Construisons étape par étape une fonction auxiliaire sur un segment. Au pas zéro, nous fixerons deux points :

Et .

Ensuite, nous corrigeons le paramètre. Lors de la première étape et des suivantes, nous fixerons les points en fonction règle suivante: pour deux points précédemment construits adjacents le long de l'axe des x et nous construirons deux nouveaux points et de manière symétrique au centre par rapport au centre du rectangle défini par les points et avec un coefficient k. Autrement dit, dans un premier temps, deux nouveaux points sont précisés :

Et , etc.

Sur (m+1)- om étape en plus des points précédemment construits avec abscisses

deux points sont construits dans tous les espaces le long de l'abscisse entre des points adjacents déjà construits. Cette construction s'effectue de la manière suivante : les écarts le long de l'axe des abscisses entre points adjacents (rectangles à côtés un Et b) sont divisés en 3 parties égales chacune. Ensuite deux nouveaux points sont construits selon l'un des schémas suivants :

Selon lequel des points voisins est supérieur ou supérieur, nous utilisons le schéma de gauche ou de droite. Dans un premier temps, comme indiqué ci-dessus, nous acceptons une = b = 1.

Nous répétons la construction un nombre dénombrable de fois pour m = 1, 2, 3,…. En conséquence, nous obtiendrons une fractale qui sera similaire, jusqu'à un certain point Transformation affine(étirement, compression, rotation) de l'une quelconque de ses parties contenues dans chaque bande :

;

Suite à la construction d'une fractale, on obtient une fonction définie sur un ensemble de points

qui est dense partout sur le segment.

Quelles propriétés possède la fonction construite ?

· en chaque point du formulaire (*) il y a soit un maximum strict, soit un strict minimum, soit fonction g(x) n'est monotone nulle part et possède des ensembles denses de points extrema stricts sur le segment ;

· la fonction g(x) est continue, et même uniformément continue sur l'ensemble des points (*) ;

· la fonction construite continue sur le segment n'a en aucun point de ce segment même les dérivés unilatéraux ;

Les propriétés ci-dessus ont été démontrées dans le cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ».

Dans l'exemple considéré, nous avons pris le paramètre . En modifiant la valeur de ce paramètre, vous pouvez obtenir des familles de fonctions avec leurs propres propriétés particulières.

· . Ces fonctions sont continues et croissantes strictement monotones. Ils ont des dérivées nulles et infinies (respectivement des points d'inflexion) sur des ensembles de points denses partout sur le segment.

· . Reçu fonction linéaire y = x

· . Les propriétés de la famille de fonctions sont les mêmes que pour les valeurs de k de la première plage.

· . Nous avons obtenu la fonction de Cantor, que nous avons étudiée en détail précédemment.

· . Ces fonctions sont continues, nulle part monotones, ont des minima et maxima stricts, des dérivées unilatérales nulles et infinies (des deux signes) sur des ensembles de points denses partout sur le segment.

· . Cette fonction a été étudié par nous ci-dessus.

· . Les fonctions de cette plage ont les mêmes propriétés que la fonction en .

Conclusion.

Dans mon travail, j'ai implémenté quelques exemples du cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ». DANS ce travail Des captures d'écran des programmes que j'ai visualisés ont été insérées. En fait, ils sont tous interactifs ; l'étudiant peut voir la fonction sur étape spécifique, construisez-les vous-même de manière itérative et rapprochez l'échelle. Algorithmes de construction, ainsi que certaines fonctions de bibliothèque Squelette ont été spécialement sélectionnés et améliorés pour ce type problèmes (principalement les fractales ont été considérées).

Ce matériel sera sans aucun doute utile aux enseignants et aux étudiants et constitue un bon accompagnement aux cours du cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ». L'interactivité de ces visualisations permet de mieux comprendre la nature des ensembles construits et de faciliter le processus de perception de la matière par les élèves.

Les programmes décrits sont inclus dans la bibliothèque de modules visuels du projet www.visualmath.ru, par exemple, voici la fonction Cantor que nous avons déjà envisagée :

À l'avenir, il est prévu d'élargir la liste des tâches visualisées et d'améliorer les algorithmes de construction pour plus travail efficace programmes. Travailler dans le projet www.visualmath.ru a sans aucun doute apporté beaucoup d'avantages et d'expérience, des compétences en matière de travail d'équipe, la capacité d'évaluer et de présenter le matériel pédagogique aussi clairement que possible.

Littérature.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Contre-exemples en analyse. M. : Mir.1967.

2. B.M. Makarov et al. Problèmes sélectionnés en analyse réelle. Dialecte Nevski, 2004.

3. B. Mandelbrot. Géométrie fractale de la nature. Institut d'études informatiques, 2002.

4. Yu.S. Ochan, Recueil de problèmes et théorèmes sur TFDP. M. : Lumières. 1963.

5. V.M. Shibinsky Exemples et contre-exemples au cours de l'analyse mathématique. M. : lycée, 2007.

6. R.M. Kronover, Fractales et chaos dans systèmes dynamiques, M. : Postmarket, 2000.

7. A. A. Nikitine, Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique // Recueil d'articles de jeunes scientifiques de la Faculté de mathématiques computationnelles et de mathématiques de l'Université d'État de Moscou, 2011 / éd. S. A. Lojkine. M. : Département d'édition de la Faculté de mathématiques computationnelles et de mathématiques de l'Université d'État de Moscou. M.V. Lomonossova, 2011. pp. 71-73.

8. R.M. Kronover, Fractales et chaos dans les systèmes dynamiques, M. : Postmarket, 2000.

9. Fractale et construction d'une fonction partout continue, mais nulle part non différenciable // XVI Lectures internationales Lomonossov : Collection travaux scientifiques. – Arkhangelsk : Université d'État de Poméranie, 2004. P.266-273.

L'union d'un nombre dénombrable d'ensembles ouverts (intervalles adjacents) est ouverte et le complément d'un ensemble ouvert est fermé.

Tout voisinage d'un point UN Ensemble Cantor, il y a au moins un point de , différent de UN.

Fermé et ne contient pas points isolés(chaque point est une limite).

Il existe tout au plus un ensemble dénombrable qui est partout dense dans .

Un ensemble A n'est dense nulle part dans l'espace R, le cas échéant ensemble ouvert de cet espace contient un autre ouvert, totalement exempt de points de l'ensemble A.

Un point dont tout voisinage contient un ensemble indénombrable de points d'un ensemble donné.

Nous dirons qu'un ensemble sur un plan n'est nulle part dense en espace métrique R, si un cercle ouvert de cet espace contient un autre cercle ouvert, totalement exempt de points de cet ensemble.

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

ÉTABLISSEMENT D'ÉDUCATION PUBLIQUE

FORMATION PROFESSIONNELLE SUPÉRIEURE

"INSTITUT PÉDAGOGIQUE D'ÉTAT D'USSURI"

Faculté de physique et de mathématiques

Cours sur analyse mathematique

Sujet : « Fonctions continues mais non différentiables »

Complété par : Plyasheshnik Ksenia

élève du groupe 131

Responsable : Delyukova Y.V.

Oussouriisk - 2011

Introduction................................................. ....................................................... 3

Référence historique............................................................ ...................... 4

Définitions et théorèmes de base............................................................ ...................... ....... 5

Exemple fonction continue sans dérivé............................ 10

Solution des exercices............................................................ ...................................... 13

Conclusion................................................. ...................................... 21

Bibliographie................................................................ . ...................... 22

Introduction

Le travail de cours est consacré à l'étude du lien entre la continuité et l'existence d'une dérivée d'une fonction d'une variable. Sur la base de l'objectif, les tâches suivantes ont été définies :

1. Étudier la littérature pédagogique ;

2. Étudier un exemple de fonction continue qui n'a de dérivée en aucun point, construite par van der Waerden ;

3. Décidez du système d’exercices.

Référence historique

Bartel Leendert van der Waerden (néerlandais Bartel Leendert van der Waerden, 2 février 1903, Amsterdam, Pays-Bas - 12 janvier 1996, Zurich, Suisse) - mathématicien néerlandais.

Il a étudié à l’Université d’Amsterdam, puis à l’Université de Göttingen, où Emmy Noether a eu sur lui une énorme influence.

Travaux majeurs dans le domaine de l'algèbre, de la géométrie algébrique, où il (avec André Weil et O. Zariski) a élevé le niveau de rigueur, et physique mathématique, où il a travaillé sur l'application de la théorie des groupes aux questions mécanique quantique(avec Hermann Weyl et Yu. Wigner). Son livre classique Modern Algebra (1930) est devenu le modèle des manuels ultérieurs sur l'algèbre abstraite et a connu de nombreuses éditions.

Van der Waerden est l'un des principaux spécialistes de l'histoire des mathématiques et de l'astronomie au Ancien monde. Son Awakening Science (Ontwakende wetenschap 1950, traduction russe 1959) donne un compte rendu détaillé de l'histoire des mathématiques et de l'astronomie en L'Egypte ancienne, Babylone et la Grèce. L'annexe à la traduction russe de ce livre contient l'article « La doctrine pythagoricienne de l'harmonie » (1943) - une présentation fondamentale des vues pythagoriciennes sur l'harmonie musicale.

Définitions et théorèmes de base

Limite d'une fonction en un point. Limites gauche et droite

Définition (limite de Cauchy, dans le langage Nombre est appelée la limite d'une fonction en un point si

Définition (en langage de voisinage) Un nombre est appelé limite d'une fonction en un point si pour tout -voisinage du nombre il existe un -voisinage du point tel que dès que

Définition (selon Heine) Un nombre est appelé la limite d'une fonction en un point si pour toute séquence convergeant vers (c'est-à-dire que la séquence correspondante de valeurs de fonction converge vers le nombre

Définition Un nombre est appelé la limite gauche d'une fonction en un point si

Définition Un nombre est appelé la limite droite d'une fonction en un point si

Théorème (nécessaire et condition suffisante existence d'une limite)

Pour qu’une limite d’une fonction existe en un point, il est nécessaire et suffisant qu’il y ait des limites gauche et droite égales entre elles.

Le concept de dérivé. Dérivés unilatéraux.

Considérons une fonction définie sur l'ensemble

1. Prenons l'incrément. Donnons un incrément au point. Nous obtenons .

2. Calculons la valeur de la fonction en points. Et

3. .

4. .

et l'incrément de l'argument peut être positif ou négatif, alors cette limite est appelée la dérivée en un point et est notée . Cela peut aussi être infini.

dérivée gauche (côté gauche) de la fonction au point , et si

il y a une limite finie alors on l'appelle la dérivée droite de la fonction en ce point.

Une fonction a en un point si et seulement si ses dérivées gauche et droite coïncident en ce point :

( ( .

Considérez la fonction Trouvons les dérivées unilatérales au point

Ainsi, ( =-1; ( =1 Et ( ( , c'est-à-dire que la fonction n'a pas de dérivée en un point.

Diverses définitions continuité d'une fonction en un point.

Définition 1 (principale) Une fonction est dite continue au point si la limite de la fonction en égale à la valeur fonctionne à ce stade.

Définition 2 (en langage Une fonction est dite continue en un point si ε, δ>0, tel que .

Définition 3 (selon Heine, en langage de séquence) Une fonction est dite continue en un point si pour toute séquence convergeant vers un point la séquence correspondante de valeurs de fonction converge vers .

Définition 4 (dans le langage des incréments) Une fonction est dite continue au point si à un incrément infinitésimal de l'argument correspond un incrément infinitésimal de la fonction.

Le concept de fonction différentiable

Définition 1 Une fonction définie sur un ensemble (est dite différentiable en un point si son incrément en ce point peut être représenté par (*), où A est const, indépendant de , est infinitésimal en

Définition 2 Une fonction qui est différentiable en tout point de l'ensemble est dite différentiable sur l'ensemble.

Relation entre différentiabilité et continuité

Théorème. Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en un point.

Preuve.

Soit une fonction donnée. La fonction est différentiable au point où

Théorème inverse. Si une fonction est continue, alors elle est différentiable.

Le théorème inverse n’est pas vrai.

B n'est pas différentiable, bien que continu.

Classement des points de rupture

Définition Une fonction qui n'est pas continue en un point est discontinue en ce point, et le point lui-même est appelé point de discontinuité.

Il existe deux classifications de points de rupture : type I et type II.

Définition Un point est appelé point de discontinuité de première espèce s'il existe en ce point des limites finies unilatérales inégales les unes aux autres.

Définition Un point est appelé point d'écart amovible yva, si , mais ils ne sont pas égaux à la valeur de la fonction au point .

Définition Un point est appelé point de discontinuité du deuxième type si en ce point les limites unilatérales sont égales ou si l'une des limites unilatérales est infinie ou s'il n'y a pas de limite en ce point.

· – sans fin;

· – infini ou – sans fin;

Panneaux convergence uniforme près de V

Panneau Weierstrass.

Si les membres gamme fonctionnelle(1) satisfaire dans le domaine les inégalités où est un terme d'un certain convergent série de nombres alors la série (1) converge uniformément.

Théorème 1 Soit les fonctions sont définis dans un intervalle et sont tous continus à un moment donné de cet intervalle. Si la série (1) converge uniformément dans l'intervalle, alors la somme des séries en ce point sera également continue.

Exemple de fonction continue sans dérivée

Le premier exemplaire de ce genre a été construit par Weierstrass ; sa fonction est définie comme suit :

où 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Cette série est majorisée par une progression convergente, donc (signes de convergence uniforme des séries), converge uniformément, et sa somme est une fonction partout continue de x. Grâce à des recherches minutieuses, Weierstrass a pu montrer que, néanmoins, il n’existe à aucun moment une dérivée finie.

Nous considérerons ici un exemple plus simple de van der Waerden, construit essentiellement sur la même idée, seules les courbes oscillantes y = cosωχ sont remplacées par des lignes pointillées oscillantes.

Alors, notons par valeur absolue la différence entre le nombre χ et l’entier le plus proche. Cette fonction sera linéaire dans chaque intervalle de la forme , où s est un entier ; il est continu et a une période de 1. Son graphique est une ligne brisée, il est représenté sur la Fig. 1 ; les maillons individuels de la ligne brisée ont un coefficient angulaire de ±1.

Supposons alors pour k=1,2,3,… :

Cette fonction sera linéaire en intervalles de la forme ; il est également continu et a une période. Son graphique est également cassé, mais avec des dents plus petites ; La figure 1 (b), par exemple, montre un graphique de la fonction. Dans tous les cas pistes les liens individuels de la ligne brisée et sont ici égaux à ±1.

Définissons maintenant, pour toutes valeurs réelles de x, la fonction f(x) par l'égalité

Puisque, évidemment, 0≤ (k =0,1,2,...), de sorte que la série est majorisée par la progression convergente, alors (comme dans le cas de la fonction de Weierstrass) la série converge uniformément, et la fonction est continue partout.

Arrêtons-nous à n'importe quelle valeur. En le calculant à l'intérieur (où n =0,1,2,...), par déficience et excès, nous l'enfermerons entre des nombres de la forme :

≤ , où est un entier.

(n=0,1,2,…).

Il est évident que les intervalles fermés se révèlent imbriqués les uns dans les autres. Dans chacun d'eux se trouve un point tel que sa distance par rapport au point est égale à la moitié de la longueur de l'intervalle.

Il est clair que lorsque n augmente, les options .

Composons maintenant le rapport des incréments

Mais lorsque k > n, le nombre est un multiple entier des périodes de la fonction, les termes correspondants de la série deviennent 0 et peuvent être omis. Si k ≤ n, alors une fonction linéaire dans l'intervalle sera également linéaire dans l'intervalle qu'elle contient, et

(k=0,1,…,n).

Ainsi, nous avons finalement autrement dit, ce rapport est égal à un nombre entier pair lorsque n est impair et à un nombre impair lorsque n est pair. De là, il est clair que lorsque le rapport des incréments à n'importe quel limite finie les tendances ne le peuvent pas, donc notre fonction n'a pas de dérivée finie.

Solution d'exercices

Exercice 1 (, n°909)

La fonction est définie comme suit : . Explorez la continuité et découvrez l'existence

Na est continu sous forme de polynôme ;

Sur (0;1) est continu comme un polynôme ;

On (1;2) est continu comme un polynôme ;

On (2; est continue comme fonction élémentaire.

Points suspects de rupture

Puisque la limite gauche est égale à la limite droite et égale à la valeur de la fonction en ce point, la fonction est continue au point

Puisque la limite gauche est égale à la valeur de la fonction en ce point, la fonction est discontinue en ce point.

1 façon. Il n’existe pas de dérivée finie de la fonction en un point. Supposons en effet le contraire. Soit une dérivée finie de la fonction en un point est continue en un point (d'après le théorème 1 : si une fonction est différentiable en un point, alors elle est continue.

Méthode 2. Trouvons les limites unilatérales de la fonction au point x =0.

Exercice 2 (, №991)

Montrer cette fonction a une dérivée discontinue.

Trouvons la dérivée de la fonction.

La limite n'existe pas de discontinuité au point

Parce que - infiniment petite fonction, - limité.

Montrons que la fonction n'a pas de limite à ce stade.

Pour le prouver, il suffit de montrer qu'il existe deux séquences de valeurs d'arguments convergeant vers 0, qui ne convergent pas vers

Sortie : fonction n'a pas de limite à ce stade.

Exercice 3 (, n°995)

Montrer que la fonction où est une fonction continue et n'a pas de dérivée au point . À quoi sont égales les dérivées unilatérales ?

Les limites unilatérales ne sont pas égales ; la fonction n’a pas de dérivée au point.

Exercice 4 (, n°996)

Construisez un exemple de fonction continue qui n'a pas de fonction dérivée en des points donnés :

Considérez la fonction aux points

Trouvons des limites unilatérales

Les limites unilatérales ne sont pas égales ; la fonction n’a pas de dérivée au point. De même, la fonction n'a pas de dérivée en d'autres points

Exercice 5 (, n°125)

Montrer que la fonction n'a pas de dérivée en ce point.

Trouvons l'incrément de la fonction au point

Créons le rapport de l'incrément d'une fonction en un point à l'incrément de l'argument

Allons à la limite

Exercice 6 (, №128)

Montrer cette fonction n'a pas de dérivée au point.

Prenons l'incrément Donnons au point un incrément Nous obtiendrons

Trouvons la valeur de la fonction aux points et

Trouvons l'incrément de la fonction au point

Créons le rapport de l'incrément d'une fonction en un point à l'incrément de l'argument

Allons à la limite

Conclusion : n'a pas de dérivée finie au point.

Exercice 7 (, №131)

Examiner une fonction pour la continuité

– point suspect de rupture

Puisque la limite gauche est égale à la valeur de la fonction en un point, la fonction est continue en ce point et il existe une discontinuité de première espèce.

Conclusion

DANS travail de cours du matériel lié au concept de « Fonctions continues mais non différenciables » est présenté, les objectifs de ce travail ont été atteints, les problèmes ont été résolus.

Bibliographie

1. B. P. Demidovich, / Recueil de problèmes pour le cours d'analyse mathématique. Didacticiel pour les étudiants de la Faculté de Physique et de Mathématiques instituts pédagogiques. – M. : Éducation, 1990 –624 p.

2. G. N. Berman, / Recueil de problèmes pour le cours d'analyse mathématique. – M. : Nauka, 1977 – 416 p.

3. G. M. Fikhtengolts, / Cours de différentiel et calcul intégral Vol.II. - M., Sciences, années 1970-800.

4. I.A. Vinogradova, /Tâches et exercices d'analyse mathématique, partie 1. – M. : Outarde, 2001 – 725 p.

5. Ressource Internet \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. Ressource Internet \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Construisons un décor intéressant dans l'avion DANS comme suit : diviser, mettre au carré par des lignes droites
vers 9 heures carrés égaux et jetez-en cinq ouverts, non adjacents aux sommets du carré d'origine. Ensuite, nous divisons également chacun des carrés restants en 9 parties et en rejetons cinq, etc. L'ensemble restant après un nombre dénombrable d'étapes est noté B et appelons Cimetière de Sierpinski. Calculons l'aire des carrés supprimés :

Le cimetière Sierpinski est une multitude parfaite et nulle part dense.

Notons la structure fractale de l'ensemble.

2.2 Peigne de Cantor

Appelons Peigne de chantre un tas de D en surface Oxy, composé de tous les points
, dont les coordonnées satisfont aux conditions suivantes :
, Où
- Cantor placé sur l'axe Oy. Un peigne Cantor est un ensemble parfait et dense nulle part dans l'avion. Un tas de D se compose de tous les points
original carré unitaire, dont les abscisses sont arbitraires
, et les ordonnées peuvent être écrites comme une fraction ternaire qui ne contient pas d'unité parmi ses signes ternaires.

Est-il possible de définir B(Cimetière Sierpinski) et D(Peigne Cantor) express à travers l'ensemble Cantor
en utilisant les opérations du complément de segment et du produit cartésien ? Il est évident que les ensembles B Et D exprimé simplement :

B=
X

D=x

3 Fonction Cantor

Est-il possible de mapper en continu un ensemble qui n'est nulle part dense sur un segment sur ce segment lui-même ?

Oui, prenons l’ensemble Cantor, qui n’est dense nulle part. Lors de la première étape de construction, nous fixons la valeur de la fonction égale à 0,5 aux points de l'intervalle adjacent du premier type. Lors de la deuxième étape, pour chaque intervalle adjacent du deuxième type, nous attribuons respectivement la valeur de fonction 0,25 et 0,75. Ceux. nous semblons diviser chaque segment en un axe Oyà moitié ( oui je) et définir dans l'intervalle adjacent correspondant la valeur de la fonction égale à la valeur ouais.

En conséquence, nous avons reçu une fonction non décroissante (cela a été prouvé dans le cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique »), définie sur le segment et constante dans un certain voisinage de chaque point de l'ensemble \
. Fonction construite
appelé Fonction Cantor(Fonction Cantor), et son graphique ci-dessous est ""escaliers du diable"".

Notez la structure fractale de la fonction :

Fonction
satisfait l’inégalité suivante :

La fonction Cantor est continue sur l'intervalle. Il ne diminue pas et l'ensemble de ses valeurs constitue l'ensemble du segment. Par conséquent, la fonction
n'a pas de sauts. Et parce que une fonction monotone ne peut pas avoir de points de discontinuité autres que des sauts (voir le critère de continuité fonctions monotones), alors c’est continu.

Une observation intéressante est que le graphique de la fonction continue de Cantor
Il est impossible de dessiner « sans retirer le crayon du papier ».

Une fonction continue partout mais différentiable nulle part

Construisons une fonction auxiliaire
sur un segment étape par étape. Au pas zéro, nous fixerons deux points :

Et
.

Ensuite, nous corrigeons le paramètre . Lors de la première étape et des suivantes, nous spécifierons les points selon la règle suivante : pour deux points précédemment construits adjacents à l'axe des abscisses Et nous allons construire deux nouveaux points Et symétrique au centre par rapport au centre du rectangle défini par les points Et avec coefficient k. Autrement dit, dans un premier temps, deux nouveaux points sont précisés :

Et
, etc.

Sur (m+1)- om étape en plus des points précédemment construits avec abscisses

Selon lequel des points voisins ou ci-dessus, utilisez le schéma de gauche ou de droite. Dans un premier temps, comme indiqué ci-dessus, nous acceptons une = b = 1.

Nous répétons la construction un nombre dénombrable de fois pour m = 1, 2, 3,…. En conséquence, nous obtiendrons une fractale qui sera similaire, à quelques transformations affines près (étirement, compression, rotation) de n'importe laquelle de ses parties contenues dans chaque bande :

;

Suite à la construction de la fractale, nous obtenons la fonction
, défini sur un ensemble de points

,
;
(*)

qui est dense partout sur le segment.

Quelles propriétés possède la fonction construite ?

en chaque point du formulaire (*) il y a soit un maximum strict, soit un minimum strict, c'est-à-dire fonction g(X) n'est monotone nulle part et possède des ensembles denses de points extrema stricts sur le segment ;

la fonction g(x) est continue, et même uniformément continue sur l'ensemble des points (*) ;

la fonction construite continue sur un segment n'a même de dérivées unilatérales en aucun point de ce segment ;

Les propriétés ci-dessus ont été démontrées dans le cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ».

Dans l'exemple considéré, nous avons supposé le paramètre . En modifiant la valeur de ce paramètre, vous pouvez obtenir des familles de fonctions avec leurs propres propriétés particulières.