Comment décider quand le discriminant est 0. Soyez toujours d'humeur

Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la solution diverses tâches physique et mathématiques. Dans cet article, nous verrons comment résoudre ces égalités de manière universelle"à travers le discriminant". Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.

De quelles équations parlerons-nous ?

La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et caractères latins a, b, c représentent des nombres connus.

Chacun de ces symboles est appelé coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre « a » apparaît devant la variable x au carré. Ce degré maximum expression donnée, on l’appelle donc une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur de a en soi est coefficient carré(debout avec la variable au carré), b est un coefficient linéaire (il se situe à côté de la variable élevée à la première puissance), enfin, le nombre c est Membre gratuit.

Notez que le type d’équation présenté dans la figure ci-dessus est une expression quadratique classique générale. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b et c peuvent être nuls.

Lorsque la tâche est définie pour résoudre l'égalité en question, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose dont vous devez vous souvenir est la suivante : puisque le degré maximum de X est 2, alors ce type les expressions ne peuvent pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution d'une équation, 2 valeurs de x étaient trouvées qui la satisfont, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de 3ème nombre, en le substituant à x, l'égalité serait également vraie. Les solutions d’une équation mathématique s’appellent ses racines.

Méthodes de résolution d'équations du second ordre

La résolution d’équations de ce type nécessite la connaissance d’une certaine théorie à leur sujet. DANS cours scolaire les algèbres considèrent 4 diverses méthodes solutions. Listons-les :

• utiliser la factorisation ;
• en utilisant la formule d'un carré parfait ;
• en appliquant le graphique de la fonction quadratique correspondante ;
• en utilisant l'équation discriminante.

L’avantage de la première méthode est sa simplicité mais elle ne peut pas être utilisée pour toutes les équations ; La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans cet article, nous ne le considérerons que.

Formule pour obtenir les racines de l'équation

Tournons-nous vers apparence générale équation quadratique. Écrivons-le : a*x²+ b*x + c =0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par un discriminant », vous devez toujours mettre l'égalité sous forme écrite. Autrement dit, il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c vaut 0).

Par exemple, s'il existe une expression : x²-9*x+8 = -5*x+7*x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.

DANS dans ce cas cette opération conduira à l'expression suivante : -6*x²-4*x+8=0, ce qui équivaut à l'équation 6*x²+4*x-8=0 (ici nous avons multiplié les côtés gauche et droit du égalité par -1).

Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b=4, c=-8. A noter que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours additionnés, donc si le signe « - » apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.

Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Cela ressemble à celui montré sur la photo ci-dessous.

Comme le montre cette expression, elle permet d'obtenir deux racines (faites attention au signe « ± »). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.

La notion de discriminant

Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans ce document, l'expression radicale est appelée discriminant, c'est-à-dire D = b²-4*a*c.

Pourquoi cette partie de la formule est-elle mise en évidence, et elle a même nom propre? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Dernier fait signifie qu'il contient entièrement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées dans la liste suivante :

1. D>0 : l’égalité a 2 diverses solutions, qui sont tous deux des nombres réels.
2. D=0 : L'équation n'a qu'une seule racine, et c'est un nombre réel.

Tâche de détermination discriminante

Donnons un exemple simple de la façon de trouver un discriminant. Soit l'égalité suivante : 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Amenons-le à vue générale, on obtient : (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, d'où on arrive à l'égalité : -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Ici a=-2, b=2, c=-11.

Vous pouvez maintenant utiliser la formule ci-dessus pour le discriminant : D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Le nombre obtenu est la réponse à la tâche. Puisque dans l'exemple le discriminant moins que zéro, alors on peut dire que cette équation quadratique n’a pas de vraies racines. Sa solution ne sera que des nombres de type complexe.

Un exemple d’inégalité à travers un discriminant

Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3*x²-6*x+c = 0. Il faut trouver des valeurs de c pour lesquelles D>0.

Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il n'est donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'elle est positive. Nous utilisons le dernier fait pour composer l'inégalité : D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. La résolution de l’inégalité résultante conduit au résultat : c>-3.

Vérifions le nombre résultant. Pour ce faire, on calcule D pour 2 cas : c=-2 et c=-4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2>-3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12>0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas à l’inégalité (-4. Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.

Un exemple de résolution d'une équation

Présentons un problème qui implique non seulement de trouver le discriminant, mais aussi de résoudre l'équation. Il faut trouver les racines de l'égalité -2*x²+7-9*x = 0.

Dans cet exemple, le discriminant est valeur suivante: D = 81-4*(-2)*7= 137. Alors les racines de l'équation seront déterminées comme suit : x = (9±√137)/(-4). Ce valeurs exactes racines, si vous calculez la racine approximativement, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.

Problème géométrique

Nous allons résoudre un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais aussi l'application de compétences la pensée abstraite et connaissance de la façon d'écrire des équations quadratiques.

Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait y coudre une bande continue de beau tissu sur tout le périmètre. Quelle sera l'épaisseur de cette bande si l'on sait que Bob a 10 m² de tissu.

Supposons que la bande ait une épaisseur de x m, alors la zone du tissu le long du côté long de la couverture sera (5+2*x)*x, et comme il y a 2 côtés longs, nous avons : 2*x *(5+2*x). Sur le côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que la valeur 2*x a été ajoutée au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La superficie totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l’égalité : 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pour cet exemple, le discriminant est égal à : D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sa racine est 22. A l'aide de la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18±22)/( 2*4) = (-5 ; 0,5). Évidemment, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient selon les conditions du problème.

Ainsi, la bande de tissu que Bob coud à sa couverture fera 50 cm de large.

Par exemple, pour le trinôme \(3x^2+2x-7\), le discriminant sera égal à \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Et pour le trinôme \(x^2-5x+11\), il sera égal à \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Le discriminant est désigné par la lettre \(D\) et est souvent utilisé dans la résolution. De plus, grâce à la valeur du discriminant, vous pouvez comprendre à quoi ressemble approximativement le graphique (voir ci-dessous).

Discriminant et racines de l'équation

La valeur discriminante montre le nombre d'équations quadratiques :
- si \(D\) est positif, l'équation aura deux racines ;
- si \(D\) est égal à zéro – il n'y a qu'une seule racine ;
- si \(D\) est négatif, il n'y a pas de racines.

Cela n'a pas besoin d'être enseigné, il n'est pas difficile d'arriver à une telle conclusion, sachant simplement que du discriminant (c'est-à-dire \(\sqrt(D)\) est inclus dans la formule de calcul des racines de l'équation : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) et \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Examinons chaque cas plus en détail.

Si le discriminant est positif

Dans ce cas, la racine est quelque nombre positif, ce qui signifie que \(x_(1)\) et \(x_(2)\) auront des significations différentes, car dans la première formule, \(\sqrt(D)\) est ajouté et dans la seconde, il est soustrait. Et nous avons deux racines différentes.

Exemple : Trouver les racines de l'équation \(x^2+2x-3=0\)
Solution :

Répondre : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Si le discriminant est nul

Et combien y aura-t-il de racines si le discriminant égal à zéro? Raisonnons.

Les formules racine ressemblent à ceci : \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) et \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Et si le discriminant est nul, alors sa racine est également nulle. Il s'avère alors :

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

C'est-à-dire que les valeurs des racines de l'équation seront les mêmes, car ajouter ou soustraire zéro ne change rien.

Exemple : Trouver les racines de l'équation \(x^2-4x+4=0\)
Solution :

Répondre : \(x=2\)

Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont nombres arbitraires, et une ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

1. Ils n'ont pas de racines ;
2. Avoir exactement une racine ;
3. Ils ont deux racines différentes.

C'est différence importanteéquations quadratiques à partir d'équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.

Discriminant

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.

Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

1. Si D< 0, корней нет;
2. Si D = 0, il y a exactement une racine ;
3. Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :

1. x 2 − 8x + 12 = 0 ;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Le discriminant est nul - la racine sera un.

Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.

Racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Formule de base pour les racines d'une équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0 ;
2. 15 − 2x − x2 = 0 ;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
ré = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N'importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

1. x2 + 9x = 0 ;
2. X 2 - 16 = 0.

Il est facile de remarquer qu’il manque un des termes dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est nul.

Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.

Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :

Depuis l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir de nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :

1. Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
2. Si (−c /a)< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le voir, le discriminant n'était pas requis - dans les équations quadratiques incomplètes, il n'y a pas calculs complexes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.

Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :

Tâche. Résoudre des équations quadratiques :

1. x 2 - 7x = 0 ;
2. 5x2 + 30 = 0 ;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.

Discriminant est un terme à valeurs multiples. Dans cet article nous parlerons du discriminant d'un polynôme, qui permet de déterminer si un polynôme donné a des solutions valides. La formule du polynôme quadratique se trouve dans le cours scolaire d'algèbre et d'analyse. Comment trouver un discriminant ? Que faut-il pour résoudre l’équation ?

Un polynôme quadratique ou équation du deuxième degré est appelé i * w ^ 2 + j * w + k est égal à 0, où « i » et « j » sont respectivement les premier et deuxième coefficients, « k » est une constante, parfois appelée « terme dédaigneux » et « w » est une variable. Ses racines seront toutes les valeurs de la variable à laquelle elle se transforme en identité. Une telle égalité peut être réécrite comme le produit de i, (w - w1) et (w - w2) égal à 0. Dans ce cas, il est évident que si le coefficient « i » ne devient pas nul, alors la fonction sur le côté gauche ne deviendra nul que si x prend la valeur w1 ou w2. Ces valeurs sont le résultat de la définition du polynôme égal à zéro.

Pour trouver la valeur d'une variable à laquelle polynôme quadratique devient nul, une construction auxiliaire est utilisée, construite sur ses coefficients et appelée discriminant. Cette conception est calculée selon la formule D est égal à j * j - 4 * i * k. Pourquoi est-il utilisé ?

1. Elle dit : y en a-t-il résultats valides.
2. Elle aide à les calculer.

Comment cette valeur montre-t-elle la présence de racines réelles :

• Si c’est positif, alors on peut trouver deux racines dans la région nombres réels.
• Si le discriminant est nul, alors les deux solutions sont identiques. On peut dire qu’il n’y a qu’une seule solution, et elle vient du domaine des nombres réels.
• Si le discriminant est inférieur à zéro, alors le polynôme n’a pas de véritable racine.

Options de calcul pour sécuriser le matériel

Pour la somme (7 * w^2 ; 3 * w ; 1) égale à 0 On calcule D en utilisant la formule 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, on obtient -19. Une valeur discriminante inférieure à zéro indique qu'il n'y a aucun résultat sur la ligne réelle.

Si l'on considère 2 * w^2 - 3 * w + 1 équivalent à 0, alors D est calculé comme (-3) au carré moins le produit des nombres (4 ; 2 ; 1) et est égal à 9 - 8, c'est-à-dire 1. Valeur positive dit qu'il y a deux résultats sur la vraie ligne.

Si nous prenons la somme (w ^ 2; 2 * w; 1) et l'assimilons à 0, D est calculé comme deux au carré moins le produit des nombres (4 ; 1 ; 1). Cette expression se simplifiera à 4 - 4 et ira à zéro. Il s'avère que les résultats sont les mêmes. Si vous regardez attentivement cette formule, alors il deviendra clair que c'est " un carré parfait" Cela signifie que l'égalité peut être réécrite sous la forme (w + 1) ^ 2 = 0. Il est devenu évident que le résultat de ce problème est « -1 ». Dans une situation où D vaut 0, côté gauche Les égalités peuvent toujours être réduites en utilisant la formule du « carré de la somme ».

Utiliser un discriminant dans le calcul des racines

Cette construction auxiliaire montre non seulement le nombre de solutions réelles, mais aide également à les trouver. Formule générale Le calcul de l’équation du deuxième degré est le suivant :

w = (-j +/- d) / (2 * i), où d est le discriminant à la puissance 1/2.

Disons que le discriminant est inférieur à zéro, alors d est imaginaire et les résultats sont imaginaires.

D est nul, alors d égal à D à la puissance 1/2 est également nul. Solution : -j/(2*i). En considérant à nouveau 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nous trouvons des résultats équivalents à -2 / (2 * 1) = -1.

Supposons que D > 0, alors d - nombre réel, et la réponse se décompose ici en deux parties : w1 = (-j + d) / (2 * i) et w2 = (-j - d) / (2 * i). Les deux résultats seront valides. Regardons 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ici, le discriminant et d sont un. Il s'avère que w1 est égal à (3 + 1) divisé par (2 * 2) ou 1, et w2 est égal à (3 - 1) divisé par 2 * 2 ou 1/2.

Résultat de l'équation expression quadratiqueà zéro est calculé selon l'algorithme :

1. Détermination de la quantité solutions valables.
2. Calcul d = D^(1/2).
3. Trouver le résultat selon la formule (-j +/- d) / (2 * i).
4. Remplacer le résultat obtenu par l'égalité originale pour vérification.

Quelques cas particuliers

En fonction des coefficients, la solution peut être quelque peu simplifiée. Évidemment, si le coefficient d'une variable à la puissance seconde est nul, alors une égalité linéaire est obtenue. Lorsque le coefficient d'une variable à la puissance première est nul, alors deux options sont possibles :

1. le polynôme se développe en une différence de carrés lorsque le terme libre est négatif ;
2. pour une constante positive, aucune vraie solution ne peut être trouvée.

Si le terme libre est nul, alors les racines seront (0; -j)

Mais il existe d’autres cas particuliers qui simplifient la recherche d’une solution.

Équation réduite du deuxième degré

Le donné s'appelle tel trinôme quadratique, où le coefficient devant le terme principal est un. Pour cette situation, le théorème de Vieta est applicable, qui stipule que la somme des racines est égale au coefficient de la variable à la première puissance, multiplié par -1, et le produit correspond à la constante « k ».

Par conséquent, w1 + w2 est égal à -j et w1 * w2 est égal à k si le premier coefficient est un. Pour vérifier l'exactitude de cette représentation, vous pouvez exprimer w2 = -j - w1 à partir de la première formule et la remplacer par la deuxième égalité w1 * (-j - w1) = k. Le résultat est l'égalité originale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Il est important de noter, que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 peut être obtenu en divisant par « i ». Le résultat sera : w^2 + j1 * w + k1 = 0, où j1 est égal à j/i et k1 est égal à k/i.

Regardons le 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 déjà résolu avec les résultats w1 = 1 et w2 = 1/2. Il faut le diviser en deux, donc w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Vérifions que les conditions du théorème sont vraies pour les résultats trouvés : 1 + 1/2 = 3/ 2 et 1*1/2 = 1 /2.

Même le deuxième facteur

Si le facteur d'une variable à la première puissance (j) est divisible par 2, alors il sera possible de simplifier la formule et de chercher une solution à travers un quart du discriminant D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. il s'avère que w = (-j +/- d/2) / i, où d/2 = D/4 à la puissance 1/2.

Si i = 1, et que le coefficient j est pair, alors la solution sera le produit de -1 et la moitié du coefficient de la variable w, plus/moins la racine du carré de cette moitié moins la constante « k ». Formule : w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Ordre discriminant supérieur

Le discriminant du trinôme du deuxième degré évoqué ci-dessus est le plus couramment utilisé. cas particulier. Dans le cas général, le discriminant d'un polynôme est carrés multipliés des différences des racines de ce polynôme. Ainsi, un discriminant égal à zéro indique la présence d’au moins deux solutions multiples.

Considérons i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supposons que le discriminant dépasse zéro. Cela signifie qu’il y a trois racines dans la région des nombres réels. A zéro, il existe plusieurs solutions. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают Sens négatif lors de la mise au carré, et aussi une racine est réelle.

Vidéo

Notre vidéo vous expliquera en détail le calcul du discriminant.

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