Après avoir étudié les monômes, passons aux polynômes. Cet article vous parlera de tout le monde information nécessaire, nécessaire pour effectuer des actions sur eux. Nous définirons un polynôme avec définitions qui l'accompagnent terme d'un polynôme, c'est-à-dire libre et similaire, considérer un polynôme de forme standard, introduire un degré et apprendre à le trouver, travailler avec ses coefficients.
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Polynôme et ses termes - définitions et exemples
La définition d'un polynôme était nécessaire à l'époque 7 classe après avoir étudié les monômes. Regardons sa définition complète.
Définition 1
Polynôme la somme des monômes est considérée, et le monôme lui-même est cas particulier polynôme.
De la définition, il s'ensuit que les exemples de polynômes peuvent être différents : 5 , 0 , − 1 , X, 5 un b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z et ainsi de suite. De la définition nous avons que 1+x, une 2 + b 2 et l'expression x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sont des polynômes.
Examinons quelques définitions supplémentaires.
Définition 2
Membres du polynôme ses monômes constitutifs sont appelés.
Prenons un exemple où nous avons un polynôme 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, composé de 4 termes : 3 x 4, − 2 x y, 3 et − oui 3. Un tel monôme peut être considéré comme un polynôme composé d'un seul terme.
Définition 3
Les polynômes contenant 2, 3 trinômes ont le nom correspondant - binôme Et trinôme.
Il s'ensuit qu'une expression de la forme x+y– est un binôme, et l'expression 2 x 3 q − q x x x + 7 b est un trinôme.
Par programme scolaire travaillé avec un binôme linéaire de la forme a · x + b, où a et b sont des nombres et x est une variable. Considérons des exemples de binômes linéaires de la forme : x + 1, x 7, 2 − 4 avec des exemples trinômes carrés x 2 + 3 x − 5 et 2 5 x 2 - 3 x + 11 .
Pour transformer et résoudre, il faut trouver et apporter termes similaires. Par exemple, un polynôme de la forme 1 + 5 x − 3 + y + 2 x a des termes similaires 1 et - 3, 5 x et 2 x. Ils sont divisés en groupe spécial appelés termes similaires d'un polynôme.
Définition 4
Termes similaires d'un polynôme sont des termes similaires trouvés dans un polynôme.
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons que 1 et - 3, 5 x et 2 x sont des termes similaires du polynôme ou des termes similaires. Afin de simplifier l'expression, recherchez et réduisez les termes similaires.
Polynôme de forme standard
Tous les monômes et polynômes ont leurs propres noms spécifiques.
Définition 5
Polynôme de forme standard est un polynôme dans lequel chaque terme qu'il contient a un monôme de forme standard et ne contient pas de termes similaires.
D'après la définition, il est clair qu'il est possible de réduire des polynômes de la forme standard, par exemple 3 x 2 − x y + 1 et __formula__, et l'entrée est sous forme standard. Les expressions 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z et 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ne sont pas des polynômes de la forme standard, puisque le premier d'entre eux a des termes similaires dans la forme 3 · x 2 et −x2, et le second contient un monôme de la forme x · y 3 · x · z 2, qui diffère du polynôme standard.
Si les circonstances l'exigent, le polynôme est parfois réduit à une forme standard. Le concept de terme libre d'un polynôme est également considéré comme un polynôme de forme standard.
Définition 6
Terme libre d'un polynôme est un polynôme de forme standard qui n'a pas de partie littérale.
En d’autres termes, lorsqu’un polynôme sous forme standard possède un nombre, il est appelé membre libre. Alors le nombre 5 est un terme libre du polynôme x 2 z + 5, et le polynôme 7 a + 4 a b + b 3 n'a pas de terme libre.
Degré d'un polynôme - comment le trouver ?
La définition du degré d'un polynôme lui-même est basée sur la définition d'un polynôme de forme standard et sur les degrés des monômes qui en sont les composants.
Définition 7
Degré d'un polynôme de forme standard est appelé le plus grand des degrés inclus dans sa notation.
Regardons un exemple. Le degré du polynôme 5 x 3 − 4 est égal à 3, car les monômes inclus dans sa composition ont des degrés 3 et 0, et le plus grand d'entre eux est respectivement 3. La définition du degré à partir du polynôme 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x est égale au plus grand des nombres, c'est-à-dire 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 et 1, ce qui signifie 5 .
Il est nécessaire de savoir comment se trouve le diplôme lui-même.
Définition 8
Degré polynomial n'importe quel chiffre est le degré du polynôme correspondant sous forme standard.
Lorsqu'un polynôme n'est pas écrit sous forme standard, mais que vous devez trouver son degré, vous devez le réduire à la forme standard, puis trouver le degré requis.
Exemple 1
Trouver le degré d'un polynôme 3 une 12 − 2 une b c c une c b + y 2 z 2 − 2 une 12 − une 12.
Solution
Tout d’abord, présentons le polynôme sous forme standard. On obtient une expression de la forme :
3 une 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 une 12 − une 12 = = (3 une 12 − 2 une 12 − une 12) − 2 · (une · une) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Lors de l'obtention d'un polynôme de forme standard, nous constatons que deux d'entre eux ressortent clairement - 2 · a 2 · b 2 · c 2 et y 2 · z 2 . Pour trouver les degrés, on compte et on trouve que 2 + 2 + 2 = 6 et 2 + 2 = 4. On voit que le plus grand d’entre eux est 6. De la définition, il s'ensuit que 6 est le degré du polynôme − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , et donc la valeur d'origine.
Répondre: 6 .
Coefficients des termes polynomiaux
Définition 9Lorsque tous les termes d'un polynôme sont des monômes de la forme standard, alors dans ce cas ils portent le nom coefficients des termes polynomiaux. En d’autres termes, ils peuvent être appelés coefficients du polynôme.
En considérant l'exemple, il est clair qu'un polynôme de la forme 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 contient 4 polynômes : 2 x, − 0, 5 x y, 3 x et 7 avec leurs coefficients correspondants 2, − 0, 5, 3 et 7. Cela signifie que 2, − 0, 5, 3 et 7 sont considérés comme des coefficients des termes d'un polynôme donné de la forme 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Lors de la conversion, il est important de faire attention aux coefficients devant les variables.
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Sur Cette leçon nous rappellerons les définitions de base de ce sujet et considérerons quelques problèmes typiques, à savoir la réduction d'un polynôme à une forme standard et le calcul de la valeur numérique de valeurs données variables. Nous résoudrons plusieurs exemples dans lesquels la réduction à la forme standard sera utilisée pour résoudre diverses sortes Tâches.
Sujet:Polynômes. Opérations arithmétiques sur les monômes
Leçon:Réduire un polynôme à la forme standard. Tâches typiques
Rappelons la définition de base : un polynôme est la somme de monômes. Chaque monôme qui fait partie d'un polynôme en tant que terme est appelé son membre. Par exemple:
Binôme;
Polynôme;
Binôme;
Puisqu'un polynôme est constitué de monômes, la première action avec un polynôme découle d'ici - vous devez amener tous les monômes sous une forme standard. Rappelons que pour cela, vous devez multiplier tous les facteurs numériques - obtenez coefficient numérique, et multipliez les degrés correspondants - obtenez la partie lettre. De plus, prêtons attention au théorème sur le produit des puissances : en multipliant les puissances, leurs exposants s'additionnent.
Considérons une opération importante : réduire un polynôme à une forme standard. Exemple:
Commentaire : pour amener un polynôme à une forme standard, vous devez amener tous les monômes inclus dans sa composition à une forme standard, après quoi, s'il existe des monômes similaires - et ce sont des monômes avec la même partie de lettre - effectuez des actions avec eux .
Nous avons donc examiné le premier problème typique : amener un polynôme à une forme standard.
Suivant tâche typique- calcul signification spécifique polynôme pour donné valeurs numériques les variables qui y sont incluses. Continuons à regarder l'exemple précédent et définissons les valeurs des variables :
Commentaire : rappelons qu'une unité dans n'importe quel diplôme naturelégal à un et zéro à toute puissance naturelle égal à zéro, en outre, rappelez-vous qu'en multipliant un nombre par zéro, nous obtenons zéro.
Examinons un certain nombre d'exemples d'opérations typiques de réduction d'un polynôme à une forme standard et de calcul de sa valeur :
Exemple 1 - mettre sous forme standard :
Commentaire : la première étape consiste à mettre les monômes sous forme standard, vous devez mettre le premier, le deuxième et le sixième ; deuxième action - nous présentons membres similaires, c'est-à-dire que nous effectuons les tâches données sur eux opérations arithmétiques: on ajoute le premier avec le cinquième, le deuxième avec le troisième, le reste est réécrit sans modifications, puisqu'ils n'en ont pas de similaires.
Exemple 2 - calculer la valeur du polynôme de l'exemple 1 étant donné les valeurs des variables :
Commentaire : lors du calcul, n'oubliez pas qu'une unité pour toute puissance naturelle est une ; s'il est difficile de calculer des puissances de deux, vous pouvez utiliser le tableau des puissances.
Exemple 3 - au lieu d'un astérisque, mettez un monôme tel que le résultat ne contienne pas de variable :
Commentaire : quelle que soit la tâche, la première action est toujours la même : amener le polynôme à une forme standard. Dans notre exemple, cette action revient à amener des termes similaires. Après cela, vous devriez relire attentivement la condition et réfléchir à la manière dont nous pouvons nous débarrasser du monôme. Évidemment, pour cela, vous devez y ajouter le même monôme, mais avec signe opposé- . Ensuite, nous remplaçons l'astérisque par ce monôme et nous assurons que notre solution est correcte.
Dans cette leçon, nous rappellerons les définitions de base de ce sujet et examinerons quelques problèmes typiques, à savoir la réduction d'un polynôme à une forme standard et le calcul d'une valeur numérique pour des valeurs données de variables. Nous résoudrons plusieurs exemples dans lesquels la réduction à une forme standard sera utilisée pour résoudre divers types de problèmes.
Sujet:Polynômes. Opérations arithmétiques sur les monômes
Leçon:Réduire un polynôme à la forme standard. Tâches typiques
Rappelons la définition de base : un polynôme est la somme de monômes. Chaque monôme qui fait partie d'un polynôme en tant que terme est appelé son membre. Par exemple:
Binôme;
Polynôme;
Binôme;
Puisqu'un polynôme est constitué de monômes, la première action avec un polynôme découle d'ici - vous devez amener tous les monômes sous une forme standard. Rappelons que pour ce faire, vous devez multiplier tous les facteurs numériques - obtenir un coefficient numérique, et multiplier les puissances correspondantes - obtenir la partie lettre. De plus, prêtons attention au théorème sur le produit des puissances : en multipliant les puissances, leurs exposants s'additionnent.
Considérons une opération importante : réduire un polynôme à une forme standard. Exemple:
Commentaire : pour amener un polynôme à une forme standard, vous devez amener tous les monômes inclus dans sa composition à une forme standard, après quoi, s'il existe des monômes similaires - et ce sont des monômes avec la même partie de lettre - effectuez des actions avec eux .
Nous avons donc examiné le premier problème typique : amener un polynôme à une forme standard.
Le prochain problème typique consiste à calculer la valeur spécifique d'un polynôme pour des valeurs numériques données des variables qu'il contient. Continuons à regarder l'exemple précédent et définissons les valeurs des variables :
Commentaire : rappelons que un pour toute puissance naturelle est égal à un, et zéro pour toute puissance naturelle est égal à zéro, de plus, rappelons qu'en multipliant n'importe quel nombre par zéro, nous obtenons zéro.
Examinons un certain nombre d'exemples d'opérations typiques de réduction d'un polynôme à une forme standard et de calcul de sa valeur :
Exemple 1 - mettre sous forme standard :
Commentaire : la première étape consiste à mettre les monômes sous forme standard, vous devez mettre le premier, le deuxième et le sixième ; deuxième action - nous apportons des termes similaires, c'est-à-dire que nous effectuons sur eux les opérations arithmétiques données : nous ajoutons le premier avec le cinquième, le deuxième avec le troisième, nous réécrivons le reste sans modifications, car ils n'en ont pas de similaires.
Exemple 2 - calculer la valeur du polynôme de l'exemple 1 étant donné les valeurs des variables :
Commentaire : lors du calcul, n'oubliez pas qu'une unité pour toute puissance naturelle est une ; s'il est difficile de calculer des puissances de deux, vous pouvez utiliser le tableau des puissances.
Exemple 3 - au lieu d'un astérisque, mettez un monôme tel que le résultat ne contienne pas de variable :
Commentaire : quelle que soit la tâche, la première action est toujours la même : amener le polynôme à une forme standard. Dans notre exemple, cette action revient à amener des termes similaires. Après cela, vous devriez relire attentivement la condition et réfléchir à la manière dont nous pouvons nous débarrasser du monôme. Évidemment, pour ce faire, vous devez y ajouter le même monôme, mais avec le signe opposé - . Ensuite, nous remplaçons l'astérisque par ce monôme et nous assurons que notre solution est correcte.
Nous avons dit qu'il existe des polynômes standard et non standard. Nous y avons noté que n'importe qui peut amener le polynôme à la forme standard. Dans cet article, nous découvrirons d’abord quel sens porte cette expression. Ensuite, nous énumérons les étapes qui vous permettent de transformer n'importe quel polynôme en vue générale. Enfin, regardons les solutions exemples typiques. Nous décrirons les solutions en détail afin de comprendre toutes les nuances qui surviennent lors de la réduction des polynômes à la forme standard.
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Que signifie réduire un polynôme à une forme standard ?
Vous devez d’abord comprendre clairement ce que signifie réduire un polynôme à une forme standard. Voyons cela.
Les polynômes, comme toute autre expression, peuvent être soumis à des transformations identiques. Grâce à de telles transformations, on obtient des expressions identiques à l'expression d'origine. Ainsi, effectuer certaines transformations avec des polynômes de forme non standard permet de passer à des polynômes qui leur sont identiquement égaux, mais écrits sous forme standard. Cette transition est appelée réduction du polynôme à la forme standard.
Donc, réduire le polynôme à la forme standard- cela signifie remplacer le polynôme d'origine par un polynôme identiquement égal de forme standard, obtenu à partir de l'original en effectuant des transformations identiques.
Comment réduire un polynôme à la forme standard ?
Réfléchissons aux transformations qui nous aideront à amener le polynôme à une forme standard. Nous partirons de la définition d’un polynôme de forme standard.
Par définition, chaque terme d'un polynôme de forme standard est un monôme de forme standard, et un polynôme de forme standard ne contient aucun terme similaire. À leur tour, les polynômes écrits sous une forme autre que la forme standard peuvent être constitués de monômes sous une forme non standard et contenir des termes similaires. Cela suit logiquement règle suivante, expliquant comment réduire un polynôme à la forme standard:
- vous devez d'abord mettre sous forme standard les monômes qui composent le polynôme d'origine,
- puis effectuez la réduction des termes similaires.
En conséquence, un polynôme de forme standard sera obtenu, puisque tous ses termes seront écrits sous forme standard et qu'il ne contiendra pas de termes similaires.
Exemples, solutions
Examinons des exemples de réduction de polynômes à une forme standard. Lors de la résolution, nous suivrons les étapes dictées par la règle du paragraphe précédent.
On remarque ici que parfois tous les termes d'un polynôme sont immédiatement écrits sous forme standard ; dans ce cas, il suffit de donner simplement des termes similaires. Parfois, après avoir réduit les termes d'un polynôme à une forme standard, il n'y a pas de termes similaires, par conséquent, l'étape consistant à amener des termes similaires est omise dans ce cas. DANS cas général il faut faire les deux.
Exemple.
Présenter les polynômes sous forme standard : 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 une 3 0,6−b une b 4 b 5 Et .
Solution.
Tous les termes du polynôme 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 sont écrits sous forme standard ; il n'a pas de termes similaires, donc ce polynôme est déjà présenté sous forme standard ;
Passons au polynôme suivant 0,8+2 une 3 0,6−b une b 4 b 5. Sa forme n'est pas standard, comme en témoignent les termes 2·a 3 ·0,6 et −b·a.b 4 ·b 5 d'une forme non standard. Présentons-le sous forme standard.
Lors de la première étape consistant à mettre le polynôme original sous forme standard, nous devons présenter tous ses termes sous forme standard. Par conséquent, nous réduisons le monôme 2·a 3 ·0.6 à la forme standard, nous avons 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , après quoi nous prenons le monôme −b·a.b 4 ·b 5 , nous avons −b.a.b 4.b 5 =−a.b 1+4+5 =−a.b 10. Ainsi, . Dans le polynôme résultant, tous les termes sont écrits sous forme standard et il est évident qu'il n'y a pas de termes similaires ; Par conséquent, ceci achève la réduction du polynôme original à la forme standard.
Il reste à présenter le dernier des polynômes donnés sous forme standard. Après avoir mis tous ses membres sous forme standard, il s'écrira ainsi 
. Il a des membres similaires, vous devez donc diffuser des membres similaires : 
Le polynôme original prenait donc la forme standard −x·y+1.
Répondre:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – déjà sous forme standard, 0,8+2 une 3 0,6−b une b 4 b 5 =0,8+1,2 une 3 −une b 10, .
Souvent, amener un polynôme à une forme standard n'est qu'une étape intermédiaire pour répondre à la question posée au problème. Par exemple, trouver le degré d'un polynôme nécessite sa représentation préalable sous forme standard.
Exemple.
Donner un polynôme 
à la forme standard, indiquez son degré et rangez les termes par degrés décroissants de la variable.
Solution.
Tout d’abord, nous mettons tous les termes du polynôme sous forme standard : 
.
Nous présentons maintenant des termes similaires : 
Nous avons donc ramené le polynôme original à sa forme standard, cela nous permet de déterminer le degré du polynôme, qui est égal au plus haut dans une plus grande mesure monômes qui y sont inclus. Il est évidemment égal à 5.
Il reste à ranger les termes du polynôme en puissances décroissantes des variables. Pour ce faire, il vous suffit de réorganiser les termes dans le polynôme résultant de forme standard, en tenant compte de l'exigence. Le plus grand degré a un terme z 5, les degrés des termes , −0,5·z 2 et 11 sont égaux respectivement à 3, 2 et 0. Par conséquent, un polynôme dont les termes sont disposés en puissances décroissantes de la variable aura la forme 
.
Répondre:
Le degré du polynôme est 5, et après avoir rangé ses termes en degrés décroissants de la variable, il prend la forme .
Bibliographie.
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- Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2013. - 175 p. : ill. ISBN978-5-346-02432-3.
- Algèbre et j'ai commencé analyse mathematique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : je vais. - ISBN978-5-09-022771-1.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
Par exemple, les expressions :
un - b + c, X 2 - oui 2 , 5X - 3oui - z- les polynômes
Les monômes qui composent un polynôme sont appelés membres du polynôme. Considérons le polynôme :
7un + 2b - 3c - 11
expressions: 7 un, 2b, -3c et -11 sont les termes du polynôme. Notez que le membre -11 ne contient pas de variable ; ces membres constitués uniquement d'un nombre sont appelés ; gratuit.
Il est généralement admis que tout monôme est un cas particulier de polynôme, constitué d'un terme. Dans ce cas, un monôme est le nom d’un polynôme comportant un seul terme. Pour les polynômes composés de deux et trois membres, il y a aussi noms spéciaux- binôme et trinôme, respectivement :
7un- monôme
7un + 2b- binôme
7un + 2b - 3c- trinôme
Membres similaires
Membres similaires- des monômes inclus dans un polynôme qui ne diffèrent les uns des autres que par un coefficient, un signe ou ne diffèrent pas du tout (les monômes opposés peuvent aussi être qualifiés de similaires). Par exemple, dans un polynôme :
| 3un 2 b | + | 5abc 2 | + | 2un 2 b | - | 7abc 2 | - | 2un 2 b |
membres 3 un 2 b, 2un 2 b et 2 un 2 b, ainsi que les membres 5 abc 2 et -7 abc 2 sont des termes similaires.
Amener des membres similaires
Si un polynôme contient des termes similaires, alors il peut être réduit à plus vue simple en combinant des membres similaires en un seul. Cette action est appelée amener des membres similaires. Tout d’abord, mettons tous ces termes séparément entre parenthèses :
(3un 2 b + 2un 2 b - 2un 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)
Pour combiner plusieurs monômes similaires en un seul, vous devez additionner leurs coefficients et laisser les facteurs de lettre inchangés :
((3 + 2 - 2)un 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3un 2 b) + (-2abc 2) = 3un 2 b - 2abc 2
La coercition de termes similaires est une opération de remplacement somme algébrique plusieurs monômes similaires par un monôme.
Polynôme de forme standard
Polynôme de forme standard est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de forme standard, parmi lesquels il n'y a pas de termes similaires.
Pour amener un polynôme à une forme standard, il suffit de réduire des termes similaires. Par exemple, représentons l'expression sous la forme d'un polynôme de la forme standard :
3xy + X 3 - 2xy - oui + 2X 3
Tout d’abord, trouvons des termes similaires :
Si tous les membres d’un polynôme de forme standard contiennent la même variable, alors ses membres sont généralement classés du plus grand au plus petit degré. Membre gratuit le polynôme, s'il y en a un, est placé sur dernière place- sur la droite.
Par exemple, un polynôme
3X + X 3 - 2X 2 - 7
devrait s'écrire ainsi :
X 3 - 2X 2 + 3X - 7
