargir la notion de diplôme. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les degrés à exposants naturels ; mais les opérations avec des puissances et des racines peuvent également conduire à des exposants négatifs, nuls et fractionnaires. Tous ces exposants nécessitent une définition supplémentaire.
Degré c indicateur négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant négatif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur négatif :
Désormais, la formule a m : a n = a m - n peut être utilisée non seulement pour m supérieur à n, mais aussi pour m inférieur à n.
EXEMPLE un 4 : un 7 = un 4 - 7 = un -3.
Si nous voulons que la formule a m : a n = a m - n soit valable pour m = n, nous avons besoin d'une définition du degré zéro.
Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est 1.
EXEMPLES. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Degré avec un exposant fractionnaire. Afin d'élever un nombre réel a à la puissance m/n, il faut extraire la nième racine de la mième puissance de ce nombre a :
Des expressions qui n’ont aucun sens. Il existe plusieurs expressions de ce type.
Cas 1.
Où a ≠ 0 n’existe pas.
En fait, si nous supposons que x est un certain nombre, alors conformément à la définition de l'opération de division nous avons : a = 0 x, c'est-à-dire a = 0, ce qui contredit la condition : a ≠ 0
Cas 2.
N'importe quel chiffre.
En fait, si l'on suppose que cette expression est égale à un certain nombre x, alors d'après la définition de l'opération de division on a : 0 = 0 · x. Mais cette égalité vaut pour tout nombre x, c’est ce qu’il fallait prouver.
Vraiment,
Solution. Considérons trois cas principaux :
1) x = 0 – cette valeur ne satisfait pas cette équation
2) pour x > 0 on obtient : x / x = 1, c'est-à-dire 1 = 1, ce qui signifie que x est n'importe quel nombre ; mais en tenant compte du fait que dans notre cas x > 0, la réponse est x > 0 ;
3) à x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
dans ce cas, il n'y a pas de solution. Donc x > 0.
Une racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif est un nombre non négatif nième degré qui est égal à :
La puissance d'une racine est un nombre naturel supérieur à 1.
3. 
4. 
Cas spéciaux:
1. Si l'exposant racine est un entier nombre impair (), alors l'expression radicale peut être négative.
Dans le cas d'un exposant impair, l'équationà n'importe valeur actuelle et en général A TOUJOURS une seule racine :
Pour une racine de degré impair, l’identité suivante est vraie :
,
2. Si l'exposant racine est un entier pair (), alors l'expression radicale ne peut pas être négative.
Dans le cas d'un exposant pair, l'équation. Il a
à racine unique
et, si et
Pour une racine de degré pair, l’identité suivante est vraie :
Pour une racine de degré pair, les égalités suivantes sont valables ::
Fonction de puissance, ses propriétés et son graphique.
Fonction de puissance et ses propriétés.
Fonction puissance avec exposant naturel. La fonction y = x n, où n est un nombre naturel, est appelée fonction puissance avec un exposant naturel. Pour n = 1 on obtient la fonction y = x, ses propriétés :
Proportionnalité directe. La proportionnalité directe est une fonction donné par la formule y = kx n, où le nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.
Listons les propriétés de la fonction y = kx.
Le domaine d’une fonction est l’ensemble de tous les nombres réels.
y = kx - non même fonction(f(-x) = k (-x)= -kx = -k(x)).
3) Pour k > 0 la fonction augmente, et pour k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Le graphique (ligne droite) est présenté à la figure II.1.
Riz. II.1.
Lorsque n=2 on obtient la fonction y = x 2, ses propriétés :
Fonction y -x 2. Listons les propriétés de la fonction y = x 2.
y = x 2 - fonction paire (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).
La fonction diminue au cours de l'intervalle.
En fait, si , alors - x 1 > - x 2 > 0, et donc
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, c'est-à-dire et cela signifie que la fonction est décroissante.
Le graphique de la fonction y=x2 est une parabole. Ce graphique est présenté à la figure II.2.
Riz. II.2.
Lorsque n = 3 on obtient la fonction y = x 3, ses propriétés :
Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.
y = x 3 - fonction impaire(f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).
3) La fonction y = x 3 augmente sur toute la droite numérique. Le graphique de la fonction y = x 3 est présenté sur la figure. C'est ce qu'on appelle une parabole cubique.
Le graphique (parabole cubique) est présenté à la figure II.3.
Riz. II.3.
Soit n un nombre naturel pair arbitraire supérieur à deux :
n = 4, 6, 8,... . Dans ce cas, la fonction y = x n a les mêmes propriétés que la fonction y = x 2. Le graphique d'une telle fonction ressemble à une parabole y = x 2, seules les branches du graphique en |n| >1 plus ils montent en pente raide, plus n est grand, et plus « pressé » sur l’axe des x, plus n est grand.
Soit n un nombre impair arbitraire supérieur à trois : n = = 5, 7, 9, ... . Dans ce cas, la fonction y = x n a les mêmes propriétés que la fonction y = x 3. Le graphique d'une telle fonction ressemble à une parabole cubique (seules les branches du graphique montent et descendent d'autant plus raides, plus n est grand. Notez également que sur l'intervalle (0 ; 1) le graphique de la fonction puissance y = x n se déplace s'éloigner de l'axe des x plus lentement à mesure que x augmente, plus il est supérieur à n.
Fonction puissance avec exposant entier négatif. Considérons la fonction y = x - n, où n est un nombre naturel. Lorsque n = 1 on obtient y = x - n ou y = Propriétés de cette fonction :
Le graphique (hyperbole) est présenté à la figure II.4.
Racine arithmétique second degré
Définition 1
La deuxième racine (ou racine carrée) de $a$ appelez un nombre qui, une fois mis au carré, devient égal à $a$.
Exemple 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, ce qui signifie que le nombre $7$ est la 2ème racine du nombre $49$ ;
$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, ce qui signifie que le nombre $0,9$ est la 2ème racine du nombre $0,81$ ;
$1^2=1 \cdot 1=1$, ce qui signifie que le nombre $1$ est la 2ème racine du nombre $1$.
Note 2
En termes simples, pour n'importe quel nombre $a
$a=b^2$ pour $a$ négatif est incorrect, car $a=b^2$ ne peut pas être négatif pour aucune valeur de $b$.
On peut conclure que pour les nombres réels, il ne peut pas y avoir de racine seconde d'un nombre négatif.
Note 3
Parce que $0^2=0 \cdot 0=0$, alors de la définition il s'ensuit que zéro est la 2ème racine de zéro.
Définition 2
Racine arithmétique du 2ème degré du nombre $a$($a \ge 0$) est un nombre non négatif qui, une fois au carré, est égal à $a$.
Les racines du 2ème degré sont aussi appelées racines carrées.
La racine arithmétique du 2ème degré du nombre $a$ est notée $\sqrt(a)$ ou vous pouvez voir la notation $\sqrt(a)$. Mais le plus souvent pour la racine carrée le nombre $2$ est exposant racine- non spécifié. Le signe « $\sqrt( )$ » est le signe de la racine arithmétique du 2ème degré, également appelée « signe radical" Les concepts « racine » et « radical » sont des noms du même objet.
S'il y a un nombre sous le signe racine arithmétique, alors il s'appelle nombre radical, et si l'expression, alors – expression radicale.
L'entrée $\sqrt(8)$ est lue comme « racine arithmétique du 2e degré de huit » et le mot « arithmétique » n'est souvent pas utilisé.
Définition 3
Selon la définition racine arithmétique du 2ème degré peut s'écrire :
Pour tout $a \ge 0$ :
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Nous avons montré la différence entre une racine seconde et une racine seconde arithmétique. De plus, nous ne considérerons que les racines des nombres et des expressions non négatifs, c'est-à-dire seulement de l'arithmétique.
Racine arithmétique du troisième degré
Définition 4
Racine arithmétique du 3ème degré (ou racine cubique) du nombre $a$($a \ge 0$) est un nombre non négatif qui, une fois réduit au cube, devient égal à $a$.
Souvent, le mot arithmétique est omis et on dit « la 3ème racine du nombre $a$ ».
La racine arithmétique du 3ème degré de $a$ est notée $\sqrt(a)$, le signe « $\sqrt( )$ » est le signe de la racine arithmétique du 3ème degré et le nombre $3$ dans cette notation s'appelle index racine. Le nombre ou l'expression qui apparaît sous le signe racine s'appelle radical.
Exemple 2
$\sqrt(3,5)$ – racine arithmétique du 3ème degré de 3,5$ ou racine cubique de 3,5$ ;
$\sqrt(x+5)$ – racine arithmétique du 3ème degré de $x+5$ ou racine cubique de $x+5$.
Arithmétique nième racine
Définition 5
Racine arithmétique nième degré à partir du nombre $a \ge 0$ on appelle un nombre non négatif qui, élevé à la $n$ième puissance, devient égal à $a$.
Notation pour la racine arithmétique du degré $n$ de $a \ge 0$ :
où $a$ est un nombre ou une expression radicale,
