La calculatrice utilise des fonctions utilisant des méthodes de calcul différentiel. Exemple complet d’étude de fonction en ligne

Instructions

Trouvez le domaine de la fonction. Par exemple, la fonction sin(x) est définie sur tout l'intervalle de -∞ à +∞, et la fonction 1/x est définie de -∞ à +∞, sauf pour le point x = 0.

Identifiez les zones de continuité et les points de discontinuité. Généralement, une fonction est continue dans la même région où elle est définie. Pour détecter les discontinuités, il faut calculer à mesure que l'argument s'approche de points isolés dans le domaine de définition. Par exemple, la fonction 1/x tend vers l'infini lorsque x→0+, et vers moins l'infini lorsque x→0-. Cela signifie qu'au point x = 0 il présente une discontinuité du deuxième type.
Si les limites au point de discontinuité sont finies, mais non égales, alors il s'agit d'une discontinuité du premier type. S'ils sont égaux, alors la fonction est considérée comme continue, bien que point isolé ce n’est pas défini.

Trouvez les asymptotes verticales, le cas échéant. Les calculs de l'étape précédente vous aideront ici, puisque l'asymptote verticale est presque toujours située au point de discontinuité du deuxième type. Cependant, parfois, ce ne sont pas des points individuels qui sont exclus du domaine de définition, mais des intervalles entiers de points, et les asymptotes verticales peuvent alors être situées aux bords de ces intervalles.

Vérifiez si la fonction a propriétés spéciales: pair, impair et périodicité.
La fonction sera même si pour tout x dans le domaine f(x) = f(-x). Par exemple, cos(x) et x^2 - même les fonctions.

La périodicité est une propriété qui dit qu'il existe un certain nombre T, appelé période, qui pour tout x f(x) = f(x + T). Par exemple, tous les principaux fonctions trigonométriques(sinus, cosinus, tangente) - périodique.

Trouvez les points. Pour ce faire, calculez la dérivée de fonction donnée et trouvez les valeurs de x où elles deviennent nulles. Par exemple, la fonction f(x) = x^3 + 9x^2 -15 a une dérivée g(x) = 3x^2 + 18x, qui disparaît à x = 0 et x = -6.

Pour déterminer quels points extremum sont des maxima et lesquels sont des minima, suivez l'évolution des signes de la dérivée aux zéros trouvés. g(x) change de signe de plus au point x = -6, et au point x = 0 de moins à plus. Par conséquent, la fonction f(x) a un minimum au premier point et un minimum au second.

Ainsi, vous avez également trouvé des régions de monotonie : f(x) augmente de manière monotone sur l'intervalle -∞;-6, diminue de manière monotone de -6;0 et augmente à nouveau de 0;+∞.

Trouvez la dérivée seconde. Ses racines montreront où le graphique d'une fonction donnée sera convexe et où il sera concave. Par exemple, la dérivée seconde de la fonction f(x) sera h(x) = 6x + 18. Elle passe à zéro à x = -3, changeant de signe de moins à plus. Par conséquent, le graphique de f(x) avant ce point sera convexe, après lui - concave, et ce point lui-même sera un point d'inflexion.

Une fonction peut avoir d'autres asymptotes que les verticales, mais seulement si son domaine de définition inclut . Pour les trouver, calculez la limite de f(x) lorsque x→∞ ou x→-∞. Si c'est fini, alors vous avez trouvé asymptote horizontale.

Asymptote oblique- ligne droite de la forme kx + b. Pour trouver k, calculez la limite de f(x)/x comme x→∞. Pour trouver la b - limite (f(x) – kx) pour le même x→∞.

Tracez un graphique de la fonction en utilisant les données calculées. Étiquetez les asymptotes, le cas échéant. Marquez les points extremum et les valeurs de fonction sur eux. Pour une plus grande précision graphique, calculez les valeurs de la fonction en plusieurs points intermédiaires supplémentaires. L'étude est terminée.

L'un des tâches les plus importantes calcul différentiel est le développement exemples courantsétudes du comportement fonctionnel.

Si la fonction y=f(x) est continue sur l'intervalle , et que sa dérivée est positive ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) augmente de (f"(x)0) Si la fonction y=f (x) est continue sur le segment , et que sa dérivée est négative ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) diminue de (f"(x)0. )

Les intervalles dans lesquels la fonction ne diminue ni n'augmente sont appelés intervalles de monotonie de la fonction. La nature de la monotonie d'une fonction ne peut changer qu'aux points de son domaine de définition où le signe de la dérivée première change. Les points auxquels la dérivée première d'une fonction disparaît ou présente une discontinuité sont appelés critiques.

Théorème 1 (1er état suffisant existence d’un extremum).

Soit la fonction y=f(x) définie au point x 0 et soit un voisinage δ>0 tel que la fonction soit continue sur l'intervalle et dérivable sur l'intervalle (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , et sa dérivée conserve un signe constant sur chacun de ces intervalles. Alors si sur x 0 -δ,x 0) et (x 0 , x 0 +δ) les signes de la dérivée sont différents, alors x 0 est un point extremum, et s'ils coïncident, alors x 0 n'est pas un point extremum . De plus, si, en passant par le point x0, la dérivée change de signe de plus à moins (à gauche de x 0 f"(x)>0 est satisfait, alors x 0 est le point maximum ; si la dérivée change de signe de de moins à plus (à droite de x 0 exécuté f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes de la fonction, et les points maximum et minimum de la fonction sont ses valeurs extrêmes.

Théorème 2 (un signe nécessaire d'un extremum local).

Si la fonction y=f(x) a un extremum au courant x=x 0, alors soit f'(x 0)=0, soit f'(x 0) n'existe pas.
Aux points extrêmes de la fonction différentiable, la tangente à son graphique est parallèle à l'axe Ox.

Algorithme d'étude d'une fonction pour un extremum :

1) Trouvez la dérivée de la fonction.
2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la fonction est continue et la dérivée est nulle ou n'existe pas.
3) Considérez le voisinage de chaque point et examinez le signe de la dérivée à gauche et à droite de ce point.
4) Déterminez les coordonnées des points extrêmes ; pour cela, substituez les valeurs des points critiques dans cette fonction. En utilisant des conditions suffisantes pour l'extremum, tirez les conclusions appropriées.

Exemple 18. Examinez la fonction y=x 3 -9x 2 +24x pour extremum

Solution.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) En assimilant la dérivée à zéro, nous trouvons x 1 =2, x 2 =4. Dans ce cas, la dérivée est définie partout ; Cela signifie qu’à part les deux points constatés, il n’y a pas d’autres points critiques.
3) Le signe de la dérivée y"=3(x-2)(x-4) change en fonction de l'intervalle comme le montre la figure 1. En passant par le point x=2, la dérivée change de signe de plus à moins, et en passant par le point x=4 - du moins au plus.
4) Au point x=2 la fonction a un maximum y max =20, et au point x=4 - un minimum y min =16.

Théorème 3. (2ème condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit f"(x 0) et au point x 0 il existe f""(x 0). Alors si f""(x 0)>0, alors x 0 est le point minimum, et si f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sur un segment, la fonction y=f(x) peut atteindre la valeur la plus petite (y la plus petite) ou la plus grande (y la plus élevée) soit aux points critiques de la fonction situés dans l'intervalle (a;b), soit à les extrémités du segment.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue y=f(x) sur le segment :

1) Trouvez f"(x).
2) Trouvez les points auxquels f"(x)=0 ou f"(x) n'existe pas et sélectionnez parmi eux ceux qui se trouvent à l'intérieur du segment.
3) Calculer la valeur de la fonction y=f(x) aux points obtenus à l'étape 2), ainsi qu'aux extrémités du segment et sélectionner parmi eux le plus grand et le plus petit : ce sont respectivement les plus grands (y la plus grande) et la plus petite (y la plus petite) valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Exemple 19. Trouvez la plus grande valeur de la fonction continue y=x 3 -3x 2 -45+225 sur le segment.

1) On a y"=3x 2 -6x-45 sur le segment
2) La dérivée y" existe pour tout x. Trouvons les points auxquels y"=0 ; on obtient :
3x2 -6x-45=0
x2 -2x-15=0
x1 =-3 ; x2 =5
3) Calculer la valeur de la fonction aux points x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Le segment contient uniquement le point x=5. La plus grande des valeurs trouvées de la fonction est 225 et la plus petite est le nombre 50. Donc, y max = 225, y min = 50.

Etude d'une fonction sur la convexité

La figure montre des graphiques de deux fonctions. Le premier d’entre eux est convexe vers le haut, le second est convexe vers le bas.

La fonction y=f(x) est continue sur le segment et dérivable dans l'intervalle (a;b), est dite convexe vers le haut (vers le bas) sur ce segment si, pour axb, son graphe ne se situe pas plus haut (pas plus bas) que le tangente tracée en tout point M 0 (x 0 ;f(x 0)), où axb.

Théorème 4. Soit la fonction y=f(x) avoir une dérivée seconde en tout point intérieur x du segment et être continue aux extrémités de ce segment. Alors si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le bas sur l'intervalle ; si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le haut sur .

Théorème 5. Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde sur l'intervalle (a;b) et si elle change de signe en passant par le point x 0, alors M(x 0 ;f(x 0)) est un point d'inflexion.

Règle pour trouver les points d'inflexion :

1) Trouvez les points auxquels f""(x) n'existe pas ou disparaît.
2) Examinez le signe f""(x) à gauche et à droite de chaque point trouvé lors de la première étape.
3) Sur la base du théorème 4, tirez une conclusion.

Exemple 20. Trouver les points extremum et les points d'inflexion du graphique de la fonction y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Nous avons f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Évidemment, f"(x)=0 quand x 1 =0, x 2 =1. En passant par le point x=0, la dérivée change de signe de moins à plus, mais en passant par le point x=1 elle ne change pas de signe. Cela signifie que x=0 est le point minimum (y min =12) et qu'il n'y a pas d'extremum au point x=1. Ensuite, nous trouvons . La dérivée seconde disparaît aux points x 1 =1, x 2 =1/3. Les signes de la dérivée seconde changent comme suit : Sur le rayon (-∞;) on a f""(x)>0, sur l'intervalle (;1) on a f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Par conséquent, x= est le point d'inflexion du graphe de fonction (transition de la convexité vers le haut à la convexité vers le haut) et x=1 est également le point d'inflexion (transition de la convexité vers le haut vers la convexité vers le bas). Si x=, alors y= ; si, alors x=1, y=13.

Algorithme pour trouver l'asymptote d'un graphique

I. Si y=f(x) comme x → a, alors x=a est une asymptote verticale.
II. Si y=f(x) comme x → ∞ ou x → -∞, alors y=A est une asymptote horizontale.
III. Pour trouver l’asymptote oblique, nous utilisons l’algorithme suivant :
1) Calculez. Si la limite existe et est égale à b, alors y=b est une asymptote horizontale ; si , alors passez à la deuxième étape.
2) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à k, alors passez à la troisième étape.
3) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à b, alors passez à la quatrième étape.
4) Écrivez l’équation de l’asymptote oblique y=kx+b.

Exemple 21 : Trouver l'asymptote d'une fonction

1)
2)
3)
4) L'équation de l'asymptote oblique a la forme

Schéma d'étude d'une fonction et de construction de son graphe

I. Trouver le domaine de définition de la fonction.
II. Trouver les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées.
III. Trouvez des asymptotes.
IV. Trouvez les points extrêmes possibles.
V. Trouver les points critiques.
VI. À l’aide du chiffre auxiliaire, explorez le signe des dérivées première et seconde. Déterminez les zones d'augmentation et de diminution de la fonction, trouvez la direction de convexité du graphique, les points d'extrema et les points d'inflexion.
VII. Construisez un graphique en tenant compte des recherches effectuées aux paragraphes 1 à 6.

Exemple 22 : Construire un graphique de la fonction selon le schéma ci-dessus

Solution.
I. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x=1.
II. Puisque l'équation x 2 +1=0 n'a pas de racines réelles, le graphique de la fonction n'a pas de points d'intersection avec l'axe Ox, mais coupe l'axe Oy au point (0;-1).
III. Clarifions la question de l'existence des asymptotes. Etudions le comportement de la fonction près du point de discontinuité x=1. Puisque y → ∞ comme x → -∞, y → +∞ comme x → 1+, alors la droite x=1 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
Si x → +∞(x → -∞), alors y → +∞(y → -∞) ; le graphique n’a donc pas d’asymptote horizontale. De plus, de l'existence de limites

En résolvant l'équation x 2 -2x-1=0 nous obtenons deux points extremum possibles :
x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2

V. Pour trouver les points critiques, on calcule la dérivée seconde :

Puisque f""(x) ne disparaît pas, il n’y a pas de points critiques.
VI. Examinons le signe des dérivées première et seconde. Points extremum possibles à considérer : x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2, diviser le domaine d'existence de la fonction en intervalles (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) et (1+√2;+∞).

Dans chacun de ces intervalles, la dérivée conserve son signe : dans le premier - plus, dans le deuxième - moins, dans le troisième - plus. La séquence de signes de la dérivée première s'écrira ainsi : +,-,+.
Nous constatons que la fonction augmente à (-∞;1-√2), diminue à (1-√2;1+√2) et augmente à nouveau à (1+√2;+∞). Points extrêmes : maximum à x=1-√2, et f(1-√2)=2-2√2 minimum à x=1+√2, et f(1+√2)=2+2√2. À (-∞;1) le graphique est convexe vers le haut et à (1;+∞) il est convexe vers le bas.
VII Faisons un tableau des valeurs obtenues

VIII Sur la base des données obtenues, nous construisons un croquis du graphique de la fonction

Les points de référence lors de l'étude des fonctions et de la construction de leurs graphiques sont des points caractéristiques - points de discontinuité, extremum, inflexion, intersection avec des axes de coordonnées. Grâce au calcul différentiel, il est possible d'établir les traits caractéristiques des changements de fonctions : augmentation et diminution, maximums et minimums, sens de convexité et de concavité du graphe, présence d'asymptotes.

Un croquis du graphique de la fonction peut (et doit) être dessiné après avoir trouvé les asymptotes et les points extremum, et il convient de remplir le tableau récapitulatif de l'étude de la fonction au fur et à mesure de l'avancement de l'étude.

Le schéma d’étude de fonction suivant est généralement utilisé.

1.Trouver le domaine de définition intervalles de continuité Et points d'arrêt de fonction .

2.Examinez la fonction pour la régularité ou l'impair (symétrie axiale ou centrale du graphique).

3.Trouver asymptote(vertical, horizontal ou incliné).

4.Trouver et explorer intervalles d'augmentation et de diminution fonctions, ses points extrême.

5.Rechercher des intervalles convexité et concavité de la courbe, ses points d'inflexion.

6.Trouvez les points d'intersection de la courbe avec les axes de coordonnées, s'ils existent.

7.Compiler un tableau récapitulatif de l’étude.

8.Un graphe est construit, prenant en compte l'étude de la fonction réalisée selon les points décrits ci-dessus.

Exemple. Fonction Explorer

et construire son graphique.

7. Compilons un tableau récapitulatif de l'étude de la fonction, dans lequel nous saisirons tous les points caractéristiques et les intervalles entre eux. Compte tenu de la parité de la fonction, on obtient le tableau suivant :

Pour étudier pleinement la fonction et tracer son graphique, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1) trouver le domaine de définition de la fonction ;

2) trouver les points de discontinuité de la fonction et les asymptotes verticales (si elles existent) ;

3) étudier le comportement de la fonction à l'infini, trouver des asymptotes horizontales et obliques ;

4) examiner la fonction pour la parité (bizarre) et la périodicité (pour les fonctions trigonométriques) ;

5) trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction ;

6) déterminer les intervalles de convexité et les points d'inflexion ;

7) trouver les points d'intersection avec les axes de coordonnées et, si possible, quelques points supplémentaires qui clarifient le graphique.

L'étude de la fonction s'effectue simultanément à la construction de son graphe.

Exemple 9 Explorez la fonction et créez un graphique.

1. Portée de la définition : ;

2. La fonction souffre de discontinuité en certains points
,
;

Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes verticales.

;
,
─ asymptote verticale.

;
,
─ asymptote verticale.

3. Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes obliques et horizontales.

Droit
─ asymptote oblique, si
,
.

,
.

Droit
─ asymptote horizontale.

4. La fonction est même parce que
.

La parité de la fonction indique la symétrie du graphique par rapport à l'ordonnée.

5. Trouvez les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction.
;
Trouvons les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la dérivée est 0 ou n'existe pas :
;

. Nous avons trois points . Ces points divisent tout l'axe réel en quatre intervalles. Définissons les signes

sur chacun d'eux.
Sur les intervalles (-∞; -1) et (-1; 0) la fonction augmente, sur les intervalles (0; 1) et (1; +∞) ─ elle diminue. En passant par un point
.

la dérivée change de signe de plus à moins, donc à ce stade la fonction a un maximum

6. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion. Trouvons les points auxquels

est 0 ou n'existe pas.
,
,

n'a pas de véritables racines.
Points
Et divisez l'axe réel en trois intervalles. Définissons le signe

à chaque intervalle.
Ainsi, la courbe sur les intervalles
Et
Points
convexe vers le bas, sur l'intervalle (-1;1) convexe vers le haut ; il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la fonction est en des points

pas défini.

7. Trouvez les points d'intersection avec les axes.
Avec essieu
le graphique de la fonction se coupe au point (0; -1), et avec l'axe

le graphique ne se coupe pas, car le numérateur de cette fonction n'a pas de véritables racines.

Le graphique de la fonction donnée est présenté à la figure 1.

Figure 1 ─ Graphique de fonction

Application du concept de dérivée en économie. Fonction d'élasticité

Pour étudier les processus économiques et résoudre d'autres problèmes appliqués, le concept d'élasticité d'une fonction est souvent utilisé. Définition.
Fonction d'élasticité est appelée la limite du rapport de l'incrément relatif de la fonction à l'incrément relatif de la variable
à

L'élasticité d'une fonction montre approximativement de combien de pour cent la fonction va changer
quand la variable indépendante change de 1%.

La fonction d'élasticité est utilisée dans l'analyse de la demande et de la consommation. Si l'élasticité de la demande (en valeur absolue)
, alors la demande est considérée comme élastique si
─ neutre si
─ inélastique par rapport au prix (ou au revenu).

Exemple 10 Calculer l'élasticité de la fonction
et trouver la valeur de l'indice d'élasticité pour = 3.

Solution : d'après la formule (VII), l'élasticité de la fonction est :

Soit x=3, alors
.Cela signifie que si la variable indépendante augmente de 1 %, alors la valeur de la variable dépendante augmentera de 1,42 %.

Exemple 11 Laisser la demande fonctionner concernant le prix on dirait
, Où ─ coefficient constant. Trouvez la valeur de l'indicateur d'élasticité de la fonction de demande au prix x = 3 den. unités

Solution : calculer l'élasticité de la fonction de demande à l'aide de la formule (VII)

Croire
unités monétaires, on obtient
. Cela signifie qu'à un prix
unités monétaires une augmentation du prix de 1 % entraînera une diminution de la demande de 6 %, soit la demande est élastique.