Asymptotes verticales et horizontales des graphiques. Asymptotes du graphique d'une fonction

C'est exactement ainsi qu'il est formulé tâche typique, et cela implique de trouver TOUTES les asymptotes du graphique (verticales, inclinées/horizontales). Bien que, pour être plus précis en posant la question, nous parlons de recherche de la présence d'asymptotes (après tout, il se peut qu'il n'y en ait pas du tout).

Commençons par quelque chose de simple :

Exemple 1

La solution peut être commodément divisée en deux points :

1) Nous vérifions d’abord s’il existe des asymptotes verticales. Le dénominateur tend vers zéro en , et il est immédiatement clair qu'à ce stade la fonction souffre d'une discontinuité infinie, et la droite donné par l'équation, est l'asymptote verticale du graphique de la fonction. Mais avant de tirer une telle conclusion, il est nécessaire de trouver des limites unilatérales :

Je vous rappelle la technique de calcul sur laquelle je me suis également intéressé dans l'article continuité d'une fonction. Points de rupture. Dans l'expression sous le signe limite, nous substituons . Il n'y a rien d'intéressant au numérateur :
.

Mais au dénominateur, il s'avère infinitésimal nombre négatif :
, il détermine le sort de la limite.

La limite de gauche est infinie et, en principe, il est déjà possible de se prononcer sur la présence d'une asymptote verticale. Mais des limites unilatérales ne sont pas seulement nécessaires pour cela - elles AIDENT À COMPRENDRE COMMENT se trouve le graphique d'une fonction et à le construire CORRECTEMENT. Par conséquent, nous devons également calculer la limite à droite :

Conclusion : les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que la droite est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

Première limite fini, ce qui signifie qu'il faut « continuer la conversation » et trouver la deuxième limite :

La deuxième limite aussi fini.

Ainsi, notre asymptote est :

Conclusion : la droite spécifiée par l'équation est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Pour trouver l'asymptote horizontale, vous pouvez utiliser une formule simplifiée :

S'il existe une limite finie, alors la droite est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Il est facile de remarquer que le numérateur et le dénominateur de la fonction sont du même ordre de croissance, ce qui signifie que la limite souhaitée sera finie :

Répondre :

Selon la condition, il n'est pas nécessaire de faire un dessin, mais si on est en pleine recherche d'une fonction, alors on fait immédiatement un croquis sur le brouillon :

Sur la base des trois limites trouvées, essayez de déterminer par vous-même comment le graphique de la fonction pourrait être localisé. Est-ce vraiment difficile ? Trouvez 5-6-7-8 points et marquez-les sur le dessin. Cependant, le graphique de cette fonction est construit à l'aide de transformations du graphique d'une fonction élémentaire, et les lecteurs qui ont soigneusement examiné l'exemple 21 de l'article ci-dessus peuvent facilement deviner de quel type de courbe il s'agit.

Exemple 2

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Permettez-moi de vous rappeler que le processus est commodément divisé en deux points : les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. Dans l’exemple de solution, l’asymptote horizontale est trouvée à l’aide d’un schéma simplifié.

En pratique, les fonctions fractionnaires-rationnelles sont le plus souvent rencontrées, et après un entraînement aux hyperboles, nous compliquerons la tâche :

Exemple 3

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : Un, deux et c'est fait :

1) Asymptotes verticales se trouvent à des points de discontinuité infinie, vous devez donc vérifier si le dénominateur tend vers zéro. Résolvons l'équation quadratique :

Le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines réelles, et le travail est significativement augmenté =)

Afin de trouver davantage de limites unilatérales trinôme quadratique Il est pratique de factoriser :
(pour une notation compacte, le « moins » était inclus dans la première parenthèse). Par mesure de sécurité, vérifions en ouvrant les parenthèses mentalement ou sur un brouillon.

Réécrivons la fonction sous la forme

Trouvons des limites unilatérales au point :

Et au point :

Ainsi, les droites sont des asymptotes verticales du graphique de la fonction en question.

2) Si vous regardez la fonction , alors il est bien évident que la limite sera finie et nous avons une asymptote horizontale. Montrons sa présence de manière brève :

Ainsi, la droite (axe des abscisses) est l'asymptote horizontale du graphique de cette fonction.

Répondre :

Les limites et asymptotes trouvées fournissent de nombreuses informations sur le graphique de la fonction. Essayez d'imaginer mentalement le dessin en tenant compte des faits suivants :

Esquissez votre version du graphique sur votre brouillon.

Bien entendu, les limites trouvées ne déterminent pas clairement l'apparence du graphique, et vous pouvez vous tromper, mais l'exercice lui-même vous apportera une aide précieuse lors de recherche complète fonctions La bonne image se trouve à la fin de la leçon.

Exemple 4

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Exemple 5

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ce sont des tâches pour une solution indépendante. Les deux graphiques présentent à nouveau des asymptotes horizontales, qui sont immédiatement détectées par les signes suivants: dans l'exemple 4 l'ordre de croissance du dénominateur est supérieur à l'ordre de croissance du numérateur, et dans l'exemple 5 le numérateur et le dénominateur sont du même ordre de croissance. Dans l'exemple de solution, la première fonction est examinée pour la présence d'asymptotes obliques dans leur intégralité et la seconde - à travers la limite.

Les asymptotes horizontales, selon mon impression subjective, sont nettement plus courantes que celles qui sont « véritablement inclinées ». Le cas général tant attendu :

Exemple 6

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : classique du genre :

1) Puisque le dénominateur est positif, la fonction est continue sur toute la droite numérique et il n’y a pas d’asymptote verticale. ...Est-ce que c'est bon ? Ce n'est pas le bon mot - excellent ! Le point n°1 est clos.

2) Vérifions la présence d'asymptotes obliques :

Première limite fini, alors passons à autre chose. Lors du calcul de la deuxième limite pour éliminer l'incertitude « l'infini moins l'infini », on réduit l'expression à un dénominateur commun :

La deuxième limite aussi fini, donc le graphique de la fonction en question a une asymptote oblique :

Conclusion :

Ainsi, lorsque le graphique de la fonction infiniment proche se rapproche d'une ligne droite :

Notez qu'il coupe son asymptote oblique à l'origine, et de tels points d'intersection sont tout à fait acceptables - il est important que « tout soit normal » à l'infini (en fait, c'est là que nous parlons d'asymptote).

Exemple 7

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : il n’y a rien de particulier à commenter, je vais donc l’officialiser échantillon approximatif solution finale :

1) Asymptotes verticales. Explorons le point.

La ligne droite est l'asymptote verticale du graphique en .

2) Asymptotes obliques :

La ligne droite est l’asymptote inclinée du graphique en .

Répondre :

Les limites unilatérales et les asymptotes trouvées nous permettent de prédire avec une grande confiance à quoi ressemble le graphique de cette fonction. Dessin correct à la fin de la leçon.

Exemple 8

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; pour faciliter le calcul de certaines limites, vous pouvez diviser le numérateur par le dénominateur terme par terme. Encore une fois, lors de l’analyse de vos résultats, essayez de tracer un graphique de cette fonction.

Évidemment, les propriétaires des « vraies » asymptotes obliques sont les graphiques de celles-ci. fonctions rationnelles fractionnaires, dans lequel le degré le plus élevé du numérateur est supérieur de un au degré le plus élevé du dénominateur. Si c'est plus, il n'y aura plus d'asymptote oblique (par exemple ).

Mais d’autres miracles se produisent dans la vie :

Exemple 9

Solution : la fonction est continue sur toute la droite numérique, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’asymptote verticale. Mais il se peut qu'il y en ait des inclinés. Nous vérifions :

Je me souviens avoir rencontré une fonction similaire à l'université et ne pouvais tout simplement pas croire qu'elle avait une asymptote oblique. Jusqu'à ce que je calcule la deuxième limite :

À proprement parler, il y a ici deux incertitudes : et , mais d'une manière ou d'une autre, vous devez utiliser la méthode de solution, qui est discutée dans les exemples 5-6 de l'article sur les limites complexité accrue. On multiplie et divise par l'expression conjuguée pour utiliser la formule :

Répondre :

Peut-être l’asymptote oblique la plus populaire.

Jusqu'à présent, l'infini a été « coupé d'un seul coup », mais il arrive que le graphe d'une fonction présente deux asymptotes obliques différentes en et en :

Exemple 10

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Solution : l'expression radicale est positive, ce qui signifie que le domaine de définition est n'importe quel nombre réel, et qu'il ne peut pas y avoir de bâtons verticaux.

Vérifions s'il existe des asymptotes obliques.

Si « x » tend vers « moins l’infini », alors :
(lorsque vous saisissez un « X » sous racine carrée il faut ajouter un signe moins pour ne pas perdre la négativité du dénominateur)

Cela semble inhabituel, mais ici l’incertitude est « l’infini moins l’infini ». Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

Ainsi, la droite est l’asymptote inclinée du graphique en .

Avec « plus l'infini » tout est plus trivial :

Et la ligne droite est à .

Répondre :

Si ;
, Si .

je ne peux pas résister image graphique:


C'est l'une des branches de l'hyperbole.

Il n'est pas rare que la présence potentielle d'asymptotes soit initialement limitée par le domaine de définition de la fonction :

Exemple 11

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Solution : évidemment , on ne considère donc que le demi-plan droit, où se trouve un graphique de la fonction.

1) La fonction est continue sur l'intervalle, ce qui signifie que si une asymptote verticale existe, elle ne peut être que l'axe des ordonnées. Étudions le comportement de la fonction près du point droite:

Veuillez noter qu'il n'y a AUCUNE incertitude ici (de tels cas ont été soulignés au début de l'article Méthodes de résolution des limites).

Ainsi, la droite (axe des ordonnées) est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

2) L'étude de l'asymptote oblique peut être réalisée en utilisant schéma complet, mais dans l'article L'Hopital Rules nous avons découvert que fonction linéaire plus ordre élevé croissance que logarithmique, donc : (Voir Exemple 1 de la même leçon).

Conclusion : l'axe des x est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Répondre :

Si ;
, Si .

Dessin pour plus de clarté :

Il est intéressant de noter qu'une fonction apparemment similaire n'a aucune asymptote (ceux qui le souhaitent peuvent le vérifier).

Deux exemples finaux pour l'auto-apprentissage :

Exemple 12

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Pour vérifier les asymptotes verticales, vous devez d'abord trouver le domaine de définition de la fonction, puis calculer une paire de limites unilatérales aux points « suspects ». Les asymptotes obliques ne sont pas non plus exclues, puisque la fonction est définie à l'infini « plus » et « moins ».

Exemple 13

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Mais ici, il ne peut y avoir que des asymptotes obliques, et les directions doivent être considérées séparément.

J'espère que vous avez trouvé la bonne asymptote =)

Je vous souhaite du succès !

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution :
. Trouvons les limites unilatérales :

Droit est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .
2) Asymptotes obliques.

Droit .
Répondre :

Dessinà l'exemple 3 :

Exemple 4 :Solution :
1) Asymptotes verticales. La fonction subit une rupture infinie en un point . Calculons les limites unilatérales :

Remarque : un nombre infinitésimal négatif à une puissance paire est égal à un nombre infinitésimal positif : .

Droit est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
2) Asymptotes obliques.


Droit (axe des abscisses) est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction à .
Répondre :

Une hyperbole s'appelle lieu points, la différence des distances à deux points donnés, appelés foyers, est une valeur constante (cette constante doit être positive et inférieure à la distance entre les foyers).

Notons cette constante par 2a, la distance entre les foyers par et choisissons les axes de coordonnées de la même manière qu'au § 3. Soit - point arbitraire hyperbole.

Par définition de l'hyperbole

Sur le côté droit de l'égalité, vous devez sélectionner un signe plus si et un signe moins si

Puisque la dernière égalité peut s’écrire :

C'est l'équation de l'hyperbole dans le système de coordonnées choisi.

En s'affranchissant des radicaux dans cette équation (comme au § 3), on peut réduire l'équation à sa forme la plus simple.

Transférer le premier radical à côté droitégalité et mise au carré des deux côtés, après des transformations évidentes on obtient :

Mettre une fois de plus au carré les deux côtés de l'égalité, rendant la réduction membres similaires et en divisant par membre gratuit, on obtient :

Depuis , la valeur est positive. Le désignant par , c'est-à-dire en supposant

nous obtenons équation canonique hyperbole.

Explorons la forme d'une hyperbole.

1) Symétries d'une hyperbole. Puisque l'équation (3) ne contient que les carrés des coordonnées actuelles, les axes de coordonnées sont les axes de symétrie de l'hyperbole (voir une affirmation similaire pour l'ellipse). L'axe de symétrie de l'hyperbole sur laquelle se situent les foyers est appelé axe focal. Le point d'intersection des axes de symétrie - le centre de symétrie - est appelé centre de l'hyperbole. Pour l'hyperbole donnée par l'équation (3), l'axe focal coïncide avec l'axe Ox et le centre est l'origine.

2) Points d'intersection avec les axes de symétrie. Trouvons les points d'intersection de l'hyperbole avec les axes de symétrie - les sommets de l'hyperbole. En supposant dans l'équation, on retrouve les abscisses des points d'intersection de l'hyperbole avec l'axe

Par conséquent, les points sont les sommets de l'hyperbole (Fig. 51) ; la distance entre eux est de 2a. Pour trouver les points d'intersection avec l'axe Oy, on met dans l'équation. Pour déterminer les ordonnées de ces points, on obtient l'équation.

c'est-à-dire que pour y nous avons obtenu des valeurs imaginaires ; cela signifie que l'axe Oy ne coupe pas les hyperboles.

Conformément à cela, l'axe de symétrie coupant l'hyperbole est appelé axe réel symétrie (axe focal), l'axe de symétrie qui ne coupe pas l'hyperbole est appelé axe de symétrie imaginaire. Pour une hyperbole donnée par l'équation (3), l'axe de symétrie réel est l'axe, l'axe de symétrie imaginaire est l'axe. Le segment reliant les sommets de l'hyperbole, ainsi que sa longueur 2a, sont appelés l'axe réel de. l'hyperbole. Si sur l'axe imaginaire de symétrie d'une hyperbole on trace les segments OB et de longueur b de part et d'autre de son centre O, alors le segment et sa longueur sont appelés l'axe imaginaire de l'hyperbole. Les quantités a et b sont appelées respectivement les demi-axes réel et imaginaire de l'hyperbole.

3) Forme d'hyperbole. Lorsqu'on étudie la forme d'une hyperbole, il suffit de considérer valeurs positives x et y, car la courbe est située symétriquement par rapport aux axes de coordonnées.

Puisqu'il résulte de l'équation (3) que 1, alors il peut changer de a à Quand augmente de a à alors Y augmente également de 0 à La courbe a la forme montrée sur la Fig. 51. Elle est située en dehors de la bande délimitée par des lignes droites et est constituée de deux branches distinctes. Pour tout point M d'une de ces branches (branche droite), pour tout point M d'une autre branche (branche gauche).

4) Asymptotes d'une hyperbole. Pour imaginer plus clairement le type d'hyperbole, considérons deux lignes droites qui lui sont étroitement liées - les soi-disant asymptotes.

En supposant que x et y sont positifs, nous résolvons l'équation (3) de l'hyperbole par rapport à l'ordonnée y :

Comparons l'équation avec l'équation d'une droite, en appelant correspondant deux points situés respectivement sur cette droite et sur l'hyperbole et ayant la même abscisse (Fig. 51). Évidemment, la différence Y - y des ordonnées des points correspondants exprime la distance qui les sépare, c'est-à-dire

Montrons qu'avec un accroissement illimité, la distance MN, tuant, tend vers zéro. En fait,

Après simplification on obtient :

De la dernière formule on voit qu'avec une augmentation illimitée de l'abscisse, la distance MN diminue et tend vers zéro. Il s'ensuit que lorsque le point M, se déplaçant le long de l'hyperbole dans le premier quadrant, se déplace vers l'infini, alors sa distance à la droite diminue et tend vers zéro. La même circonstance se produira lorsque le point M se déplacera le long d'une hyperbole dans le troisième quadrant (en raison de la symétrie par rapport à l'origine O).

Enfin, du fait de la symétrie de l'hyperbole par rapport à l'axe Oy, on obtiendra une deuxième droite située symétriquement avec la droite dont le point M se rapprochera également indéfiniment en se déplaçant le long de l'hyperbole et en s'éloignant vers l'infini (en les deuxième et quatrième quadrants).

Ces deux droites sont appelées asymptotes d’une hyperbole, et, comme nous l’avons vu, elles ont pour équations :

Évidemment, les asymptotes de l'hyperbole sont situées le long des diagonales d'un rectangle dont un côté est parallèle à l'axe Ox et est égal à 2a, l'autre est parallèle à l'axe Oy et est égal à et le centre se situe au origine des coordonnées (voir Fig. 51).

Lorsque vous dessinez une hyperbole à l’aide de son équation, il est recommandé de commencer par construire ses asymptotes.

Hyperbole équilatérale. Dans le cas d'une hyperbole, elle est dite équilatérale ; son équation est obtenue à partir de (3) et a la forme :

Évidemment, les coefficients angulaires des asymptotes d'une hyperbole équilatérale seront. Par conséquent, les asymptotes d'une hyperbole équilatérale sont perpendiculaires les unes aux autres et coupent en deux les angles entre ses axes de symétrie.

Pas un, un, deux, trois... ou une infinité. Nous n’irons pas loin pour des exemples, rappelons-le fonctions élémentaires. Une parabole, une parabole cubique et une onde sinusoïdale n'ont pas du tout d'asymptote. graphique exponentiel, fonction logarithmique a une asymptote unique. L'arctangente et l'arccotangente en ont deux, et la tangente et la cotangente en ont une infinité. Il n’est pas rare qu’un graphique présente des asymptotes horizontales et verticales. Hyperbole, je t'aimerai toujours.

Que signifie trouver les asymptotes du graphique d'une fonction ?

Cela signifie comprendre leurs équations et tracer des lignes droites si le problème l’exige. Le processus consiste à trouver les limites d’une fonction.

En règle générale, l'asymptote verticale du graphique est située au point de discontinuité infinie de la fonction. C'est simple : si en un point la fonction subit une discontinuité infinie, alors la droite spécifiée par l'équation est l'asymptote verticale du graphique.

Remarque : Veuillez noter que l'entrée est utilisée pour désigner deux complètement différentes notions. Le fait qu'un point soit implicite ou une équation d'une droite dépend du contexte.

Ainsi, pour établir la présence d'une asymptote verticale en un point, il suffit de montrer qu'au moins une des limites unilatérales est infinie. Le plus souvent, c'est le point où le dénominateur de la fonction égal à zéro. Essentiellement, nous avons déjà trouvé des asymptotes verticales dans exemples récents leçon sur la continuité de fonction. Mais dans certains cas, il n'y a qu'une seule limite unilatérale, et si elle est infinie, alors encore une fois, aimez et favorisez l'asymptote verticale. L'illustration la plus simple : et l'axe des ordonnées.

De ce qui précède, il résulte également fait évident: si la fonction est continue, alors il n'y a pas d'asymptote verticale. Pour une raison quelconque, une parabole m'est venue à l'esprit. Vraiment, où peut-on « coller » une ligne droite ici ? ...oui... je comprends... Les disciples de l'oncle Freud étaient hystériques =)

La déclaration inverse dans cas général incorrect : ainsi, la fonction n'est pas définie sur toute la droite numérique, mais est complètement dépourvue d'asymptotes.

Asymptotes inclinées du graphique d'une fonction

Oblique (comme cas particulier- horizontale) des asymptotes peuvent être tracées si l'argument de la fonction tend vers « plus l'infini » ou vers « moins l'infini ». Par conséquent, le graphique d’une fonction ne peut pas avoir plus de 2 asymptotes inclinées. Par exemple, le graphique d'une fonction exponentielle a une seule asymptote horizontale en, et le graphique de l'arctangente en a deux de ces asymptotes, et différentes en plus.

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Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliqué séquentiellement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Dans de nombreux cas, il est plus facile de construire le graphique d’une fonction si vous construisez d’abord les asymptotes de la courbe.

Définition 1. Les asymptotes sont ces lignes droites dont le graphique d'une fonction se rapproche arbitrairement lorsque la variable tend vers plus l'infini ou moins l'infini.

Définition 2. Une droite est appelée asymptote du graphique d'une fonction si la distance de point variable M le graphique de la fonction jusqu'à cette ligne tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne indéfiniment M depuis l'origine le long de n'importe quelle branche du graphe de fonctions.

Il existe trois types d'asymptotes : verticales, horizontales et obliques.

Définition . Droit x = un est asymptote verticale du graphique de la fonction, si point x = un est un point de discontinuité du deuxième type pour cette fonction.

De la définition il résulte que la droite x = un est l'asymptote verticale du graphique de la fonction f(x) si au moins une des conditions est remplie :

Dans ce cas, la fonction f(x) peuvent ne pas être définis du tout, respectivement, lorsque x ≥ un Et x ≤ un .

Commentaire:

Exemple 1. Graphique d'une fonction oui=ln x a une asymptote verticale x= 0 (c'est-à-dire coïncidant avec l'axe Oy) à la limite du domaine de définition, puisque la limite de la fonction lorsque x tend vers zéro depuis la droite est égale à moins l'infini :

(photo ci-dessus).

Exemple 2. Trouver les asymptotes du graphique de la fonction.

Exemple 3. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Si (la limite d'une fonction lorsque l'argument tend vers plus ou moins l'infini est égale à une certaine valeur b), Que oui = b – asymptote horizontale courbé oui = f(x) (à droite lorsque X tend vers plus l'infini, à gauche lorsque X tend vers moins l'infini, et bilatéral si les limites lorsque X tend vers plus ou moins l'infini sont égales).

Exemple 5. Graphique d'une fonction

à un> 1 a quitté l'asympotote horizontale oui= 0 (c'est-à-dire coïncidant avec l'axe Bœuf), puisque la limite de la fonction lorsque « x » tend vers moins l’infini est nulle :

La courbe n'a pas d'asymptote horizontale droite, puisque la limite de la fonction lorsque « x » tend vers plus l'infini est égale à l'infini :

Verticale et asymptotes horizontales, que nous avons examinés ci-dessus, sont parallèles aux axes de coordonnées, donc pour les construire, nous n'avions besoin que de un certain nombre- un point sur l'axe des abscisses ou des ordonnées par lequel passe l'asymptote. Pour une asymptote oblique, une pente plus grande est nécessaire k, qui montre l'angle d'inclinaison de la ligne, et le terme libre b, qui montre à quel point la ligne est au-dessus ou en dessous de l'origine. Ceux qui n'ont pas oublié la géométrie analytique, et à partir d'elle les équations d'une droite, remarqueront que pour une asymptote oblique ils trouvent une équation d'une droite avec un coefficient angulaire. L'existence d'une asymptote oblique est déterminée par le théorème suivant, sur la base duquel sont trouvés les coefficients qui viennent d'être mentionnés.

Théorème. Pour faire la courbe oui = f(x) avait une asymptote oui = kx + b, nécessaire et suffisant pour qu'ils existent limites finies k Et b de la fonction considérée lorsque la variable tend xà plus l'infini et moins l'infini :

(1)

(2)

Les nombres trouvés de cette façon k Et b et sont les coefficients d'asymptote oblique.

Dans le premier cas (lorsque x tend vers plus l'infini), une asymptote inclinée à droite est obtenue, dans le second (lorsque x tend vers moins l'infini), une asymptote oblique gauche est obtenue. L’asymptote oblique droite est représentée sur la Fig. ci-dessous.

Lors de la recherche de l’équation d’une asymptote oblique, il est nécessaire de prendre en compte la tendance de X à la fois plus l’infini et moins l’infini. Pour certaines fonctions, par exemple les fonctions fractionnaires rationnelles, ces limites coïncident, mais pour de nombreuses fonctions, ces limites sont différentes et une seule d'entre elles peut exister.

Si les limites coïncident et que x tend vers plus l'infini et moins l'infini, la droite oui = kx + b est l'asymptote bilatérale de la courbe.

Si au moins une des limites définissant l'asymptote oui = kx + b, n'existe pas, alors le graphique de la fonction n'a pas d'asymptote oblique (mais peut en avoir une verticale).

Il est facile de voir que l’asymptote horizontale oui = b est un cas particulier d'oblique oui = kx + bà k = 0 .

Par conséquent, si dans une direction une courbe a une asymptote horizontale, alors dans cette direction il n'y en a pas d'inclinée, et vice versa.

Exemple 6. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. La fonction est définie sur toute la droite numérique sauf x= 0, c'est à dire

Donc, au point de rupture x= 0 la courbe peut avoir une asymptote verticale. En effet, la limite de la fonction lorsque x tend vers zéro depuis la gauche est égale à plus l'infini :

Ainsi, x= 0 – asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Le graphique de cette fonction n'a pas d'asymptote horizontale, puisque la limite de la fonction lorsque x tend vers plus l'infini est égale à plus l'infini :

Découvrons la présence d'une asymptote oblique :

J'ai des limites finies k= 2 et b= 0 . Droit oui = 2x est l'asymptote inclinée bidirectionnelle du graphique de cette fonction (figure à l'intérieur de l'exemple).

Exemple 7. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. La fonction a un point d'arrêt x= −1 . Calculons les limites unilatérales et déterminons le type de discontinuité :

Conclusion: x= −1 est un point de discontinuité de seconde espèce, donc la droite x= −1 est l'asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Nous recherchons des asymptotes obliques. Parce que cette fonction- fractionnaire-rationnel, les limites à et à coïncideront. Ainsi, on retrouve les coefficients de substitution de la droite - asymptote oblique dans l'équation :

En remplaçant les coefficients trouvés dans l'équation de la droite par pente, on obtient l'équation d'asymptote oblique :

oui = −3x + 5 .

Sur la figure, le graphique de la fonction est indiqué en bordeaux et les asymptotes sont indiquées en noir.

Exemple 8. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Puisque cette fonction est continue, son graphique n'a pas d'asymptote verticale. Nous recherchons des asymptotes obliques :

.

Ainsi, le graphique de cette fonction a une asymptote oui= 0 à et n'a pas d'asymptote à .

Exemple 9. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Nous recherchons d’abord les asymptotes verticales. Pour ce faire, on retrouve le domaine de définition de la fonction. Une fonction est définie lorsque l'inégalité et . Signe de la variable x correspond au signe. Considérons donc l’inégalité équivalente. De là on obtient le domaine de définition de la fonction : . Une asymptote verticale ne peut être qu'à la limite du domaine de définition de la fonction. Mais x= 0 ne peut pas être une asymptote verticale, puisque la fonction est définie à x = 0 .

Considérons la limite de droite à (il n'y a pas de limite de gauche) :

.

Point x= 2 est un point de discontinuité de seconde espèce, donc la droite x= 2 - asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Nous recherchons des asymptotes obliques :

Donc, oui = x+ 1 - asymptote oblique du graphique de cette fonction en . Nous recherchons une asymptote oblique à :

Donc, oui = −x− 1 - asymptote oblique en .

Exemple 10. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Une fonction a un domaine de définition . Puisque l’asymptote verticale du graphique de cette fonction ne peut être qu’à la limite du domaine de définition, on retrouve les limites unilatérales de la fonction en .