Modèles mathématiques

Modèle mathématique - opi approximatifla signification de l'objet de modélisation, exprimée à l'aidedu symbolisme mathématique.

Les modèles mathématiques sont apparus avec les mathématiques il y a plusieurs siècles. Un énorme coup de pouce au développement modélisation mathématique provoquée par l’avènement des ordinateurs. Application des ordinateurs a permis d'analyser et d'appliquer dans la pratique de nombreux modèles mathématiques qui ne se prêtaient auparavant pas à la recherche analytique. Implémenté mathématiquement sur un ordinateurmodèle de ciel appelé modèle mathématique informatique, UN effectuer des calculs ciblés à l'aide d'un modèle informatique appelé expérience informatique.

Étapes de l'informatique mathématiquedivision sont représentés sur la figure. D'abordscène - définir les objectifs de la modélisation. Ces objectifs peuvent être différents :

1. un modèle est nécessaire pour comprendre comment fonctionne un objet spécifique, quelle est sa structure, ses propriétés de base, les lois de développement et d'interaction
   avec le monde extérieur (compréhension) ;
2. un modèle est nécessaire pour apprendre à contrôler un objet (ou un processus) et à déterminer les meilleurs moyens gestion avec des objectifs et des critères donnés (gestion);
3. le modèle est nécessaire pour prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre méthodes données et les formes d'influence sur l'objet (prévision).

Un exemple venu d'un tout autre domaine : des populations de deux espèces d'individus qui coexistaient pacifiquement avec des effectifs stables et disposaient d'un approvisionnement alimentaire commun, commencent « soudainement » à changer brusquement leurs effectifs. Et ici la modélisation mathématique permet (avec un certain degré de fiabilité) d'établir la cause (ou du moins de réfuter une certaine hypothèse).

Développer un concept de gestion d'un objet est un autre objectif possible de la modélisation. Quel mode de vol de l'avion dois-je choisir pour garantir que le vol soit sûr et le plus rentable économiquement ? Comment planifier des centaines de types de travaux pour la construction d'une grande installation afin qu'ils soient achevés dans les plus brefs délais ? Beaucoup de ces problèmes se posent systématiquement aux économistes, aux concepteurs et aux scientifiques.

Enfin, prédire les conséquences de certains impacts sur un objet peut être à la fois relativement simple dans des systèmes physiques simples et extrêmement complexe – à la limite de la faisabilité – dans des systèmes biologiques, économiques et sociaux. S'il est relativement facile de répondre à la question sur les changements dans le mode de distribution de la chaleur dans une tige mince en raison de changements dans son alliage constitutif, alors tracez (prédisez) les effets environnementaux et conséquences climatiques construction grande centrale hydroélectrique ou conséquences sociales les changements dans la législation fiscale sont incomparablement plus difficiles. Peut-être qu’ici aussi, les méthodes de modélisation mathématique apporteront à l’avenir une aide plus significative.

Seconde phase: détermination des paramètres d'entrée et de sortie du modèle ; division des paramètres d'entrée selon le degré d'importance de l'influence de leurs modifications sur la sortie. Ce processus est appelé classement, ou séparation par rang (voir. "Formalisationtion et modélisation").

Troisième étape : construction modèle mathématique. A ce stade, il y a une transition d'une formulation abstraite du modèle à une formulation ayant un représentation mathématique. Un modèle mathématique est constitué d'équations, de systèmes d'équations, de systèmes d'inégalités, d'équations différentielles ou de systèmes de telles équations, etc.

Quatrième étape : choisir une méthode pour étudier un modèle mathématique. Le plus souvent, on utilise ici des méthodes numériques qui se prêtent bien à la programmation. En règle générale, plusieurs méthodes conviennent pour résoudre le même problème, différant par leur précision, leur stabilité, etc. Depuis le bon choix La méthode dépend souvent du succès de l’ensemble du processus de modélisation.

Cinquième étape : développer un algorithme, compiler et déboguer un programme informatique est un processus difficile à formaliser. Parmi les langages de programmation, de nombreux professionnels préfèrent FORTRAN pour la modélisation mathématique : à la fois en raison des traditions et en raison de l'efficacité inégalée des compilateurs (pour le travail de calcul) et de la disponibilité d'énormes bibliothèques soigneusement déboguées et optimisées de programmes standards pour les méthodes mathématiques écrites dedans. . Des langages tels que PASCAL, BASIC, C sont également utilisés, selon la nature de la tâche et les inclinations du programmeur.

Sixième étape : test du programme. Le fonctionnement du programme est testé sur un problème de test avec une réponse préalablement connue. Ce n’est que le début d’une procédure de test difficile à décrire de manière formelle et exhaustive. En règle générale, les tests se terminent lorsque l'utilisateur, sur la base de ses caractéristiques professionnelles, considère le programme comme correct.

Septième étape : l'expérience informatique proprement dite, au cours de laquelle il est déterminé si le modèle correspond à un objet (processus) réel. Le modèle est suffisamment adapté au processus réel si certaines caractéristiques du processus obtenues sur ordinateur coïncident avec les caractéristiques obtenues expérimentalement avec un degré de précision donné. Si le modèle ne correspond pas au processus réel, on revient à une des étapes précédentes.

Classification des modèles mathématiques

La classification des modèles mathématiques peut être basée sur divers principes. Vous pouvez classer les modèles par branches scientifiques (modèles mathématiques en physique, biologie, sociologie, etc.). Peut être classé selon l'appareil mathématique utilisé (modèles basés sur l'utilisation de mathématiques ordinaires) équations différentielles, équations aux dérivées partielles, méthodes stochastiques, discret transformations algébriques etc.). Enfin, si l'on part des problèmes généraux de modélisation dans différentes sciences, quel que soit l'appareil mathématique, la classification suivante est la plus naturelle :

• modèles descriptifs (descriptifs);
• modèles d'optimisation ;
• modèles multicritères ;
• modèles de jeux.

Expliquons cela avec des exemples.

Modèles descriptifs (descriptifs). Par exemple, la modélisation du mouvement d'une comète ayant envahi le système solaire est réalisée pour prédire sa trajectoire de vol, la distance à laquelle elle passera de la Terre, etc. Dans ce cas, les objectifs de modélisation sont de nature descriptive, puisqu'il n'y a aucun moyen d'influencer le mouvement de la comète ou d'y changer quoi que ce soit.

Modèles d'optimisation sont utilisés pour décrire les processus qui peuvent être influencés pour tenter d’atteindre un objectif donné. Dans ce cas, le modèle comprend un ou plusieurs paramètres pouvant être influencés. Par exemple, lors de la modification du régime thermique dans un grenier, vous pouvez vous fixer pour objectif de choisir un régime qui permettra d'atteindre une sécurité maximale des grains, c'est-à-dire optimiser le processus de stockage.

Modèles multicritères. Il est souvent nécessaire d’optimiser un processus selon plusieurs paramètres simultanément, et les objectifs peuvent être assez contradictoires. Par exemple, connaissant les prix de la nourriture et les besoins alimentaires d'une personne, il est nécessaire d'organiser la nutrition de grands groupes de personnes (dans l'armée, les camps d'été pour enfants, etc.) physiologiquement correctement et, en même temps, à moindre coût que possible. Il est clair que ces objectifs ne coïncident pas du tout, c'est-à-dire Lors de la modélisation, plusieurs critères seront utilisés, entre lesquels un équilibre devra être recherché.

Modèles de jeu peut concerner non seulement jeux d'ordinateur, mais aussi à très des choses sérieuses. Par exemple, un commandant avant une bataille avec des informations incomplètes sur armée adverse doit élaborer un plan : dans quel ordre introduire certaines unités au combat, etc., en tenant compte et réaction possible ennemi. Il existe une branche particulière des mathématiques modernes - la théorie des jeux - qui étudie les méthodes de prise de décision dans des conditions d'information incomplète.

DANS cours scolaire En informatique, les étudiants reçoivent une première compréhension de la modélisation mathématique informatique dans le cadre du cours de base. Au lycée, la modélisation mathématique peut être étudiée en profondeur dans cours de formation générale pour les cours de physique et de mathématiques, ainsi que dans le cadre d'un cours au choix spécialisé.

Les principales formes d'enseignement de la modélisation mathématique informatique au lycée sont les cours magistraux, les cours de laboratoire et les tests. En règle générale, le travail de création et de préparation à l'étude de chaque nouveau modèle prend 3 à 4 leçons. Lors de la présentation du matériel, des problèmes sont posés qui doivent être résolus par les étudiants de manière indépendante à l'avenir. Plan général des moyens de les résoudre sont décrits. Des questions sont formulées, dont les réponses doivent être obtenues lors de l'exécution des tâches. Une littérature supplémentaire est indiquée qui vous permet d'obtenir des informations auxiliaires pour une meilleure réussite des tâches.

La forme d'organisation des cours lors de l'étude de nouveaux matériaux est généralement un cours magistral. Après avoir terminé la discussion sur le prochain modèle étudiants avoir à leur disposition le nécessaire informations théoriques et un ensemble de tâches pour des travaux ultérieurs. En préparation à l'accomplissement de la tâche, les élèves choisissent méthode appropriée solutions, en utilisant une solution privée bien connue pour tester le programme développé. En cas de difficultés tout à fait possibles dans l'accomplissement des tâches, une consultation est donnée, et il est proposé d'étudier plus en détail ces sections dans les sources littéraires.

La méthode projet est la plus appropriée pour la partie pratique de l’enseignement de la modélisation informatique. La tâche est formulée pour l'étudiant sous la forme d'un projet pédagogique et se déroule sur plusieurs cours, et la principale forme d'organisation est informatique travaux de laboratoire. Formation à la modélisation par la méthode projets éducatifs peut être mis en œuvre sur différents niveaux. Le premier est une présentation problématique du processus de réalisation du projet, mené par l'enseignant. La seconde est la mise en œuvre du projet par les étudiants sous la direction d'un enseignant. La troisième consiste pour les étudiants à réaliser de manière indépendante un projet de recherche pédagogique.

Les résultats des travaux doivent être présentés sous forme numérique, sous forme de graphiques et de schémas. Si possible, le processus est présenté sur l'écran de l'ordinateur de manière dynamique. Une fois les calculs terminés et la réception des résultats, ceux-ci sont analysés et comparés avec faits connusà partir de la théorie, la fiabilité est confirmée et une interprétation significative est faite, qui est ensuite reflétée dans un rapport écrit.

Si les résultats satisfont l'étudiant et l'enseignant, alors le travail compte terminé, et sa dernière étape est la préparation d’un rapport. Le rapport comprend de brèves informations théoriques sur le sujet étudié, une formulation mathématique du problème, un algorithme de solution et sa justification, un programme informatique, les résultats du programme, une analyse des résultats et des conclusions et une liste de références.

Lorsque tous les rapports ont été compilés, les élèves présentent leur messages courts sur le travail réalisé, défendre leur projet. Il s'agit d'une forme efficace de rapport du groupe réalisant le projet à la classe, comprenant la définition du problème, la construction d'un modèle formel, le choix des méthodes de travail avec le modèle, la mise en œuvre du modèle sur un ordinateur, le travail avec le modèle fini, l'interprétation les résultats et faire des prédictions. En conséquence, les étudiants peuvent recevoir deux notes : la première - pour l'élaboration du projet et la réussite de sa soutenance, la seconde - pour le programme, l'optimalité de son algorithme, de son interface, etc. Les étudiants reçoivent également des notes lors de quiz théoriques.

Une question essentielle est de savoir quels outils utiliser dans un cours d’informatique scolaire pour la modélisation mathématique ? La mise en œuvre informatique des modèles peut être réalisée :

• en utilisant un tableur (généralement MS Excel) ;
• en créant des programmes dans les langages de programmation traditionnels (Pascal, BASIC, etc.), ainsi que dans leurs versions modernes (Delphi, Visual
  Base pour application, etc.);
• en utilisant des packages d'applications spéciaux pour résoudre des problèmes mathématiques (MathCAD, etc.).

Au niveau scolaire de base, la première méthode semble être préférable. Cependant, dans lycée Lorsque la programmation est, avec la modélisation, un sujet clé en informatique, il est souhaitable de l’utiliser comme outil de modélisation. Au cours du processus de programmation, les détails des procédures mathématiques deviennent accessibles aux étudiants ; De plus, ils sont simplement obligés de les maîtriser, ce qui contribue à enseignement des mathématiques. Quant à l'utilisation de progiciels spécifiques, elle convient dans un cours spécialisé d'informatique en complément d'autres outils.

Exercice :

• Faites un diagramme des concepts clés.

Contenu Sujet de modélisation mathématique. Bases de la modélisation. Le concept de modèle. Principe de modélisation. La modélisation comme méthode savoir scientifique. Étapes de modélisation. Caractéristiques des étapes 1 – 2. Étapes de modélisation. Caractéristiques de 3 à 4 étapes. Classement des modèles. Résumé général. Classification des modèles économiques et mathématiques. Étapes de modélisation économique et mathématique. Modèle mathématique. Programmation linéaire. Énoncé du problème de programmation linéaire. Interprétation géométrique et solution graphique d'un problème de programmation linéaire. Méthode simplexe. Construction de l'initiale plan de référence. Tableaux simplexes. Signe d'optimalité du plan de référence. Le concept de dualité. Construction de problèmes duaux et de leurs propriétés. Problème de transports. Construction du plan de référence initial. Problème de transports. Méthode des potentiels.

Contenu Concepts de base et définitions de la théorie des graphes. Ordonner les éléments d'un digraphe. L'algorithme de Fulkerson. Résoudre les problèmes de recherche des chemins les plus courts dans un graphique. Le problème du débit maximum et ses applications. Problème de transport dans une formulation de réseau. Éléments de planification du réseau. Principes de programmation dynamique, procédure de calcul de la méthode. Méthode Monte-Carlo. L'essence de la méthode. Résoudre des problèmes selon la méthode de Monte Carlo. Éléments de théorie des jeux matriciels. Jeux matriciels jumelés à somme nulle. Méthodes de résolution de jeux matriciels. Jeux avec la nature. Critères de prise de décision. Package Maple 7. Présentation générale du package. Ses capacités. Interface du programme, fonctionnant avec des commandes. Utiliser des variables. Travailler avec des tableaux.

Sujet de modélisation mathématique. Bases de la modélisation La modélisation mathématique est l'étude de phénomènes, de processus, de systèmes ou d'objets en construisant et en étudiant leurs modèles et en utilisant ces derniers pour déterminer ou clarifier des caractéristiques et des caractéristiques. des moyens rationnels construction de processus, de systèmes et d'objets technologiques nouvellement conçus. Un modèle mathématique est une abstraction du monde réel, dans laquelle les relations entre les chercheurs concernés éléments réels remplacé relation convenable entre les catégories mathématiques. Ces relations se présentent généralement sous forme d'équations et (ou) d'inégalités qui caractérisent le fonctionnement du système réel simulé. L'art de construire des modèles mathématiques consiste à combiner autant de brièveté que possible dans sa description mathématique avec une reproduction de modèle suffisamment précise des aspects précis de la réalité analysée qui intéressent le chercheur. La modélisation de menus est un processus créatif qui nécessite une préparation et un traitement sérieux d'une grande quantité d'informations, combine l'intensité du travail et les principes heuristiques et est de nature probabiliste.

Le concept de modèle. La modélisation comme méthode de connaissance scientifique Un modèle est une ressemblance simplifiée avec un objet, un phénomène ou un processus réel. Un modèle est un objet matériel ou mentalement imaginable qui remplace l'objet original aux fins de son étude, en préservant certains éléments importants. cette étude caractéristiques et propriétés typiques de l'original. Un modèle bien construit est généralement plus accessible à la recherche que objet réel(par exemple, comme l'économie d'un pays, le système solaire, etc.). Un autre objectif non moins important du modèle est qu'avec son aide, les facteurs les plus importants qui forment certaines propriétés d'un objet sont identifiés. Le modèle vous permet également d'apprendre à contrôler un objet, ce qui est important dans les cas où expérimenter un objet est peu pratique, difficile ou impossible (par exemple, lorsque l'expérience a été durée plus longue ou lorsqu'il existe un risque de réduire l'objet à un état indésirable ou irréversible). Ainsi, nous pouvons conclure qu'un modèle est nécessaire pour : comprendre comment un objet spécifique est structuré - quelles sont sa structure, ses propriétés de base, ses lois de développement et d'interaction avec le monde extérieur ; apprendre à gérer un objet ou un processus et déterminer les meilleures méthodes de gestion pour des objectifs et des critères donnés (optimisation) ; Menu prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre de méthodes et de formes d'influence spécifiées sur un objet ou un processus.

Étapes de modélisation Caractéristiques de l'étape 1 Étape I. Énoncé du problème Sous la tâche elle-même dans un sens général il y a un problème qui doit être résolu. L'essentiel est de définir l'objet de modélisation et de comprendre quel devrait être le résultat. En fonction de la nature de la formulation, tous les problèmes peuvent être divisés en deux groupes principaux. Le premier groupe comprend des tâches dans lesquelles il est nécessaire d'étudier comment les caractéristiques d'un objet changent sous une certaine influence sur celui-ci. Cette formulation du problème est généralement appelée « que se passera-t-il si… ». Le deuxième groupe de problèmes a la formulation généralisée suivante : quel impact faut-il avoir sur l'objet pour que ses paramètres satisfassent à un certain état donné? Cette formulation du problème est souvent appelée « comment faire pour que… ». Les objectifs de la simulation sont déterminés par les paramètres de conception du modèle. Le plus souvent, il s'agit d'une recherche d'une réponse à la question posée dans la formulation du problème. Ensuite, ils passent à une description de l’objet ou du processus. A ce stade, les facteurs dont dépend le comportement du modèle sont identifiés. Lors de la modélisation feuilles de calcul Cependant, seuls les paramètres présentant des caractéristiques quantitatives peuvent être pris en compte. Parfois, le problème peut déjà être formulé sous une forme simplifiée, et il fixe clairement les objectifs et définit les paramètres du modèle qui doivent être pris en compte. Lors de l'analyse d'un objet, il est nécessaire de répondre à la question suivante : l'objet ou le processus étudié peut-il être considéré comme un tout, ou s'agit-il d'un système constitué d'objets plus simples ? S'il s'agit d'un tout unique, vous pouvez alors procéder à la création d'un modèle d'information. S’il s’agit d’un système, il faut passer à l’analyse des objets qui le composent et déterminer les connexions entre eux. Menu

Étapes de modélisation Caractéristiques de l'étape 2 Étape II. Développement du modèle Sur la base des résultats de l'analyse de l'objet, un modèle d'information. Il décrit en détail toutes les propriétés d'un objet, ses paramètres, actions et relations. Ensuite, le modèle d'information doit être exprimé sous l'une des formes symboliques. Étant donné que nous travaillerons dans un environnement de feuille de calcul, le modèle d'information doit être converti en modèle mathématique. A partir de modèles informationnels et mathématiques, un modèle informatique est élaboré sous forme de tableaux, dans lesquels on distingue trois domaines de données : données initiales, calculs intermédiaires, résultats. Les données sources sont saisies manuellement. Les calculs, tant intermédiaires que finaux, sont effectués à l'aide de formules écrites selon les règles des tableurs. Menu

Étapes de modélisation Caractéristiques de l'étape 3 Étape III. Expérience informatique Pour donner vie à de nouveaux développements de conception, pour introduire de nouveaux solutions techniques en production ou pour tester de nouvelles idées, une expérimentation est nécessaire. Dans un passé récent, une telle expérience a pu être menée soit dans conditions de laboratoire sur des installations spécialement créées à cet effet, ou in situ, c'est-à-dire sur un échantillon réel du produit, en le soumettant à toutes sortes de tests. Cela demande beaucoup coût des matériaux et le temps. Les études informatiques de modèles sont venues à la rescousse. Lors d'une expérience informatique, l'exactitude des modèles est vérifiée. Le comportement du modèle est étudié sous différents paramètres d'objet. Chaque expérimentation s'accompagne d'une compréhension des résultats. Si les résultats d'une expérience informatique contredisent le sens du problème à résoudre, l'erreur doit alors être recherchée dans un modèle mal choisi ou dans l'algorithme et la méthode pour le résoudre. Après avoir identifié et éliminé les erreurs, l’expérience informatique est répétée. Menu

Étapes de modélisation Caractéristiques de l'étape 4 Étape IV. Analyse des résultats de simulation La dernière étape modélisation - analyse de modèle. Sur la base des données de calcul obtenues, nous vérifions dans quelle mesure les calculs correspondent à nos objectifs de compréhension et de modélisation. A ce stade, des recommandations pour améliorer le modèle adopté et, si possible, l'objet ou le processus sont déterminées. Menu

Classification des modèles Classification par domaine d'utilisation Éducatif : aides visuelles, divers simulateurs, programmes de formation. Expérimenté : copies réduites ou agrandies de l'objet étudié pour une étude plus approfondie (maquettes de navire, voiture, avion, centrale hydroélectrique). Des modèles scientifiques et techniques sont créés pour étudier les processus et les phénomènes (un stand pour tester les téléviseurs ; un synchrotron - accélérateur d'électrons, etc.). Jeux : jeux militaires, économiques, sportifs, d'entreprise. Imitation : refléter la réalité avec plus ou moins de précision (test d'un nouveau médicament dans un certain nombre d'expériences sur des souris ; expériences d'introduction en production nouvelle technologie). Classification prenant en compte le facteur temps Modèle statique - modèle d'un objet dans ce moment temps. Modèle dynamique vous permet de voir les changements dans un objet au fil du temps. Menu

Classification des modèles Classification par mode de représentation Un modèle matériel est une similitude physique d'un objet. Ils reproduisent les propriétés géométriques et physiques de l'original (oiseaux empaillés, modèles animaux, les organes internes corps humain, géographique et cartes historiques, schéma du système solaire). Un modèle d'information est un ensemble d'informations qui caractérisent les propriétés et les états d'un objet, d'un processus, d'un phénomène, ainsi que la relation avec le monde extérieur. Tout modèle d'information ne contient que des informations essentielles sur un objet, compte tenu de l'objectif pour lequel il a été créé. Les modèles d'information d'un même objet, destinés à des fins différentes, peuvent être complètement différents. Modèle verbal - modèle d'information en mental ou forme familière. Un modèle de signe est un modèle d'information exprimé par des signes spéciaux, c'est-à-dire au moyen de n'importe quel langage formel. Les modèles iconiques sont des dessins, des textes, des graphiques, des schémas, des tableaux, etc. Un modèle informatique est un modèle implémenté à l'aide d'un environnement logiciel. Avant de construire un modèle d'un objet (phénomène, processus), il est nécessaire d'identifier ses éléments constitutifs et les connexions entre eux (effectuer une analyse du système) et de « traduire » la structure résultante sous une forme prédéterminée - pour formaliser l'information. La formalisation du menu est le processus de mise en évidence et de traduction de la structure interne d'un objet, d'un phénomène ou d'un processus en un structure de l'information- formulaire.

Classification des modèles économiques et mathématiques Les modèles économiques et mathématiques sont des modèles de processus économiques contrôlés et régulés utilisés pour transformer la réalité économique. L'adéquation des modèles pour modéliser des objets est déterminée par la coïncidence des résultats de la recherche avec les faits observés. La pratique dans ce cas signifie la réalité. Selon leur objectif, les modèles économiques-mathématiques sont divisés en : Les modèles théoriques-analytiques sont divisés en modèles de tout ; économie nationale et ses sous-systèmes (industries, régions, etc.). Les modèles sont fonctionnels et structurels. Les modèles peuvent être descriptifs ou normatifs. Les modèles descriptifs répondent à la question : comment cela se produit-il et comment peut-il se développer davantage ? Les modèles normatifs répondent à la question : comment cela devrait-il être ? Autrement dit, ils impliquent une activité ciblée. Il existe des modèles strictement déterministes et des modèles prenant en compte le hasard et l’incertitude. Les modèles peuvent être statiques ou dynamiques. En fonction de la durée de la période considérée, on distingue des modèles de prévision et de planification à court terme (1 à 5 ans) et à long terme (10 à 15 ans ou plus). Le temps lui-même dans de tels modèles peut changer de manière continue ou discrète. Les modèles de menu peuvent être linéaires ou non linéaires.

Étapes de modélisation économique et mathématique. Mise en scène Problème économique et son analyse. L'essentiel est de déterminer l'essence du problème, les hypothèses formulées et les questions auxquelles des réponses sont nécessaires. L'étape consiste à mettre en évidence les caractéristiques et propriétés les plus importantes d'un objet, en faisant abstraction des caractéristiques secondaires. Formation d'hypothèses, si nécessaire, expliquant le comportement et l'évolution de l'objet. Construction d'un modèle mathématique. Étape de formalisation d'un problème économique. Il est faux de croire que plus un modèle prend en compte de faits, meilleur il est. Changer la complexité et la lourdeur du modèle complique le processus de recherche. Il faut prendre en compte les possibilités réelles d'information et de support mathématique. Il est nécessaire de comparer le coût de la modélisation avec l'effet obtenu. L’une des caractéristiques les plus importantes d’un modèle mathématique est la possibilité de l’utiliser pour résoudre divers problèmes. Menu

Étapes de modélisation économique et mathématique. Analyse mathématique du modèle. Le but de cette étape est de découvrir les propriétés générales des modèles. Point important– la preuve de l'existence d'une solution. Préparation des informations initiales Il est nécessaire de prendre en compte le délai de collecte des informations nécessaires, ainsi que les coûts de préparation des informations. Dans le processus de préparation, les méthodes de théorie des probabilités, de statistiques théoriques et mathématiques sont largement utilisées. Solution numérique. Développement d'algorithmes pour la solution numérique du problème, compilation de programmes informatiques et calculs directs. La difficulté à ce stade est créée par la grande dimension tâches économiques et la nécessité de traiter des quantités importantes d’informations. Analyse des menus résultats numériques et leur application. À ce stade, la question se pose de l'exactitude et de l'exhaustivité des résultats de la modélisation, ainsi que de leur degré d'applicabilité pratique.

Programmation linéaire. Il s'agit d'une branche de la modélisation mathématique dont toutes les dépendances sont linéaires. Le modèle mathématique de tout problème de programmation linéaire a la forme Z= max(min) Menu Conditions de non-négativité Xj ≥ 0

Exemple : Dans la fabrication des produits u 1 et u 2, des tours et fraiseuses, ainsi que de l'acier et des métaux non ferreux, sont utilisés selon les normes technologiques pour la production d'une unité de produit u 1, 300 et 200 unités ; de matériel de tournage et de fraisage sont nécessaires respectivement (en heures) et 10 et 20 unités d'acier et de métaux non ferreux (en kg). pour fabriquer le produit u, 2, 400, 100, 70, 50 unités des mêmes ressources sont nécessaires, respectivement. L'atelier dispose de 12400 et 6800 heures, 640 et 840 kg. matériel. Bénéfice des ventes par unité de produit u 1=6000 den. unités , u 2=16 000 deniers. unités Obligatoire : résumez les données sources dans un tableau pratique pour créer un modèle. Créez un modèle mathématique du problème. Déterminez le plan de production des produits, assurez un profit maximum à condition que le temps de fonctionnement des fraiseuses soit pleinement utilisé.

Solution : Soit x1 le nombre de produits u 1, et x2 le nombre de produits u 2, z le bénéfice total.

Programmation linéaire. Il s'agit d'une forme de notation courante ou dérivée. Les variables Xj qui satisfont au système de contraintes et à la condition de non-négativité sont dites admissibles. Les variables valides qui transforment la fonction objectif en max ou min sont appelées optimales. Les méthodes pour résoudre de tels problèmes sont divisées en universelles et spéciales. La méthode universelle est utilisée pour résoudre n’importe quel PLP. Méthodes spéciales prendre en compte les caractéristiques du modèle. Une particularité du ZLP est que la fonction objectif max (min) atteint la limite de la région. solutions admissibles. Les PLP comprennent : le problème du choix des technologies optimales ; problème de mélange ; problème de découpe du matériau ; problème de transport; Le problème du menu concerne la meilleure utilisation des ressources ; problème de passation de commande ;

Énoncé du problème de programmation linéaire Tout ZLP est écrit à l'aide d'un modèle mathématique. Il existe 3 formes d'enregistrement PAP Menu Général (gratuit)

Énoncé du problème de programmation linéaire Toutes ces formes sont équivalentes. Afin de passer de max à min (ou vice versa), vous devez changer les signes de chaque terme dans la notation de la fonction cible. Pour transformer une inégalité de forme en inégalité de forme (et vice versa), vous devez multiplier les deux côtés de l'inégalité par -1. Menu Canonique (principal) Pour transformer l'inégalité en égalité (et vice versa), vous devez ajouter ou soustraire du côté gauche une variable supplémentaire non négative, elle s'appelle la variable d'équilibre. Lors de l'écriture de la fonction objectif, elle a un coefficient =0.

Modèle (du latin module - mesure) et modélisation sont des concepts scientifiques généraux. La modélisation d'un point de vue scientifique général agit comme un moyen de cognition à travers la construction d'objets spéciaux, de systèmes - modèles des objets, phénomènes ou processus étudiés. Dans ce cas, l'un ou l'autre objet est appelé modèle lorsqu'il est utilisé pour obtenir des informations concernant un autre objet - un prototype du modèle.

La méthode de modélisation est utilisée dans pratiquement toutes les sciences sans exception et à toutes les étapes de la recherche scientifique. La puissance heuristique de cette méthode est déterminée par le fait qu'à l'aide de la méthode de modélisation il est possible de réduire l'étude du complexe au simple, à l'invisible et intangible, au visible et tangible, etc.

Lors de l'étude d'un objet (processus ou phénomène) à l'aide de la méthode de modélisation, nous pouvons sélectionner comme modèle les propriétés qui nous intéressent actuellement. L'étude scientifique de tout objet est toujours relative. DANS étude de cas il est impossible de considérer un objet dans toute sa diversité. Par conséquent, un même objet peut avoir de nombreux modèles différents et aucun d’entre eux ne peut être considéré comme unique. modèle réel de cet objet.

Il est d’usage de distinguer quatre principaux propriétés des modèles:

· simplification par rapport à l'objet étudié ;

· capacité à refléter ou reproduire l'objet de recherche;

· la capacité de remplacer l'objet de recherche à certaines étapes de sa cognition ;

· la possibilité d'obtenir de nouvelles informations sur l'objet étudié.

L'étude de divers phénomènes ou processus à l'aide de méthodes mathématiques est réalisée à l'aide d'un modèle mathématique. Modèle mathématique est une description formalisée dans le langage mathématique de l’objet étudié. Une telle description formalisée peut être un système d'équations linéaires, non linéaires ou différentielles, un système d'inégalités, une intégrale définie, un polynôme à coefficients inconnus, etc. Le modèle mathématique doit couvrir les caractéristiques les plus importantes de l'objet étudié et refléter les liens entre eux.

Avant de créer un modèle mathématique d'un objet (processus ou phénomène), celui-ci est longuement étudié diverses méthodes: observation, expériences spécialement organisées, analyse théorique, etc., c'est-à-dire qu'ils étudient assez bien le côté qualitatif du phénomène, identifient les relations dans lesquelles se situent les éléments de l'objet. Ensuite, l'objet est simplifié et les plus essentielles sont distinguées par la variété de ses propriétés inhérentes. Si nécessaire, des hypothèses sont formulées sur les liens existants avec le monde extérieur.

Comme indiqué précédemment, tout modèle n’est pas identique au phénomène lui-même ; il ne fournit qu’une certaine approximation de la réalité. Mais le modèle énumère toutes les hypothèses qui le sous-tendent. Ces hypothèses peuvent être grossières et pourtant fournir une approximation tout à fait satisfaisante de la réalité. Plusieurs modèles, notamment mathématiques, peuvent être construits pour un même phénomène. Par exemple, vous pouvez décrire le mouvement des planètes du système solaire en utilisant :

8 Le modèle de Kepler, composé de trois lois, dont formules mathématiques(équation elliptique);

8 du modèle de Newton, qui consiste en une formule, mais néanmoins plus général et plus précis.

En optique, plusieurs modèles de lumière ont été considérés : corpusculaire, ondulatoire et électromagnétique. De nombreux modèles quantitatifs ont été dérivés pour eux. Chacun de ces modèles nécessitait sa propre approche mathématique et des outils mathématiques appropriés. L'optique corpusculaire utilisait les moyens de la géométrie euclidienne et arrivait à la conclusion des lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Le modèle ondulatoire de la théorie de la lumière nécessitait de nouvelles idées mathématiques et par des moyens purement informatiques, de nouveaux faits ont été découverts concernant les phénomènes de diffraction et d'interférence de la lumière, qui n'avaient pas été observés auparavant. Optique géométrique, associé au modèle corpusculaire, s'est révélé ici impuissant.

Le modèle construit doit être tel qu'il puisse remplacer un objet (processus ou phénomène) dans la recherche et doit présenter des caractéristiques similaires avec celui-ci. La similarité est obtenue soit par une similarité de structure (isomorphisme), soit par une analogie de comportement ou de fonctionnement (isofonctionnalité). Basé sur la similitude de structure ou de fonction entre le modèle et l'original dans technologie moderne vérifier, calculer et concevoir des systèmes très complexes, machines et structures.

Comme mentionné ci-dessus, de nombreux modèles différents peuvent être construits pour le même objet, processus ou phénomène. Certains d’entre eux (pas nécessairement tous) peuvent être isomorphes. Par exemple, dans géométrie analytique la courbe dans le plan est utilisée comme modèle pour l'équation à deux variables correspondante. Dans ce cas, le modèle (courbe) et le prototype (équation) sont isomorphes aux systèmes (points situés sur la courbe et paires de nombres correspondantes satisfaisant l'équation),

Dans le livre « Mathematics Conducts an Experiment », l'académicien N.N. Moiseev écrit que tout modèle mathématique peut apparaître de trois manières :

· À la suite de l'étude et de la compréhension directe d'un objet (processus ou phénomène) (phénoménologique) (exemple - équations décrivant la dynamique de l'atmosphère, de l'océan),

· À la suite d'un processus de déduction, lorsqu'un nouveau modèle est obtenu comme cas particulier un modèle plus général (asymptomatique) (exemple - équations d'hydro-thermodynamique de l'atmosphère),

· À la suite d'un processus d'induction, lorsque le nouveau modèle est une généralisation naturelle de modèles « élémentaires » (modèle d'ensemble ou modèle généralisé).

Le processus de développement de modèles mathématiques comprend les éléments suivants étapes:

· formulation du problème ;

· détermination du but de la modélisation ;

· organiser et mener des recherches dans le domaine (recherche des propriétés d'un objet de modélisation) ;

· développement d'un modèle;

· vérifier son exactitude et sa conformité à la réalité ;

· utilisation pratique, c'est à dire. transfert des connaissances obtenues à l'aide du modèle vers l'objet ou le processus étudié.

Sens spécial la modélisation comme moyen de comprendre les lois et les phénomènes de la nature acquiert dans l'étude d'objets qui ne sont pas entièrement accessibles à l'observation ou à l'expérimentation directe. Ceux-ci inclus systèmes sociaux, la seule manière possible d'étudier qui est souvent la modélisation.

Méthodes courantes il n'y a pas de construction de modèles mathématiques. Dans chaque cas spécifique, il faut partir des données disponibles, de l'orientation cible, prendre en compte les objectifs de l'étude, et également équilibrer la précision et le détail du modèle. Il doit refléter les caractéristiques les plus importantes du phénomène, les facteurs essentiels dont dépend principalement le succès de la modélisation.

Lors du développement de modèles, vous devez respecter les principes de base suivants : principes méthodologiques la modélisation phénomènes sociaux:

· le principe de problématique, qui implique un passage non pas de modèles mathématiques « universels » prêts à l'emploi vers des problèmes, mais de problèmes réels et actuels - vers la recherche et le développement de modèles spéciaux ;

· le principe de systématicité, qui considère toutes les relations du phénomène modélisé en fonction des éléments du système et de son environnement ;

· le principe de variabilité dans la formalisation des processus de gestion associé à des différences spécifiques dans les lois de développement de la nature et de la société. Pour l'expliquer, il est nécessaire de révéler la différence fondamentale entre les modèles de processus sociaux et les modèles décrivant les phénomènes naturels.

Conférence n°1

Introduction. Concept de modèles et méthodes mathématiques

Section 1. Introduction

2. Méthodes de construction de modèles mathématiques. Concept de approche systématique. 1

3. Concepts de base de la modélisation mathématique systèmes économiques.. 4

4. Méthodes d'analyse, de simulation et de modélisation à grande échelle. 5

Questions du test.. 6

1. Contenu, buts et objectifs de la discipline « Méthodes de modélisation »

Cette discipline est consacrée à l'étude des méthodes de modélisation et application pratique connaissance acquise. Le but de la discipline est de former les étudiants questions générales théorie de la modélisation, méthodes de construction de modèles mathématiques et description formelle processus et objets, utilisation de modèles mathématiques pour mener des expériences informatiques et résoudre problèmes d'optimisation, en utilisant des outils informatiques modernes.

Les objectifs de la discipline comprennent :

Familiariser les étudiants avec les concepts de base de la théorie de la modélisation mathématique, de la théorie des systèmes, de la théorie de la similarité, de la théorie de la planification expérimentale et du traitement des données expérimentales utilisées pour construire des modèles mathématiques,

Fournir aux étudiants des compétences dans le domaine de la définition de problèmes de modélisation, des descriptions mathématiques d'objets/processus/, de méthodes numériques pour mettre en œuvre des modèles mathématiques sur un ordinateur et résoudre des problèmes d'optimisation.

À la suite de l'étude de la discipline, l'étudiant doit maîtriser les méthodes de modélisation mathématique des processus et des objets depuis la formulation du problème jusqu'à la mise en œuvre de modèles mathématiques sur ordinateur et la présentation des résultats de la recherche sur des modèles.

Le cours de discipline comprend 12 cours magistraux et 12 travaux pratiques. À la suite de l'étude de la discipline, l'étudiant doit maîtriser les méthodes de modélisation mathématique depuis la formulation du problème jusqu'à la mise en œuvre de modèles mathématiques sur ordinateur.

2. Méthodes de construction de modèles mathématiques. Le concept d'une approche systémique

5. Résoudre le problème.

L'utilisation cohérente des méthodes de recherche opérationnelle et leur mise en œuvre sur les technologies de l'information et informatiques modernes permettent de surmonter la subjectivité et d'éliminer les décisions dites volontaires, fondées non pas sur un compte rendu strict et précis de circonstances objectives, mais sur des émotions aléatoires et des intérêts personnels. gestionnaires différents niveaux qui, de plus, ne peut pas coordonner ces décisions volontaires.

L'analyse du système permet de prendre en compte et d'utiliser dans la gestion toutes les informations disponibles sur l'objet géré, de coordonner les décisions prises du point de vue d'un critère d'efficacité objectif plutôt que subjectif. Économiser sur les calculs lors du contrôle équivaut à économiser sur la visée lors du tir. Cependant, un ordinateur permet non seulement de prendre en compte toutes les informations, mais libère également le manager des informations inutiles, et contourne toutes les informations nécessaires en contournant la personne, ne lui présentant que les informations les plus généralisées, la quintessence. L'approche systémique en économie est efficace en elle-même, sans l'utilisation d'un ordinateur, comme méthode de recherche, et elle ne modifie pas les lois économiques découvertes précédemment, mais enseigne seulement comment les utiliser au mieux.

4. Méthodes d'analyse, de simulation et de modélisation grandeur nature

La simulation est méthode puissante connaissance scientifique, dans laquelle l'objet étudié est remplacé par un objet plus simple appelé modèle. Les principaux types de processus de modélisation peuvent être considérés comme deux types : la modélisation mathématique et physique. Lors de la modélisation physique (à grande échelle), le système étudié est remplacé par un autre qui lui correspond système matériel, qui reproduit les propriétés du système étudié tout en les préservant nature physique. Un exemple de ce type de modélisation est un réseau pilote, à l'aide duquel est étudiée la possibilité fondamentale de construire un réseau basé sur certains ordinateurs, dispositifs de communication, systèmes d'exploitation et applications.

Les capacités de modélisation physique sont assez limitées. Il vous permet de résoudre des problèmes individuels en spécifiant un petit nombre de combinaisons des paramètres du système étudié. En effet, quand modélisation grandeur nature réseau informatique, il est presque impossible de vérifier son fonctionnement pour les options utilisant divers types appareils de communication - routeurs, commutateurs, etc. Tests pratiques d'une douzaine différents types Le routage est associé non seulement à des coûts d'effort et de temps importants, mais également à des coûts de matériaux considérables.

Mais même dans les cas où, lors de l'optimisation du réseau, ce ne sont pas les types d'appareils et de systèmes d'exploitation qui sont modifiés, mais uniquement leurs paramètres, mener des expériences en temps réel pour un grand nombre de combinaisons diverses de ces paramètres est pratiquement impossible dans un avenir prévisible. temps. Même la simple modification de la taille maximale des paquets dans n'importe quel protocole nécessite une reconfiguration système opérateur sur des centaines d'ordinateurs du réseau, ce qui nécessite beaucoup de travail de la part de l'administrateur réseau.

Par conséquent, lors de l’optimisation des réseaux, il est souvent préférable d’utiliser une modélisation mathématique. Un modèle mathématique est un ensemble de relations (formules, équations, inégalités, conditions logiques) qui déterminent le processus de changement d'état du système en fonction de ses paramètres, signaux d'entrée, conditions initiales et le temps.

Une classe spéciale de modèles mathématiques sont les modèles de simulation. De tels modèles sont Programme d'ordinateur, qui reproduit étape par étape les événements se déroulant dans système réel. En ce qui concerne les réseaux informatiques, leurs modèles de simulation reproduisent les processus de génération de messages par les applications, la division des messages en paquets et trames de certains protocoles, les délais associés au traitement des messages, des paquets et des trames au sein du système d'exploitation, le processus d'accès d'un ordinateur à un environnement réseau partagé, le processus de traitement des paquets entrants par un routeur, etc. Lors de la simulation d'un réseau, il n'est pas nécessaire d'acheter un équipement coûteux - son fonctionnement est simulé par des programmes qui reproduisent assez fidèlement toutes les principales caractéristiques et paramètres d'un tel équipement.

L'avantage des modèles de simulation est la possibilité de remplacer le processus de changement d'événements dans le système étudié en temps réel par un processus accéléré de changement d'événements au rythme du programme. Ainsi, en quelques minutes, il est possible de reproduire le fonctionnement du réseau pendant plusieurs jours, ce qui permet d'évaluer le fonctionnement du réseau dans une large gamme de paramètres variables.

Le résultat du modèle de simulation est constitué de données statistiques collectées lors de l'observation d'événements en cours sur les plus caractéristiques importantes réseau : temps de réponse, taux d'utilisation des canaux et des nœuds, probabilité de perte de paquets, etc.

Il existe des langues spéciales modélisation par simulation, qui facilitent le processus de création d'un modèle de programme par rapport à l'utilisation de langages de programmation universels. Des exemples de langages de simulation incluent des langages tels que SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Il existe également des systèmes de modélisation par simulation qui se concentrent sur une classe restreinte de systèmes étudiés et vous permettent de créer des modèles sans programmation.

Questions de contrôle

CONFÉRENCE 4

Définition et objectif de la modélisation mathématique

Sous modèle(du module latin - mesure, échantillon, norme), nous comprendrons un tel objet représenté matériellement ou mentalement, qui dans le processus de cognition (étude) remplace l'objet original, en préservant certaines de ses caractéristiques typiques qui sont importantes pour cette étude. Le processus de construction et d’utilisation d’un modèle est appelé modélisation.

L'essence modélisation mathématique (MM) consiste à remplacer l'objet (processus) étudié par un modèle mathématique adéquat et à étudier ultérieurement les propriétés de ce modèle en utilisant soit des méthodes analytiques, soit des expériences informatiques.

Il est parfois plus utile, plutôt que de donner des définitions strictes, de décrire un concept particulier en termes de exemple spécifique. Par conséquent, nous illustrons les définitions ci-dessus de MM en utilisant l'exemple du problème du calcul d'une impulsion spécifique. Au début des années 60, les scientifiques ont été confrontés à la tâche de développer du carburant pour fusée ayant l'impulsion spécifique la plus élevée. Le principe de la propulsion d'une fusée est le suivant : le carburant liquide et le comburant des réservoirs de la fusée sont acheminés vers le moteur, où ils sont brûlés, et les produits de combustion sont rejetés dans l'atmosphère. De la loi de conservation de la quantité de mouvement, il s'ensuit que dans ce cas, la fusée se déplacera avec vitesse.

L'impulsion spécifique d'un carburant est l'impulsion reçue divisée par la masse du carburant. Mener des expériences était très coûteux et entraînait des dommages systématiques aux équipements. Il s'est avéré qu'il est plus facile et moins coûteux de calculer les fonctions thermodynamiques gaz parfaits, en les utilisant pour calculer la composition des gaz qui s'échappent et la température du plasma, puis l'impulsion spécifique. C'est-à-dire effectuer le MM du processus de combustion du carburant.

Le concept de modélisation mathématique (MM) est aujourd’hui l’un des plus courants dans la littérature scientifique. La grande majorité des diplômes modernes et mémoires associé au développement et à l’utilisation de modèles mathématiques appropriés. L'ordinateur MM est aujourd'hui partie intégrante de nombreux domaines activité humaine(sciences, technologies, économie, sociologie, etc.). C'est l'une des raisons de la pénurie actuelle de spécialistes dans le domaine des technologies de l'information.

La croissance rapide de la modélisation mathématique est due à l’amélioration rapide de la technologie informatique. S'il y a 20 ans seulement un petit nombre de programmeurs étaient impliqués dans les calculs numériques, aujourd'hui la capacité de mémoire et la vitesse des ordinateurs modernes permettent de résoudre des problèmes de modélisation mathématique accessibles à tous les spécialistes, y compris les étudiants universitaires.

Dans toute discipline, une description qualitative des phénomènes est d'abord donnée. Et puis – quantitatif, formulé sous forme de lois établissant des liens entre différentes quantités(intensité de champ, intensité de diffusion, charge électronique, ...) sous forme d'équations mathématiques. Par conséquent, nous pouvons dire que dans chaque discipline, il y a autant de sciences que de mathématiques, et ce fait permet de résoudre avec succès de nombreux problèmes en utilisant des méthodes de modélisation mathématique.

Ce cours est conçu pour les étudiants se spécialisant en mathématiques appliquées qui poursuivent des études supérieures sous la supervision d'éminents scientifiques travaillant dans divers domaines. Par conséquent, ce cours est nécessaire non seulement Matériel pédagogique, mais aussi comme préparation à travail de diplôme. Pour étudier ce cours, nous aurons besoin des sections de mathématiques suivantes :

1. Équations physique mathématique(mécanique dévers, gaz et hydrodynamique)

2. Algèbre linéaire (théorie de l'élasticité)

3. Champs scalaires et vectoriels (théorie des champs)

4. Théorie des probabilités (mécanique quantique, physique statistique, cinétique physique)

5. Fonctions spéciales.

6. Analyse tensorielle (théorie de l'élasticité)

7. Analyse mathématique

MM en sciences naturelles, technologie et économie

Considérons d’abord diverses sections des sciences naturelles, de la technologie et de l’économie dans lesquelles des modèles mathématiques sont utilisés.

Sciences naturelles

La physique, qui établit les lois fondamentales des sciences naturelles, a longtemps été divisée en théorie et expérimentale. La physique théorique traite de la dérivation d'équations qui décrivent des phénomènes physiques. Ainsi, la physique théorique peut également être considérée comme l'un des domaines de la modélisation mathématique. (Rappelez-vous que le titre du premier livre de physique - « Les principes mathématiques de la philosophie naturelle » de I. Newton peut être traduit par langue moderne comme « Modèles mathématiques des sciences naturelles ».) Sur la base des lois obtenues, des calculs techniques sont effectués, qui sont effectués dans divers instituts, entreprises et bureaux d'études. Ces organisations développent des technologies pour la fabrication de produits modernes à forte intensité de connaissances. Ainsi, le concept de technologies à forte intensité scientifique inclut des calculs utilisant des modèles mathématiques appropriés.

L'une des branches les plus étendues de la physique est mécanique classique(parfois cette section est appelée théorique ou mécanique analytique). Cette section physique théoriqueétudie le mouvement et l’interaction des corps. Calculs à l'aide de formules mécanique théorique nécessaire lors de l'étude de la rotation des corps (calcul des moments d'inertie, gyrostats - dispositifs qui maintiennent l'axe de rotation stationnaire), analyse du mouvement d'un corps dans un espace sans air, etc. L'une des sections de la mécanique théorique s'appelle la théorie de stabilité et sous-tend de nombreux modèles mathématiques qui décrivent le mouvement des avions, des navires et des missiles. Sections mécanique pratique– cours « Théorie des machines et mécanismes », « Pièces de machines », étudiés par la quasi-totalité des étudiants universités techniques(y compris MGIU).

Théorie de l'élasticité– une partie d'une section mécanique continuum , en supposant que le matériau corps élastique homogène et réparti de façon continue dans tout le volume du corps, de sorte que le plus petit élément coupé du corps ait le même propriétés physiques, comme tout le corps. Application de la théorie de l'élasticité - le cours "Résistance des matériaux" est étudié par les étudiants de toutes les universités techniques (y compris l'Institut technologique d'État de Moscou). Cette section est requise pour tous les calculs de résistance. Cela inclut le calcul de la résistance des coques de navires, d'avions, de fusées, le calcul de la résistance des structures en acier et en béton armé des bâtiments et bien plus encore.

Gaz et hydrodynamique, comme la théorie de l'élasticité, fait partie de la section mécanique des milieux continus, examine les lois du mouvement des liquides et des gaz. Les équations des gaz et de l'hydrodynamique sont nécessaires pour analyser le mouvement des corps dans des milieux liquides et gazeux (satellites, sous-marins, fusées, obus, voitures), lors du calcul du débit de gaz des tuyères des moteurs de fusée et d'avion. Application pratique de l'hydrodynamique - hydraulique (frein, volant,...)

Les sections précédentes de mécanique considéraient le mouvement des corps dans le macrocosme, et lois physiques le macrocosme ne s'applique pas au microcosme, dans lequel se déplacent des particules de matière - protons, neutrons, électrons. Des principes complètement différents s'appliquent ici, et pour décrire le micromonde, il faut mécanique quantique. L'équation de base décrivant le comportement des microparticules est l'équation de Schrödinger : . Voici l'opérateur hamiltonien (Hamiltonien). Pour une équation unidimensionnelle du mouvement des particules https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-énergie potentielle. La solution à ce problème l'équation est l'ensemble valeurs propresénergie et fonctions propres..gif" width="55" height="24 src=">– densité de probabilité. Les calculs de mécanique quantique sont nécessaires au développement de nouveaux matériaux (microcircuits), à la création de lasers, au développement de méthodes analyse spectrale, et etc.

Résoudre un grand nombre de problèmes cinétique, décrivant le mouvement et l'interaction des particules. Nous avons ici la diffusion, le transfert de chaleur et la théorie du plasma – le quatrième état de la matière.

Physique statistique considère les ensembles de particules, nous permet de parler des paramètres de l'ensemble en fonction des propriétés des particules individuelles. Si l'ensemble est constitué de molécules de gaz, alors les méthodes dérivées physique statistique les propriétés de l'ensemble sont les équations d'état des gaz, bien connues du lycée : https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" width="16" height="17">-poids moléculaire du gaz. K – Constante de Rydberg. Méthodes statistiques Les propriétés des solutions, des cristaux et des électrons des métaux sont également calculées. MM de physique statistique – base théorique la thermodynamique, qui sous-tend le calcul des moteurs, des réseaux de chaleur et des stations.

Théorie des champs décrit, à l'aide des méthodes MM, l'une des principales formes de la matière : le champ. Dans ce cas, le principal intérêt réside dans les champs électromagnétiques. Équations Champ électromagnétique(électrodynamique) ont été dérivés par Maxwell : , , . Ici et https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densité de charge, - densité de courant. Les équations de l'électrodynamique sous-tendent les calculs de propagation des ondes électromagnétiques nécessaires pour décrire la propagation des ondes radio (radio, télévision, communications cellulaires), et expliquer le fonctionnement des stations radar.

La chimie peut être présentée sous deux aspects, mettant en avant la chimie descriptive - la découverte des facteurs chimiques et leur description - et la chimie théorique - le développement de théories permettant de généraliser des facteurs établis et de les présenter sous la forme d'un système spécifique (L. Pauling ). La chimie théorique est également appelée chimie physique et constitue essentiellement une branche de la physique qui étudie les substances et leurs interactions. Par conséquent, tout ce qui a été dit concernant la physique s’applique pleinement à la chimie. Sections chimie physique Il y aura la thermochimie, qui étudie les effets thermiques des réactions, la cinétique chimique (vitesses de réaction), la chimie quantique (la structure des molécules). Dans le même temps, les problèmes de chimie peuvent être extrêmement complexes. Par exemple, pour résoudre les problèmes de chimie quantique – la science de la structure des atomes et des molécules – on utilise des programmes dont la portée est comparable à celle des programmes de défense aérienne du pays. Par exemple, pour décrire la molécule UCl4, composée de 5 noyaux atomiques et de +17 * 4) électrons, vous devez écrire l'équation du mouvement - équations aux dérivées partielles.

La biologie

Les mathématiques ne sont réellement apparues en biologie que dans la seconde moitié du XXe siècle. Les premières tentatives de description mathématique processus biologiques se référer aux modèles de dynamique des populations. Une population est une communauté d'individus d'une même espèce occupant une certaine zone de l'espace sur Terre. Cette zone biologie mathématique, qui étudie les changements dans la taille de la population conditions différentes(présence d'espèces concurrentes, de prédateurs, de maladies, etc.) et a ensuite servi de terrain d'expérimentation mathématique sur lequel des modèles mathématiques ont été « testés » en différentes régions la biologie. Y compris des modèles d'évolution, de microbiologie, d'immunologie et d'autres domaines liés aux populations cellulaires.
Le tout premier modèle connu formulé dans une formulation biologique est la célèbre série de Fibonacci (chaque nombre suivant est la somme des deux précédents), citée par Léonard de Pise dans son ouvrage au XIIIe siècle. Il s'agit d'une série de chiffres qui décrit le nombre de couples de lapins qui naissent chaque mois si les lapins commencent à se reproduire à partir du deuxième mois et produisent un couple de lapins chaque mois. La ligne représente une séquence de nombres : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Un autre exemple est l’étude des processus de transport transmembranaire d’ions sur une membrane bicouche artificielle. Ici, afin d'étudier les lois de formation du pore à travers lequel l'ion passe à travers la membrane jusqu'à la cellule, il est nécessaire de créer un système modèle qui puisse être étudié expérimentalement, et pour lequel une description physique bien développée par la science peut être utilisé.

Un exemple classique de MM est également la population de drosophile. Un modèle encore plus pratique est celui des virus, qui peuvent se propager in vitro. Les méthodes de modélisation en biologie sont des méthodes de théorie des systèmes dynamiques, et les moyens sont des équations différentielles et différentielles, des méthodes de théorie qualitative des équations différentielles et des modèles de simulation.
Objectifs de la modélisation en biologie :
3. Clarification des mécanismes d'interaction entre les éléments du système
4. Identification et vérification des paramètres du modèle à l'aide de données expérimentales.
5. Évaluation de la stabilité du système (modèle).

6. Prédiction du comportement du système sous diverses influences externes, de diverses façons gestion, etc
7. Contrôle optimal du système conformément au critère d'optimalité sélectionné.

Technique

Améliore la technologie un grand nombre de des spécialistes qui fondent leur travail sur les résultats recherche scientifique. Par conséquent, le MM en technologie est le même que le MM en sciences naturelles, dont il a été question ci-dessus.

Économie et processus sociaux

Il est généralement admis que la modélisation mathématique comme méthode d'analyse des processus macroéconomiques a été utilisée pour la première fois par le médecin du roi Louis XV, le Dr. François Quesnay, qui publia en 1758 l'ouvrage « Table économique ». Ce travail constitue la première tentative de description quantitative économie nationale. Et en 1838 dans le livre O. Cournot Les méthodes quantitatives « Une étude des principes mathématiques de la théorie de la richesse » ont été utilisées pour la première fois pour analyser la concurrence sur le marché des produits dans diverses situations de marché.

La théorie de la population de Malthus est également largement connue, dans laquelle il proposait l’idée : la croissance démographique n’est pas toujours souhaitable, et cette croissance va plus vite, ce qui augmente les possibilités de fournir de la nourriture à la population. Le modèle mathématique d'un tel processus est assez simple : supposons que la population augmente au cours du temps https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> nombre être égaux et - des coefficients tenant compte de la fécondité et de la mortalité (personnes/an).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Méthodes instrumentales et mathématiques " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="signet"> méthodes mathématiques analyse (par exemple, au cours des dernières décennies, des théories mathématiques du développement culturel sont apparues dans les sciences humaines, des modèles mathématiques de mobilisation ont été construits et étudiés, développement cyclique processus socioculturels, modèle d'interaction entre l'homme et le gouvernement, modèle de course aux armements, etc.).

En termes les plus généraux, le processus de MM des processus socio-économiques peut être divisé en quatre étapes :

formulation d'un système d'hypothèses et développement d'un modèle conceptuel ; développement d'un modèle mathématique; analyse des résultats des calculs du modèle, qui comprend leur comparaison avec la pratique ; formulation de nouvelles hypothèses et affinement du modèle en cas d'écart entre les résultats des calculs et les données pratiques.

Notez qu'en règle générale, le processus de modélisation mathématique est de nature cyclique, car même en étudiant comparativement processus simples Il est rarement possible de construire un modèle mathématique adéquat et de sélectionner ses paramètres exacts dès la première étape.

Actuellement, l'économie est considérée comme un système complexe en développement, par exemple description quantitative qui utilise des modèles mathématiques dynamiques de différents degrés de complexité. L'un des domaines de recherche en dynamique macroéconomique est associé à la construction et à l'analyse de modèles de simulation non linéaires relativement simples qui reflètent l'interaction de divers sous-systèmes - le marché du travail, le marché des biens, le système financier, environnement naturel et etc.

La théorie des catastrophes se développe avec succès. Cette théorie aborde la question des conditions dans lesquelles les changements de paramètres système non linéaire fait déplacer le point vers espace des phases, caractérisant l'état du système, de la région d'attraction à la position d'équilibre initiale à la région d'attraction vers une autre position d'équilibre. Cette dernière est très importante non seulement pour l’analyse des systèmes techniques, mais aussi pour comprendre la durabilité des processus socio-économiques. À cet égard, les résultats sont intéressants sur l'importance de l'étude des modèles non linéaires pour la gestion. Dans son ouvrage « The Theory of Disasters », publié en 1990, il écrit notamment : « … la restructuration actuelle s'explique en grande partie par le fait qu'au moins certains mécanismes ont commencé à fonctionner retour(peur de destruction personnelle).

(paramètres du modèle)

Lorsqu’on construit des modèles d’objets et de phénomènes réels, on est souvent confronté à un manque d’informations. Pour l'objet étudié, la distribution des propriétés, les paramètres d'impact et l'état initial sont connus avec plus ou moins d'incertitude. Lors de la construction d'un modèle, les options suivantes pour décrire des paramètres incertains sont possibles :

Classification des modèles mathématiques

(méthodes de mise en œuvre)

Les méthodes de mise en œuvre du MM peuvent être classées selon le tableau ci-dessous.