Si vous pouvez insérer un cercle dans un trapèze, alors... Trapèze

Précédent Suivant

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si vous êtes intéressé ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Objectif de la leçon :

• pédagogique– introduire le concept de trapèze, se familiariser avec les types de trapèze, étudier les propriétés d'un trapèze, apprendre aux étudiants à appliquer les connaissances acquises dans le processus de résolution de problèmes ;
• développement– développement des qualités communicatives des étudiants, développement de la capacité à mener des expériences, généraliser, tirer des conclusions, développement de l’intérêt pour le sujet.
• pédagogique– cultiver l’attention, créer une situation de réussite, de joie d’indépendance surmonter les difficultés, développer chez les élèves le besoin d'expression de soi à travers différents types travaux

Formes de travail : frontal, hammam, groupe.

Forme d'organisation des activités pour enfants : la capacité d'écouter, de construire une discussion, d'exprimer une pensée, une question, un ajout.

Équipement: ordinateur, projecteur multimédia, écran. Sur les pupitres des élèves : découper du matériel pour réaliser un trapèze sur le pupitre de chaque élève ; cartes avec des tâches (impressions de dessins et tâches des notes de cours).

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

I. Moment organisationnel

Salutation, vérification de l'état de préparation du lieu de travail pour la leçon.

II. Actualisation des connaissances

• développement de compétences pour classer des objets;
• identification des caractéristiques principales et secondaires lors de la classification.

Pensez au dessin n°1.

Vient ensuite une discussion sur le dessin.
– De quoi est faite cette figure géométrique ? Les gars trouvent la réponse dans les images : [à partir d'un rectangle et de triangles].
– À quoi devraient ressembler les triangles qui composent un trapèze ?
Toutes les opinions sont écoutées et discutées, une option est retenue : [les triangles doivent être rectangulaires].
– Comment se forment des triangles et un rectangle ? [Pour que les côtés opposés du rectangle coïncident avec les branches de chacun des triangles].
– Que sais-tu des côtés opposés d’un rectangle ? [Ils sont parallèles].
- Donc ce quadrilatère aura des côtés parallèles ? [Oui].
- Combien y en a-t-il ? [Deux].
Après la discussion, l'enseignant démontre la « reine de la leçon » - le trapèze.

III. Explication du nouveau matériel

1. Définition du trapèze, éléments du trapèze

• apprendre aux élèves à définir un trapèze ;
• nommer ses éléments ;
• développement de la mémoire associative.

– Essayez maintenant de donner une définition complète d’un trapèze. Chaque élève réfléchit à une réponse à la question. Ils échangent leurs opinions en binôme et préparent une réponse unique à la question. Une réponse orale est donnée à un élève parmi 2-3 binômes.
[Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles].

– Comment appelle-t-on les côtés d’un trapèze ? [ Côtés parallèles sont appelées les bases du trapèze, et les deux autres sont appelées les côtés latéraux].

L'enseignant propose de plier les formes découpées en trapèze. Les élèves travaillent en binôme et additionnent les chiffres. C'est bien si les paires d'étudiants sont de niveaux différents, alors l'un des étudiants est consultant et aide un ami en cas de difficulté.

– Construisez un trapèze dans vos cahiers, notez les noms des côtés du trapèze. Posez des questions à votre voisin sur le dessin, écoutez ses réponses et indiquez-lui vos options de réponse.

Contexte historique

"Trapèze"- un mot grec qui, dans les temps anciens, signifiait « table » (en grec « trapedzion » signifie table, table à manger. La figure géométrique a été nommée ainsi en raison de sa ressemblance extérieure avec une petite table.
Dans les Éléments (grec Στοιχεῖα, latin Elementa) - l'œuvre principale d'Euclide, écrite vers 300 avant JC. e. et dédié à la construction systématique de la géométrie), le terme « trapèze » n'est pas utilisé dans le sens moderne, mais dans un sens différent : n'importe quel quadrilatère (pas un parallélogramme). Le « trapèze », dans notre sens, se trouve pour la première fois chez le mathématicien grec Posidonius (1er siècle). Au Moyen Âge, selon Euclide, tout quadrilatère (et non un parallélogramme) était appelé trapèze ; seulement au XVIIIe siècle. ce mot prend un sens moderne.

Construire un trapèze à partir de ses éléments donnés. Les gars accomplissent les tâches de la carte n°1.

Les élèves doivent construire des trapèzes selon diverses dispositions et formes. Au point 1 il faut construire trapèze rectangulaire. Au point 2 il devient possible de construire trapèze isocèle. Au point 3, le trapèze sera « couché sur le côté ». Au paragraphe 4, le dessin consiste à construire un trapèze dont l'une des bases s'avère inhabituellement petite.
Les élèves « surprennent » l'enseignant avec différentes figures portant le même nom commun– trapèze. L'enseignant démontre options possibles construire des trapèzes.

Problème 1. Deux trapèzes seront-ils égaux si l'une des bases et deux d'entre elles sont respectivement égales ? côtés?
Discutez de la solution au problème en groupe et prouvez l'exactitude du raisonnement.
Un élève du groupe dessine un dessin au tableau et explique le raisonnement.

2. Types de trapèze

• développement mémoire du moteur, compétences pour briser un trapèze personnages célèbres, nécessaire à la résolution de problèmes ;
• développement de compétences pour généraliser, comparer, définir par analogie et émettre des hypothèses.

Regardons l'image :

– En quoi les trapèzes représentés sur l'image sont-ils différents ?
Les gars ont remarqué que le type de trapèze dépend du type de triangle situé à gauche.
– Complétez la phrase :

Un trapèze est dit rectangulaire si...
Un trapèze est dit isocèle si...

3. Propriétés d'un trapèze. Propriétés d'un trapèze isocèle.

• émettre, par analogie avec un triangle isocèle, une hypothèse sur la propriété d'un trapèze isocèle ;
• développement des compétences analytiques (comparer, émettre des hypothèses, prouver, construire).

• Le segment reliant les milieux des diagonales est égal à la moitié de la différence des bases.
• Un trapèze isocèle a des angles égaux à n’importe quelle base.
• Un trapèze isocèle a des diagonales égales.
• Un trapèze isocèle a une hauteur abaissée de son sommet à base plus grande, le divise en deux segments, dont l'un est égal à la moitié de la somme des bases, l'autre à la moitié de la différence des bases.

Tâche 2. Montrer que dans un trapèze isocèle : a) les angles à chaque base sont égaux ; b) les diagonales sont égales. Pour prouver ces propriétés d'un trapèze isocèle, rappelons les signes d'égalité des triangles. Les élèves accomplissent la tâche en groupe, discutent et notent la solution dans leur cahier.
Un élève du groupe effectue une preuve au tableau.

4. Exercice d'attention

5. Exemples d'utilisation de formes trapézoïdales dans la vie de tous les jours :

• dans les intérieurs (canapés, murs, plafonds suspendus) ;
• en aménagement paysager (bordures de pelouses, bassins artificiels, pierres) ;
• dans l'industrie de la mode (vêtements, chaussures, accessoires) ;
• dans la conception d'objets du quotidien (lampes, vaisselle, utilisant des formes trapézoïdales) ;
• en architecture.

Travaux pratiques(selon options).

– Dans un système de coordonnées, construisez des trapèzes isocèles basés sur les trois sommets donnés.

Option 1 : (0 ; 1), (0 ; 6), (– 4 ; 2), (…; …) et (– 6 ; – 5), (4 ; – 5), (– 4 ; – 3) , (…; …).
Option 2 : (– 1 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 5), (… ; …) et (1 ; – 2), (4 ; – 3), (4 ; – 7), ( … ; …).

– Déterminer les coordonnées du quatrième sommet.
La solution est vérifiée et commentée par toute la classe. Les élèves indiquent les coordonnées du quatrième point trouvé et tentent d'expliquer verbalement pourquoi conditions données définir un seul point.

Une tâche intéressante. Pliez un trapèze composé de : a) quatre triangles rectangles ; b) à partir de trois triangles rectangles ; c) à partir de deux triangles rectangles.

IV. Devoirs

• éducation bonne estime de soi;
• créer une situation de « réussite » pour chaque élève.

p.44, connaître la définition, les éléments d'un trapèze, ses types, connaître les propriétés d'un trapèze, pouvoir les prouver, n° 388, n° 390.

V. Résumé de la leçon. A la fin du cours, il est remis aux enfants questionnaire, qui permet de réaliser une auto-analyse, de donner une évaluation qualitative et quantitative de la leçon .

- (trapèze grec). 1) en géométrie, un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et deux ne le sont pas. 2) une figure adaptée aux exercices de gymnastique. Dictionnaire mots étrangers, inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. TRAPÈZE... ... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe

Trapèze- Trapèze. TRAPEZE (du grec trapèze, littéralement table), quadrilatère convexe, dont deux côtés sont parallèles (bases d'un trapèze). L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme des bases (ligne médiane) et de la hauteur. ... Dictionnaire encyclopédique illustré

trapèze- quadrilatère, projectile, barre transversale Dictionnaire des synonymes russes. nom trapèze, nombre de synonymes : 3 barre transversale (21)... Dictionnaire des synonymes

TRAPÈZE- (du grec trapèze, littéralement table), quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles (les bases d'un trapèze). L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme des bases (ligne médiane) et de la hauteur... Encyclopédie moderne

TRAPÈZE- (du grec trapèze lit. table), un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés, appelées bases du trapèze, sont parallèles (sur les figures AD et BC), et les deux autres ne sont pas parallèles. La distance entre les bases est appelée la hauteur du trapèze (à ... ... Grand dictionnaire encyclopédique

TRAPÈZE- TRAPÈZE, quadrangulaire silhouette plate, dans lequel deux côtés opposés sont parallèles. L'aire d'un trapèze est égale à la moitié de la somme des côtés parallèles multipliée par la longueur de la perpendiculaire qui les sépare... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

TRAPÈZE- TRAPEZE, trapèze, femme. (de la table grecque trapèze). 1. Quadrilatère avec deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles (mat.). 2. Un agrès de gymnastique constitué d'une barre transversale suspendue à deux cordes (sport). Acrobatique... ... Dictionnaire Ouchakova

TRAPÈZE- TRAPÈZE, et, femelle. 1. Un quadrilatère avec deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles. Les bases du trapèze (ses côtés parallèles). 2. Un agrès de cirque ou de gymnastique est une barre transversale suspendue à deux câbles. Dictionnaire explicatif d'Ojegov. AVEC … Dictionnaire explicatif d'Ojegov

TRAPÈZE- femelle, géom. un quadrilatère aux côtés inégaux dont deux sont parallèles (parallèles). Trapèze, quadrilatère similaire dans lequel tous les côtés se séparent. Trapézoèdre, corps facetté de trapèzes. Dictionnaire explicatif de Dahl. V.I. Dahl. 1863 1866… Dictionnaire explicatif de Dahl

TRAPÈZE- (Trapèze), USA, 1956, 105 min. Mélodrame. L'aspirant acrobate Tino Orsini rejoint une troupe de cirque où travaille Mike Ribble, un célèbre ancien trapéziste. Mike a déjà joué avec le père de Tino. Le jeune Orsini veut Mike... Encyclopédie du cinéma

Trapèze- un quadrilatère dont les deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles. La distance entre les côtés parallèles est appelée. hauteur T. Si les côtés et la hauteur parallèles contiennent des mètres a, b et h, alors l'aire de T contient mètres carrés … Encyclopédie de Brockhaus et Efron

Il existe une terminologie spécifique pour désigner les éléments d'un trapèze. Les côtés parallèles de ceci figure géométrique sont appelés ses bases. En règle générale, ils ne sont pas égaux. Cependant, il y en a un qui ne dit rien sur les côtés non parallèles. Par conséquent, certains mathématiciens considèrent un parallélogramme comme un cas particulier de trapèze. Cependant, la grande majorité des manuels mentionnent encore le non-parallélisme de la deuxième paire de côtés, dits latéraux.

Il existe plusieurs types de trapèzes. Si ses côtés sont égaux, alors le trapèze est appelé isocèle ou isocèle. L'un des côtés peut être perpendiculaire aux bases. En conséquence, dans ce cas, la figure sera rectangulaire.

Il existe plusieurs autres lignes qui définissent les trapèzes et aident à calculer d'autres paramètres. Divisez les côtés en deux et tracez une ligne droite passant par les points résultants. Vous obtiendrez la ligne médiane du trapèze. Elle est parallèle aux bases et à leur demi-somme. Il peut être exprimé par la formule n=(a+b)/2, où n est la longueur, a et b sont les longueurs des bases. La ligne médiane est très paramètre important. Par exemple, vous pouvez l'utiliser pour exprimer l'aire d'un trapèze, qui est égale à la longueur de la ligne médiane multipliée par la hauteur, c'est-à-dire S=nh.

À partir du coin entre le côté et la base la plus courte, tracez une perpendiculaire à la base longue. Vous obtiendrez la hauteur du trapèze. Comme toute perpendiculaire, la hauteur - distance la plus courte entre des lignes données.

Il existe des propriétés supplémentaires que vous devez connaître. Les angles entre les côtés et la base sont les uns avec les autres. De plus, ses diagonales sont égales, ce qui est facile en comparant les triangles qu'elles forment.

Divisez les bases en deux. Trouvez le point d'intersection des diagonales. Continuez les côtés jusqu'à ce qu'ils se croisent. Vous obtiendrez 4 points par lesquels vous pourrez tracer une ligne droite, et un seul.

L'un des propriétés importantes de tout quadrilatère est la capacité de construire un cercle inscrit ou circonscrit. Cela ne fonctionne pas toujours avec un trapèze. Un cercle inscrit ne sera formé que si la somme des bases est égale à la somme des côtés. Un cercle ne peut être décrit qu’autour d’un trapèze isocèle.

Un trapèze de cirque peut être fixe ou mobile. Le premier est une petite barre transversale ronde. Il est fixé des deux côtés au dôme du cirque avec des tiges de fer. Le trapèze mobile est fixé avec des câbles ou des cordes ; il peut osciller librement. Il existe des trapèzes doubles et même triples. Le même terme fait référence au genre des acrobaties de cirque lui-même.

Le terme « trapèze »

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

• Lorsque vous soumettez une demande sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, y compris votre nom, votre numéro de téléphone et votre adresse e-mail etc.

Comment nous utilisons vos informations personnelles :

• Collecté par nos soins informations personnelles nous permet de vous contacter et de vous informer des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
• De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
• Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes telles que l'audit, l'analyse des données et diverses études afin d'améliorer les services que nous proposons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions :

• Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, aux procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes de agences gouvernementales sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

\[(\Large(\text(trapèze libre)))\]

Définitions

Un trapèze est un quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.

Les côtés parallèles d’un trapèze sont appelés ses bases et les deux autres côtés sont appelés ses côtés.

La hauteur d'un trapèze est une perpendiculaire descendant de n'importe quel point d'une base à une autre base.

Théorèmes : propriétés d'un trapèze

1) La somme des angles sur le côté est \(180^\circ\) .

2) Les diagonales divisent le trapèze en quatre triangles, dont deux sont semblables et les deux autres sont de taille égale.

Preuve

1) Parce que \(AD\parallèle BC\), alors les angles \(\angle BAD\) et \(\angle ABC\) sont unilatéraux pour ces droites et la transversale \(AB\), donc, \(\angle MAUVAIS +\angle ABC=180^\circ\).

2) Parce que \(AD\parallel BC\) et \(BD\) sont sécants, alors \(\angle DBC=\angle BDA\) se trouvent transversalement.
Aussi \(\angle BOC=\angle AOD\) comme vertical.
Donc sous deux angles \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Prouvons que \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Soit \(h\) la hauteur du trapèze. Alors \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Alors: \

Définition

La ligne médiane d'un trapèze est un segment reliant les milieux des côtés.

Théorème

La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.

Preuve*

1) Montrons le parallélisme.

Traçons par le point \(M\) la droite \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Alors, d’après le théorème de Thalès (puisque \(MN"\parallèle AD\parallèle BC, AM=MB\)) le point \(N"\) est le milieu du segment \(CD\). Cela signifie que les points \(N\) et \(N"\) coïncideront.

2) Démontrons la formule.

Faisons \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Laisser \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Ensuite, d'après le théorème de Thales, \(M"\) et \(N"\) sont respectivement les milieux des segments \(BB"\) et \(CC"\). Donc, \(MM"\) – ligne médiane\(\triangle ABB"\) , \(NN"\) est la ligne médiane \(\triangle DCC"\). Par conséquent : \

Parce que \(MN\AD parallèle\BC parallèle\) et \(BB", CC"\perp AD\) , alors \(B"M"N"C"\) et \(BM"N"C\) sont des rectangles. D'après le théorème de Thales, de \(MN\parallel AD\) et \(AM=MB\) il s'ensuit que \(B"M"=M"B\) . D'où \(B"M"N"C "\) et \(BM"N"C\) – rectangles égaux, donc, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Ainsi:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Théorème : propriété trapèze libre

Les milieux des bases, le point d'intersection des diagonales du trapèze et le point d'intersection des prolongements des côtés latéraux se trouvent sur une même droite.

Preuve*
Il est recommandé de vous familiariser avec la preuve après avoir étudié le thème « Similitude des triangles ».

1) Montrons que les points \(P\) , \(N\) et \(M\) se trouvent sur la même droite.

Traçons une droite \(PN\) (\(P\) est le point d'intersection des extensions des côtés latéraux, \(N\) est le milieu de \(BC\)). Laissez-le couper le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .

Considérez \(\triangle BPN\) et \(\triangle APM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle APM\) – général, \(\angle PAM=\angle PBN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(AB\) sécant). Moyens: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considérez \(\triangle CPN\) et \(\triangle DPM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle DPM\) – général, \(\angle PDM=\angle PCN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(CD\) sécant). Moyens: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

D'ici \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Mais \(BN=NC\) donc \(AM=DM\) .

2) Montrons que les points \(N, O, M\) se trouvent sur la même droite.

Soit \(N\) le milieu de \(BC\) et \(O\) le point d'intersection des diagonales. Traçons une ligne droite \(NO\) , elle coupera le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) le long de deux angles (\(\angle OBN=\angle ODM\) situés transversalement à \(BC\parallel AD\) et \(BD\) sécants ; \(\angle BON=\angle DOM\) comme verticaux). Moyens: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

De même \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Moyens: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

D'ici \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Mais \(BN=CN\) donc \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Trapèze isocèle)))\]

Définitions

Un trapèze est dit rectangulaire si l’un de ses angles est droit.

Un trapèze est dit isocèle si ses côtés sont égaux.

Théorèmes : propriétés d'un trapèze isocèle

1) Un trapèze isocèle a des angles de base égaux.

2) Les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales.

3) Deux triangles formés de diagonales et d'une base sont isocèles.

Preuve

1) Considérons le trapèze isocèle \(ABCD\) .

À partir des sommets \(B\) et \(C\), nous déposons respectivement les perpendiculaires \(BM\) et \(CN\) du côté \(AD\). Puisque \(BM\perp AD\) et \(CN\perp AD\) , alors \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , alors \(MBCN\) est un parallélogramme, donc \(BM = CN\) .

Considérons triangles rectangles\(ABM\) et \(CDN\) . Puisque leurs hypoténuses sont égales et que la jambe \(BM\) est égale à la jambe \(CN\), alors ces triangles sont égaux, donc \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Parce que \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)– général, puis selon le premier signe. Par conséquent, \(AC=BD\) .

3) Parce que \(\triangle ABD=\triangle ACD\), puis \(\angle BDA=\angle CAD\) . Le triangle \(\triangle AOD\) est donc isocèle. De même, il est prouvé que \(\triangle BOC\) est isocèle.

Théorèmes : signes d'un trapèze isocèle

1) Si un trapèze a des angles de base égaux, alors il est isocèle.

2) Si un trapèze a des diagonales égales, alors il est isocèle.

Preuve

Considérons le trapèze \(ABCD\) tel que \(\angle A = \angle D\) .

Complétons le trapèze jusqu'au triangle \(AED\) comme indiqué sur la figure. Puisque \(\angle 1 = \angle 2\) , alors le triangle \(AED\) est isocèle et \(AE = ED\) . Les angles \(1\) et \(3\) sont égaux aux angles correspondants des lignes parallèles \(AD\) et \(BC\) et transversales \(AB\). De même, les angles \(2\) et \(4\) sont égaux, mais \(\angle 1 = \angle 2\), alors \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), donc le triangle \(BEC\) est également isocèle et \(BE = EC\) .

À la fin \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), c'est-à-dire \(AB = CD\), ce qui devait être prouvé.

2) Soit \(AC=BD\) . Parce que \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), alors nous désignons leur coefficient de similarité par \(k\) . Alors si \(BO=x\) , alors \(OD=kx\) . Similaire à \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Parce que \(AC=BD\) , puis \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Cela signifie que \(\triangle AOD\) est isocèle et \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Ainsi, d'après le premier signe \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- général). Alors, \(AB=CD\) , pourquoi.