Le coefficient de la pente d'une droite. Comment trouver la pente ? Transition d'une équation linéaire avec une pente à d'autres types d'équation linéaire et inversement

Apprenez à prendre des dérivées de fonctions. La dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un certain point situé sur le graphique de cette fonction. DANS dans ce cas Le graphique peut être une ligne droite ou courbe. Autrement dit, la dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un moment donné. Souviens-toi règles générales, par lequel les dérivés sont pris, et ensuite seulement passer à l'étape suivante.

• Lisez l'article.
• Comment prendre les dérivées les plus simples, par exemple la dérivée équation exponentielle, décrit. Les calculs présentés dans les étapes suivantes seront basés sur les méthodes qui y sont décrites.

Apprenez à distinguer les tâches dans lesquelles pente doit être calculé via la dérivée de la fonction. Les problèmes ne vous demandent pas toujours de trouver la pente ou la dérivée d’une fonction. Par exemple, on vous demandera peut-être de trouver le taux de changement d’une fonction au point A(x,y). Il peut également vous être demandé de trouver la pente de la tangente au point A(x,y). Dans les deux cas il faut prendre la dérivée de la fonction.

La pente est droite. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés au plan de coordonnées inclus dans l'examen d'État unifié en mathématiques. Il s'agit de tâches pour :

— détermination du coefficient angulaire d'une droite lorsque deux points par lesquels elle passe sont connus ;
— détermination de l'abscisse ou de l'ordonnée du point d'intersection de deux droites sur un plan.

Quelle est l'abscisse et l'ordonnée d'un point a été décrite dans cette section. Nous y avons déjà examiné plusieurs problèmes liés au plan de coordonnées. Que devez-vous comprendre pour le type de problème considéré ? Un peu de théorie.

Équation d'une droite sur plan de coordonnées a la forme :

Où k – c'est la pente de la ligne.

L'instant suivant ! Pente directe égal à la tangente angle d'inclinaison d'une ligne droite. C'est l'angle entre une ligne donnée et l'axeOh.

Elle varie de 0 à 180 degrés.

Autrement dit, si nous réduisons l’équation de la droite sous la forme oui = kx + b, alors on peut toujours déterminer le coefficient k (coefficient de pente).

De plus, si, sur la base de la condition, nous pouvons déterminer la tangente de l'angle d'inclinaison de la ligne droite, nous trouverons ainsi son coefficient angulaire.

Prochain point théorique !Équation d'une droite passant par deux points donnés.La formule ressemble à :

Considérons des problèmes (semblables aux problèmes de banque ouverte tâches) :

Trouvez la pente de la droite passant par les points de coordonnées (–6;0) et (0;6).

Dans ce problème, le plus manière rationnelle La solution est de trouver la tangente de l’angle entre l’axe des x et la droite donnée. On sait qu'elle est égale à la pente. Considérons un triangle rectangle formé d'une droite et des axes x et oy :

Tangente de l'angle en triangle rectangle est la relation côté opposéà côté :

*Les deux jambes sont égales à six (ce sont leurs longueurs).

Certainement, cette tâche peut être résolu en utilisant la formule pour trouver l’équation d’une droite passant par deux points donnés. Mais ce sera une solution plus longue.

Réponse : 1

Trouvez la pente de la droite passant par les points de coordonnées (5;0) et (0;5).

Nos points ont les coordonnées (5;0) et (0;5). Moyens,

Mettons la formule sous la forme oui = kx + b

Nous avons constaté que la pente k = – 1.

Réponse : –1

Droit un passe par des points de coordonnées (0;6) et (8;0). Droit b passe par le point de coordonnées (0;10) et est parallèle à la droite un b avec essieu Oh.

Dans ce problème vous pouvez trouver l’équation de la droite un, déterminez la pente pour celui-ci. En ligne droite b la pente sera la même puisqu'elles sont parallèles. Ensuite, vous pouvez trouver l'équation de la droite b. Et puis, en y remplaçant la valeur y = 0, trouvez l'abscisse. MAIS!

Dans ce cas, il est plus facile d’utiliser la propriété de similarité des triangles.

Les triangles rectangles formés par ces lignes (parallèles) et ces axes de coordonnées sont similaires, ce qui signifie que les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux.

L'abscisse requise est 40/3.

Réponse : 40/3

Droit un passe par des points de coordonnées (0;8) et (–12;0). Droit b passe par le point de coordonnées (0; –12) et est parallèle à la ligne un. Trouver l'abscisse du point d'intersection de la droite b avec essieu Oh.

Pour ce problème, la manière la plus rationnelle de le résoudre est d’utiliser la propriété de similarité des triangles. Mais nous allons le résoudre d'une manière différente.

On connaît les points par lesquels passe la ligne UN. Nous pouvons écrire une équation pour une droite. La formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés a la forme :

Par condition, les points ont les coordonnées (0;8) et (–12;0). Moyens,

Rappelons-le oui = kx + b:

J'ai ce coin k = 2/3.

*Le coefficient d'angle peut être trouvé par la tangente de l'angle dans un triangle rectangle ayant les branches 8 et 12.

On sait que les droites parallèles ont des coefficients d’angle égaux. Cela signifie que l'équation de la droite passant par le point (0;-12) a la forme :

Trouver la valeur b nous pouvons substituer l'abscisse et l'ordonnée dans l'équation :

Ainsi, la droite ressemble à :

Maintenant, pour trouver l'abscisse souhaitée du point d'intersection de la ligne avec l'axe des x, vous devez remplacer y = 0 :

Réponse : 18

Trouver l'ordonnée du point d'intersection de l'axe Oh et une ligne passant par le point B(10;12) et parallèle à une ligne passant par l'origine et le point A(10;24).

Trouvons l'équation d'une droite passant par des points de coordonnées (0;0) et (10;24).

La formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés a la forme :

Nos points ont les coordonnées (0;0) et (10;24). Moyens,

Rappelons-le oui = kx + b

Les coefficients d'angle des lignes parallèles sont égaux. Cela signifie que l'équation de la droite passant par le point B(10;12) a la forme :

Signification b Trouvons en substituant les coordonnées du point B(10;12) dans cette équation :

On obtient l'équation de la droite :

Pour trouver l'ordonnée du point d'intersection de cette droite avec l'axe Oh doit être substitué dans l'équation trouvée X= 0:

*La solution la plus simple. Avec l'aide transfert parallèle déplacer cette ligne vers le bas le long de l'axe Oh au point (10;12). Le décalage se produit de 12 unités, c'est-à-dire que le point A(10;24) "s'est déplacé" vers le point B(10;12) et le point O(0;0) "s'est déplacé" vers le point (0;–12). Cela signifie que la ligne droite résultante coupera l'axe Oh au point (0; –12).

L'ordonnée requise est –12.

Réponse : –12

Trouver l'ordonnée du point d'intersection de la droite donnée par l'équation

3x + 2у = 6, avec axe Oy.

Coordonnée du point d'intersection d'une ligne donnée avec un axe Oh a la forme (0; à). Remplaçons l'abscisse dans l'équation X= 0, et trouvez l'ordonnée :

L'ordonnée du point d'intersection de la ligne et de l'axe Oh est égal à 3.

*Le système est résolu :

Réponse : 3

Trouver l'ordonnée du point d'intersection des droites données par les équations

3x + 2a = 6 Et y = – x.

Lorsque deux droites sont données et qu'il s'agit de trouver les coordonnées du point d'intersection de ces droites, un système de ces équations est résolu :

Dans la première équation, nous substituons - X au lieu de à:

L'ordonnée est égale à moins six.

Répondre: – 6

Trouvez la pente de la droite passant par les points de coordonnées (–2;0) et (0;2).

Trouvez la pente de la droite passant par les points de coordonnées (2;0) et (0;2).

La ligne a passe par des points de coordonnées (0;4) et (6;0). La ligne b passe par le point de coordonnées (0;8) et est parallèle à la ligne a. Trouvez l'abscisse du point d'intersection de la droite b avec l'axe Ox.

Trouver l'ordonnée du point d'intersection de l'axe oy et de la droite passant par le point B (6;4) et parallèle à la droite passant par l'origine et le point A (6;8).

1. Il faut bien comprendre que le coefficient angulaire d'une droite est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite. Cela vous aidera à résoudre de nombreux problèmes de ce type.

2. La formule pour trouver une droite passant par deux points donnés doit être comprise. Avec son aide, vous trouverez toujours l'équation d'une droite si les coordonnées de ses deux points sont données.

3. N'oubliez pas que les pentes des droites parallèles sont égales.

4. Comme vous le comprenez, dans certains problèmes, il est pratique d'utiliser le test de similarité triangulaire. Les problèmes sont résolus pratiquement oralement.

5. Les problèmes dans lesquels deux lignes sont données et il est nécessaire de trouver l'abscisse ou l'ordonnée du point de leur intersection peuvent être résolus graphiquement. Autrement dit, construisez-les sur un plan de coordonnées (sur une feuille de papier dans un carré) et déterminez visuellement le point d'intersection. *Mais cette méthode n'est pas toujours applicable.

6. Et enfin. Si une ligne droite et les coordonnées des points de son intersection avec les axes de coordonnées sont données, alors dans de tels problèmes, il est pratique de trouver le coefficient angulaire en trouvant la tangente de l'angle dans le triangle rectangle formé. Comment « voir » ce triangle quand divers endroits les lignes droites sur un plan sont représentées schématiquement ci-dessous :

>> Angle droit de 0 à 90 degrés<<

>> Angle droit de 90 à 180 degrés<<

C'est tout. Bonne chance à vous !

Cordialement, Alexandre.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Dans le chapitre précédent, il a été montré qu'en choisissant un certain système de coordonnées sur le plan, nous pouvons exprimer analytiquement les propriétés géométriques caractérisant les points de la ligne considérée par une équation entre les coordonnées actuelles. On obtient ainsi l'équation de la droite. Ce chapitre examinera les équations de droite.

Pour créer une équation pour une ligne droite en coordonnées cartésiennes, vous devez d'une manière ou d'une autre définir les conditions qui déterminent sa position par rapport aux axes de coordonnées.

Dans un premier temps, nous introduirons la notion de coefficient angulaire d'une droite, qui est l'une des grandeurs caractérisant la position d'une droite sur un plan.

Appelons l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe Ox l'angle dont l'axe Ox doit être tourné pour qu'il coïncide avec la ligne donnée (ou s'avère parallèle à celle-ci). Comme d'habitude, nous considérerons l'angle en tenant compte du signe (le signe est déterminé par le sens de rotation : antihoraire ou horaire). Puisqu'une rotation supplémentaire de l'axe Ox d'un angle de 180° l'alignera à nouveau avec la droite, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe ne peut pas être choisi sans ambiguïté (à un terme près, un multiple de ).

La tangente de cet angle est déterminée de manière unique (puisque changer l'angle ne change pas sa tangente).

La tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe Ox est appelée coefficient angulaire de la droite.

Le coefficient angulaire caractérise la direction de la droite (on ne distingue pas ici deux directions de la droite opposées). Si la pente d’une droite est nulle, alors la droite est parallèle à l’axe des x. Avec un coefficient angulaire positif, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera aigu (nous considérons ici la plus petite valeur positive de l'angle d'inclinaison) (Fig. 39) ; De plus, plus le coefficient angulaire est grand, plus l'angle de son inclinaison par rapport à l'axe Ox est grand. Si le coefficient angulaire est négatif, alors l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera obtus (Fig. 40). A noter qu'une droite perpendiculaire à l'axe Ox n'a pas de coefficient angulaire (la tangente de l'angle n'existe pas).

La droite y=f(x) sera tangente au graphique représenté sur la figure au point x0 si elle passe par le point de coordonnées (x0; f(x0)) et a un coefficient angulaire f"(x0). Trouver un tel coefficient, connaissant les caractéristiques d'une tangente, ce n'est pas difficile.

Vous aurez besoin

• - ouvrage de référence mathématique ;
• - un simple crayon ;
• - carnet de notes;
• - rapporteur ;
• - boussole;
• - stylo.

Instructions

Si la valeur f'(x0) n'existe pas, alors soit il n'y a pas de tangente, soit elle est verticale. Compte tenu de cela, la présence d'une dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale tangente au graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à f "(x0). Ainsi, la signification géométrique de la dérivée devient claire - le calcul du coefficient angulaire de la tangente.

Dessinez des tangentes supplémentaires qui seraient en contact avec le graphique de la fonction aux points x1, x2 et x3, et marquez également les angles formés par ces tangentes avec l'axe des x (cet angle est compté dans le sens positif de l'axe vers le ligne tangente). Par exemple, l'angle, c'est-à-dire α1, sera aigu, le deuxième (α2) sera obtus et le troisième (α3) sera nul, puisque la tangente est parallèle à l'axe OX. Dans ce cas, la tangente d’un angle obtus est négative, la tangente d’un angle aigu est positive et à tg0 le résultat est nul.

Veuillez noter

Déterminez correctement l’angle formé par la tangente. Pour ce faire, utilisez un rapporteur.

Conseils utiles

Deux lignes inclinées seront parallèles si leurs coefficients angulaires sont égaux ; perpendiculaire si le produit des coefficients angulaires de ces tangentes est égal à -1.

Sources :

• Tangente au graphique d'une fonction

Le cosinus, comme le sinus, est classé comme fonction trigonométrique « directe ». La tangente (avec la cotangente) est classée dans une autre paire appelée « dérivées ». Il existe plusieurs définitions de ces fonctions qui permettent de retrouver la tangente donnée par une valeur de cosinus connue de même valeur.

Instructions

Soustrayez le quotient de l'unité par la valeur élevée au cosinus de l'angle donné, et extrayez la racine carrée du résultat - ce sera la valeur tangente de l'angle, exprimée par son cosinus : tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Veuillez noter que dans la formule, le cosinus est au dénominateur de la fraction. L'impossibilité de diviser par zéro exclut l'utilisation de cette expression pour des angles égaux à 90°, ainsi que pour ceux différant de cette valeur par des nombres multiples de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Il existe une autre façon de calculer la tangente à partir d’une valeur de cosinus connue. Il peut être utilisé s’il n’y a aucune restriction quant à l’utilisation d’autrui. Pour mettre en œuvre cette méthode, déterminez d'abord la valeur de l'angle à partir d'une valeur de cosinus connue - cela peut être fait à l'aide de la fonction arc cosinus. Ensuite, calculez simplement la tangente de l'angle de la valeur résultante. De manière générale, cet algorithme peut s'écrire comme suit : tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Il existe également une option exotique utilisant la définition du cosinus et de la tangente aux angles aigus d'un triangle rectangle. Dans cette définition, le cosinus correspond au rapport de la longueur de la jambe adjacente à l'angle considéré sur la longueur de l'hypoténuse. Connaissant la valeur du cosinus, vous pouvez sélectionner les longueurs correspondantes de ces deux côtés. Par exemple, si cos(α) = 0,5, alors le adjacent peut être pris égal à 10 cm et l'hypoténuse à 20 cm. Les nombres spécifiques n'ont pas d'importance ici - vous obtiendrez les mêmes nombres corrects avec toutes les valeurs qui ont les mêmes. Ensuite, à l'aide du théorème de Pythagore, déterminez la longueur du côté manquant - la jambe opposée. Il sera égal à la racine carrée de la différence entre les longueurs de l'hypoténuse au carré et de la jambe connue : √(20²-10²)=√300. Par définition, la tangente correspond au rapport des longueurs des branches opposées et adjacentes (√300/10) - calculez-la et obtenez la valeur de la tangente trouvée en utilisant la définition classique du cosinus.

Sources :

• cosinus par formule tangente

Une des fonctions trigonométriques, le plus souvent désignée par les lettres tg, bien que tan soit également utilisé. La manière la plus simple de représenter la tangente est sous la forme d'un rapport sinusoïdal. angleà son cosinus. Il s'agit d'une fonction périodique impaire et non continue dont chaque cycle est égal au nombre Pi, et le point d'arrêt correspond à la moitié de ce nombre.

La dérivée d'une fonction est l'un des sujets difficiles du programme scolaire. Tous les diplômés ne répondront pas à la question de savoir ce qu'est un dérivé.

Cet article explique de manière simple et claire ce qu'est un dérivé et pourquoi il est nécessaire.. Nous ne rechercherons pas maintenant la rigueur mathématique dans la présentation. Le plus important est d’en comprendre le sens.

Rappelons la définition :

La dérivée est le taux de variation d'une fonction.

La figure montre des graphiques de trois fonctions. Selon vous, lequel connaît la croissance la plus rapide ?

La réponse est évidente : la troisième. Il présente le taux de variation le plus élevé, c'est-à-dire la dérivée la plus importante.

Voici un autre exemple.

Kostya, Grisha et Matvey ont trouvé un emploi en même temps. Voyons comment leurs revenus ont évolué au cours de l'année :

Le graphique montre tout en même temps, n'est-ce pas ? Les revenus de Kostya ont plus que doublé en six mois. Et les revenus de Grisha ont également augmenté, mais juste un peu. Et les revenus de Matvey sont tombés à zéro. Les conditions de départ sont les mêmes, mais le taux de changement de la fonction, c'est-à-dire dérivé, - différent. Quant à Matvey, sa dérivée de revenu est généralement négative.

Intuitivement, nous estimons facilement le taux de changement d’une fonction. Mais comment faire cela ?

Ce que nous examinons réellement, c'est la vitesse à laquelle le graphique d'une fonction monte (ou descend). En d’autres termes, à quelle vitesse y change-t-il lorsque x change ? De toute évidence, la même fonction en différents points peut avoir des valeurs dérivées différentes, c'est-à-dire qu'elle peut changer plus rapidement ou plus lentement.

La dérivée d'une fonction est notée .

Nous allons vous montrer comment le trouver à l’aide d’un graphique.

Un graphique d'une fonction a été dessiné. Prenons un point marqué en abscisse. Traçons une tangente au graphique de la fonction à ce stade. Nous voulons estimer la vitesse à laquelle le graphique de fonction augmente. Une valeur pratique pour cela est tangente de l'angle tangent.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en ce point.

Veuillez noter que comme angle d'inclinaison de la tangente, nous prenons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe.

Parfois, les élèves demandent ce qu’est une tangente au graphique d’une fonction. Il s'agit d'une droite qui a un seul point commun avec le graphique d'une section donnée, et comme le montre notre figure. Cela ressemble à une tangente à un cercle.

Trouvons-le. On rappelle que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent. Du triangle :

Nous avons trouvé la dérivée à l'aide d'un graphique sans même connaître la formule de la fonction. De tels problèmes se retrouvent souvent dans l'examen d'État unifié de mathématiques sous le numéro.

Il existe une autre relation importante. Rappelons que la droite est donnée par l'équation

La quantité dans cette équation est appelée pente d'une droite. Elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe.

.

Nous obtenons cela

Rappelons cette formule. Il exprime la signification géométrique de la dérivée.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.

En d’autres termes, la dérivée est égale à la tangente de l’angle tangent.

Nous avons déjà dit qu'une même fonction peut avoir des dérivées différentes en différents points. Voyons comment la dérivée est liée au comportement de la fonction.

Traçons un graphique d'une fonction. Laissez cette fonction augmenter dans certains domaines et diminuer dans d’autres, et à des rythmes différents. Et laissez cette fonction avoir des points maximum et minimum.

À un moment donné, la fonction augmente. Une tangente au graphique tracé au point forme un angle aigu ; avec une direction d'axe positive. Cela signifie que la dérivée en ce point est positive.

Au point où notre fonction diminue. La tangente forme en ce point un angle obtus ; avec une direction d'axe positive. Puisque la tangente d’un angle obtus est négative, la dérivée en ce point est négative.

Voici ce qui se passe :

Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive.

Si elle diminue, sa dérivée est négative.

Que se passera-t-il aux points maximum et minimum ? On voit qu'aux points (point maximum) et (point minimum) la tangente est horizontale. Par conséquent, la tangente de la tangente en ces points est nulle et la dérivée est également nulle.

Point - point maximum. A ce stade, l’augmentation de la fonction est remplacée par une diminution. Par conséquent, le signe de la dérivée change au point de « plus » à « moins ».

Au point - le point minimum - la dérivée est également nulle, mais son signe passe de « moins » à « plus ».

Conclusion : grâce à la dérivée, on peut découvrir tout ce qui nous intéresse sur le comportement d'une fonction.

Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.

Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.

Au point maximum, la dérivée est nulle et change de signe de « plus » à « moins ».

Au point minimum, la dérivée est également nulle et change de signe du moins au plus.

Écrivons ces conclusions sous forme de tableau :

Apportons deux petites précisions. Vous en aurez besoin pour résoudre le problème. Un autre - en première année, avec une étude plus sérieuse des fonctions et des dérivées.

Il est possible que la dérivée d'une fonction à un moment donné soit égale à zéro, mais la fonction n'a ni maximum ni minimum à ce stade. C'est ce qu'on appelle :

En un point, la tangente au graphique est horizontale et la dérivée est nulle. Cependant, avant ce point, la fonction augmentait - et après ce point, elle continue d'augmenter. Le signe de la dérivée ne change pas - il reste positif comme avant.

Il arrive aussi qu'au point de maximum ou de minimum la dérivée n'existe pas. Sur le graphique, cela correspond à une rupture brutale, lorsqu'il est impossible de tracer une tangente en un point donné.

Comment trouver la dérivée si la fonction est donnée non pas par un graphique, mais par une formule ? Dans ce cas, cela s'applique