Conférence : « Méthodes de résolution d'équations exponentielles. »

1 . Équations exponentielles.

Les équations contenant des inconnues dans les exposants sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0, a ≠ 1.

1) En b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 fonction exponentielle, n'a pas de solution.

2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une racine unique. Pour le trouver, b doit être représenté sous la forme b = aс, аx = bс ó x = c ou x = logab.

Équations exponentielles par transformations algébriques mener à équation standard qui sont résolus à l'aide des méthodes suivantes :

1) méthode de réduction à une base ;

2) méthode d'évaluation ;

3) méthode graphique ;

4) méthode d'introduction de nouvelles variables ;

5) méthode de factorisation ;

6) indicatif – équations de puissance;

7) démonstratif avec un paramètre.

2 . Méthode de réduction à une base.

La méthode est basée sur propriété suivante degrés : si deux degrés sont égaux et que leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme

Exemples. Résous l'équation:

1 . 3x = 81 ;

Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">et passons à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 ; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 représentent des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation originale comme suit :

, d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, d'où on trouve la solution x = -1. Réponse 1.

5. 3x = 5. Par définition du logarithme, x = log35. Réponse : log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Réécrivons l'équation sous la forme 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> D'où x – 4 =0, x = 4. Réponse : 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 puis 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, c'est-à-dire x+1 = 2, x =1. Réponse 1.

Banque à problèmes n°1.

Résous l'équation:

Essai n°1.

Essai n°2

3 Méthode d'évaluation.

Théorème racine: si la fonction f(x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est n'importe quelle valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f(x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.

Lors de la résolution d'équations à l'aide de la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie de la fonction sont utilisés.

Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 – x.

Solution. Réécrivons l'équation comme 4x +x = 5.

1. si x = 1, alors 41+1 = 5, 5 = 5 est vrai, ce qui signifie que 1 est la racine de l'équation.

Fonction f(x) = 4x – augmente sur R, et g(x) = x – augmente sur R => h(x)= f(x)+g(x) augmente sur R, comme somme des fonctions croissantes, alors x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse 1.

2.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme .

1. si x = -1, alors , 3 = 3 est vrai, ce qui signifie que x = -1 est la racine de l'équation.

2. prouver qu'il est le seul.

3. Fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x – diminue sur R=> h(x) = f(x)+g(x) – diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Cela signifie que, d'après le théorème racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse 1.

Banque à problèmes n°2. Résous l'équation

une) 4x + 1 =6 – x ;

b)

c) 2x – 2 =1 – x ;

4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.

La méthode est décrite au paragraphe 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Regardons des exemples.

Exemples. R. Résous l'équation: 1. .

Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> c'est-à-dire.png" width="210" height = "45">

Solution. Réécrivons l'équation différemment :

Désignons https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - équation irrationnelle. On remarque que

La solution de l’équation est x = 2,5 ≤ 4, ce qui signifie que 2,5 est la racine de l’équation. Réponse : 2.5.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Les racines de l'équation quadratique sont t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solution . Réécrivons l'équation sous la forme

et notons qu'il s'agit d'une équation homogène du deuxième degré.

Divisez l'équation par 42x, nous obtenons

Remplaçons https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Réponse : 0 ; 0,5.

Banque à problèmes n°3. Résous l'équation

b)

G)

Essai n°3 avec un choix de réponses. Niveau minimum.

Essai n°4 avec un choix de réponses. Niveau général.

5. Méthode de factorisation.

1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , d'où

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solution. Mettons 6x entre parenthèses sur le côté gauche de l'équation et 2x sur le côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ou 6x = 2x.

Puisque 2x >0 pour tout x, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.

3.

Solution. Résolvons l'équation en utilisant la méthode de factorisation.

Sélectionnons le carré du binôme

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 est la racine de l'équation.

Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Essai n°6 Niveau général.

6. Exponentielle – équations de puissance.

À côté des équations exponentielles se trouvent les équations dites de puissance exponentielle, c'est-à-dire les équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'équation exponentielle, est résolue en égalisant les exposants g(x) = f(x).

Si la condition n'exclut pas la possibilité de f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution d'une équation exponentielle.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solution. x2 +2x-8 – a du sens pour tout x, car c'est un polynôme, ce qui signifie que l'équation est équivalente à la totalité

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle seule décision?

Solution. Introduisons le remplacement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant de l'équation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Les conditions du problème sont satisfaites par un ensemble de systèmes

En substituant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) satisfait à la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinôme quadratique f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Ainsi, pour a 0, l’équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Lorsqu'un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1 ;

si un  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré parfait ; Ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées à l'aide de la formule des racines d'une équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, donc lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme quadratique et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Problème 3 : Résoudre l’équation

Solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplacement. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait à la condition t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Réponse : si a > – 13, a  11, a  5, alors si a – 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

Bibliographie.

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10. Méthodes Tarasenko d'organiser les travaux pratiques.

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11. À propos d'un des types de travail individuel.

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17. Zhevnyak pour ceux qui entrent à l'université.

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18. Écrit D. Préparation à l'examen de mathématiques. M. Rolf, 1999

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25. Iakimanskaïa – apprentissage orientéÀ l'école.

26. Les Liimets travaillent en classe. M. Connaissance, 1975

Équipement:

• ordinateur,
• projecteur multimédia,
• écran,
• Annexe 1(Présentation PowerPoint) « Méthodes de résolution d'équations exponentielles »
• Annexe 2(Résoudre une équation comme « Trois différentes bases diplômes" dans Word)
• Annexe 3(document dans Word pour Travaux pratiques).
• Annexe 4(document en Word pour les devoirs).

Pendant les cours

• message du sujet de la leçon (écrit au tableau),
• la nécessité d'un cours général dans les classes 10-11 :

L'étape de préparation des étudiants à l'apprentissage actif

Répétition

Définition.

Une équation exponentielle est une équation contenant une variable avec un exposant (réponses des élèves).

Note du professeur. Les équations exponentielles appartiennent à la classe des équations transcendantales. Ce nom imprononçable suggère que de telles équations, d’une manière générale, ne peuvent pas être résolues sous forme de formules.

Ils ne peuvent être résolus qu’approximativement par des méthodes numériques sur ordinateur. Mais qu’en est-il des tâches d’examen ? L’astuce est que l’examinateur formule le problème de manière à permettre une solution analytique. En d’autres termes, vous pouvez (et devez !) faire ce qui suit : transformations identitaires, qui réduisent cette équation exponentielle à l'équation exponentielle la plus simple. Cette équation la plus simple s’appelle : l'équation exponentielle la plus simple. C'est en train d'être résolu par logarithme.

La situation de résolution d'une équation exponentielle rappelle un voyage dans un labyrinthe spécialement inventé par l'auteur du problème. De ces arguments très généraux découlent des recommandations très précises.

1. Non seulement connaître activement toutes les identités exponentielles, mais également trouver les ensembles de valeurs variables sur lesquelles ces identités sont définies, de sorte que lors de l'utilisation de ces identités, vous n'acquérez pas de racines inutiles, et plus encore, ne perdez pas de solutions à l'équation.

2. Connaître activement toutes les identités exponentielles.

3. Effectuer clairement, en détail et sans erreurs, des transformations mathématiques d'équations (transférer les termes d'une partie de l'équation à une autre, sans oublier de changer de signe, ramener les fractions à un dénominateur commun, etc.). C’est ce qu’on appelle la culture mathématique. Dans le même temps, les calculs eux-mêmes doivent être effectués automatiquement à la main et le responsable doit réfléchir au fil conducteur général de la solution. Les transformations doivent être effectuées avec le plus grand soin et le plus de détails possible. Seul cela garantira une décision correcte et sans erreur. Et rappelez-vous : une petite erreur arithmétique peut simplement créer une équation transcendantale qui, en principe, ne peut pas être résolue analytiquement. Il s'avère que vous avez perdu votre chemin et que vous avez heurté le mur du labyrinthe.

4. Connaître les méthodes pour résoudre les problèmes (c'est-à-dire connaître tous les chemins à travers le labyrinthe de solutions). Pour naviguer correctement à chaque étape, vous devrez (consciemment ou intuitivement !) :

• définir type d'équation;
• rappelez-vous le type correspondant méthode de résolution Tâches.

L'étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié.

L'enseignant, avec les élèves à l'aide d'un ordinateur, passe en revue tous les types d'équations exponentielles et les méthodes pour les résoudre, compile régime général. (Formation utilisée Programme d'ordinateur L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000", l'auteur de la présentation PowerPoint est T.N. Kuptsova.)

Riz. 1. La figure montre un schéma général de tous les types d'équations exponentielles.

Comme le montre ce diagramme, la stratégie pour résoudre les équations exponentielles consiste à réduire l'équation exponentielle donnée à l'équation, tout d'abord, avec les mêmes bases de diplômes , et puis – et avec les mêmes indicateurs de degré.

Après avoir reçu une équation avec les mêmes bases et exposants, vous remplacez cet exposant par une nouvelle variable et obtenez une équation algébrique simple (généralement fractionnaire-rationnelle ou quadratique) par rapport à cette nouvelle variable.

Après avoir résolu cette équation et effectué la substitution inverse, vous vous retrouvez avec un ensemble d'équations exponentielles simples qui peuvent être résolues en vue générale en utilisant le logarithme.

Les équations dans lesquelles seuls des produits de puissances (partielles) se démarquent. En utilisant les identités exponentielles, il est possible de réduire immédiatement ces équations à une seule base, en particulier à l'équation exponentielle la plus simple.

Voyons comment résoudre une équation exponentielle avec trois bases différentes.

(Si l'enseignant dispose du programme informatique pédagogique de L.Ya. Borevsky «Cours de mathématiques - 2000», alors naturellement nous travaillons avec le disque, sinon, vous pouvez en faire une impression de ce type d'équation pour chaque pupitre, présenté ci-dessous.)

Riz. 2. Plan pour résoudre l’équation.

Riz. 3. Commencez à résoudre l'équation

Riz. 4. Terminez de résoudre l’équation.

Faire des travaux pratiques

Déterminez le type d’équation et résolvez-le.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Résumer la leçon

Notation pour la leçon.

Fin de cours

Pour le professeur

Entraînez-vous au schéma de réponse.

Exercice: dans la liste des équations, sélectionnez les équations du type spécifié (entrez le numéro de réponse dans le tableau) :

1. Trois bases de diplômes différentes
2. Deux bases différentes - exposants différents
3. Bases de pouvoirs - pouvoirs d'un seul nombre
4. Mêmes bases – exposants différents
5. Les mêmes bases de diplômes - les mêmes indicateurs de diplômes
6. Produit de pouvoirs
7. Deux bases de diplômes différentes - les mêmes indicateurs
8. Protozoaires équations exponentielles

1. (produit de puissances)

2. (mêmes bases – exposants différents)

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Tout d'abord, rappelons-nous formules de base diplômes et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit sur lui-même n fois, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. une 0 = 1 (une ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equations de puissance ou exponentielles– ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

Dans cet exemple, le chiffre 6 est la base ; il est toujours en bas, et la variable X degré ou indicateur.

Donnons plus d'exemples d'équations exponentielles.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Cet exemple peut être résolu même dans votre tête. On voit que x=3. Après tout, pour que la gauche et partie droiteétaient égaux, vous devez remplacer x par le chiffre 3.
Voyons maintenant comment formaliser cette décision :

2 x = 2 3
x = 3

Afin de résoudre une telle équation, nous avons supprimé motifs identiques(c'est-à-dire deux) et j'ai noté ce qui restait, ce sont des diplômes. Nous avons obtenu la réponse que nous recherchions.

Résumons maintenant notre décision.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si l'équation a des bases à droite et à gauche. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous cherchons des solutions cet exemple.
2. Une fois que les bases sont devenues les mêmes, assimiler degrés et résolvez la nouvelle équation résultante.

Voyons maintenant quelques exemples :

Commençons par quelque chose de simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au chiffre 2, ce qui signifie que nous pouvons écarter la base et égaliser leurs puissances.

x+2=4 L'équation la plus simple est obtenue.
x=4 – 2
x=2
Réponse : x=2

DANS exemple suivant On voit que les bases sont différentes : 3 et 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Tout d’abord, déplaçons le neuf vers la droite, nous obtenons :

Maintenant, vous devez créer les mêmes bases. Nous savons que 9=3 2. Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

On obtient 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 maintenant vous pouvez le voir à gauche et côté droit les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et égaliser les degrés.

3x=2x+16 on obtient l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Tout d’abord, nous examinons les bases, les bases deux et quatre. Et nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Nous transformons les quatre en utilisant la formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajoutez à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais les autres nombres 10 et 24 nous dérangent. Que faire d’eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche nous avons 2 2x répétés, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x entre parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginons 4=2 2 :

2 2x = 2 2 bases sont les mêmes, nous les rejetons et égalisons les degrés.
2x = 2 est l'équation la plus simple. Divisez-le par 2 et nous obtenons
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9 x – 12*3 x +27= 0

Transformons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à trois. Dans cet exemple, vous pouvez voir que les trois premiers ont un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez résoudre méthode de remplacement. On remplace le nombre par le plus petit degré :

Alors 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances x dans l'équation par t :

t2 - 12t+27 = 0
On a équation quadratique. En résolvant par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenir à la variable X.

Prenez le t1 :
t 1 = 9 = 3x

C'est,

3x = 9
3x = 3 2
x1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :
t 2 = 3 = 3x
3x = 3 1
x2 = 1
Réponse : x 1 = 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez poser des questions d'intérêt dans la section AIDE À DÉCIDER, nous vous répondrons certainement.

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Résoudre des équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très « pas très… »
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé équation exponentielle? Il s'agit d'une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent sont en indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples d'équations exponentielles:

3x2x = 8x+3

Note! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. DANS indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec un X. Si tout à coup un X apparaît dans l’équation ailleurs qu’un indicateur, par exemple :

ce sera une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici résoudre des équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours résolues clairement. Mais il existe certains types d’équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous considérerons.

Résoudre des équations exponentielles simples.

Tout d’abord, résolvons quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection, il est clair que x = 2. Rien de plus, n'est-ce pas !? Aucune autre valeur de X ne fonctionne. Examinons maintenant la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous avons simplement jeté les mêmes bases (triples). Complètement jeté. Et la bonne nouvelle, c’est que nous avons mis le doigt sur le problème !

En effet, si dans une équation exponentielle il y a gauche et droite le même nombres dans n'importe quelle puissance, ces nombres peuvent être supprimés et les exposants peuvent être égalisés. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, non ?)

Cependant, rappelons-le fermement : Vous pouvez supprimer des bases uniquement lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont splendide isolement! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x+1 = 2 3, ou

les deux ne peuvent pas être supprimés !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment sortir du mal expressions démonstrativesà des équations plus simples.

"C'est le moment !" - vous dites. "Qui donnerait une leçon aussi primitive sur les tests et les examens !?"

Je suis d'accord. Personne ne le donnera. Mais vous savez désormais où viser lorsque vous résolvez des exemples délicats. Il faut l'amener sous la forme où le même numéro de base est à gauche et à droite. Alors tout sera plus facile. En fait, c’est un classique des mathématiques. Nous prenons l'exemple original et le transformons en celui souhaité nous esprit. Selon les règles mathématiques, bien sûr.

Regardons des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Appelons-les équations exponentielles simples.

Résoudre des équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les règles principales sont des actions avec des diplômes. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l’observation personnelle et l’ingéniosité. Nous exigeons mêmes numéros-terrains? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous forme explicite ou cryptée.

Voyons comment cela se fait en pratique ?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8 x+1 = 0

Le premier regard attentif est sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si l'on rappelle la formule des opérations avec degrés :

(une n) m = une nm ,

ça marche très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemple original a commencé à ressembler à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les opérations élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x = 2 3(x+1)

C'est pratiquement tout. Retrait des bases :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidé. Nous identifié dans huit, il y a un deux crypté. Cette technique (chiffrement des terrains communs sous différents numéros) est une technique très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, et en logarithmes aussi. Vous devez être capable de reconnaître les puissances d’autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu’élever n’importe quel nombre à n’importe quelle puissance n’est pas un problème. Multipliez, même sur papier, et c'est tout. Par exemple, n’importe qui peut élever 3 à la puissance cinq. 243 fonctionnera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, bien plus souvent il n'est pas nécessaire d'élever à une puissance, mais vice versa... Découvrez quel nombre à quel degré se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Vous devez connaître les puissances de certains nombres à vue, n'est-ce pas... Pratiquons ?

Déterminez à quelles puissances et à quels nombres correspondent les nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir fait étrange. Il y a bien plus de réponses que de tâches ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6, 4 3, 8 2 - c'est tout 64.

Supposons que vous ayez pris note des informations sur la familiarité avec les nombres.) Permettez-moi également de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous utilisons tous action connaissances mathématiques. Y compris ceux des classes juniors et moyennes. Tu n'es pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?)

Par exemple, lors de la résolution d’équations exponentielles, il est souvent utile de mettre le facteur commun entre parenthèses (bonjour les élèves de 7e !). Regardons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard se porte sur les fondations ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Mais nous voulons qu'ils soient les mêmes. Eh bien, dans ce cas, le désir est complètement exaucé !) Parce que :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Utiliser les mêmes règles pour traiter les diplômes :

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

C'est super, vous pouvez l'écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine étape !? Vous ne pouvez pas jeter des trois... Une impasse ?

Pas du tout. Rappelez-vous la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout le monde devoirs de mathématiques:

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !

Écoutez, tout s'arrangera).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle Peut faire? Oui, sur le côté gauche, il ne demande qu’à être retiré des parenthèses ! Le multiplicateur global de 3 2x le laisse clairement entendre. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L’exemple ne cesse de s’améliorer !

Nous rappelons que pour éliminer les motifs, nous avons besoin d'un diplôme pur, sans aucun coefficient. Le chiffre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l’équation par 70, on obtient :

Oops! Tout s'est amélioré !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que le roulage sur les mêmes terrains fonctionne, mais pas leur élimination. Cela se produit dans d'autres types d'équations exponentielles. Maîtrisons ce type.

Remplacement d'une variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 x - 3 2 x +2 = 0

D'abord - comme d'habitude. Passons à une base. À deux.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Et c'est ici que nous nous accrochons. Les techniques précédentes ne fonctionneront pas, quelle que soit la façon dont vous regardez les choses. Il va falloir sortir de l'arsenal un autre puissant et méthode universelle. C'est appelé remplacement variable.

L’essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas - 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple - t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dans notre équation, nous remplaçons toutes les puissances par x par t :

Eh bien, cela vous vient-il à l'esprit ?) Avez-vous déjà oublié les équations quadratiques ? En résolvant par le discriminant, on obtient :

L'essentiel ici est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, nous avons besoin de x, pas de t. Revenons aux X, c'est-à-dire nous effectuons un remplacement inversé. D'abord pour t 1 :

C'est,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :

Hm... 2 x à gauche, 1 à droite... Problème ? Pas du tout! Il suffit de rappeler (des opérations avec pouvoirs, oui...) qu'une unité est n'importe lequel nombre à la puissance zéro. N'importe lequel. Tout ce qui est nécessaire, nous l'installerons. Il nous en faut un deux. Moyens:

C'est tout maintenant. Nous avons 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on se retrouve parfois avec une sorte d'expression maladroite. Taper:

De sept heures à deux heures diplôme simple ne marche pas. Ce ne sont pas des parents... Comment pouvons-nous l'être ? Quelqu'un peut être confus... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet « Qu'est-ce qu'un logarithme ? , sourit simplement avec parcimonie et écrit d'une main ferme la réponse absolument correcte :

Il ne peut pas y avoir une telle réponse dans les tâches « B » de l'examen d'État unifié. Là, un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches « C », c'est facile.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons les points principaux.

Conseils pratiques:

1. Tout d’abord, examinons terrains degrés. Nous nous demandons s'il est possible de les réaliser identique. Essayons de le faire en utilisant activement des actions avec des diplômes. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent également être convertis en puissances !

2. On essaie de mettre l'équation exponentielle sous la forme quand à gauche et à droite il y a le même nombres dans toutes les puissances. Nous utilisons actions avec diplômes Et factorisation. Ce qui peut être compté en chiffres, nous le comptons.

3. Si le deuxième conseil ne fonctionne pas, essayez d'utiliser le remplacement variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également au carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître visuellement les puissances de certains nombres.

Comme d'habitude, à la fin du cours vous êtes invité à décider un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résoudre des équations exponentielles :

Plus difficile:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3 + 2 x = 9

Arrivé?

Eh bien l'exemple le plus compliqué(décidé cependant dans l'esprit...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez attiré par difficulté accrue. Laissez-moi vous laisser entendre que dans cet exemple, ce qui vous sauve, c'est l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre tous les problèmes mathématiques.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemple plus simple, pour la détente) :

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouvez la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! Il s'agit d'une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas pris en compte dans cette leçon. Pourquoi les considérer, il faut les résoudre !) Cette leçon est largement suffisante pour résoudre l'équation. Eh bien, il vous faut de l'ingéniosité... Et que la septième année vous aide (c'est un indice !).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

1; 2 ; 3 ; 4 ; il n'y a pas de solutions ; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Super.

Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il existe des informations supplémentaires précieuses sur l’utilisation de toutes sortes d’équations exponentielles. Pas seulement ceux-là.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n’ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est d'ailleurs une chose très importante...

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Premier niveau

Équations exponentielles. Guide complet (2019)

Bonjour! Aujourd'hui, nous allons discuter avec vous de la façon de résoudre des équations qui peuvent être soit élémentaires (et j'espère qu'après avoir lu cet article, elles le seront presque toutes pour vous), soit celles qui sont habituellement données « à remplir ». Apparemment pour enfin s'endormir. Mais je vais essayer de faire tout mon possible pour que vous n’ayez plus de problèmes face à ce type d’équations. Je ne tournerai plus autour du pot, je l'ouvrirai tout de suite petit secret: aujourd'hui nous allons étudier équations exponentielles.

Avant de passer à l’analyse des moyens de les résoudre, je vais immédiatement vous exposer une série de questions (assez réduites) que vous devriez répéter avant de vous précipiter pour aborder ce sujet. Alors, pour obtenir meilleur résultat, S'il te plaît, répéter:

1. Propriétés et
2. Solution et équations

Répété? Incroyable! Il ne vous sera alors pas difficile de remarquer que la racine de l'équation est un nombre. Comprenez-vous exactement comment j'ai fait ? Est-ce vrai? Alors continuons. Maintenant, répondez à ma question : qu'est-ce qui est égal à la puissance trois ? Vous avez absolument raison: . Quelle puissance de deux fait huit ? C'est vrai - le troisième ! Parce que. Eh bien, essayons maintenant de résoudre le problème suivant : permettez-moi de multiplier le nombre par lui-même une fois et d'obtenir le résultat. La question est : combien de fois ai-je multiplié par moi-même ? Vous pouvez bien sûr vérifier cela directement :

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( aligner)

Ensuite, vous pouvez conclure que j'ai multiplié par moi-même. Sinon, comment pouvez-vous vérifier cela ? Voici comment procéder : directement par définition de diplôme : . Mais, vous devez l'admettre, si je vous demandais combien de fois deux doit être multiplié par lui-même pour obtenir, disons, vous me diriez : je ne me tromperai pas et je ne multiplierai pas par lui-même jusqu'à ce que je sois bleu au visage. Et il aurait tout à fait raison. Parce que comment peux-tu notez brièvement toutes les étapes(et la brièveté est la sœur du talent)

où - ce sont les mêmes "fois", quand vous multipliez par lui-même.

Je pense que vous savez (et si vous ne savez pas, répétez les diplômes de toute urgence, très urgence !) qu'alors mon problème s'écrira sous la forme :

Comment pouvez-vous raisonnablement conclure que :

Alors, inaperçu, j'ai noté le plus simple équation exponentielle :

Et je l'ai même trouvé racine. Ne pensez-vous pas que tout est complètement trivial ? Je pense exactement la même chose. Voici un autre exemple pour vous :

Mais que faire? Après tout, cela ne peut pas être écrit comme une puissance d’un nombre (raisonnable). Ne désespérons pas et notons que ces deux nombres s’expriment parfaitement par la puissance du même nombre. Lequel? Droite: . Ensuite, l'équation d'origine est transformée sous la forme :

Où, comme vous l'avez déjà compris, . Ne tardons plus et écrivons-le définition:

Dans notre cas: .

Ces équations sont résolues en les réduisant à la forme :

suivi de la résolution de l'équation

En fait, c’est exactement ce que nous avons fait dans l’exemple précédent : nous avons obtenu ce qui suit : Et nous avons résolu l'équation la plus simple.

Cela ne semble rien de compliqué, non ? Pratiquons d'abord les plus simples exemples:

Nous voyons encore une fois que les côtés droit et gauche de l’équation doivent être représentés comme des puissances d’un nombre. Certes, à gauche cela a déjà été fait, mais à droite il y a un numéro. Mais ça va, parce que mon équation est miraculeusement se transformera en ceci :

Que devais-je utiliser ici ? Quelle règle ? Règle des « degrés dans les degrés » qui dit :

Et si:

Avant de répondre à cette question, remplissons le tableau suivant :

Il nous est facile de remarquer que moins il y en a, plus moins de valeur, mais néanmoins toutes ces valeurs Au dessus de zéro. ET IL EN EST TOUJOURS TOUJOURS !!! La même propriété est vraie POUR TOUTE BASE AVEC TOUT INDICATEUR !! (pour tout et). Alors que pouvons-nous conclure sur l’équation ? Voici ce que c'est : c'est n'a pas de racines! Comme toute équation n’a pas de racines. Maintenant, pratiquons et Résolvons des exemples simples :

Allons vérifier:

1. Ici, rien ne vous sera demandé si ce n'est la connaissance des propriétés des diplômes (que d'ailleurs je vous ai demandé de répéter !) En règle générale, tout mène à la plus petite base : , . Alors l’équation originale sera équivalente à la suivante : Tout ce dont j’ai besoin c’est d’utiliser les propriétés des puissances : Lors de la multiplication de nombres avec les mêmes bases, les puissances sont ajoutées et lors de la division, elles sont soustraites. Ensuite, j'obtiendrai : Eh bien, maintenant avec la conscience tranquille Je vais passer d'une équation exponentielle à une équation linéaire : \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fin(aligner)

2. Dans le deuxième exemple, nous devons être plus prudents : le problème est que sur le côté gauche, nous ne pouvons pas représenter le même nombre comme une puissance. Dans ce cas il est parfois utile représentent les nombres comme le produit de puissances avec des bases différentes, mais les mêmes exposants :

Le côté gauche de l’équation ressemblera à : Qu’est-ce que cela nous a donné ? Voici quoi : Les nombres avec des bases différentes mais les mêmes exposants peuvent être multipliés.Dans ce cas, les bases sont multipliées, mais l'indicateur ne change pas :

Dans ma situation, cela donnera :

\begin(aligner)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fin(aligner)

Pas mal, non ?

3. Je n’aime pas quand, inutilement, j’ai deux termes d’un côté de l’équation et aucun de l’autre (parfois, bien sûr, cela est justifié, mais ce n’est pas le cas actuellement). Je vais déplacer le terme moins vers la droite :

Maintenant, comme avant, j’écrirai tout en termes de puissances de trois :

J'ajoute les degrés à gauche et j'obtiens une équation équivalente

Vous pouvez facilement trouver sa racine :

4. Comme dans le troisième exemple, le terme moins a sa place à droite !

A ma gauche, presque tout va bien, sauf quoi ? Oui, le « mauvais degré » des deux me dérange. Mais je peux facilement résoudre ce problème en écrivant : . Eurêka - à gauche toutes les bases sont différentes, mais tous les degrés sont les mêmes ! Multiplions-nous immédiatement !

Là encore tout est clair : (si vous ne comprenez pas comment magiquement J'ai obtenu la dernière égalité, je fais une pause d'une minute, je respire et je relis très attentivement les propriétés du diplôme. Qui a dit qu'on pouvait sauter un diplôme avec indicateur négatif? Eh bien, c'est ce que je dis, personne). Maintenant j'obtiendrai :

\begin(aligner)
& ((2)^(4\gauche((x) -9 \droite)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fin(aligner)

Voici quelques problèmes à mettre en pratique, dont je ne donnerai que les réponses (mais sous une forme « mixte »). Résolvez-les, vérifiez-les, et vous et moi continuerons nos recherches !

Prêt? Réponses comme ceux-ci :

1. n'importe quel chiffre

D'accord, d'accord, je plaisantais ! Voici quelques esquisses de solutions (certaines très brèves !)

Ne pensez-vous pas que ce n'est pas une coïncidence si une fraction à gauche est l'autre « inversée » ? Ce serait un péché de ne pas en profiter :

Cette règle est très souvent utilisée lors de la résolution d’équations exponentielles, retenez-en bien !

Alors l’équation originale deviendra comme ceci :

En résolvant cette équation quadratique, vous obtiendrez les racines suivantes :

2. Autre solution : diviser les deux côtés de l'équation par l'expression de gauche (ou de droite). Je divise par ce qui est à droite, j'obtiens :

Où (pourquoi ?!)

3. Je n’ai même pas envie de me répéter, tout a déjà été tellement « mâché ».

4. équivalent à une équation quadratique, racines

5. Vous devez utiliser la formule donnée dans le premier problème, vous obtiendrez alors cela :

L’équation s’est transformée en une identité triviale qui est vraie pour tous. Alors la réponse est n’importe quel nombre réel.

Eh bien, maintenant vous avez pratiqué la résolution équations exponentielles simples. Maintenant, je veux vous en donner quelques-uns exemples de vie, ce qui vous aidera à comprendre pourquoi ils sont en principe nécessaires. Ici, je vais donner deux exemples. L’un d’eux est assez quotidien, mais l’autre est plus susceptible d’avoir un intérêt scientifique que pratique.

Exemple 1 (mercantile) Laissez-vous avoir des roubles, mais vous voulez les transformer en roubles. La banque vous propose de retirer cet argent à un taux annuel avec capitalisation mensuelle des intérêts (cumul mensuel). La question est : pendant combien de mois faut-il ouvrir un dépôt pour atteindre le montant final requis ? Une tâche assez banale, n'est-ce pas ? Néanmoins, sa solution est associée à la construction de l'équation exponentielle correspondante : Soit la somme initiale, - le montant final, - taux d'intérêt de la période, - nombre de périodes. Alors:

Dans notre cas (si le tarif est annuel, alors il est calculé mensuellement). Pourquoi est-il divisé par ? Si vous ne connaissez pas la réponse à cette question, souvenez-vous du sujet « » ! On obtient alors cette équation :

Cette équation exponentielle ne peut être résolue qu'à l'aide d'une calculatrice (son apparence fait allusion à cela, et cela nécessite une connaissance des logarithmes, dont nous ferons connaissance un peu plus tard), ce que je ferai : ... Ainsi, pour recevoir un million, nous devrons effectuer un dépôt pour un mois ( pas très vite, non ?).

Exemple 2 (plutôt scientifique). Malgré son certain « isolement », je vous recommande de faire attention à lui : il « se glisse régulièrement à l'examen d'État unifié !! (problème tiré de la version « réelle ») Pendant le déclin isotope radioactif sa masse diminue selon la loi, où (mg) est la masse initiale de l'isotope, (min.) est le temps écoulé depuis le moment initial, (min.) est la demi-vie. DANS moment de départ masse isotopique du temps mg. Sa demi-vie est min. Au bout de combien de minutes la masse de l'isotope sera-t-elle égale à mg ? Ce n'est pas grave : on prend et substitue simplement toutes les données dans la formule qui nous est proposée :

Divisons les deux parties par, "dans l'espoir" qu'à gauche nous obtenions quelque chose de digeste :

Eh bien, nous avons beaucoup de chance ! C’est à gauche, alors passons à l’équation équivalente :

Où est min.

Comme vous pouvez le constater, les équations exponentielles ont des applications très réelles dans la pratique. Maintenant, je veux vous montrer une autre façon (simple) de résoudre des équations exponentielles, qui consiste à retirer le facteur commun des parenthèses, puis à regrouper les termes. N'ayez pas peur de mes propos, vous avez déjà découvert cette méthode en 7e lorsque vous étudiiez les polynômes. Par exemple, si vous deviez factoriser l'expression :

Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième. Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :

et les deuxième et quatrième ont multiplicateur commun trois:

Alors l’expression originale est équivalente à ceci :

Où dériver le facteur commun n’est plus difficile :

Ainsi,

C'est à peu près ce que nous ferons lors de la résolution d'équations exponentielles : rechercher le « point commun » entre les termes et le retirer des parenthèses, et ensuite - quoi qu'il arrive, je crois que nous aurons de la chance =)) Par exemple :

A droite c'est loin d'être une puissance de sept (j'ai vérifié !) Et à gauche - c'est un peu mieux, on peut bien sûr "couper" le facteur a du deuxième à partir du premier terme, puis traiter avec ce que tu as, mais soyons plus prudents avec toi. Je ne veux pas m'occuper des fractions qui se forment inévitablement lors de la "sélection", alors ne devrais-je pas plutôt les supprimer ? Alors je n'aurai pas de fractions : comme on dit, les loups sont nourris et les moutons sont en sécurité :

Calculez l'expression entre parenthèses. Comme par magie, comme par magie, il s'avère que cela (étonnamment, mais à quoi d'autre devrions-nous nous attendre ?).

Ensuite, nous réduisons les deux côtés de l’équation de ce facteur. On obtient : , de.

Voici un exemple plus compliqué (un peu, en fait) :

Quel problème! Nous n'en avons pas ici terrain d'entente! On ne sait pas vraiment quoi faire maintenant. Faisons ce que nous pouvons : d’abord, déplaçons les « quatre » d’un côté et les « cinq » de l’autre :

Supprimons maintenant le « général » à gauche et à droite :

Et maintenant ? Quel est l’intérêt d’un groupe aussi stupide ? À première vue, cela n'est pas visible du tout, mais regardons plus en profondeur :

Eh bien, maintenant nous allons nous assurer qu'à gauche nous n'avons que l'expression c, et à droite - tout le reste. Comment faisons-nous cela? Voici comment procéder : divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (pour éliminer l'exposant de droite), puis divisez les deux côtés par (pour éliminer le facteur numérique à gauche). Finalement on obtient :

Incroyable! A gauche nous avons une expression, et à droite nous avons une expression simple. On conclut alors immédiatement que

Voici un autre exemple à renforcer :

je vais l'amener solution courte(sans trop vous embêter avec des explications), essayez de comprendre vous-même toutes les « subtilités » de la solution.

Passons maintenant à la consolidation finale du matériel couvert. Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants. je vais juste donner brèves recommandations et des conseils pour les résoudre :

1. Retirons le facteur commun entre parenthèses : Où :
2. Présentons la première expression sous la forme : , divisez les deux côtés par et obtenez cela
3. , puis l'équation d'origine est transformée sous la forme : Eh bien, maintenant un indice : cherchez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
4. Imaginez comment, comment, ah, eh bien, puis divisez les deux côtés par, pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
5. Sortez-le des parenthèses.
6. Sortez-le des parenthèses.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU MOYEN

Je suppose qu'après avoir lu le premier article, qui parlait de que sont les équations exponentielles et comment les résoudre, tu as maîtrisé le minimum nécessaire connaissances nécessaires pour résoudre des exemples simples.

Je vais maintenant examiner une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, c'est

« méthode d'introduction d'une nouvelle variable » (ou de remplacement). Il résout les problèmes les plus « difficiles » sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations). Cette méthode est l’une des plus fréquemment utilisées en pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.

Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transformera miraculeusement en une équation que vous pourrez facilement résoudre. Il ne vous reste plus qu'à faire un « remplacement inversé » après avoir résolu cette « équation très simplifiée » : c'est-à-dire le retour du remplacé au remplacé. Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Exemple 1:

Cette équation est résolue à l’aide d’une « simple substitution », comme l’appellent de manière désobligeante les mathématiciens. En fait, le remplacement ici est le plus évident. Il suffit de voir ça

L’équation originale se transformera alors en ceci :

Si nous imaginons également comment, alors il est absolument clair ce qui doit être remplacé : bien sûr, . Que devient alors l’équation originale ? Voici quoi :

Vous pouvez facilement retrouver ses racines par vous-même : . Que devons-nous faire maintenant? Il est temps de revenir à la variable d'origine. Qu'ai-je oublié de mentionner ? A savoir : lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du remplacement d'un type), je m'intéresserai à seulement racines positives! Vous pouvez facilement répondre vous-même pourquoi. Ainsi, vous et moi ne sommes pas intéressés, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :

Alors d'où.

Répondre:

Comme vous pouvez le voir, dans l’exemple précédent, un remplaçant demandait simplement nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas. Cependant, n’allons pas directement aux choses tristes, mais pratiquons avec un autre exemple avec un remplacement assez simple.

Exemple 2.

Il est clair que nous devrons très probablement effectuer un remplacement (c'est la plus petite des puissances incluses dans notre équation), mais avant d'introduire un remplacement, notre équation doit y être « préparée », à savoir : , . Ensuite, vous pouvez remplacer, j'obtiens ainsi l'expression suivante :

Oh mon Dieu: équation cubique avec des formules absolument terribles pour sa solution (enfin, en termes généraux). Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce que nous devrions faire. Je suggère de tricher : nous savons que pour obtenir une « belle » réponse, nous devons l'obtenir sous la forme d'une puissance de trois (pourquoi, hein ?). Essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je vais commencer par deviner avec des puissances de trois).

Devinez d’abord. Pas une racine. Hélas et ah...

.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !
Manger! J'ai deviné la première racine. Maintenant, les choses vont devenir plus faciles !

Connaissez-vous le système de division en « coin » ? Bien sûr que c’est le cas, vous l’utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre. Mais peu de gens savent qu’on peut faire la même chose avec les polynômes. Il existe un théorème merveilleux :

S'appliquant à ma situation, cela me dit qu'il est divisible sans reste par. Comment s’effectue la division ? C'est comme ça:

Je regarde par quel monôme je dois multiplier pour obtenir Clearly, puis :

Je soustrais l'expression résultante, j'obtiens :

Maintenant, par quoi dois-je multiplier pour obtenir ? Il est clair que sur, alors j'obtiendrai :

et soustrayez à nouveau l'expression résultante de l'expression restante :

Eh bien, la dernière étape consiste à multiplier par et à soustraire de l'expression restante :

Hourra, la division est terminée ! Qu’avons-nous accumulé en privé ? Par lui-même: .

Nous obtenons alors le développement suivant du polynôme original :

Résolvons la deuxième équation :

Il a des racines :

Alors l'équation originale :

a trois racines :

Nous écarterons bien entendu la dernière racine, car elle moins que zéro. Et les deux premiers après remplacement inverse nous donneront deux racines :

Répondre: ..

Je ne voulais pas du tout vous effrayer avec cet exemple ; mon but était plutôt de montrer que même si nous avions un remplacement assez simple, il conduisait néanmoins à des résultats assez simples. équation complexe, dont la solution a nécessité de notre part des compétences particulières. Eh bien, personne n’est à l’abri de cela. Mais le remplacement dans dans ce casétait assez évident.

Voici un exemple avec un remplacement légèrement moins évident :

Ce que nous devons faire n’est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation il y a deux bases différentes et qu’une base ne peut pas être obtenue à partir de l’autre en l’élevant à une puissance (raisonnable, bien sûr). Cependant, que voit-on ? Les deux bases ne diffèrent que par le signe, et leur produit est la différence des carrés égal à un :

Définition:

Ainsi, les nombres qui sont les bases dans notre exemple sont conjugués.

Dans ce cas, la démarche intelligente serait Multipliez les deux côtés de l’équation par le nombre conjugué.

Par exemple, le côté gauche de l'équation deviendra égal à et le côté droit. Si nous effectuons une substitution, alors notre équation originale deviendra comme ceci :

ses racines, alors, et en nous souvenant de cela, nous comprenons cela.

Répondre: , .

En règle générale, la méthode de remplacement est suffisante pour résoudre la plupart des équations exponentielles « scolaires ». Les tâches suivantes sont tirées de l'examen d'État unifié C1 ( niveau augmenté des difficultés). Vous êtes déjà suffisamment instruit pour résoudre ces exemples par vous-même. Je ne donnerai que le remplacement requis.

1. Résous l'équation:
2. Trouvez les racines de l'équation :
3. Résous l'équation: . Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :

Et maintenant quelques brèves explications et réponses :

1. Ici, il nous suffit de constater que... Alors l’équation originale sera équivalente à ceci : Cette équation résolu par remplacement. Faites d’autres calculs vous-même. Au final, votre tâche se résumera à résoudre des problèmes trigonométriques simples (en fonction du sinus ou du cosinus). Solution exemples similaires nous l'examinerons dans d'autres sections.
2. Ici, vous pouvez même vous passer de substitution : déplacez simplement le sous-trahend vers la droite et représentez les deux bases par des puissances de deux : , puis passez directement à l'équation quadratique.
3. La troisième équation est également résolue de manière assez classique : imaginons comment. Ensuite, en remplaçant, on obtient une équation quadratique : alors,

   Vous savez déjà ce qu'est un logarithme, n'est-ce pas ? Non? Alors lisez le sujet de toute urgence !

   La première racine n’appartient évidemment pas au segment, mais la seconde n’est pas claire ! Mais nous le saurons très bientôt ! Puisque donc (c’est une propriété du logarithme !) comparons :

   Soustrayons des deux côtés, on obtient alors :

   Côté gauche peut être représenté comme suit :

   multiplier les deux côtés par :

   peut être multiplié par, alors

   Comparez ensuite :

   depuis lors:

   Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle requis

   Répondre:

Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite une connaissance assez approfondie des propriétés des logarithmes, je vous conseille donc d'être aussi prudent que possible lors de la résolution d'équations exponentielles. Vous l’aurez compris, en mathématiques, tout est lié ! Comme le disait mon professeur de mathématiques : « les mathématiques, comme l’histoire, ne peuvent pas être lues du jour au lendemain ».

En règle générale, tout La difficulté de résoudre les problèmes C1 réside précisément dans la sélection des racines de l’équation. Pratiquons avec un autre exemple :

Il est clair que l’équation elle-même est résolue tout simplement. En effectuant une substitution, nous réduisons notre équation originale à la suivante :

Regardons d'abord la première racine. Comparons et : depuis, alors. (propriété fonction logarithmique, à). Il est alors clair que la racine première n’appartient pas à notre intervalle. Maintenant la deuxième racine : . Il est clair que (puisque la fonction at est croissante). Reste à comparer et...

depuis, en même temps. De cette façon, je peux « enfoncer une cheville » entre le et. Cette cheville est un nombre. La première expression est inférieure et la seconde est plus grande. Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l’intervalle.

Répondre: .

Enfin, regardons un autre exemple d'équation où la substitution est assez non standard :

Commençons tout de suite par ce qui peut être fait et ce qui, en principe, peut être fait, mais il vaut mieux ne pas le faire. Vous pouvez tout imaginer grâce aux puissances de trois, deux et six. Où cela mène-t-il ? Cela ne mènera à rien : un fouillis de diplômes dont certains seront bien difficiles à se débarrasser. Que faut-il alors ? Notons que a Et qu'est-ce que cela nous donne ? Et le fait qu’on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d’une équation exponentielle assez simple ! Tout d’abord, réécrivons notre équation comme suit :

Divisons maintenant les deux côtés de l'équation résultante par :

Eurêka ! Maintenant on peut remplacer, on obtient :

Eh bien, c'est maintenant à votre tour de résoudre les problèmes de démonstration, et je ne leur ferai que de brefs commentaires pour que vous ne soyez pas confus la bonne voie! Bonne chance!

1. Le plus difficile ! C'est tellement difficile de voir un remplaçant ici ! Néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant décharge carré complet . Pour le résoudre, il suffit de noter que :

Alors voici votre remplaçant :

(Notez qu'ici, dans notre remplacement, nous ne pouvons pas supprimer racine négative!!! Pourquoi pensez-vous?)

Maintenant, pour résoudre l’exemple, il vous suffit de résoudre deux équations :

Les deux problèmes peuvent être résolus par un « remplacement standard » (mais le deuxième dans un exemple !)

2. Notez-le et effectuez un remplacement.

3. Décomposez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.

4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou, si vous préférez) et effectuez la substitution ou.

5. Notez que les nombres et sont conjugués.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU AVANCÉ

De plus, regardons une autre manière - résoudre des équations exponentielles à l'aide de la méthode du logarithme. Je ne peux pas dire que la résolution d'équations exponentielles à l'aide de cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas seulement, cela peut nous conduire à la bonne décision notre équation. Il est particulièrement souvent utilisé pour résoudre ce qu'on appelle « équations mixtes " : c'est-à-dire ceux où se produisent des fonctions de différents types.

Par exemple, une équation de la forme :

V cas général ne peut être résolu qu'en prenant le logarithme des deux côtés (par exemple, à la base), ce qui transformera l'équation originale comme suit :

Regardons l'exemple suivant :

Il est clair que Logarithmique ODZ fonctions qui nous intéressent uniquement. Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais aussi d'une autre raison. Je pense qu’il ne vous sera pas difficile de deviner de quoi il s’agit.

Prenons le logarithme des deux côtés de notre équation à la base :

Comme vous pouvez le voir, en prenant le logarithme de notre équation originale nous a conduit assez rapidement à la bonne (et belle !) réponse. Pratiquons avec un autre exemple :

Il n’y a rien de mal ici non plus : prenons le logarithme des deux côtés de l’équation à la base, nous obtenons alors :

Faisons un remplacement :

Cependant, nous avons raté quelque chose ! Avez-vous remarqué où j'ai fait une erreur ? Après tout, alors :

ce qui ne satisfait pas à l’exigence (pensez à d’où cela vient !)

Répondre:

Essayez d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :

Comparez maintenant votre décision avec ceci :

1. Logarithmonons les deux côtés à la base, en tenant compte de ce qui suit :

(la deuxième racine ne nous convient pas en raison du remplacement)

2. Logarithme à la base :

Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE

Équation exponentielle

Équation de la forme :

appelé l'équation exponentielle la plus simple.

Propriétés des diplômes

Approches de solution

• Menant à même base
• Menant à le même indicateur degrés
• Remplacement variable
• Simplifier l'expression et appliquer l'une des solutions ci-dessus.