Expression algébrique

une expression composée de lettres et de chiffres reliés par des signes pour les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, d'élévation à une puissance entière et d'extraction de la racine (les exposants et les racines doivent être nombres constants). A.v. est dit rationnel par rapport à certaines lettres qui y sont incluses s'il ne les contient pas sous le signe de l'extraction de racine, par exemple

rationnel par rapport à a, b et c. A.v. est appelé un entier par rapport à certaines lettres s'il ne contient pas de division en expressions contenant ces lettres, par exemple 3a/c + bc 2 - 3ac/4 est entier par rapport à a et b. Si certaines des lettres (ou toutes) sont considérées comme des variables, alors A.c. est une fonction algébrique.

Grand Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

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Une expression algébrique est une ou plusieurs quantités algébriques (chiffres et lettres) reliées par des signes d'opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication et division, ainsi que prise de racines et élévation à des nombres entiers... ... Wikipédia

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Une expression algébrique pour une variable donnée, contrairement à une expression transcendantale, est une expression qui ne contient pas d'autres fonctions de quantité donnée, sauf les sommes, produits ou puissances de cette quantité, et les termes... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

EXPRESSION, expressions, cf. 1. Action en vertu du ch. exprimer exprimer. Je ne trouve pas de mots pour exprimer ma gratitude. 2. plus souvent des unités. L'incarnation d'une idée sous la forme d'une sorte d'art (philosophie). Seul un grand artiste peut créer une telle expression... ... Dictionnaire Ouchakova

Une équation résultant de la mise en équivalence de deux expressions algébriques (Voir Expression algébrique). A.u. avec une inconnue est appelé fractionnaire si l'inconnue est incluse dans le dénominateur, et irrationnel si l'inconnue est incluse sous ... ... Grande Encyclopédie Soviétique

EXPRESSION- primaire notion mathématique, ce qui signifie un enregistrement de lettres et de chiffres reliés par des signes opérations arithmétiques, dans ce cas, des parenthèses, des désignations de fonctions, etc. peuvent être utilisées ; Habituellement, B représente un million de parties de la formule. Il y a B (1)… … Grande encyclopédie polytechnique

Résolvons le problème.

L'étudiant a acheté des cahiers pour 2 kopecks. pour un cahier et un manuel pour 8 kopecks. Combien a-t-il payé pour la totalité de l'achat ?

Pour connaître le coût de tous les ordinateurs portables, vous devez multiplier le prix d’un ordinateur portable par le nombre d’ordinateurs portables. Cela signifie que le coût des cahiers sera de quelques centimes.

Le coût de la totalité de l'achat sera égal à

Notez qu'avant un multiplicateur exprimé par une lettre, le signe de multiplication est généralement omis ; il est simplement implicite ; Par conséquent, l’entrée précédente peut être représentée comme suit :

Nous avons reçu une formule pour résoudre le problème. Il montre que pour résoudre le problème, il faut multiplier le prix du cahier par le nombre de cahiers achetés et ajouter le coût du manuel au travail.

Au lieu du mot « formule », le nom « expression algébrique » est également utilisé pour de tels enregistrements.

Une expression algébrique est un enregistrement composé de nombres désignés par des chiffres ou des lettres et reliés par des signes d'action.

Par souci de concision, au lieu de « expression algébrique », ils disent parfois simplement « expression ».

Voici quelques autres exemples d’expressions algébriques :

De ces exemples, nous voyons qu'une expression algébrique peut être constituée d'une seule lettre, ou ne pas contenir de chiffres du tout, désignés par des lettres (deux exemples récents). Dans ce ce dernier cas Cette expression est également appelée expression arithmétique.

Donnons à la lettre la valeur 5 dans l'expression algébrique que nous avons reçue (ce qui signifie que l'élève a acheté 5 cahiers). En remplaçant le nombre 5, nous obtenons :

ce qui est égal à 18 (soit 18 kopecks).

Le nombre 18 est la valeur de cette expression algébrique lorsque

La valeur d'une expression algébrique est le nombre qui sera obtenu si les valeurs données sont substituées aux lettres de cette expression et appliquées aux nombres actions spécifiées.

Par exemple, on peut dire : la valeur de l'expression at est de 12 (12 kopecks).

La valeur de la même expression à est de 14 (14 kopecks), etc.

Nous voyons que la signification d'une expression algébrique dépend des valeurs que nous accordons aux lettres qui y sont incluses. Certes, il arrive parfois que le sens d'une expression ne dépende pas du sens des lettres qui y sont incluses. Par exemple, l'expression est égale à 6 pour toutes les valeurs de a.

Trouvons à titre d'exemple valeurs numériques expressions pour différentes significations les lettres a et b.

Remplaçons cette expression au lieu de a le nombre 4, et au lieu de 6 le nombre 2 et calculez l'expression résultante :

Ainsi, lorsque la valeur de l'expression For est égale à 16.

De la même manière, on constate que à la valeur de l'expression est 29, à et elle est égale à 2, etc.

Les résultats des calculs peuvent être rédigés sous la forme d'un tableau qui montre clairement comment la valeur de l'expression change en fonction de l'évolution des valeurs des lettres qui y sont incluses.

Créons un tableau de trois lignes. Dans la première ligne, nous écrirons les valeurs de a, dans la seconde - les valeurs 6 et

dans le troisième - les valeurs de l'expression. Nous obtenons un tel tableau.

Expressions algébriques commencer à étudier en 7e année. Ils possèdent de nombreuses propriétés et sont utilisés pour résoudre des problèmes. Étudions ce sujet plus en détail et considérons un exemple de résolution du problème.

Définition du concept

Quelles expressions sont appelées algébriques ? Ce notation mathématique, composé de chiffres, de lettres et de symboles arithmétiques. La présence de lettres constitue la principale différence entre les expressions numériques et algébriques. Exemples :

• 4a+5;
• 6b-8 ;
• 5s:6*(8+5).

Une lettre dans les expressions algébriques désigne un nombre. C'est pourquoi on l'appelle une variable : dans le premier exemple, c'est la lettre a, dans le deuxième, c'est b et dans le troisième, c'est c. L'expression algébrique elle-même est également appelée expression avec variable.

Valeur de l'expression

Signification de l'expression algébrique est le nombre obtenu en effectuant toutes les opérations arithmétiques indiquées dans cette expression. Mais pour l’obtenir, il faut remplacer les lettres par des chiffres. Par conséquent, dans les exemples, ils indiquent toujours quel chiffre correspond à la lettre. Voyons comment trouver la valeur de l'expression 8a-14*(5-a) si a=3.

Remplaçons le chiffre 3 à la place de la lettre a. Nous obtenons l'entrée suivante : 8*3-14*(5-3).

Comme dans les expressions numériques, la solution d'une expression algébrique s'effectue selon les règles d'exécution des opérations arithmétiques. Résolvons tout dans l'ordre.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Ainsi, la valeur de l'expression 8a-14*(5-a) à a=3 est égale à -4.

La valeur d'une variable est dite valide si l'expression a un sens avec elle, c'est-à-dire qu'il est possible de trouver sa solution.

Un exemple de variable valide pour l'expression 5:2a est le nombre 1. En le substituant dans l'expression, nous obtenons 5:2*1=2,5.

La variable invalide pour cette expression est 0. Si nous remplaçons zéro dans l'expression, nous obtenons 5:2*0, c'est-à-dire 5:0. Vous ne pouvez pas diviser par zéro, ce qui signifie que l’expression n’a aucun sens.

Expressions d'identité

Si deux expressions sont égales pour n'importe quelle valeur de leurs variables constitutives, elles sont appelées identique.
Exemple d'expressions identiques :
4(a+c) et 4a+4c.
Quelles que soient les valeurs que prennent les lettres a et c, les expressions seront toujours égales. Toute expression peut être remplacée par une autre qui lui est identique. Ce processus est appelé transformation d’identité.

Exemple de transformation d'identité .
4*(5a+14c) – cette expression peut être remplacée par une expression identique en appliquant loi mathématique multiplication. Pour multiplier un nombre par la somme de deux nombres, vous devez multiplier ce nombre par chaque terme et additionner les résultats.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Ainsi, l’expression 4*(5a+14c) est identique à 20a+64c.

Le nombre apparaissant devant une lettre variable dans une expression algébrique est appelé coefficient. Le coefficient et la variable sont des multiplicateurs.

Résolution de problèmes

Les expressions algébriques sont utilisées pour résoudre des problèmes et des équations.
Considérons le problème. Petya a trouvé un numéro. Pour que sa camarade de classe Sasha le devine, Petya lui a dit : j'ai d'abord ajouté 7 au nombre, puis j'en ai soustrait 5 et multiplié par 2. En conséquence, j'ai obtenu le nombre 28. Quel nombre ai-je deviné ?

Pour résoudre le problème, vous devez désigner le numéro masqué avec la lettre a, puis effectuer toutes les actions indiquées avec celui-ci.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Résolvons maintenant l'équation résultante.

Petya souhaitait le numéro 12.

Qu'avons-nous appris ?

Une expression algébrique est un enregistrement composé de lettres, de chiffres et de symboles arithmétiques. Chaque expression a une valeur, qui est trouvée en effectuant toutes les opérations arithmétiques dans l'expression. La lettre dans une expression algébrique est appelée une variable et le nombre qui la précède est appelé un coefficient. Les expressions algébriques sont utilisées pour résoudre des problèmes.

Propriétés des diplômes :

(1) une m ⋅ une n = une m + n

Exemple:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Exemple:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = une n ⋅ b n

Exemple:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Exemple:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = une m ⋅ n

Exemple:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Exemples :

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Propriétés racine carrée:

(1) a b = a ⋅ b, pour a ≥ 0, b ≥ 0

Exemple:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, pour a ≥ 0, b > 0

Exemple:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, pour a ≥ 0

Exemple:

(4) une 2 = | un |

Exemples :

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

pour tout un Rationnel et

nombres irrationnels Nombres rationnels – des nombres qui peuvent être représentés par fraction commune

m n où m est un entier (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3...), n est un nombre naturel (ℕ = 1, 2, 3, 4...).

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Exemples de nombres rationnels : Nombres irrationnels

– les nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction commune m n ; ce sont des fractions décimales infinies non périodiques.

Exemples de nombres irrationnels :

e = 2,71828182845…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

π = 3,1415926…

En termes simples, les nombres irrationnels sont des nombres qui contiennent un signe racine carrée dans leur notation. Mais ce n'est pas si simple. Certains nombres rationnels sont déguisés en nombres irrationnels, par exemple, le nombre 4 contient un signe racine carrée dans sa notation, mais on sait bien qu'on peut simplifier la forme de notation 4 = 2. Cela signifie que le chiffre 4 est un nombre rationnel.

De même, le nombre 4 81 = 4 81 = 2 9 est un nombre rationnel.

Certains problèmes nécessitent que vous déterminiez quels nombres sont rationnels et lesquels sont irrationnels. La tâche consiste à comprendre quels nombres sont irrationnels et quels nombres sont déguisés en tels. Pour ce faire, vous devez être capable d'effectuer les opérations consistant à supprimer le multiplicateur sous le signe racine carrée et à introduire le multiplicateur sous le signe racine.

Ajouter et soustraire un multiplicateur au-delà du signe racine carrée

Exemple:

En déplaçant le facteur au-delà du signe racine carrée, vous pouvez simplifier considérablement certaines expressions mathématiques.

Simplifiez l'expression 2 8 2. 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Méthode 1 (suppression du multiplicateur sous le signe racine) : 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Méthode 2 (saisie d'un multiplicateur sous le signe racine) :

Formules de multiplication abrégées (FSU)

Carré de la somme

Exemple:

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(3 x + 4 ans) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 ans + (4 ans) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 ans 2

Différence au carré

Exemple:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

La somme des carrés ne factorise pas

une 2 + b 2 ≠

Différence de carrés

(3) une 2 − b 2 = (une − b) (une + b)

Exemple:

25 x 2 − 4 oui 2 = (5 x) 2 − (2 oui) 2 = (5 x − 2 oui) (5 x + 2 oui)

Cube de somme

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Exemple:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 ans + 3 ⋅ x ⋅ 9 ans 2 + 27 ans 3 = x 3 + 9 x 2 ans + 27 x y 2 + 27 ans 3

Cube de différence

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Exemple:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 oui + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 oui 2 − 8 oui 3 = x 6 − 6 x 4 oui + 12 x 2 oui 2 − 8 oui 3

Somme des cubes

(6) une 3 + b 3 = (une + b) (une 2 − une b + b 2)

Exemple:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Différence de cubes

(7) une 3 − b 3 = (une − b) (une 2 + une b + b 2)

Exemple:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 oui) (x 4 + 3 x 2 oui + 9 oui 2)

Vue standard Nombres

Afin de comprendre comment amener l'arbitraire nombre rationnel au formulaire standard, vous devez savoir quel est le premier chiffre significatif d’un nombre.

D'abord chiffre significatif Nombres appelons-le le premier chiffre différent de zéro à gauche.

Exemples :
2 5 ;

3, 05 ;

1. 0, 1 43 ;
2. 0,00 1 2. Le premier chiffre significatif est surligné en rouge.
3. Afin de mettre un numéro sous forme standard, vous devez :
4. Déplacez le point décimal pour qu'il se trouve immédiatement après le premier chiffre significatif.< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. Multipliez le nombre obtenu par 10 n, où n est un nombre défini comme suit :

n > 0 si la virgule a été déplacée vers la gauche (multiplier par 10 n indique que la virgule devrait effectivement être plus à droite) ;

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

n

la valeur absolue du nombre n est égale au nombre de chiffres dont la virgule décimale a été décalée.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Exemples :

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

La virgule s'est déplacée d'une place vers la gauche. Puisque le décalage décimal est vers la gauche, le degré est positif.

Expression algébrique- il s'agit de tout enregistrement de lettres, de chiffres, de signes arithmétiques et de parenthèses, composé de manière significative. Essentiellement, une expression algébrique est une expression numérique dans laquelle, outre les chiffres, des lettres sont également utilisées. Par conséquent, les expressions algébriques sont également appelées expressions littérales.

Principalement dans expressions littérales utiliser des lettres alphabet latin. A quoi servent ces lettres ? Au lieu de cela, nous pouvons remplacer différents numéros. C'est pourquoi ces lettres sont appelées variables. Autrement dit, ils peuvent changer de sens.

Exemples d'expressions algébriques.

$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(aligner)$

Il existe des valeurs d'une variable pour lesquelles l'expression algébrique perd son sens. Cela se produira, par exemple, si dans l'expression 1:x nous remplaçons la valeur 0 à la place de x.
Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro.

Le domaine de définition d'une expression algébrique.

L'ensemble des valeurs d'une variable pour lesquelles l'expression ne perd pas de sens est appelé domaine de définition cette expression. On peut aussi dire que le domaine de définition d'une expression est l'ensemble de tous valeurs acceptables variable.

Regardons des exemples :

1. y+5 – le domaine de définition sera constitué de n’importe quelle valeur de y.
2. 1:x – l'expression aura un sens pour toutes les valeurs de x sauf 0. Par conséquent, le domaine de définition sera constitué de toutes les valeurs de x sauf zéro.
3. (x+y) :(x-y) – domaine de définition – toutes valeurs de x et y pour lesquelles x ≠ y.

Expressions algébriques rationnelles sont des expressions algébriques entières et fractionnaires.

1. Expression algébrique entière – ne contient pas d'exponentiation avec indicateur fractionnaire, extraire la racine d'une variable, ainsi que diviser par une variable. Dans les expressions algébriques entières, toutes les valeurs des variables sont valides. Par exemple, ax + bx + c est une expression algébrique entière.
2. Fractionnel – contient la division par une variable. $\frac(1)(a)+bx+c$ est une expression algébrique fractionnaire. Dans les expressions algébriques fractionnaires, toutes les valeurs de variables qui ne se divisent pas par zéro sont valides.

$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- les expressions algébriques irrationnelles. Dans les expressions algébriques irrationnelles, toutes les valeurs de variables sont valables pour lesquelles l'expression sous le signe d'une racine paire n'est pas négative.