Calcul différentiel et intégral. Calcul différentiel des fonctions d'une et plusieurs variables

Le nouveau calcul en tant que système a été entièrement créé par Newton, qui, cependant, pendant longtemps n'a pas publié ses découvertes.

La date officielle de naissance du calcul différentiel peut être considérée comme mai, lorsque Leibniz a publié son premier article « Nouvelle méthode des hauts et des bas...". Cet article, sous une forme concise et inaccessible, expose les principes d'une nouvelle méthode appelée calcul différentiel.

Leibniz et ses étudiants

Ces définitions sont expliquées géométriquement, tandis que sur la Fig. les incréments infinitésimaux sont décrits comme finis. La considération repose sur deux exigences (axiomes). D'abord:

Il faut que deux quantités qui ne diffèrent l’une de l’autre que d’une quantité infinitésimale puissent être prises [en simplifiant des expressions ?] indifféremment l’une à la place de l’autre.

À partir de là, il s'avère X + dX = X , Plus loin

dXoui = (X + dX)(oui + doui) − Xoui = Xdoui + ouidX + dXdoui = (X + dX)doui + ouidX = Xdoui + ouidX

La continuation de chacune de ces lignes est appelée tangente à la courbe. Examen de la tangente passant par un point M = (X,oui) , L'Hôpital attache une grande importance à la taille

atteignant des valeurs extrêmes aux points d'inflexion de la courbe, le rapport douiÀ dX aucune signification particulière n’y est attachée.

Il est remarquable de trouver des points extrêmes. Si, avec une augmentation continue du diamètre X ordonnée oui augmente d'abord puis diminue, puis le différentiel doui premier positif par rapport à dX, puis négatif.

Mais toute valeur continuellement croissante ou décroissante ne peut passer du positif au négatif sans passer par l'infini ou le zéro... Il s'ensuit que le différentiel de la plus grande et de la plus petite valeur doit être égal à zéro ou à l'infini.

Cette formulation n’est probablement pas parfaite, si l’on se souvient de la première exigence : disons, oui = X 2 , alors en vertu de la première exigence

à zéro partie droite est égal à zéro, mais celui de gauche ne l'est pas. Apparemment, il aurait fallu dire que doui peut être transformé conformément à la première exigence de sorte qu'au point maximum doui= 0 . . Dans les exemples, tout s'explique de lui-même, et ce n'est que dans la théorie des points d'inflexion que L'Hôpital écrit que doui égal à zéro au point maximum, étant divisé par dX .

Ensuite, en utilisant uniquement des différentiels, des conditions extremum sont formulées et un grand nombre de tâches complexes, relatif principalement à la géométrie différentielle sur le plan. A la fin du livre, au chap. 10, énonce ce qu'on appelle aujourd'hui la règle de L'Hôpital, bien que sous une forme plutôt inhabituelle. Soit la grandeur de l'ordonnée oui La courbe est exprimée sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur disparaissent lorsque X = un. Alors le point de la courbe avec X = un a une ordonnée oui , égal au rapport différentiel du numérateur au différentiel du dénominateur pris à X = un .

Selon le plan de L'Hôpital, ce qu'il écrivait constituait la première partie de l'Analyse, tandis que la seconde était censée contenir le calcul intégral, c'est-à-dire une méthode permettant de trouver le lien entre des variables basée sur la connexion connue de leurs différentielles. Sa première présentation a été donnée par Johann Bernoulli dans son Cours mathématiquesà propos de la méthode intégrale. Voici une méthode pour prendre la majorité intégrales élémentaires et des méthodes pour résoudre de nombreux équations différentielles Premier ordre.

Euler

Les changements survenus au cours du demi-siècle suivant se reflètent dans le vaste traité d'Euler. La présentation de l’analyse ouvre l’« Introduction » en deux volumes, qui contient des recherches sur diverses représentations fonctions élémentaires. Le terme « fonction » n’apparaît pour la première fois que chez Leibniz, mais c’est Euler qui l’a posé le premier. L'interprétation originale du concept de fonction était qu'une fonction est une expression pour compter (allemand. Rechnungsausdrϋck) ou expression analytique .

Fonction quantité variable est une expression analytique composée en quelque sorte de cette quantité variable et de nombres ou quantités constantes.

Soulignant que « la principale différence entre les fonctions réside dans la manière dont elles sont composées de variables et de constantes », Euler énumère les actions « par lesquelles les quantités peuvent être combinées et mélangées les unes aux autres ; ces actions sont : l'addition et la soustraction, la multiplication et la division, l'exponentiation et l'extraction de racines ; Cela devrait également inclure la solution d'équations [algébriques]. En plus de ces opérations, dites algébriques, il en existe bien d’autres, transcendantales, telles que : exponentielles, logarithmiques et bien d’autres encore, délivrées par le calcul intégral. Cette interprétation permettait de gérer facilement des fonctions à valeurs multiples et ne nécessitait pas d'explication sur le domaine sur lequel la fonction était considérée : l'expression de comptage était définie pour des valeurs complexes de variables même lorsque cela n'était pas nécessaire pour le problème sous considération.

Les opérations dans l'expression n'étaient autorisées que dans nombre fini, et le transcendantal pénétré à l'aide de l'infini grand nombre. Dans les expressions, ce nombre est utilisé avec nombres naturels. Par exemple, une telle expression pour l'exposant est considérée comme acceptable

dans lequel seulement auteurs ultérieurs vu la transition ultime. Diverses transformations ont été effectuées avec des expressions analytiques, ce qui a permis à Euler de trouver des représentations de fonctions élémentaires sous forme de séries, de produits infinis, etc. Euler transforme les expressions pour compter comme en algèbre, sans prêter attention à la possibilité de calculer la valeur de une fonction en un point pour chacun à partir de formules écrites.

Contrairement à L'Hôpital, Euler examine en détail les fonctions transcendantales et en particulier leurs deux classes les plus étudiées – exponentielles et trigonométriques. Il découvre que toutes les fonctions élémentaires peuvent être exprimées en utilisant opérations arithmétiques et deux opérations - prendre le logarithme et l'exposant.

La preuve elle-même démontre parfaitement la technique d’utilisation de l’infiniment grand. Après avoir défini le sinus et le cosinus en utilisant cercle trigonométrique, Euler déduit des formules d'addition ce qui suit :

Croire et z = nX , il obtient

rejeter les infinitésimaux ordre supérieur. En utilisant cette expression et une expression similaire, Euler a obtenu sa célèbre formule

En indiquant diverses expressions pour les fonctions que l'on appelle désormais élémentaires, Euler considère des courbes sur le plan, tracées mouvement libre mains. Selon lui, il n'est pas possible de trouver une expression analytique unique pour chacune de ces courbes (voir aussi le String Dispute). Au XIXe siècle, sous l’impulsion de Casorati, cette affirmation était considérée comme erronée : selon le théorème de Weierstrass, tout continu sens moderne la courbe peut être décrite approximativement par des polynômes. En fait, Euler n’en était guère convaincu, car le passage à la limite reste encore à réécrire à l’aide du symbole.

Euler commence sa présentation du calcul différentiel par la théorie des différences finies, suivie dans le troisième chapitre d’une explication philosophique selon laquelle « une quantité infinitésimale est exactement nulle », ce qui ne convenait surtout pas aux contemporains d’Euler. Ensuite, les différentiels sont formés à partir de différences finies avec un incrément infinitésimal, et à partir de la formule d’interpolation de Newton, la formule de Taylor est formée. Cette méthode remonte essentiellement aux travaux de Taylor (1715). Dans ce cas, Euler a une relation stable, qui est cependant considérée comme une relation de deux infinitésimaux. Les derniers chapitres sont consacrés au calcul approximatif à l'aide de séries.

Dans le calcul intégral en trois volumes, Euler interprète et introduit le concept d'intégrale comme suit :

La fonction dont le différentiel = XdX, s'appelle son intégrale et est désignée par le signe S, placé devant.

D’une manière générale, cette partie du traité d’Euler est consacrée à des questions plus générales. point moderne vue du problème de l’intégration des équations différentielles. Dans le même temps, Euler trouve un certain nombre d'intégrales et d'équations différentielles qui conduisent à de nouvelles fonctions, par exemple des fonctions Γ, des fonctions elliptiques, etc. Une preuve rigoureuse de leur nature non élémentaire a été donnée dans les années 1830 par Jacobi pour les fonctions elliptiques. fonctions et par Liouville (voir fonctions élémentaires).

Lagrange

Le prochain ouvrage majeur qui a joué un rôle important dans le développement du concept d'analyse a été Théorie fonctions analytiques Le long récit de Lagrange et Lacroix sur l'œuvre de Lagrange d'une manière quelque peu éclectique.

Voulant se débarrasser complètement de l'infinitésimal, Lagrange a inversé le lien entre les dérivées et la série de Taylor. Par fonction analytique, Lagrange entendait une fonction arbitraire étudiée par des méthodes analytiques. Il a désigné la fonction elle-même comme F(X), donnant méthode graphique enregistrements de dépendance - auparavant, Euler se contentait uniquement de variables. Pour appliquer les méthodes d'analyse, selon Lagrange, il faut que la fonction soit étendue en une série

dont les coefficients seront de nouvelles fonctions X. Reste à nommer p dérivé ( coefficient différentiel) et notez-le comme F"(X) . Ainsi, la notion de dérivée est introduite à la deuxième page du traité et sans l'aide des infinitésimaux. Il reste à noter que

donc le coefficient q est le double de la dérivée de la dérivée F(X) , c'est

Cette approche de l'interprétation du concept de dérivée est utilisée dans l'algèbre moderne et a servi de base à la création de la théorie des fonctions analytiques de Weierstrass.

Lagrange a opéré avec des séries telles que les séries formelles et a obtenu la série merveilleux théorèmes. En particulier, pour la première fois et de manière assez rigoureuse, il a prouvé la résolvabilité du problème initial pour les équations différentielles ordinaires en séries formelles de puissances.

La question de l'évaluation de la précision des approximations fournies par les sommes partielles de la série de Taylor a été posée pour la première fois par Lagrange : en fin de compte Théories des fonctions analytiques il a dérivé ce qu'on appelle maintenant la formule de Taylor avec un terme restant sous forme de Lagrange. Cependant, en revanche auteurs modernes, Lagrange n'a pas vu la nécessité d'utiliser ce résultat pour justifier la convergence des séries de Taylor.

La question est de savoir si les fonctions utilisées en analyse peuvent réellement être décomposées en série de puissance, est ensuite devenu un sujet de discussion. Bien sûr, Lagrange savait qu’à certains points les fonctions élémentaires ne peuvent pas être développées en séries entières, mais à ces points elles ne sont en aucun cas différenciables. Cauchy dans son Analyse algébrique a donné comme contre-exemple la fonction

prolongé de zéro à zéro. Cette fonction est lisse partout sur l'axe réel et à zéro elle a une série de Maclaurin nulle, qui ne converge donc pas vers la valeur F(X) . Contre cet exemple, Poisson objecte que Lagrange définit la fonction comme une expression analytique unique, alors que dans l’exemple de Cauchy, la fonction est définie différemment en zéro et en . Seulement dans fin XIX siècle, Pringsheim a prouvé qu'il existe une fonction infiniment différentiable, donnée par une expression unique, pour laquelle la série de Maclaurin diverge. Un exemple d'une telle fonction est l'expression

La poursuite du développement

Bibliographie

Littérature pédagogique

Manuels standards

Depuis de nombreuses années, les manuels suivants sont populaires en Russie :

• Kudryavtsev, L.D. , Cours d'analyse mathématique (en trois volumes).

T. 1. Calcul différentiel et intégral des fonctions d'une variable. T. 2. Rangées. Calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables. T. 3. Analyse harmonique. Éléments d'analyse fonctionnelle. Attention particulière Le manuel se concentre sur la présentation de données qualitatives et méthodes analytiques, cela reflétait également certains applications géométriques analyse. Destiné aux étudiants universitaires ayant des spécialités en physique, mathématiques et ingénierie physique, ainsi qu'aux étudiants d'autres spécialités pour une formation mathématique approfondie.

• Courant, R. (en deux tomes). La principale découverte méthodologique du cours : d'abord, les idées principales sont simplement énoncées, puis elles sont données preuve stricte. Écrit par Courant alors qu'il était professeur à l'université de Göttingen dans les années 1920 sous l'influence des idées de Klein, puis transféré sur le sol américain dans les années 1930. La traduction russe de 1934 et ses réimpressions donnent le texte basé sur l'édition allemande, la traduction des années 1960 (dite 4e édition) est une compilation des versions allemande et américaine du manuel et est donc très verbeuse.
• Fikhtengolts, Grigori Mikhaïlovitch. Cours de calcul différentiel et intégral(V. trois volumes) // Mat. L'analyse sur EqWorld est un très bon tutoriel, mais un peu démodé.

et un livre de problèmes

• Demidovitch, B.P., Recueil de problèmes et d'exercices sur l'analyse mathématique// Mat. analyse sur EqWorld

Il existe plusieurs publications se réclamant d'AntiDemidovich :

• Lyashko I.I. et al. Guide de référence pour mathématiques supérieures . tome 1-5

La plupart des universités disposent de leurs propres guides d’analyse :

• Université d'État de Moscou, mécanique et mathématiques :

• Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Cours sur les mathématiques. analyse.
• Zorich V.A. Analyse mathematique. Partie I. M. : Nauka, 1981. 544 p.
• Zorich V.A. Analyse mathematique. Deuxieme PARTIE. M. : Nauka, 1984. 640 p.

• Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl. X. Analyse mathématique (en deux parties)

• Université d'État de Moscou, Faculté de physique :

• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Les bases analyse mathematique(en deux parties) // http://lib.homelinux.org.
• Butuzov V.F. et al. Tapis. analyse des questions et des tâches // http://lib.homelinux.org.

• MSTU.Bauman :

• Mathématiques en Université technique Collection de manuels en 21 volumes.

• NSU, ​​​​Mécanique et Mathématiques :

• Reshetnyak Yu. Cours d'analyse mathématique. Partie I. Livre 1. Introduction à l'analyse mathématique. Calculs différentiels fonctions d’une variable. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 1999. 454 avec ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. Cours d'analyse mathématique. Partie I. Livre 2. Calcul intégral des fonctions d'une variable. Calcul différentiel de fonctions de plusieurs variables. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 1999. 512 avec ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. Cours d'analyse mathématique. Deuxieme PARTIE. Livre 1. Fondamentaux d'une analyse fluide dans les espaces multidimensionnels. Théorie des séries. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 2000. 440 avec ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. Cours d'analyse mathématique. Deuxieme PARTIE. Livre 2. Calcul intégral de fonctions de plusieurs variables. Calcul intégral sur les variétés. Externe formes différentielles. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 2001. 444 avec ISBN 5-86134-089-7.
• Shvedov I.A. Cours compact d'analyse mathématique : Partie 1. Fonctions d'une variable, Partie 2. Calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables.

• Phystech, Moscou

• Kudryavtsev L. D. Cours d'analyse mathématique (en trois volumes)

Manuels avancés

Manuels :

• Rudin U. Fondamentaux de l'analyse mathématique. M., 1976 - un petit livre écrit de manière très claire et concise.

Problèmes de difficulté accrue :

• G. Polia, G. Szege, Problèmes et théorèmes de l'analyse. Partie 1, partie 2, 1978. ( La plupart de le matériel fait référence à TFKP)
• Pascal, E.(Naples). Esercizii, 1895; 2 éd., 1909 // Archives Internet

Annuaires

Œuvres classiques

• L'Hôpital. Analyse des infinitésimaux // Mat. analyse sur EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Euler. Introduction à l'analyse, Calcul différentiel, Calcul intégral //Mat. analyse sur EqWorld (le deuxième volume d'Introduction à l'analyse a été enregistré avec une erreur)
• Cauchy. Résumé cours de calcul différentiel et intégral //Mat. analyse sur EqWorld
• Tempête. Cours d'analyse. T.1,2 - Cours classique Parisien école polytechnique années 1830.
• Gursa E. Cours de mathématiques. analyse. T. 1.1, 1.2 // Mat. analyse sur EqWorld

Livres historiques

• Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte des Mathématiques. 4 volumes, Göttingen, 1796-1800
• Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig : B.G. Teubner, - . Bd. 1, ch. 2, ch. 3, ch. 4
• Histoire des mathématiques éditée par A. P. Yushkevich (en trois volumes) :

• Markushevich A.I. Essais sur l'histoire de la théorie des fonctions analytiques. 1951
• Vileitner G. Histoire des mathématiques de Descartes au milieu du XIXe siècle. 1960
• D'abord Manuel de russe selon tapis. analyse : M.E. Vashchenko-Zakharchenko, Analyse algébrique ou algèbre supérieure. 1887

Remarques

1. Mer., par ex. Cornell Un cours
2. Newton I. Travaux mathématiques . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., vol V, p. 220-226. Russie. Trad.: Uspekhi Mat. Sciences, tome 3, v. 1 (23), p. 166-173.
4. L'Hôpital. Analyse infinitésimale. M.-L. : GTTI, 1935. (Ci-après : L'Hôpital) // Mat. analyse sur EqWorld
5. L'Hôpital, ch. 1, déf. 2.
6. L'Hôpital, ch. 4, déf. 1.
7. L'Hôpital, ch. 1, exigence 1.
8. L'Hôpital, ch. 1, exigence 2.
9. L'Hôpital, ch. 2, déf.
10. L'Hôpital, § 46.
11. L'Hôpital s'inquiète d'autre chose : doui pour lui la longueur du segment et il faut expliquer ce que signifie être négatif. La remarque faite aux § 8-10 peut même être comprise comme signifiant qu'à mesure que oui avec croissance X devrait être écrit dXoui = ouidX − Xdoui , mais cela n'est pas utilisé davantage.
12. L'Hôpital, § 46.
13. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.

L'étudiant doit :

savoir:

· détermination de la limite d'une fonction en un point ;

propriétés de la limite d'une fonction en un point ;

· formules merveilleuses limites;

· détermination de la continuité d'une fonction en un point,

propriétés des fonctions continues ;

· définition de la dérivée, de sa forme géométrique et signification physique; dérivées tabulaires, règles de différenciation ;

règle de calcul de la dérivée fonction complexe; définition du différentiel d'une fonction, de ses propriétés ; définition des dérivés et différentiels d'ordres supérieurs ; détermination de l'extremum d'une fonction, d'une fonction convexe, des points d'inflexion, des asymptotes ;

· définition d'une intégrale indéfinie, de ses propriétés, intégrales tabulaires ;

· formules d'intégration utilisant un changement de variable et par parties pour l'intégrale indéfinie ;

· définition d'une intégrale définie, de ses propriétés, de la formule de base du calcul intégral - la formule de Newton-Leibniz ;

· formules d'intégration utilisant un changement de variable et par parties pour une intégrale définie ;

· signification géométrique intégrale définie, application d'une intégrale définie.

être capable de:

· calculer les limites des séquences et des fonctions ; révéler des incertitudes ;

· calculer les dérivées de fonctions complexes, les dérivées et les différentielles d'ordres supérieurs ;

· trouver les extrema et les points d'inflexion des fonctions ;

· effectuer des recherches de fonctions à l'aide de dérivées et construire leurs graphiques.

· calculer des intégrales indéfinies et définies selon la méthode du changement variable et par parties ;

· intégrer des fonctions rationnelles, irrationnelles et certaines fonctions trigonométriques, appliquer substitution universelle; appliquer une intégrale définie pour trouver les aires des figures planes.

Limite de fonction. Propriétés de la limite d'une fonction. Des limites unilatérales. La limite de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions. Fonctions continues, leurs propriétés. Continuité des fonctions élémentaires et complexes. Des limites remarquables.

Détermination de la dérivée d'une fonction. Dérivées de fonctions élémentaires de base. Différentiabilité d'une fonction. Fonction différentielle. Dérivée d'une fonction complexe. Règles de différenciation : dérivée de somme, produit et quotient. Dérivés et différentiels d'ordres supérieurs. Découvrir les incertitudes. Fonctions croissantes et décroissantes, conditions d'augmentation et de diminution. Extréma de fonctions, condition nécessaire existence d'un extremum. Trouver des extrema en utilisant la dérivée première. Fonctions convexes. Points d'inflections. Asymptotes. Étude complète les fonctions.

Intégrale indéfinie, ses propriétés. Tableau des intégrales de base. Méthode de remplacement variable. Intégration par parties. L'intégration fonctions rationnelles. Intégrer certains fonctions irrationnelles. Substitution universelle.

Intégrale définie, ses propriétés. Formule de base calcul intégral. Intégration par changement de variable et par parties dans une intégrale définie. Applications d'une intégrale définie.

Le calcul différentiel est une branche de l'analyse mathématique qui étudie les dérivées, les différentielles et leur utilisation dans l'étude des fonctions.

Histoire de l'apparition

Le calcul différentiel est devenu une discipline indépendante dans la seconde moitié du XVIIe siècle, grâce aux travaux de Newton et de Leibniz, qui ont formulé les grands principes du calcul différentiel et ont remarqué les liens entre intégration et différenciation. À partir de ce moment, la discipline se développe parallèlement au calcul des intégrales, constituant ainsi la base de l’analyse mathématique. L'apparition de ces calculs a ouvert une nouvelle période moderne V monde mathématique et a provoqué l’émergence de nouvelles disciplines scientifiques. Cela a également élargi la possibilité d’utiliser les sciences mathématiques dans la science et la technologie.

Concepts de base

Le calcul différentiel est basé sur Concepts fondamentaux mathématiques. Ce sont : la continuité, la fonction et la limite. Au bout d'un moment, ils ont accepté look moderne, grâce au calcul intégral et différentiel.

Processus de création

Formation du calcul différentiel sous forme d'appliqué, puis méthode scientifique s'est produit avant l'émergence de la théorie philosophique créée par Nikolai Kuzansky. Ses œuvres sont considérées développement évolutif des jugements de la science ancienne. Malgré le fait que le philosophe lui-même n'était pas mathématicien, sa contribution au développement de la science mathématique est indéniable. Kuzansky fut l'un des premiers à s'éloigner de la considération de l'arithmétique comme du domaine scientifique le plus précis, jetant ainsi le doute sur les mathématiques de l'époque.

Des mathématiciens anciens critère universelétait un, tandis que le philosophe proposait l'infini comme nouvelle mesure au lieu d'un nombre exact. À cet égard, la représentation de l'exactitude dans science mathématique. Savoir scientifique, selon lui, est divisé en rationnel et intellectuel. La seconde est plus précise, selon le scientifique, puisque la première ne donne qu’un résultat approximatif.

Idée

L'idée et le concept de base du calcul différentiel sont liés au fonctionnement dans de petits voisinages de certains points. Pour ce faire, il faut créer un appareil mathématique permettant d'étudier une fonction dont le comportement dans un petit quartier points établis proche du comportement d'un polynôme ou fonction linéaire. Ceci est basé sur la définition de la dérivée et du différentiel.

L'apparition a été causée grand nombre tâches de sciences naturelles et les mathématiciens, qui ont conduit à trouver les valeurs des limites d'un type.

L'une des tâches principales données en exemple, dès le lycée, est de déterminer la vitesse d'un point se déplaçant le long d'une ligne droite et de construire une ligne tangente à cette courbe. La différentielle est liée à cela car il est possible d'approcher la fonction dans un petit voisinage du point de fonction linéaire en question.

Par rapport au concept de dérivée d'une fonction d'une variable réelle, la définition des différentielles se déplace simplement vers la fonction caractère général, en particulier l'image d'un espace euclidien sur un autre.

Dérivé

Laissez le point se déplacer dans la direction de l'axe Oy ; prenons x comme temps, qui est compté à partir d'un certain début du moment. Un tel mouvement peut être décrit à l'aide de la fonction y=f(x), qui est attribuée à chaque instant x des coordonnées du point déplacé. Cette fonction en mécanique, on appelle cela la loi du mouvement. La principale caractéristique du mouvement, en particulier du mouvement irrégulier, est qu'un point se déplace le long de l'axe Oy selon la loi de la mécanique, puis à un instant aléatoire x, il acquiert la coordonnée f(x). Au moment x + Δx, où Δx désigne l'incrément de temps, sa coordonnée sera f(x + Δx). C'est ainsi que se forme la formule Δy = f(x + Δx) - f(x), appelée l'incrément de la fonction. Il représente le chemin parcouru par un instant donné de x à x + Δx.

En relation avec l'apparition de cette vitesse à un moment donné, une dérivée est introduite. Dans une fonction arbitraire, la dérivée en un point fixe est appelée limite (à condition qu'elle existe). Il peut être signalé par certains symboles :

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation.

Calcul différentiel d'une fonction de plusieurs variables

Cette méthode de calcul est utilisée lors de l'étude d'une fonction à plusieurs variables. Étant donné deux variables x et y, la dérivée partielle par rapport à x au point A est appelée la dérivée de cette fonction par rapport à x avec y fixe.

Peut être indiqué par les symboles suivants :

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ou ∂f(x,y)'/∂x.

Compétences requises

Pour réussir à apprendre et être capable de résoudre les diffusions, des compétences en intégration et en différenciation sont nécessaires. Pour faciliter la compréhension des équations différentielles, vous devez avoir une bonne compréhension du sujet des dérivées et cela ne ferait pas de mal non plus d'apprendre à rechercher la dérivée de implicitement. fonction donnée. Cela est dû au fait que dans le processus d'apprentissage, vous devrez souvent utiliser des intégrales et des différenciations.

Types d'équations différentielles

Dans presque tout essais Il existe 3 types d'équations associées : homogènes, à variables séparables, linéaires inhomogènes.

Il existe également des types d'équations plus rares : avec différentiels complets, équations de Bernoulli et autres.

Bases des solutions

Pour commencer, rappelons les équations algébriques de cours scolaire. Ils contiennent des variables et des nombres. Pour résoudre une équation ordinaire, vous devez trouver un ensemble de nombres qui satisfont état donné. En règle générale, de telles équations n'avaient qu'une seule racine et, pour vérifier l'exactitude, il suffisait de substituer cette valeur à l'inconnue.

L'équation différentielle est similaire à celle-ci. DANS cas général une telle équation du premier ordre comprend :

• Variable indépendante.
• Dérivée de la première fonction.
• Fonction ou variable dépendante.

DANS dans certains cas l'une des inconnues, x ou y, peut manquer, mais ce n'est pas si important, puisque la présence de la dérivée première, sans dérivées d'ordre supérieur, est nécessaire pour que la solution et le calcul différentiel soient corrects.

Résoudre une équation différentielle signifie trouver l’ensemble de toutes les fonctions qui correspondent à une expression donnée. Un ensemble similaire de fonctions est souvent appelé décision générale DU.

Calcul intégral

Le calcul intégral est l'une des branches de l'analyse mathématique qui étudie le concept d'intégrale, les propriétés et les méthodes de son calcul.

Souvent, le calcul de l'intégrale se produit lors du calcul de l'aire figure curviligne. Cette aire désigne la limite vers laquelle tend l'aire d'un polygone inscrit dans une figure donnée avec une augmentation progressive de ses côtés, tandis que ces côtés peuvent être rendus inférieurs à toute petite valeur arbitraire précédemment spécifiée.

L'idée principale du calcul de l'aire d'un arbitraire figure géométrique consiste à calculer l'aire d'un rectangle, c'est-à-dire à prouver que son aire est égale au produit de sa longueur et de sa largeur. Quand nous parlons de concernant la géométrie, alors toutes les constructions sont réalisées à l'aide d'une règle et d'un compas, puis le rapport longueur/largeur est sens rationnel. Lors du calcul de la superficie triangle rectangle nous pouvons déterminer que si nous mettons le même triangle côte à côte, un rectangle se formera. Dans un parallélogramme, l'aire est calculée à l'aide d'une méthode similaire, mais légèrement plus compliquée, utilisant un rectangle et un triangle. Dans les polygones, la superficie est calculée à travers les triangles qui y sont inclus.

Lors de la détermination de l'aire d'une courbe arbitraire cette méthode ne fera pas l'affaire. Si vous le décomposez en carrés unitaires, alors il y aura des espaces vides. Dans ce cas, ils essaient d'utiliser deux couvertures, avec des rectangles en haut et en bas, par conséquent ils incluent le graphique de la fonction et ne le font pas. Ce qui est important ici, c'est la méthode de division en ces rectangles. De plus, si nous prenons des divisions de plus en plus petites, alors les zones situées au-dessus et en dessous devraient converger vers une certaine valeur.

Vous devriez revenir à la méthode de division en rectangles. Il existe deux méthodes populaires.

Riemann a formalisé la définition d'une intégrale créée par Leibniz et Newton comme l'aire d'un sous-graphe. Dans ce cas, nous avons considéré des figures constituées d'un certain nombre de rectangles verticaux et obtenues en divisant un segment. Lorsque, lors de la réduction du cloisonnement, il existe une limite à laquelle la surface est réduite chiffre similaire, cette limite est appelée intégrale de Riemann d'une fonction sur un intervalle donné.

La deuxième méthode est la construction de l'intégrale de Lebesgue, qui consiste à diviser le domaine défini en parties de l'intégrande puis à compiler la somme intégrale à partir des valeurs obtenues dans ces parties, en divisant sa plage de valeurs en intervalles, et puis en le résumant avec les mesures correspondantes des images inverses de ces intégrales.

Des avantages modernes

L'un des principaux manuels pour l'étude du calcul différentiel et intégral a été écrit par Fichtenholtz - "Cours de calcul différentiel et intégral". Son manuel est un guide fondamental pour l'étude de l'analyse mathématique, qui a fait l'objet de nombreuses éditions et traductions dans d'autres langues. Créé pour les étudiants universitaires et utilisé de nombreuses manières depuis longtemps les établissements d'enseignement comme l’une des principales aides à l’étude. Fournit des données théoriques et compétences pratiques. Publié pour la première fois en 1948.

Algorithme de recherche fonctionnelle

Pour étudier une fonction à l'aide des méthodes de calcul différentiel, vous devez suivre un algorithme déjà défini :

1. Trouvez le domaine de définition de la fonction.
2. Trouvez les racines de l’équation donnée.
3. Calculez les extrema. Pour ce faire, vous devez calculer la dérivée et les points où elle est égale à zéro.
4. Nous substituons la valeur résultante dans l'équation.

Types d'équations différentielles

Les DE du premier ordre (sinon, calcul différentiel à une variable) et leurs types :

• Équation séparable : f(y)dy=g(x)dx.
• Les équations les plus simples, ou calcul différentiel d'une fonction d'une variable, ayant la formule : y"=f(x).
• DE inhomogène linéaire du premier ordre : y"+P(x)y=Q(x).
• Équation différentielle de Bernoulli : y"+P(x)y=Q(x)y a.
• Équation avec différentiels totaux : P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Équations différentielles du second ordre et leurs types :

• Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à valeurs constantes du coefficient : y n +py"+qy=0 p, q appartient à R.
• Équation différentielle du second ordre inhomogène linéaire avec valeur constante coefficients : y n +py"+qy=f(x).
• Équation différentielle homogène linéaire : y n +p(x)y"+q(x)y=0, et équation inhomogène deuxième ordre : y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Équations différentielles d'ordres supérieurs et leurs types :

• Équation différentielle permettant une réduction d'ordre : F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Équation linéaire ordre supérieur homogène: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, et inhomogène : y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Étapes de résolution d'un problème avec une équation différentielle

Avec l'aide de la télécommande, non seulement mathématique ou questions physiques, mais aussi divers problèmes de biologie, d'économie, de sociologie et autres. Malgré la grande variété de sujets, il convient de respecter une seule séquence logique lors de la résolution de tels problèmes :

1. Rédaction du DU. Un des plus étapes difficiles, ce qui nécessite une précision maximale, car toute erreur entraînera des résultats complètement incorrects. Tous les facteurs influençant le processus doivent être pris en compte et conditions initiales. Vous devez également vous baser sur des faits et des conclusions logiques.
2. Solution de l'équation compilée. Ce processus plus facile que le premier point, puisqu’il ne nécessite que l’exécution stricte de calculs mathématiques.
3. Analyse et évaluation des résultats obtenus. La solution résultante doit être évaluée pour établir la valeur pratique et théorique du résultat.

Un exemple d'utilisation des équations différentielles en médecine

L'utilisation de l'ED dans le domaine de la médecine se retrouve dans la construction d'études épidémiologiques modèle mathématique. En même temps, il ne faut pas oublier que ces équations se retrouvent également en biologie et en chimie, qui sont proches de la médecine, car l'étude de différents populations biologiques Et procédés chimiques dans le corps humain.

Dans l’exemple d’épidémie ci-dessus, nous pouvons considérer la propagation de l’infection dans une société isolée. Les habitants sont répartis en trois types :

• Infectés, nombre x(t), constitué d'individus porteurs de l'infection, chacun étant contagieux (la période d'incubation est courte).
• Le deuxième type comprend les individus sensibles y(t), capables d'être infectés par contact avec des individus infectés.
• Le troisième type comprend les individus non sensibles z(t), qui sont immunisés ou sont décédés des suites d'une maladie.

Le nombre d'individus est constant, l'enregistrement des naissances, morts naturelles et la migration n’est pas prise en compte. Il y aura deux hypothèses sous-jacentes.

Le pourcentage de morbidité à un moment donné est égal à x(t)y(t) (l'hypothèse est basée sur la théorie selon laquelle le nombre de cas est proportionnel au nombre d'intersections entre représentants malades et sensibles, ce qui dans un premier temps l'approximation sera proportionnelle à x(t)y(t)), dans Par conséquent, le nombre de personnes malades augmente et le nombre de personnes sensibles diminue à un rythme calculé par la formule ax(t)y(t) ( une > 0).

Le nombre d’individus immunisés qui ont acquis l’immunité ou sont décédés augmente à un rythme proportionnel au nombre de cas, bx(t) (b > 0).

En conséquence, vous pouvez créer un système d'équations prenant en compte les trois indicateurs et tirer des conclusions sur cette base.

Exemple d'utilisation en économie

Le calcul différentiel est souvent utilisé dans analyse économique. La tâche principale de l'analyse économique est l'étude des quantités économiques écrites sous la forme d'une fonction. Ceci est utilisé pour résoudre des problèmes tels que l'évolution des revenus immédiatement après une augmentation des impôts, l'introduction de droits de douane, l'évolution des revenus d'une entreprise lorsque le coût des produits change, dans quelle proportion il est possible de remplacer les retraités par de nouveaux équipements. Pour résoudre de telles questions, il est nécessaire de construire une fonction de lien à partir des variables d’entrée, qui sont ensuite étudiées par calcul différentiel.

DANS sphère économique Il est souvent nécessaire de trouver les indicateurs les plus optimaux : productivité maximale du travail, revenus les plus élevés, coûts les plus bas, etc. Chacun de ces indicateurs est fonction d’un ou plusieurs arguments. Par exemple, la production peut être considérée comme une fonction des intrants travail et capital. À cet égard, trouver une valeur appropriée peut être réduit à trouver le maximum ou le minimum d'une fonction d'une ou plusieurs variables.

Les problèmes de ce type créent une classe de problèmes extrêmes dans domaine économique, dont la solution nécessite un calcul différentiel. Lorsqu'un indicateur économique doit être minimisé ou maximisé en fonction d'un autre indicateur, alors au point maximum le rapport de l'incrément de la fonction aux arguments tendra vers zéro si l'incrément de l'argument tend vers zéro. Sinon, quand attitude similaire s'efforce d'obtenir quelque chose de positif ou valeur négative, le point spécifié ne convient pas, car en augmentant ou en diminuant l'argument, vous pouvez modifier quantité dépendante dans la direction souhaitée. Dans la terminologie du calcul différentiel, cela signifie que la condition requise pour le maximum d'une fonction est la valeur nulle de sa dérivée.

En économie, il est souvent difficile de trouver l’extremum d’une fonction à plusieurs variables, car indicateurs économiques sont constitués de nombreux facteurs. Questions similaires sont bien étudiés dans la théorie des fonctions de plusieurs variables en utilisant des méthodes de calcul différentiel. Tâches similaires inclure non seulement les fonctions à maximiser et à minimiser, mais également les restrictions. Des questions similaires s'appliquent à programmation mathématique, et ils sont résolus à l'aide de méthodes spécialement développées, également basées sur cette branche de la science.

Parmi les méthodes de calcul différentiel utilisées en économie, une section importante est l’analyse limite. Dans le domaine économique, ce terme désigne un ensemble de techniques d'étude d'indicateurs et de résultats variables lors de l'évolution du volume de création et de consommation, sur la base de l'analyse de leurs indicateurs limites. Indicateur de limite les dérivées ou dérivées partielles pour plusieurs variables sont considérées.

Le calcul différentiel de plusieurs variables est un sujet important dans le domaine de l'analyse mathématique. Pour étude détaillée Vous pouvez utiliser divers supports pédagogiques pour les établissements d'enseignement supérieur. L'un des plus célèbres a été créé par Fichtenholtz - "Cours de calcul différentiel et intégral". Comme son nom l'indique, les compétences nécessaires pour travailler avec les intégrales sont d'une importance considérable pour résoudre des équations différentielles. Lorsque le calcul différentiel d'une fonction d'une variable a lieu, la solution devient plus simple. Même si, il convient de le noter, il est soumis aux mêmes règles de base. Pour étudier en pratique une fonction en calcul différentiel, il suffit de suivre un algorithme déjà existant, donné au lycée et qui ne se complique que légèrement lorsque de nouvelles variables sont introduites.

OPTIONS DE TÂCHES DE CONTRÔLE

pour les étudiants à temps plein

Faculté de Mathématiques

Partie 5

SAINT-PÉTERSBOURG

Publié par décision du Département d'analyse mathématique et RIS de l'Université pédagogique d'État de Russie du nom. I.A. Herzen

Le manuel méthodologique est destiné aux étudiants à temps plein de 1 à 3 ans de la Faculté de mathématiques de l'Université pédagogique d'État de Russie. I.A. Herzen.

Conformément au programme d'analyse mathématique, le manuel comprend 28 options différentes pour des tests individuels à domicile sur les thèmes « Calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables », « Intégrales multiples et leurs applications ». Avant les options de test, quelques informations théoriques sont données et des exemples sont analysés, dont la solution est accompagnée d'instructions méthodologiques les concernant.

Le matériel contenu dans le manuel peut être utilisé pour des cours pratiques, des tests et des tests dans les départements de sciences naturelles des établissements d'enseignement supérieur.

Maître de conférences O.S. Korsakova,

candidat en sciences physiques et mathématiques, assistant K.G. Mejevitch

Réviseur : Chef de département mathématiques. analyse de l'Université pédagogique d'État russe du nom. I.A. Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Cours d'analyse mathématique. M. : Éducation, 1972, tome 1,2.

Vilenkin N.Ya. et autres. Livre de problèmes pour le cours d'analyse mathématique. - M. : Éducation, 1971. Parties 1,2.

Kouznetsov A.A. Collection de tâches en mathématiques supérieures. M. : lycée, 1983.

Kudryavtsev L.D. Cours d'analyse mathématique. M. : Ecole Supérieure, 1988. T. 1,2.

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Collection de problèmes sur l'analyse mathématique. Fonctions de plusieurs variables. Saint-Pétersbourg, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Espaces métriques. Calcul différentiel de fonctions de plusieurs variables. Didacticiel/ LGPI du nom. I.A. Herzen.-L., 1985.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Calcul intégral de fonctions de plusieurs variables et équations différentielles. Manuel / Institut pédagogique d'État de Léningrad nommé d'après. I.A. Herzen.-L., 1986.

Fikhtengolts G.M. Fondamentaux de l'analyse mathématique. - M. : Nauka, 1968. T.1, 2.

Fonctions de plusieurs variables

DOMAINE DE DÉFINITION ET GRAPHIQUE D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Que chaque point
numéro correspondant
. Puis ils disent ça sur le plateau D déterminé fonction numérique de plusieurs variables
.

Un tas de D appelé domaine de définition fonctions, point
-argument les fonctions.

Nous considérerons plus en détail la fonction de deux variables
. Notez que tout ce qui est dit ci-dessous peut être étendu à la fonction n variables, où n>2 .

Ensemble de tous les points
, pour lequel la fonction
, défini analytiquement, a du sens, est appelé naturel domaine de définition cette fonction.

Par exemple, la portée de la fonction
est un cercle ouvert de rayon 2 centré à l'origine, qui est donné par l'inégalité
.

Calendrier les fonctions
, Où
, s'appelle un ensemble. Il définit une surface dans l'espace
.

Par exemple, le graphique de la fonction
,
, est un paraboloïde.

Exemple 1. Trouvons le domaine de définition de la fonction
.

Fonction défini en ces points du plan
, Où
.

Cette inégalité équivaut à la combinaison de deux systèmes :

Et
.

Le premier système d'inégalités est satisfait par les coordonnées de tous les points situés sur la parabole
ou au-dessus, et se trouvant dans un demi-plan
. Cet ensemble est ombré sur la figure 1. Le deuxième système est satisfait par les coordonnées des points situés dans l'ensemble ombré sur la figure. 2. Par conséquent, le domaine de définition de cette fonction est l'union des ensembles trouvés, c'est-à-dire ensemble, qui est mis en évidence par des hachures sur la Fig. 3.

Riz. 1 fig. 2 Fig. 3

Ligne de niveau les fonctions
, appelé l'ensemble des points
, satisfaisant l'équation
.

Les niveaux sont déterminés de la même manière (ou surface plane) les fonctions n variables si n>2.

Exemple 2. Trouvons les lignes de niveau de fonction
.

A noter que la fonction est définie sur tout le plan
.

Pour construire des lignes de niveau, il faut tout
trouver l'ensemble des points sur le plan, les coordonnées X, oui qui satisfont à l'équation
. Par conséquent, si
, Que
, et si
, Que
.

Il est évident que Avec ne peut pas être négatif (dans ce cas, ils disent que Avec-niveau de fonction à c<0 est l'ensemble vide).

Trouvons la ligne de niveau à c=0:

.

De même, des lignes de niveau sont trouvées pour différents с>0.

En figue. 4 montre les lignes de niveau pour c=0, c=1 Et c=2.

LIMITE DE FONCTION

Ensemble (cercle ouvert de rayon
centré en un point
) est appelé -alentours points
. À travers
nous désignerons le voisinage perforé d'un point
.

Point
appelé point limite ensembles
, si l'intersection est quelconque -quartier d'un point
et beaucoup D contient au moins un point autre que
, c'est à dire. Pour

.

Notez que le point limite peut ne pas appartenir à l'ensemble D.

Laissez la fonction
défini sur le plateau D et période
- point limite D.

Nombre UN appelé limite de la fonction
à ce point
, si pour n'importe quel quartier
points UN (
) existe-quartier
points
de telle sorte que pour tout point

valeur de la fonction
tombe à proximité
.

Ainsi,

:



)

:

).

Exemple 3. Prouvons que
.

A noter que cette fonction est définie sur tout le plan sauf le point (0,0 ) .

Parce que le
, alors pour tout
existe
(à savoir
) tel que pour tous les points
, satisfaisant la condition
, l'inégalité est vraie
.

Fonction
appelé continu en un point
, Si
.

La fonction s'appelle en continu sur le plateauD, s'il est continu en tout point de l'ensemble D.

Exemple 4. 1) Fonction
est continue au point (0,0) car
(voir exemple 3).

2) Fonction
au point (0,0) il y a une discontinuité, car

.

DÉRIVÉS PARTIELS. FONCTION DIFFÉRENTIELLE

Laissez la fonction
défini dans un certain voisinage du point
. S'il y a des limites finies
Et
, alors ils sont appelés dérivées partielles les fonctions
à ce point
par variables X Et oui sont désignés en conséquence
Et
(ou:
Et
).

Pour calculer la dérivée partielle (ou ) apprécier formules connues et règles pour différencier une fonction d'une variable, en considérant une autre variable oui (ou X) valeur constante.

Exemple 5. Trouvons les dérivées partielles de la fonction
.

Si on compte oui= const, Que - fonction de puissance depuis X, C'est pourquoi
.

Si X= const, Que - fonction exponentielle depuis oui, et donc
.

Fonction
appelé différenciable au point
, s'il y a des chiffres UN Et DANS de telle sorte que l'incrément

les fonctions Fà ce point
représentable sous la forme

Où
à
.

Partie principale de l'incrément complet
, linéaire par rapport à
Et
, c'est à dire.
, appelé différentiel complet les fonctions
à ce point
et est désigné
.

Ainsi,

.

Par définition, la différentielle d'une variable indépendante est son incrément, c'est-à-dire
,
.

La fonction s'appelle différenciable sur le plateauD, s'il est différentiable en tout point de l'ensemble D.

Théorème 1. Si la fonction
différenciable au point
Et

est sa différentielle en ce point, alors en ce point il y a des dérivées partielles de la fonction F, et en outre,

=UN,
=DANS.

Le théorème 1 permet de calculer la différentielle de la fonction F selon la formule

+
.

Selon le théorème 1, si une fonction est différentiable en un point, alors il existe des dérivées partielles de la fonction en ce point. L’inverse n’est pas vrai. Pour qu’une fonction soit différentiable, il faut plus de conditions difficiles que la présence de dérivées partielles en un point.

Théorème 2. Si dérivées partielles
Et
les fonctions F exister dans un certain quartier du point
et sont continus dans
, alors la fonction F différenciable au point
.

Exemple 6. Calculons les dérivées partielles et la différentielle de la fonction
au point (1, 1/5).

,

,

,
;

DÉRIVÉES PARTIELLES D'UNE FONCTION COMPLEXE

Théorème 3. Laissez les fonctions
Et
défini dans un certain voisinage du point
, et la fonction
défini dans un certain voisinage du point.

Si la fonction F différenciable au point
, et au point
il y a des dérivés
, puis au point
il existe une dérivée d'une fonction complexe
, et

,
.

Exemple 7. Trouvons les dérivées partielles d'une fonction complexe
, Où,.

Exemple 8. Trouvons la dérivée d'une fonction complexe
, Où
,
. Dans cet exemple, les fonctions X Et oui dépend d'une variable t, c'est donc une fonction complexe
- une fonction d'une variable.

Exemple 9. Laisser F(toi) - fonction différentiable arbitraire. Montrons que la fonction
satisfait l'équation
. Mettons
.

Ainsi,

DÉRIVÉS PARTIELS ET DIFFÉRENTIELS

COMMANDES SUPÉRIEURES

Laissez la fonction
à proximité d'un point
a une dérivée partielle .

Dérivée partielle d'une fonction par variable X appelé dérivée partielle deuxième ordre par variable X et est désigné ou
.

Dérivée partielle par variable oui appelé dérivée partielle deuxième ordre par variables X Et oui et est désigné ou
.

Les dérivées partielles du second ordre sont définies de la même manière Et (
Et
) comme dérivées partielles de la fonction .

Dérivés Et sont appelés dérivées partielles mixtes.

Théorème 4. Laissez la fonction
défini avec ses dérivées partielles ,,
,
dans un quartier du point

Et
continue à ce stade. Alors les valeurs des dérivées mixtes à ce stade sont égales, c'est-à-dire

=

.

Les dérivées partielles des dérivées du second ordre sont appelées dérivées partielles du troisième ordre :
etc.

Dérivée partielle (par rapport à l'une des variables indépendantes) de l'ordre dérivée partielle m-1 est appelée la dérivée partielle de l'ordre m.

Le théorème 4 est également valable pour les dérivées mixtes du troisième, du quatrième ordre et des ordres supérieurs. Par exemple, si la fonction
est défini avec ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre 3 inclus dans un certain voisinage du point
, et dérivés mixtes
,
Et
sont continues en ce point, alors les valeurs des dérivées mixtes en ce point sont égales à :

=

=

.

Différentiel du deuxième ordre une fonction de deux variables est appelée différentielle d’un différentiel du premier ordre.

Si la fonction
deux fois continuellement différentiable dans un certain voisinage du point
(c'est-à-dire qu'il existe des dérivées partielles continues de la fonction F jusqu'au deuxième ordre inclus à proximité du point
), Alors

.

Exemple 10. Trouvons les dérivées du second ordre d'une fonction complexe deux fois continûment différentiable
, Où
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

de même, nous calculons

.

DÉRIVÉE DIRECTIONNELLE. PENTE

Laisser je - vecteur unitaire en
avec coordonnées
.

Dérivée d'une fonction
vers vecteur je à ce point
appelé .

La dérivée directionnelle est notée

.

Pente les fonctions F à ce point
est un vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles d'une fonction en un point :

diplômé F
= (
,
) =
je +
j.

Il est facile de montrer que la dérivée directionnelle jeégal à produit scalaire vecteur de dégradé et vecteur je:

=

+

=
,

où  est l'angle entre les vecteurs diplômé F
Et je.

De la dernière formule, il résulte que la dérivée par rapport à la direction du vecteur diplômé F
Il a valeur la plus élevée parmi les dérivées dans différentes directions et est égal au module du vecteur gradient.

Exemple 11. Trouvons la dérivée de la fonction
à ce point M(1, 0) dans la direction du vecteur MN, Où N (5, 3) .

Vecteur MN a des coordonnées (4, 3),
. Cela signifie le vecteur unitaire je a des coordonnées (4/5, 3/5). Calculons les dérivées partielles au point M:
,
. Alors
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Exemple 12. Trouvons la dérivée de la fonction
au point (2,3) dans la direction du vecteur gradient en ce point.

Calculons les dérivées partielles :

,
.

La dérivée dans la direction du vecteur gradient en un point est égale à la valeur absolue du vecteur diplômé F. Ainsi,

PLAN TANGENT ET NORMAL À LA SURFACE

Pour différentiable en un point
les fonctions
la relation suivante est vraie :

Où
,
(cela découle de la définition d'un différentiel de premier ordre). Chances UN Et DANS sont clairement définis :
=UN,
=DANS.

L'équation

est l'équation du plan passant par le point
. Cet avion s'appelle plan tangent au graphique de la fonction
à ce point
.

Ainsi, le plan tangent au graphique de la fonction
en un point il y a un plan tel que la différence entre son application et la valeur de la fonction
à ce stade, il existe une quantité infiniment petite par rapport à  à   0 .

Équation de la normale au graphique d'une fonction
à ce point
ressemble à

.

Si l'équation d'une surface lisse est donnée implicitement
, alors l'équation du plan tangent au point
ressemble à

et l'équation normale à ce stade est :

.

Exemple 13.Écrivons l'équation du plan tangent et de la normale à la surface
au point (-2, 1, 4).

,
. L'équation du plan tangent est : ou
.

Équation normale : .

EXTREMA D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Point
appelé un point maximum local (minimum local) les fonctions
,
, s'il existe un voisinage du point
, pour tous les points dont l'inégalité

(
).

Points maximum locaux et minimum local les fonctions sont appelées points extrêmes locaux.

Par exemple, le point (0,0) est le point minimum de la fonction
.

Théorème 5 (condition nécessaire pour l'extremum). Si la fonction
a au point
extrême local et à ce stade il y a des dérivées partielles F, Que

=0 et
=0.

Point
appelé point stationnaire les fonctions F, Si
=0 et
=0.

Théorème 6 (condition suffisante pour un extremum). Laissez la fonction
deux fois continuellement différentiable dans un certain voisinage d'un point stationnaire
.

Notons  =



- (

) 2 . Alors

1) si  > 0, alors au point
fonction F a un extremum local : maximum à

> 0 et minimum à

< 0;

2) si  < 0, alors au point
fonction F n'a pas d'extremum ;

3) si  = 0, alors au point
fonction F peut avoir ou non un extremum local (dans ce cas, des recherches supplémentaires sont nécessaires).

Exemple 14. Nous examinons la fonction pour extremum

Notez que la fonction toi défini et différentiable sur tout le plan.
,
. En assimilant les dérivées partielles à zéro et en résolvant le système résultant, nous trouvons les points stationnaires de la fonction : (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, donc au point (1, 2) la fonction a un minimum, toi(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, donc au point (-1, -2) la fonction a un maximum, toi(-1, -2) = 31.

VALEURS MAXIMUM ET MINIMUM D'UNE FONCTION

Laissez la fonction
continu sur un ensemble fermé borné D.

Rappelons que beaucoup
appelé limité, si un tel quartier existe U (0,0), qui
U (0,0); un tas de
appelé fermé, s'il contient tous ses points limites.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe de tels points
Et
, Quoi
est la plus grande valeur de la fonction sur l'ensemble D, UN
- sa plus petite valeur sur l'ensemble D.

Une fonction différentiable dans un domaine borné et continue sur sa frontière atteint ses valeurs les plus grandes et les plus petites soit dans points fixes, ou aux points limites D.

Exemple 15. Trouvons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur l'ensemble D, limité par des lignes droites
,
,
.

oui(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - stationnaire

points de fonction toi (voir exemple 14), mais (-2,-1),

(-1,-2) n'appartiennent pas D.

toi (2, 1) = -23, toi (1, 2) = -25.

D Étudions le comportement de la fonction toi sur

X définir une limite D.

Riz. 5
. C'est une fonction d'une variable,

qui accepte plus petite valeurà ce point
, et la plus grande valeur au point
:toi (4,0) = -45, toi (0,0)= 3;

2)
,
. Sur ce segment
. Afin de trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment, on calcule ses valeurs aux points fixes et aux extrémités du segment :
;
, Mais
, donc on calcule toi (0,0) = 3, toi (0,
)= =
, toi (0,4) = 7. La plus grande valeur est au point (0,4) et la plus petite est au point (0,
);

3)
,
. Ici

.

On calcule les valeurs de la fonction aux points fixes et aux extrémités du segment : ;; toi (0,4)= 7, toi (3/2, 5/2) = -20, toi (5/2,3/2)= -18, toi (4,0)= -45. Sur cette section de la frontière, la plus grande valeur de la fonction se trouve au point (0,4) et la plus petite au point (4,0).

À partir des valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction obtenues aux paragraphes 1)-3) sur différentes sections de la frontière et à partir des valeurs de la fonction aux points fixes, nous sélectionnons la plus grande et la plus petite. Valeur la plus élevée : toi (0,4)= 7, plus petite valeur : toi (4,0)= -45.