Quel est le volume d'un rectangle ? Formules pour trouver le volume d'un parallélépipède

Avant de passer à la partie pratique de l'article, où nous rechercherons le volume d'un parallélépipède, rappelons-nous de quel type de chiffre il s'agit et découvrons pourquoi nous pourrions avoir besoin de ces calculs.

Il existe trois définitions, et elles sont toutes équivalentes. Un parallélépipède vaut donc :

1. Un polyèdre à six faces dont chacune est un parallélogramme.

2. Hexagone, qui a trois paires de faces parallèles les unes aux autres.

3. Un prisme avec un parallélogramme à sa base.

Peut-être le plus courant dans notre vrai vie Les types de figures géométriques considérés sont un parallélépipède rectangle et un cube. De plus, une distinction est faite entre parallélépipède incliné et droit.

Parallélépipède rectangle : volume

Un parallélépipède rectangle se distingue par le fait que chaque face est un rectangle. Comme exemple quotidien Cette figurine peut être utilisée dans une boîte ordinaire (boîte à chaussures, boîte cadeau, boîte postale).

Tout d'abord, vous devez trouver les valeurs des deux côtés de la base du parallélépipède, qui sont situés perpendiculairement l'un à l'autre (sur un plan, ils seraient appelés largeur et longueur).

P = A*B, où A est la longueur, B est la largeur.

Maintenant, nous effectuons une mesure supplémentaire - la hauteur de la figure donnée, que nous appellerons H.

Eh bien, on connaît le volume requis si l'on multiplie la hauteur par l'aire de la base, soit :

Volume d'un parallélépipède droit

Un parallélépipède droit se distingue par le fait que ses faces latérales sont des rectangles du fait qu'elles sont perpendiculaires aux bases de la figure.

Le volume est calculé de la même manière, la seule différence est que la hauteur ici n'est pas une arête du parallélépipède. DANS dans ce cas cela représente une ligne qui relie deux visages opposés figure et perpendiculaire à sa base.

Puisque la base de votre parallélépipède est un parallélogramme et non un rectangle, la formule de calcul de l'aire de la base devient un peu plus compliquée. Maintenant, cela ressemblera à ceci :

P = A * B * sin(a), où A, B sont la longueur et, par conséquent, la largeur de la base, et « a » est l'angle qu'ils forment lorsqu'ils se croisent.

Comment trouver le volume d’un parallélépipède incliné ?

Tout parallélépipède qui n’est pas droit est considéré comme incliné.

Étant donné que les bords de cette figure ne sont pas perpendiculaires à la base, vous devez d'abord trouver la hauteur. En le multipliant par l'aire de la base (voir formule ci-dessus), vous obtenez le volume :

V = P*H, où P est la surface de base, H est la hauteur.

Volume d'un parallélépipède avec bords carrés

Un cube est un parallélépipède rectangle dont chacune des six faces est un carré. Cela implique la propriété de cette figure - toutes ses arêtes sont égales les unes aux autres. A titre d'exemple, imaginons un jouet pour enfant comme des cubes.

Eh bien, trouver le volume d’un cube est généralement extrêmement simple. Pour ce faire, il suffit d'effectuer une seule mesure (les bords) et d'élever la valeur obtenue à la puissance trois. Comme ça:

V = A³.

Comment le volume d’un parallélépipède peut-il nous être utile dans la vie ?

Disons que vous êtes intrigué par un problème tel que le nombre de cartons pouvant tenir dans le coffre de votre voiture. Pour ce faire, vous devez vous armer d'une règle ou d'un mètre ruban, d'un stylo, d'une feuille de papier, ainsi que des formules ci-dessus parallélépipède rectangle.

En mesurant le volume d'une caisse et en multipliant la valeur par le nombre de caisses dont vous disposez, vous saurez combien de centimètres cubes il faudra pour les ranger dans le coffre de votre voiture.

Et oui, rappelez-vous que dans certains cas, il conviendra de convertir les centimètres cubes en mètres. Ainsi, si en conséquence vous avez reçu un volume de boîte égal à 50 cm au cube, alors pour convertir, multipliez simplement ce chiffre par 0,001. Cela vous donnera des mètres cubes. Et si vous souhaitez connaître le volume en litres, multipliez le résultat en mètres cubes par 1000.

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ...les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes...ont été impliqués dans l'étude de la question. analyse mathematique, théorie des ensembles, nouvelles sciences physiques et approches philosophiques; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. AVEC point physique D'un point de vue, on dirait que le temps ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court avec vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez à l'intérieur unités constantes mesures du temps et n'allez pas à réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas solution complète Problèmes. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie paradoxe logique cela peut être surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à la voiture, vous avez besoin de deux photographies prises depuis différents points l'espace à un moment donné, mais il est impossible de déterminer le fait d'un mouvement à partir d'eux (naturellement, des données supplémentaires sont toujours nécessaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera). Ce que je veux souligner Attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Une telle logique absurde les êtres sensibles jamais compris. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe à quel point les mathématiciens se cachent derrière l’expression « va me faire foutre, je suis dans la maison », ou plutôt « études de mathématiques concepts abstraits", il y a un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquer théorie mathématique aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». On explique au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a différentes quantités boue, structure en cristal et la disposition des atomes dans chaque pièce est unique...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des nombres numéro donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. AVEC un grand nombre 12345 Je ne veux pas me tromper, regardons le numéro 26 de l'article sur . Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit stupide, non connaisseur en physique. Elle a juste un stéréotype de perception images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

Volume d'un parallélépipède

La taille du volume nous donne une idée de la partie de l'espace occupée par l'objet qui nous intéresse, et pour trouver le volume d'un parallélépipède rectangle, nous devons multiplier sa surface de base par sa hauteur.

DANS Vie courante, le plus souvent pour mesurer le volume de liquide, en règle générale, ils utilisent ce qui suit unité de mesure, en litre = 1dm3.

En plus de cette unité de mesure, les éléments suivants sont utilisés pour déterminer le volume :

Un parallélépipède est l’une des figures tridimensionnelles les plus simples et il n’est donc pas difficile de trouver son volume.

Volume d'un parallélépipède égal au produit sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Ceux. Pour trouver le volume d’un parallélépipède rectangle, il suffit de multiplier ses trois dimensions.

Pour trouver le volume d'un cube, il faut prendre sa longueur et l'élever à la puissance trois.

Définition d'un parallélépipède

Rappelons maintenant ce qu'est un parallélépipède et en quoi il diffère d'un cube.

Un parallélépipède s'appelle tel figure tridimensionnelle, qui a un polygone à sa base. La surface d'un parallélépipède rectangle est constituée de six rectangles, qui sont les faces de ce parallélépipède. Il est donc logique que le parallélépipède ait six faces, constituées de parallélogrammes. Toutes les faces de ce polygone, situées en face les unes des autres, ont les mêmes dimensions.

Toutes les arêtes du parallélépipède sont les côtés des faces. Mais les points de contact des faces sont les sommets de cette figure.

Exercice:

1. Regardez attentivement le dessin et dites-moi ce qu'il vous rappelle ?
2. Réfléchissez et répondez à quel moment de la vie quotidienne vous pourriez rencontrer un tel personnage ?
3. Combien d’arêtes le parallélépipède a-t-il ?

Types de parallélépipèdes

Les parallélépipèdes sont divisés en plusieurs variétés, telles que :

Rectangulaire;
Incliné;
cube

Les parallélépipèdes rectangulaires incluent les figures dont les faces sont constituées de rectangles.

Si faces latérales ne sont pas perpendiculaires à sa base, alors devant vous se trouve un parallélépipède incliné.

Une figure telle qu'un cube est aussi un parallélépipède. Toutes ses faces, sans exception, ont la forme de carrés.

Propriétés d'un parallélépipède

La figure étudiée possède un certain nombre de propriétés, que nous allons maintenant découvrir :

Premièrement, visages opposés de cette figure sont égaux et parallèles entre eux ;

Deuxièmement, il n’est symétrique que par rapport au milieu de chacune de ses diagonales ;

Troisièmement, si vous prenez et tracez des diagonales entre tous sommets opposés parallélogramme, ils n’auront alors qu’un seul point d’intersection.

Quatrièmement, un carré est la longueur de sa diagonale, égal à la somme carrés de ses 3 dimensions.

Référence historique

Sur une période différente époques historiques V différents pays utilisé divers systèmes mesures de masse, de longueur et d'autres quantités. Mais comme cela rendait les choses difficiles relations commerciales entre les pays, et entravait également le développement des sciences, il était nécessaire d'avoir une approche unifiée système international mesures qui conviendraient à tous les pays.

Le système de mesures métrique SI, qui convenait à la plupart des pays, a été développé en France. Grâce à Mendeleïev, le système de mesures métriques a été introduit en Russie.

Mais de nombreuses professions utilisent encore aujourd’hui leurs propres mesures spécifiques, parfois par hommage à la tradition, parfois par commodité. Par exemple, les marins préfèrent encore mesurer la vitesse en nœuds et la distance en miles - c'est pour eux une tradition. Mais les bijoutiers du monde entier privilégient une unité de mesure telle que le carat - et dans leur cas, c'est à la fois tradition et commodité.

Des questions:

1. Qui sait combien de mètres il y a dans un mile ? Qu'est-ce qu'un nœud ?
2. Pourquoi l'unité de mesure des diamants est-elle appelée « carat » ? Pourquoi est-il historiquement pratique pour les bijoutiers de mesurer la masse dans de telles unités ?
3. Qui se souvient dans quelles unités le pétrole est mesuré ?

>> Leçon 31. Formule du volume d'un parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle est une figure spatiale limitée rectangles.

De nombreux objets de l'environnement ont une forme parallélépipédique : une boîte, des cubes, LA TÉLÉ, armoire, etc.

Cours de mathématiques en 5ème. (Vilenkin)

Sujet: Tomes. Volume d'un parallélépipède rectangle.

Cible: 1. Consolider les connaissances sur ce sujet lors de la résolution de problèmes. Préparer à travail d'essai. Donnez le rapport des unités de volume.

2. Répétez les propriétés de multiplication, de simplification d'expressions, de parties d'un parallélépipède.

3. Éduquer aspect environnemental, attention.

Équipement: au tableau : sujet, tâche pour comptage oral; Polycopié: modèles de parallélépipède, cube, boîte d'allumettes ; pour les enfants : aide-mémoire, règles, cercles de signalisation bicolores,

Pendant les cours.

Organisation du temps.

Bonjour, happy hour, nous avons des mathématiques. Sur le bureau : règles, aide-mémoire, cahiers, manuels.

Comptage oral (échauffement) N° 806 – en rangées « en chaîne »,

- appliquer propriété distributive multiplication:

(x + 8) 20 sur le plateau

247 123 – 147 123

- simplifier:

20a – 19a 4x + x – 2x

13v-27 + 13v-10v

Communiquez le sujet et le but.

— Quelles figures géométriques avez-vous connues ? Aujourd'hui, nous allons répéter comment trouver le volume d'un parallélépipède rectangle et les unités de volume. Se préparer pour le test.

IV. Répétition de ce qui a été appris. modèles de cubes,

— Afficher les bords supérieur, arrière, inférieur et avant. parallélépipède

— Afficher deux faces ayant une arête commune,

— Afficher les bords verticaux.

(montrer 2 ou 3 élèves en même temps)

Jeu "Oui - non"

— Tout cube est un signal parallélépipède rectangle (+)

— Un parallélépipède rectangle a 10 sommets (-, 8) cercles

– 6 bords (+) – 12 bords (+)

— Chaque face du cube est un carré (+)

— Si la longueur d'un parallélépipède rectangle n'est pas égale à sa hauteur, alors ce ne peut pas être un cube (+)

— Le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions (+)

Trouvez la formule.

- calculer le volume boîte d'allumettes, cube, parallélépipède. visibilité

— matériels supplémentaires« Quelle quantité d’air une personne a-t-elle besoin de respirer ? »

À chaque inhalation, une personne introduit 9 litres d'air dans ses poumons en 1 minute. Cela revient à 9*60 par heure, soit 540 litres. Arrondissons à 500 litres ou un demi-mètre cube et découvrons qu'une personne inhale 12 m³ d'air par jour. Ce volume est de 14 kg.

En une journée, une personne fait passer dans son corps plus d'air que de nourriture : personne ne mange même 3 kg par jour, mais nous inhalons 14 kg. Si l'on considère que l'air inhalé est constitué à 4/5 d'azote, inutile à la respiration, alors il semble que notre corps n'en consomme que 3 kg, soit à peu près la même quantité que de la nourriture (solide et liquide).

Ai-je besoin d’une autre preuve de la nécessité de renouveler l’air du salon ?

- n° 804, 801 - au tableau,

— Comment calculer le volume d'un parallélépipède ou d'un cube ?

— Dans quelles unités le volume est-il mesuré ?

VI. Rapport des unités de volume.« aide-mémoire » Écrivez « aide-mémoire ». page de garde

— Jeu « Le maillon faible » — n° 802,

— Tâche sur cartes.

— Exprimer en cm cube :

6 dm³, 287 dm³

5 dm³ 23 cm³ 16000 mm³

5 dm³ 635 cm³ 2 dm³ 80 cm³

— Exprimer en dm cube :

6m³ 580cm³ 7m³ 15dm³

VII. Répétition de ce qui a été appris. № 808

VIII. Résultat:— Que retiens-tu de la leçon ?

— Qui a travaillé pendant 5 ans ? à 4 heures ?

IX. Devoirs : § 21, n° 822 (a, b), n° 823.

Mathématiques
5ème année

21. Tomes.

Si vous remplissez le moule de sable humide, puis le retournez et le retirez, vous obtiendrez des figures de même volume (Fig. 83). Si le moule est rempli d'eau, le volume d'eau sera égal au volume chaque figurine de sable.

Riz. 83

Pour comparer les volumes de deux récipients, vous pouvez remplir l’un d’eux d’eau et le verser dans le deuxième récipient. Si le deuxième récipient est rempli et qu’il ne reste plus d’eau dans le premier récipient, alors les volumes des récipients sont égaux. S'il reste de l'eau dans le premier récipient, son volume est supérieur au volume du deuxième récipient. Et s'il n'est pas possible de remplir le deuxième récipient avec de l'eau, alors le volume du premier récipient est inférieur au volume du second.

Les unités suivantes sont utilisées pour mesurer les volumes : millimètre cube (mm3), centimètre cube (cm3), décimètre cube (dm3), mètre cube (m3), kilomètre cube (km3).

Par exemple : un centimètre cube est le volume d'un cube dont l'arête est de 1 cm (Fig. 84).

Riz. 84

Un décimètre cube est aussi appelé litre.

La figure de la figure 85 est constituée de 4 cubes avec une arête de 1 cm. Cela signifie que son volume est de 4 cm3.

Riz. 85

Dérivons une règle pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle.

Formules pour les volumes de parallélépipèdes et de cubes

Soit un parallélépipède rectangle ayant une longueur de 4 cm, une largeur de 3 cm et une hauteur de 2 cm (Fig. 86, a). Divisons-le en deux couches de 1 cm d'épaisseur (Fig. 86, b). Chacune de ces couches est constituée de 3 colonnes de 4 cm de long (Fig. 86, c), et chaque colonne est constituée de 4 cubes d'un bord de 1 cm (Fig. 86, d). Cela signifie que le volume de chaque colonne est de 4 cm3, chaque couche est de 4 3 (cm3) et l'ensemble du parallélépipède rectangle est de (4 3) 2, soit 24 cm3.

Riz. 86

Pour trouver le volume d’un parallélépipède rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur et sa hauteur.

La formule du volume d'un parallélépipède rectangle est

où V est le volume ; a, b, c - mesures.

Si le bord d'un cube mesure 4 cm, alors le volume du cube est 4 4 4 = 43 (cm3), soit 64 cm3.

Si l'arête d'un cube est égale à a, alors le volume V du cube est égal à a a a = a3.

Cela signifie que la formule du volume d'un cube a la forme

C'est pourquoi l'entrée a3 est appelée le cube de a.

Le volume d'un cube d'une arête de 1 m est égal à 1 m3. Et puisque 1 m = 10 dm, alors 1 m3 = 103 dm3, soit 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l.

De la même manière, nous constatons que

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3 ; 1 cm3 = 1000 mm3 ;

1 km3 = 1 000 000 000 m3 (voir figure).

Questions d'auto-test

• La figurine se compose de 19 cubes d'un côté de 1 cm chacun ; quel est le volume de cette figurine ?
• Qu'est-ce qu'un centimètre cube ? mètre cube?
• Quel est l'autre nom du décimètre cube ?
• Combien de centimètres cubes fait 1 litre ?
• À combien de litres équivaut un mètre cube ?
• Combien mètres cubes en kilomètres cubes ?
• Écrivez la formule du volume d’un parallélépipède rectangle.
• Que signifie la lettre V dans cette formule ? les lettres a, b, c ?
• Écrivez la formule du volume d'un cube.

Fais les excerises

819. Les figurines sont constituées de cubes d'un bord de 1 cm (Fig. 87). Trouvez les volumes et les surfaces de ces figures.

Riz. 87

820. Trouver le volume d'un parallélépipède rectangle si :

• a) a = 6 cm, b = 10 cm, c = 5 cm ;
• b) a = 30 dm, b = 20 dm, c = 30 dm ;
• c) a = 8 dm, b = 6 m, c = 12 m ;
• d) a = 2 dm 1 cm, b = 1 dm 7 cm, c = 8 cm ;
• e) a = 3 m, b = 2 dm, c = 15 cm.

821. Carré bord inférieur d'un parallélépipède rectangle est de 24 cm2. Déterminez la hauteur de ce parallélépipède si son volume est de 96 cm3.

822. Le volume de la pièce est de 60 m3. La hauteur de la pièce est de 3 m, la largeur est de 4 m. Trouvez la longueur de la pièce et la superficie du sol, du plafond et des murs.

823. Trouver le volume d'un cube dont l'arête est de 8 dm ; 3 dm 6 cm.

824. Trouvez le volume d'un cube si sa surface est de 96 cm2.

825. Exprimer:

• a) dans centimètres cubes: 5 dm3 635 cm3 ; 2 dm3 80 cm3 ;
• b) en décimètres cubes : 6 m3 580 dm3 ; 7 m3 15 dm3 ;
• c) en mètres cubes et décimètres : 3270 dm3 ; 12 540 000 cm3.

826. La hauteur de la pièce est de 3 m, la largeur de 5 m et la longueur de 6 m. Combien de mètres cubes d'air y a-t-il dans la pièce ?

827. La longueur de l'aquarium est de 80 cm, la largeur est de 45 cm et la hauteur est de 55 cm. Combien de litres d'eau faut-il verser dans cet aquarium pour que le niveau d'eau soit à 10 cm en dessous du bord supérieur de l'aquarium ?

828. Le parallélépipède rectangle (Fig. 88) est divisé en deux parties. Trouvez le volume et la surface de l'ensemble du parallélépipède et de ses deux parties. Le volume d'un parallélépipède est-il égal à la somme des volumes de ses parties ? Peut-on en dire autant de leurs superficies ? Expliquer pourquoi.

Riz. 88

829. Calculer oralement :

830. Restaurer la chaîne de calculs :

831. Trouvez le sens de l’expression :

• a) 23 + Z2 ;
• b) 33 + 52 ;
• c) 43 + 6 ;
• d) 103-10.

832. Combien y a-t-il de dizaines dans le quotient :

• a) 1652 : 7 ;
• b) 774 : 6 ;
• c) 1632 : 12 ;
• d) 2105 : 5 ?

833. Êtes-vous d'accord avec l'affirmation :

• a) tout cube est aussi un parallélépipède rectangle ;
• b) si la longueur d'un parallélépipède rectangle n'est pas égale à sa hauteur, alors il ne peut pas être un cube ;
• c) chaque face d'un cube est un carré ?

834. Quatre barils identiques contiennent 26 seaux d'eau. Combien de seaux d’eau 10 de ces barils peuvent-ils contenir ?

835. De combien de façons à partir de 7 perles Couleurs différentes peux-tu faire un collier (avec un fermoir) ?

836. Nom dans un parallélépipède rectangle (Fig. 89) :

• a) deux faces ayant une arête commune ;
• b) les bords supérieur, arrière, avant et inférieur ;
• c) nervures verticales.

Riz. 89

837. Résoudre le problème:

1. Trouvez l'aire de chaque parcelle si l'aire de la première parcelle est 5 fois plus de superficie le second, et la superficie du second est de 252 hectares moins de superficie d'abord.
2. Trouvez la superficie de chaque parcelle si la superficie de la deuxième parcelle est de 324 hectares supérieure à la superficie de la première parcelle et que la superficie de la première parcelle est 7 fois inférieure à la superficie de la deuxième.

838. Suivez ces étapes:

1. 668 (3076 + 5081);
2. 783 (66 161 — 65 752);
3. 2 111 022: (5960 — 5646);
4. 2 045 639: (6700 — 6279).

839. En Russie, autrefois, un seau (environ 12 l), un shtof (un dixième de seau) étaient utilisés comme unités de mesure de volume aux États-Unis, en Angleterre et dans d'autres pays, un baril (environ 159 l), un gallon (environ 4 l), un boisseau (environ 36) ont été utilisés, une pinte (de 470 à 568 centimètres cubes). Comparez ces unités. Lesquels font plus de 1 m3 ?

840. Trouvez les volumes des figures illustrées à la figure 90. Le volume de chaque cube est de 1 cm3.

Riz. 90

841. Trouvez le volume d'un parallélépipède rectangle (Fig. 91).

Riz. 91

842. Trouvez le volume d'un parallélépipède rectangle si ses dimensions sont 48 dm, 16 dm et 12 dm.

843. La grange, en forme de parallélépipède rectangle, est remplie de foin. La longueur de la grange est de 10 m, la largeur de 6 m, la hauteur de 4 m. Trouvez la masse de foin dans la grange si la masse de 10 m3 de foin est de 6 quintaux.

844. Exprimer en décimètres cubes :

• 2 m3 350 dm3 ;
• 3 m3 7 dm3 ;
• 4 m3 30 dm3 ;
• 18 000 cm3 ;
• 210 000 cm3.

845. Le volume d'un parallélépipède rectangle est de 1248 cm3. Sa longueur est de 13 cm et sa largeur est de 8 cm. Trouvez la hauteur de ce parallélépipède.

846. En utilisant la formule V = abc, calculez :

• a) V, si a - 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm ;
• b) a, si V = 2184 cm3, b = 12 cm, c = 13 cm ;
• c) b, si V = 9200 cm3, a = 23 cm, c = 25 cm ;
• d) ab, si V = 1088 dm3, c = 17 cm.

Quelle est la signification de ab?

847. Père plus vieux que mon fils depuis 21 ans. Écrivez une formule exprimant - l'âge du père - en passant par b - l'âge du fils. Trouvez en utilisant cette formule :

• a) a, si b = 10 ;
• b) une, si b = 18 ;
• c) b, si a = 48.

848. Trouvez le sens de l’expression :

• a) 700 700 - 6 054 (47 923 - 47 884) - 65 548 ;
• b) 66 509 + 141 400 : (39 839 - 39 739) + 1985 ;
• c) (851 + 2331) : 74 - 34;
• d) (14 084 : 28 - 23) 27 - 12 060 ;
• e) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
• f) 2555 : (132 + 142) + 35.

849. Calculez à partir du tableau (Fig. 92) :

• a) combien de fois le chiffre 9 apparaît-il ;
• b) combien de fois les nombres 6 et 7 apparaissent-ils dans le tableau (sans les compter séparément) ;
• c) combien de fois les nombres 5, 6 et 8 apparaissent (sans les compter individuellement).

Riz. 92

Histoires sur l'histoire de l'émergence et du développement des mathématiques

Il y a 200 ans, dans différents pays, dont la Russie, différents systèmes d'unités étaient utilisés pour mesurer la longueur, la masse et d'autres quantités. Les relations entre les mesures étaient complexes, il y avait différentes définitions pour les unités de mesure.

Par exemple, il existe encore aujourd'hui en Grande-Bretagne deux « tonnes » différentes (2 000 et 2 940 livres), plus de 50 « boisseaux » différents, etc. Cela a entravé le développement de la science et du commerce entre les pays, il est donc nécessaire de introduire un système de mesures unifié, pratique pour tous les pays, avec des relations simples entre les unités.

Un tel système - on l'appelait le système métrique de mesures - a été développé en France. Unité de base de longueur, 1 mètre (de mot grec« métron » - mesure), défini comme une quarante millionième fraction de la circonférence terrestre, l'unité de masse de base, 1 kilogramme - comme la masse de 1 dm3 eau propre. Les unités restantes étaient déterminées à travers ces deux-là, les rapports entre unités de même valeur étaient égaux à 10, 100, 1000, etc.

Le système de mesures métriques a été adopté par la plupart des pays du monde ; en Russie, son introduction a commencé en 1899. Grande contribution à l’introduction et à la diffusion système métrique Les mesures prises dans notre pays appartiennent à Dmitri Ivanovitch Mendeleïev, le grand chimiste russe.

Cependant, selon la tradition, même aujourd'hui, les anciennes unités sont parfois utilisées. les marins mesurent les distances en miles (1852 m) et en câbles (un dixième de mile, soit environ 185 m), la vitesse - en nœuds (1 mph). La masse des diamants se mesure en carats (200 mg, soit un cinquième de gramme correspond à la masse d'un grain de blé). Le volume de pétrole est mesuré en barils (159 l), etc.

Ceci peut être fait différentes façons, tout dépend des quantités et des objets dont nous disposons.

Donc, la première méthode, qui convient exclusivement à un parallélépipède rectangle.

Pour déterminer le volume d’un parallélépipède, vous aurez besoin de sa hauteur, de sa largeur et de sa longueur.

Puisque les rectangles forment un parallélépipède, marquons respectivement leur longueur et leur largeur avec les lettres a et b. Ensuite, l’aire du rectangle sera calculée comme a*b.

La hauteur d'un parallélépipède est la hauteur côte latérale, et comme la hauteur est une valeur constante, pour trouver le volume il faut multiplier la surface de base du parallélépipède par la hauteur. Ceci s'exprime par la formule suivante : V = a*b*c = S*c, où c est la hauteur.

Regardons un exemple. Disons que nous avons un parallélépipède avec une longueur et une largeur de base de 5 et 8 cm, et que sa hauteur est de 11 cm. Il faut calculer le volume.

Trouvez l'aire de la base : 5*8=40 m². cm. Maintenant, nous multiplions la valeur résultante par la hauteur 40*11=440 mètres cubes. cm est le volume de la figure.

Deuxième façon.

Puisque la base du parallélépipède est figure géométrique parallélogramme, vous devez déterminer son aire. Pour trouver l'aire d'un parallélogramme en fonction des données connues, vous pouvez utiliser les formules suivantes :

• S = a*h, où a est le côté du parallélogramme, h est la hauteur tirée vers a.
• S = a*b*sinα, où a et b sont les côtés de la figure, α est l'angle entre ces côtés.

Après cela. Comment l’avez-vous compris ? Comment trouver l'aire d'un parallélogramme, vous pouvez commencer par trouver le volume de notre parallélépipède. Pour ce faire, nous utilisons la formule :

V = S*h, où S est l'aire de base obtenue précédemment, h est la hauteur de notre parallélépipède.

Regardons un exemple.

On nous donne un parallélépipède d'une hauteur de 50 cm dont la base (parallélogramme) a un côté égal à 23 cm et la hauteur tirée de ce côté est de 8 cm. On substitue la formule ci-dessus :

S = 23*8 = 184 m². cm.

Maintenant, nous substituons la formule pour trouver le volume d'un parallélépipède :

V = 184*50 = 9 200 mètres cubes

Cours de mathématiques « Volume d'un parallélépipède rectangle » (5e année)

Réponse : le volume de ce parallélépipède est de 9 200 centimètres cubes.

Troisième voie.

Cette option ne convient que pour type rectangulaire parallélépipède, côtés dont les bases seront égales. Pour ce faire, il vous suffit de découper ces côtés en cubes.

V = a3, c'est-à-dire en cubes

Étant donné un parallélépipède de côté de base égal à 12. Cela signifie que le volume de cette figure est calculé par la formule suivante V = 123 = 1728 cm3 cm.

Les deux méthodes sont très simples. L'essentiel est de s'armer d'une calculatrice et d'effectuer correctement tous les calculs. Bonne chance!

volume d'un parallélépipède rectangle

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

Base parallélépipédique

La calculatrice calculera et écrira la solution en détail et avec des commentaires. Tout ce que vous avez à faire est de copier la solution linéaire du parallélépipède dans votre cahier. Une solution textuelle détaillée avec des explications vous permettra de comprendre la méthodologie pour résoudre de tels problèmes et, si nécessaire, de répondre aux questions en donnant une réponse détaillée et compétente.

Le calcul du volume et de l'aire d'un parallélogramme est une base élémentaire pour de nombreux calculs techniques et quotidiens !

Tomes. Volume d'un parallélépipède rectangle

Par exemple, pour calculer les réparations dans une pièce, calculez les données de chauffage ou de climatisation.

parallélogramme rectangle

La formule utilisée dans notre calculateur trouvera volume d'un parallélépipède rectangle. Et si votre parallélépipède a des bords obliques, au lieu de la longueur du bord oblique correspondant, vous devez saisir la valeur de la hauteur de cette partie de la figure.

Formule pour le volume d'un parallélépipède rectangle

Pour le trouver, il faut connaître les dimensions des nervures : hauteur, largeur et longueur. Selon la formule, les dimensions des faces du parallélépipède doivent être multipliées dans n'importe quel ordre.

Le volume peut être exprimé en litres ou en cm cubes, millimètres cubes.

Formule pour la surface d'un parallélépipède

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

En utilisant la formule de l'aire d'un parallélépipède, vous devez trouver les aires de tous les côtés du parallélépipède, puis les additionner. Côtés opposés, les faces et les arêtes d'un parallélépipède sont égales les unes aux autres, donc lors du calcul des aires, vous pouvez utiliser la multiplication par deux.

Base parallélépipédique

Dans certains cas, la surface de base du parallélépipède est connue, alors pour trouver le volume il suffit de multiplier la surface de base par la hauteur. ! IMPORTANT! - ceci n'est vrai que pour un parallélépipède rectangle.

Comment trouver le volume d'un parallélépipède ?

Le moyen le plus simple de trouver le volume est de saisir trois valeurs connues en colonnes calculateur en ligne volume! Ensuite - appuyez sur le bouton - vous obtiendrez le résultat) !

La calculatrice calculera volume du parallélépipède abcda1b1c1d1 et décrira la décision en détail et avec des commentaires.

Volume d'un parallélépipède rectangle

Tout ce que vous avez à faire est de copier la solution linéaire du parallélépipède dans votre cahier. Une solution textuelle détaillée avec des explications vous permettra de comprendre la méthodologie pour résoudre de tels problèmes et, si nécessaire, de répondre aux questions en donnant une réponse détaillée et compétente.

Le calcul du volume et de l'aire d'un parallélogramme est une base élémentaire pour de nombreux calculs techniques et quotidiens ! Par exemple, pour calculer les réparations dans une pièce, calculez les données de chauffage ou de climatisation.

Un parallélogramme est une figure géométrique tridimensionnelle qui possède six côtés, chaque côté étant un parallélogramme. Les côtés d'un parallélogramme sont généralement appelés faces. Si toutes les faces d’un parallélépipède ont la forme d’un rectangle, alors c’est déjà parallélogramme rectangle! Ce chiffre est désigné par les lettres abcda1b1c1d1.