Qu'est-ce qu'une définition de racine carrée. Qu'est-ce que la racine carrée arithmétique

Les étudiants demandent toujours : « Pourquoi ne puis-je pas utiliser une calculatrice lors de l’examen de mathématiques ? Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans calculatrice ? Essayons de répondre à cette question.

Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans l’aide d’une calculatrice ?

Action racine carrée inverse à l’action de la quadrature.

√81= 9 9 2 =81

Si vous prenez la racine carrée d’un nombre positif et mettez le résultat au carré, vous obtenez le même nombre.

À partir de petits nombres qui sont des carrés exacts de nombres naturels, par exemple 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, les racines carrées peuvent être extraites oralement. Habituellement, à l'école, ils enseignent un tableau de carrés de nombres naturels jusqu'à vingt. Connaissant ce tableau, il est facile d'extraire les racines carrées des nombres 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. A partir des nombres supérieurs à 400 vous pouvez les extraire en utilisant la méthode de sélection en utilisant quelques astuces. Essayons de regarder cette méthode avec un exemple.

Exemple: Extraire la racine du nombre 676.

On remarque que 20 2 = 400, et 30 2 = 900, ce qui signifie 20< √676 < 900.

Les carrés exacts des nombres naturels se terminent par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Le nombre 6 est donné par 4 2 et 6 2.
Cela signifie que si la racine provient de 676, alors elle est soit 24, soit 26.

Reste à vérifier : 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Répondre: √676 = 26 .

Plus exemple: √6889 .

Puisque 80 2 = 6400 et 90 2 = 8100, alors 80< √6889 < 90.
Le nombre 9 est donné par 3 2 et 7 2, alors √6889 est égal à 83 ou 87.

Vérifions : 83 2 = 6889.

Répondre: √6889 = 83 .

Si vous avez du mal à résoudre en utilisant la méthode de sélection, vous pouvez factoriser l'expression radicale.

Par exemple, trouver √893025.

Prenons en compte le nombre 893025, rappelez-vous, vous avez fait cela en sixième année.

On obtient : √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Plus exemple : √20736. Factorisons le nombre 20736 :

Nous obtenons √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Bien entendu, la factorisation nécessite une connaissance des signes de divisibilité et des compétences en factorisation.

Et enfin, il y a règle pour extraire les racines carrées. Faisons connaissance avec cette règle avec des exemples.

Calculer √279841.

Pour extraire la racine d'un entier à plusieurs chiffres, on le divise de droite à gauche en faces contenant 2 chiffres (le bord le plus à gauche peut contenir un chiffre). On l’écrit ainsi : 27’98’41

Pour obtenir le premier chiffre de la racine (5), on prend la racine carrée du plus grand carré parfait contenu dans la première face de gauche (27).
Ensuite, le carré du premier chiffre de la racine (25) est soustrait de la première face et la face suivante (98) est ajoutée à la différence (soustraite).
A gauche du nombre obtenu 298, écrivez le double chiffre de la racine (10), divisez par celui-ci le nombre de toutes les dizaines du nombre obtenu précédemment (29/2 ≈ 2), testez le quotient (102 ∙ 2 = 204 ne doit pas dépasser 298) et écrivez (2) après le premier chiffre de la racine.
Ensuite, le quotient résultant 204 est soustrait de 298 et l'arête suivante (41) est ajoutée à la différence (94).
A gauche du nombre obtenu 9441, écrivez le double produit des chiffres de la racine (52 ∙2 = 104), divisez le nombre de toutes les dizaines du nombre 9441 (944/104 ≈ 9) par ce produit, testez le Le quotient (1049 ∙9 = 9441) doit être 9441 et notez-le (9) après le deuxième chiffre de la racine.

Nous avons reçu la réponse √279841 = 529.

Extraire de la même manière racines de fractions décimales. Seul le nombre radical doit être divisé en faces de manière à ce que la virgule soit entre les faces.

Exemple. Trouvez la valeur √0,00956484.

N'oubliez pas que si une fraction décimale a un nombre impair de décimales, la racine carrée ne peut pas en être extraite.

Alors maintenant, vous avez vu trois façons d’extraire la racine. Choisissez celui qui vous convient le mieux et entraînez-vous. Pour apprendre à résoudre des problèmes, il faut les résoudre. Et si vous avez des questions, inscrivez-vous à mes cours.

site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

La racine carrée non négative d’un nombre positif s’appelle racine carrée arithmétique et est désigné par le signe radical.

Nombres complexes

Dans le domaine des nombres complexes, il existe toujours deux solutions, ne différant que par leur signe (à l'exception de la racine carrée de zéro). Racine de nombre complexe souvent désigné par , mais cette désignation doit être utilisée avec précaution. Erreur courante :

Pour extraire la racine carrée d'un nombre complexe, il est pratique d'utiliser la forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe : si

où la racine du module s'entend dans le sens valeur arithmétique, et k peut prendre les valeurs k=0 et k=1, donc la réponse se termine par deux résultats différents.

Généralisations

Les racines carrées sont introduites comme solutions d'équations de la forme pour d'autres objets : matrices, fonctions, opérateurs, etc. Des opérations multiplicatives assez arbitraires peuvent être utilisées comme opération, par exemple la superposition.

Racine carrée en informatique

Dans de nombreux langages de programmation au niveau des fonctions (ainsi que dans les langages de balisage comme LaTeX), la fonction racine carrée s'écrit sous la forme carré(de l'anglais racine carrée"racine carrée").

Algorithmes pour trouver la racine carrée

Trouver ou calculer la racine carrée numéro donné appelé extraction(racine carrée.

Extension de la série de Taylor

Racine carrée arithmétique

Pour les carrés de nombres, les égalités suivantes sont vraies :

Autrement dit, vous pouvez connaître la partie entière de la racine carrée d'un nombre en lui soustrayant tout nombres impairs afin que le reste soit inférieur au prochain nombre à soustraire ou égal à zéro, et en comptant le nombre d'actions effectuées. Par exemple, comme ceci :

3 étapes sont complétées, la racine carrée de 9 est 3.

L'inconvénient de cette méthode est que si la racine extraite n'est pas un entier, alors vous ne pouvez connaître que sa partie entière, mais pas plus précisément. En même temps, cette méthode est tout à fait accessible aux enfants capables de résoudre des problèmes simples. problèmes de mathématiques, nécessitant une extraction de racine carrée.

Estimation approximative

De nombreux algorithmes de calcul racines carrées du positif nombre réel S nécessitent une certaine valeur initiale. Si valeur initiale trop loin de la vraie valeur de la racine, les calculs ralentissent. Il est donc utile d’avoir une estimation approximative, qui peut être très imprécise, mais facile à calculer. Si S≥ 1, soit D sera le nombre de chiffres Sà gauche de point décimal. Si S < 1, пусть D sera le nombre de zéros consécutifs à droite de la virgule décimale, pris avec un signe moins. L’estimation approximative ressemble alors à ceci :

Si D impair, D = 2n+ 1, puis utilisez Si D même, D = 2n+ 2, puis utilisez

Deux et six sont utilisés parce que Et

Lorsque vous travaillez dans un système binaire (comme à l'intérieur d'un ordinateur), une évaluation différente doit être utilisée (ici D est le nombre de chiffres binaires).

Racine carrée géométrique

Pour extraire manuellement la racine, une notation similaire à une division longue est utilisée. Le nombre dont nous recherchons la racine est écrit. A droite de celui-ci nous obtiendrons progressivement les nombres de la racine souhaitée. Prenons la racine du nombre c décimales. Pour commencer, mentalement ou avec des notes, on divise le nombre N en groupes de deux chiffres à gauche et à droite de la virgule décimale. Si nécessaire, les groupes sont complétés par des zéros - la partie entière est complétée à gauche, la partie fractionnaire à droite. Ainsi, 31234.567 peut être représenté par 03 12 34. 56 70. Contrairement à la division, la démolition s'effectue par groupes de 2 chiffres.

Une description visuelle de l'algorithme :

Carré terrain carré le terrain fait 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Alors la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette superficie est égale à 81 dm², alors X² = 81. La longueur du côté du carré est nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Pour résoudre le problème, il a fallu trouver le nombre x dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : x 1 = 9 et x 2 = - 9, puisque 9² = 81 et (- 9)² = 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés racines carrées de 81.

Notez que l'une des racines carrées X= 9 est un nombre positif. On l'appelle racine carrée arithmétique de 81 et on la note √81, donc √81 = 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN est un nombre non négatif dont le carré est égal à UN.

Par exemple, les nombres 6 et - 6 sont des racines carrées du nombre 36. Cependant, le nombre 6 est une racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² = 36. Le nombre - 6 n'est pas un nombre non négatif. racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN noté comme suit : √ UN.

Le signe est appelé signe racine carrée arithmétique ; UN- appelé une expression radicale. Expression √ UN lire comme ceci : racine carrée arithmétique d'un nombre UN. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair que nous parlons deà propos d'une racine arithmétique, ils disent brièvement : « la racine carrée de UN«.

Le fait de trouver la racine carrée d’un nombre est appelé racine carrée. Cette action est l’inverse de la quadrature.

Vous pouvez mettre au carré n’importe quel nombre, mais vous ne pouvez pas extraire les racines carrées d’un nombre. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors en la désignant par la lettre X, nous obtiendrions l'égalité incorrecte x² = - 4, puisqu'il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ UN n'a de sens que lorsque une ≥ 0. La définition de la racine carrée peut s’écrire brièvement ainsi : √ une ≥ 0, (√UN)² = UN. Égalité (√ UN)² = UN valable pour une ≥ 0. Ainsi, pour garantir que la racine carrée de nombre non négatif UN est égal b, c'est-à-dire dans le fait que √ UN =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = UN.

Racine carrée d'une fraction

Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifions si l'égalité est vraie.

Parce que et , alors l’égalité est vraie. Donc, .

Théorème: Si UN≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire la racine de la fraction égal à la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et .

Depuis √ UN≥0 et √ b> 0, alors .

Sur la propriété d'élever une fraction à une puissance et la définition d'une racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer en utilisant le théorème éprouvé .

Deuxième exemple : prouver que , Si UN ≤ 0, b < 0. .

Autre exemple : Calculez .

.

Conversion de racine carrée

Suppression du multiplicateur sous le signe racine. Laissons l'expression être donnée. Si UN≥ 0 et b≥ 0, alors en utilisant le théorème racine du produit on peut écrire :

Cette transformation est appelée suppression du facteur du signe racine. Regardons un exemple ;

Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à calculs complexes. Ces calculs peuvent être simplifiés si vous supprimez d'abord les facteurs sous le signe racine : . En remplaçant maintenant x = 2, nous obtenons :.

Ainsi, en supprimant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est représentée sous la forme d'un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés de nombres non négatifs. Appliquez ensuite le théorème de la racine du produit et prenez la racine de chaque facteur. Prenons un exemple : simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs des deux premiers termes sous le signe racine, nous obtenons :. Soulignons que l'égalité valable uniquement pour UN≥ 0 et b≥ 0. si UN < 0, то .

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

• Lorsque vous soumettez une demande sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, y compris votre nom, votre numéro de téléphone et votre adresse e-mail etc.

Comment nous utilisons vos informations personnelles :

• Collecté par nos soins informations personnelles nous permet de vous contacter et de vous informer des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
• De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
• Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes telles que l'audit, l'analyse des données et diverses études afin d'améliorer les services que nous proposons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions :

• Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, aux procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes de agences gouvernementales sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Il est temps de faire le tri méthodes d'extraction de racines. Ils reposent sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, qui est vraie pour tout nombre b non négatif.

Ci-dessous, nous examinerons les principales méthodes d'extraction des racines une par une.

Commençons par le cas le plus simple : extraire des racines de nombres naturels à l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Si des tableaux de carrés, cubes, etc. Si vous ne l’avez pas sous la main, il est logique d’utiliser la méthode d’extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers.

Il convient de mentionner spécialement ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui nous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur racine.

Commençons.

Utiliser un tableau de carrés, un tableau de cubes, etc.

Dans le plus cas simples des tableaux de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés d'entiers de 0 à 99 inclus (illustré ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur fond gris ; en sélectionnant une ligne spécifique et une colonne spécifique, elle permet de composer un nombre de 0 à 99. Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chaque cellule est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99. À l’intersection de la ligne de 8 dizaines et de la colonne 3 de unités, nous avons une cellule avec le nombre 6 889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes de nombres de 0 à 99, etc. sont similaires aux tables de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tableaux de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. vous permettent d'extraire des racines carrées, racines cubiques, quatrièmes racines, etc. en conséquence des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur utilisation lors de l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la nième racine du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes puissances. En utilisant ce tableau, nous trouvons le nombre b tel que a=b n. Alors , par conséquent, le nombre b sera la racine souhaitée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment utiliser une table cubique pour extraire la racine cubique de 19 683. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est le cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de puissances nièmes sont très pratiques pour extraire des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas disponibles et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tableaux correspondants. Dans ces cas, vous devez recourir à d’autres méthodes d’extraction des racines.

Factoriser un nombre radical en facteurs premiers

Assez d'une manière pratique, qui permet d'extraire une racine d'un nombre naturel (si bien sûr on extrait la racine), est la décomposition du nombre radical en facteurs premiers. Son le point est le suivant: après il est assez simple de le représenter comme une puissance avec l'exposant souhaité, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Précisons ce point.

Supposons que la racine nième d'un nombre naturel a soit prise et que sa valeur soit égale à b. Dans ce cas, l'égalité a=b n est vraie. Numéro b comme n'importe quel autre nombre naturel peut être représenté comme le produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , …, p m sous la forme p 1 · p 2 · … · p m , et le nombre radical a dans ce cas est représenté par (p 1 · p 2 · … · p m) n. La décomposition d'un nombre en facteurs premiers étant unique, la décomposition du nombre radical a en facteurs premiers aura la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme.

Notez que si la décomposition en facteurs premiers d'un nombre radical a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, alors la nième racine d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Voyons cela en résolvant des exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144.

Solution.

Si vous regardez le tableau des carrés donné dans le paragraphe précédent, vous pouvez clairement voir que 144 = 12 2, d'où il ressort clairement que la racine carrée de 144 est 12.

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la manière dont la racine est extraite en décomposant le nombre radical 144 en facteurs premiers. Regardons cette solution.

Décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2·2·2·2·3·3. Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés du degré et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de la racine.

Solution.

La factorisation première du nombre radical 243 a la forme 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur racine est-elle un entier ?

Solution.

Pour répondre à cette question, factorisons le nombre radical en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme le cube d'un nombre entier.

Nous avons 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Le développement résultant n’est pas représenté comme un cube d’un entier, puisque le degré facteur premier 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 ne peut pas être extraite complètement.

Répondre:

Non.

Extraire les racines des nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment extraire la racine de nombre fractionnaire. Laissez le nombre radical fractionnaire s’écrire p/q. D’après la propriété de la racine d’un quotient, l’égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle pour extraire la racine d'une fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de fraction commune 25/169 .

Solution.

En utilisant le tableau des carrés, on constate que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est égale à 5, et la racine carrée du dénominateur est égale à 13. Alors . Ceci termine l'extraction de la racine de la fraction commune 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres radicaux par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la fraction décimale 474,552.

Solution.

Imaginons l'original décimal comme fraction commune : 474,552=474552/1000. Alors . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Parce que 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000 = 10 3, alors Et . Il ne reste plus qu'à terminer les calculs .

Répondre:

.

Prendre la racine d'un nombre négatif

Il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. En étudiant les racines, nous avons dit que lorsque l’exposant racine est un nombre impair, alors il peut y avoir un nombre négatif sous le signe racine. Nous avons donné à ces entrées la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, . Cette égalité donne règle d'enracinement degré étrangeà partir de nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut prendre la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur de la racine.

Solution.

Transformons l'expression originale pour qu'il y ait un nombre positif sous le signe racine : . Maintenant nombre mixte remplacez-le par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Donnons brève note solution : .

Répondre:

.

Détermination au niveau du bit de la valeur racine

DANS cas général sous la racine se trouve un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la nième puissance d'un nombre quelconque. Mais en même temps, il faut connaître le sens racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui permet d'obtenir séquentiellement quantité suffisante valeurs des chiffres du nombre requis.

Sur la première étape de cet algorithme vous devez découvrir quel est le bit le plus significatif de la valeur racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à l'obtention du moment où un nombre dépasse le nombre radical. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera le chiffre le plus significatif correspondant.

Par exemple, considérons cette étape de l’algorithme lors de l’extraction de la racine carrée de cinq. Nous prenons les nombres 0, 10, 100, ... et les mettons au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5. Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera celui des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les valeurs inférieures, seront retrouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à clarifier séquentiellement la valeur de la racine en trouvant les valeurs des bits suivants de la valeur souhaitée de la racine, en commençant par la plus élevée et en passant aux plus basses. Par exemple, la valeur de la racine au premier pas s'avère être 2, au deuxième – 2,2, au troisième – 2,23, et ainsi de suite 2,236067977…. Décrivons comment sont trouvées les valeurs des chiffres.

Les chiffres sont trouvés en les recherchant valeurs possibles 0, 1, 2,…, 9. Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle, et elles sont comparées à nombre radical. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée et la transition est effectuée vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine si cela ne se produit pas, alors la valeur de ce chiffre est égale à 9.

Expliquons ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Nous trouvons d’abord la valeur du chiffre des unités. Nous allons parcourir les valeurs 0, 1, 2, ..., 9, en calculant respectivement 0 2, 1 2, ..., 9 2, jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5. Il convient de présenter tous ces calculs sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (puisque 2 2<5 , а 2 3 >5). Passons à la recherche de la valeur des dixièmes de place. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs résultantes avec le nombre radical 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, alors la valeur de la dixième place est 2. Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la centième place :

Donc trouvé valeur suivante racine de cinq, elle est égale à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Nous déterminons d’abord le chiffre le plus significatif. Pour ce faire, on cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151 186. Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Déterminons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, alors la valeur de la place des dizaines est 1. Passons aux unités.

Ainsi, la valeur du chiffre des unités est 2. Passons aux dixièmes.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186, alors la valeur de la dixième place est 9. Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme ; elle nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine se trouve précise au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu’il existe de nombreuses autres façons d’extraire les racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus suffisent.

Références.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).