La tangente de l'angle d'inclinaison de la ligne est 0 25. Équation de la tangente au graphique de la fonction

Apprenez à prendre des dérivées de fonctions. La dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un certain point situé sur le graphique de cette fonction. DANS dans ce cas Le graphique peut être une ligne droite ou courbe. Autrement dit, la dérivée caractérise le taux de changement d'une fonction à un moment donné. Souviens-toi règles générales, par lequel les dérivés sont pris, et ensuite seulement passer à l'étape suivante.

• Lire l'article.
• Comment prendre les dérivées les plus simples, par exemple la dérivée équation exponentielle, décrit. Les calculs présentés dans les étapes suivantes seront basés sur les méthodes qui y sont décrites.

Apprenez à distinguer les tâches dans lesquelles pente doit être calculé via la dérivée de la fonction. Les problèmes ne vous demandent pas toujours de trouver la pente ou la dérivée d’une fonction. Par exemple, on vous demandera peut-être de trouver le taux de changement d’une fonction au point A(x,y). Il peut également vous être demandé de trouver la pente de la tangente au point A(x,y). Dans les deux cas il faut prendre la dérivée de la fonction.

La droite y=f(x) sera tangente au graphique représenté sur la figure au point x0 si elle passe par le point de coordonnées (x0; f(x0)) et a un coefficient angulaire f"(x0). Trouver un tel coefficient, connaissant les caractéristiques d'une tangente, ce n'est pas difficile.

Tu auras besoin de

• - ouvrage de référence mathématique ;
• - un simple crayon ;
• - carnet de notes;
• - rapporteur ;
• - boussole;
• - stylo.

Instructions

Si la valeur f'(x0) n'existe pas, alors soit il n'y a pas de tangente, soit elle est verticale. Compte tenu de cela, la présence d'une dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale tangente au graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à f" (x0). Ainsi, il devient clair signification géométrique dérivée – calcul de la pente de la tangente.

Dessinez des tangentes supplémentaires qui seraient en contact avec le graphique de la fonction aux points x1, x2 et x3, et marquez également les angles formés par ces tangentes avec l'axe des x (cet angle est compté dans le sens positif de l'axe vers le ligne tangente). Par exemple, l'angle, c'est-à-dire α1, sera aigu, le deuxième (α2) sera obtus et le troisième (α3) égal à zéro, puisque la tangente est parallèle à l'axe OX. Dans ce cas, tangente angle obtus– négatif, la tangente de l’angle aigu est positive, et à tg0 le résultat est nul.

note

Déterminez correctement l’angle formé par la tangente. Pour ce faire, utilisez un rapporteur.

Conseil utile

Deux lignes inclinées seront parallèles si leurs coefficients angulaires sont égaux ; perpendiculaire si le produit des coefficients angulaires de ces tangentes est égal à -1.

Sources:

• Tangente au graphique d'une fonction

Le cosinus, comme le sinus, est classé comme fonction trigonométrique « directe ». La tangente (avec la cotangente) est classée dans une autre paire appelée « dérivées ». Il existe plusieurs définitions de ces fonctions qui permettent de retrouver la tangente donnée par valeur connue cosinus de même valeur.

Instructions

Soustraire le quotient de un par la valeur du cosinus angle donné, et extrayez la racine carrée du résultat - ce sera la valeur tangente de l'angle, exprimée par son cosinus : tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Veuillez noter que dans la formule, le cosinus est au dénominateur de la fraction. L'impossibilité de diviser par zéro exclut l'utilisation de cette expression pour des angles égaux à 90°, ainsi que pour ceux différant de cette valeur par des nombres multiples de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Il existe une autre façon de calculer la tangente à partir d’une valeur de cosinus connue. Il peut être utilisé s’il n’y a aucune restriction quant à l’utilisation d’autrui. Pour mettre en œuvre cette méthode, déterminez d'abord la valeur de l'angle à partir d'une valeur de cosinus connue - cela peut être fait à l'aide de la fonction arc cosinus. Ensuite, calculez simplement la tangente de l'angle de la valeur résultante. DANS vue générale cet algorithme peut s'écrire comme suit : tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Il existe également une option exotique utilisant la définition du cosinus et de la tangente aux angles aigus d'un triangle rectangle. Dans cette définition, le cosinus correspond au rapport de la longueur de la jambe adjacente à l'angle considéré sur la longueur de l'hypoténuse. Connaissant la valeur du cosinus, vous pouvez sélectionner les longueurs correspondantes de ces deux côtés. Par exemple, si cos(α) = 0,5, alors le adjacent peut être pris égal à 10 cm et l'hypoténuse à 20 cm. Les nombres spécifiques n'ont pas d'importance ici - vous obtiendrez les mêmes nombres corrects avec toutes les valeurs qui ont les mêmes. Ensuite, à l'aide du théorème de Pythagore, déterminez la longueur du côté manquant - jambe opposée. Ce sera égal racine carrée de la différence entre les longueurs de l'hypoténuse au carré et jambe célèbre: √(20²-10²)=√300. Par définition, la tangente correspond au rapport des longueurs des branches opposées et adjacentes (√300/10) - calculez-la et obtenez la valeur de la tangente trouvée en utilisant définition classique cosinus.

Sources:

• cosinus par formule tangente

Un des fonctions trigonométriques, le plus souvent désigné par les lettres tg, bien que l'on trouve également les désignations tan. La manière la plus simple de représenter la tangente est sous la forme d'un rapport sinusoïdal. angleà son cosinus. C'est étrange périodique et non fonction continue, dont chaque cycle égal au nombre Pi, et le point d'arrêt correspond à la moitié de ce nombre.

En mathématiques, l'un des paramètres décrivant la position d'une droite sur plan cartesien les coordonnées sont la pente de cette ligne. Ce paramètre caractérise la pente de la droite par rapport à l'axe des abscisses. Pour comprendre comment trouver la pente, rappelez d'abord la forme générale de l'équation d'une droite dans le système de coordonnées XY.

En général, toute ligne droite peut être représentée par l'expression ax+by=c, où a, b et c sont arbitraires. nombres réels, mais nécessairement a 2 + b 2 ≠ 0.

En utilisant des transformations simples, une telle équation peut être amenée à la forme y=kx+d, dans laquelle k et d sont des nombres réels. Le nombre k est la pente, et l'équation d'une droite de ce type est appelée équation avec pente. Il s'avère que pour trouver la pente, il suffit d'apporter équation originale au type ci-dessus. Pour une compréhension plus complète, considérons un exemple spécifique :

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 36x - 18y = 108

Solution : Transformons l'équation d'origine.

Réponse : La pente requise de cette ligne est de 2.

Si, lors de la transformation de l'équation, nous avons reçu une expression comme x = const et que par conséquent nous ne pouvons pas représenter y en fonction de x, alors nous avons affaire à une droite parallèle à l'axe X. Le coefficient angulaire de telle. une ligne droite est égale à l'infini.

Pour les droites exprimées par une équation comme y = const, la pente est nulle. Ceci est typique des lignes droites parallèles à l’axe des abscisses. Par exemple:

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solution : Ramenons l'équation originale à sa forme générale

24x + 12 ans - 12 ans + 28 = 4

Il est impossible d'exprimer y à partir de l'expression résultante, donc le coefficient angulaire de cette ligne est égal à l'infini et la ligne elle-même sera parallèle à l'axe Y.

Signification géométrique

Pour une meilleure compréhension, regardons l'image :

Sur la figure, nous voyons un graphique d'une fonction comme y = kx. Pour simplifier, prenons le coefficient c = 0. Dans le triangle OAB, le rapport du côté BA sur AO sera égal au coefficient angulaire k. En même temps, le rapport VA/AO est la tangente de l'angle aigu α en triangle rectangle OAV. Il s'avère que le coefficient angulaire de la droite est égal à la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe des abscisses de la grille de coordonnées.

En résolvant le problème de savoir comment trouver le coefficient angulaire d'une ligne droite, nous trouvons la tangente de l'angle entre celle-ci et l'axe X de la grille de coordonnées. Cas limites, lorsque la ligne en question est parallèle aux axes de coordonnées, confirmez ce qui précède. En effet, pour une droite décrite par l'équation y=const, l'angle entre elle et l'axe des abscisses est nul. La tangente de l'angle zéro est également nulle et la pente est également nulle.

Pour les droites perpendiculaires à l’axe des abscisses et décrites par l’équation x=const, l’angle entre elles et l’axe X est de 90 degrés. Tangente angle droit est égal à l'infini, et le coefficient angulaire de droites similaires est également égal à l'infini, ce qui confirme ce qui a été écrit ci-dessus.

Pente tangente

Une tâche courante souvent rencontrée dans la pratique consiste également à trouver la pente d'une tangente au graphique d'une fonction en un certain point. Une tangente est une ligne droite, la notion de pente lui est donc également applicable.

Pour savoir comment trouver la pente d’une tangente, il va falloir rappeler la notion de dérivée. La dérivée de toute fonction à un moment donné est une constante, numériquement égal à la tangente l'angle formé entre la tangente en un point spécifié au graphique de cette fonction et l'axe des abscisses. Il s'avère que pour déterminer le coefficient angulaire de la tangente au point x 0, nous devons calculer la valeur de la dérivée de la fonction d'origine en ce point k = f"(x 0). Regardons un exemple :

Problème : Trouver la pente de la droite tangente à la fonction y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solution : trouver la dérivée de la fonction d'origine sous forme générale

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Réponse : La pente requise au point x = 0,1 est de 4,831

La dérivée d'une fonction est l'une des sujets difficiles V programme scolaire. Tous les diplômés ne répondront pas à la question de savoir ce qu'est un dérivé.

Cet article explique de manière simple et claire ce qu'est un dérivé et pourquoi il est nécessaire.. Nous ne rechercherons pas maintenant la rigueur mathématique dans la présentation. Le plus important est d’en comprendre le sens.

Rappelons la définition :

La dérivée est le taux de variation d'une fonction.

La figure montre des graphiques de trois fonctions. Selon vous, lequel connaît la croissance la plus rapide ?

La réponse est évidente : la troisième. Il présente le taux de variation le plus élevé, c'est-à-dire la dérivée la plus importante.

Voici un autre exemple.

Kostya, Grisha et Matvey ont trouvé un emploi en même temps. Voyons comment leurs revenus ont évolué au cours de l'année :

Le graphique montre tout en même temps, n'est-ce pas ? Les revenus de Kostya ont plus que doublé en six mois. Et les revenus de Grisha ont également augmenté, mais juste un peu. Et les revenus de Matvey sont tombés à zéro. Les conditions de départ sont les mêmes, mais le taux de changement de la fonction, c'est-à-dire dérivé, - différent. Quant à Matvey, sa dérivée de revenu est généralement négative.

Intuitivement, nous estimons facilement le taux de changement d’une fonction. Mais comment faire cela ?

Ce que nous examinons réellement, c'est la vitesse à laquelle le graphique d'une fonction monte (ou descend). En d’autres termes, à quelle vitesse y change-t-il lorsque x change ? Évidemment, la même fonction dans différents points puis-je avoir sens différent dérivé - c'est-à-dire qu'il peut changer plus rapidement ou plus lentement.

La dérivée d'une fonction est notée .

Nous allons vous montrer comment le trouver à l’aide d’un graphique.

Un graphique d'une fonction a été dessiné. Prenons un point marqué en abscisse. Traçons une tangente au graphique de la fonction à ce stade. Nous voulons estimer la vitesse à laquelle le graphique de fonction augmente. Une valeur pratique pour cela est tangente de l'angle tangent.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en ce point.

Veuillez noter que comme angle d'inclinaison de la tangente, nous prenons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe.

Parfois, les élèves demandent ce qu’est une tangente au graphique d’une fonction. C'est une ligne droite qui n'a qu'un seul point commun avec un graphique, et comme le montre notre figure. Cela ressemble à une tangente à un cercle.

Trouvons-le. On rappelle que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle égal au rapport le côté opposé au côté adjacent. Du triangle :

Nous avons trouvé la dérivée à l'aide d'un graphique sans même connaître la formule de la fonction. De tels problèmes se retrouvent souvent dans l'examen d'État unifié de mathématiques sous le numéro.

Il existe une autre relation importante. Rappelons que la droite est donnée par l'équation

La quantité dans cette équation est appelée pente d'une droite. Elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe.

.

Nous obtenons cela

Rappelons cette formule. Il exprime la signification géométrique de la dérivée.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.

En d’autres termes, la dérivée est égale à la tangente de l’angle tangent.

Nous avons déjà dit qu'une même fonction peut avoir des dérivées différentes en différents points. Voyons comment la dérivée est liée au comportement de la fonction.

Traçons un graphique d'une fonction. Laissez cette fonction augmenter dans certains domaines et diminuer dans d'autres, et avec à des vitesses différentes. Et laissez cette fonction avoir des points maximum et minimum.

À un moment donné, la fonction augmente. La tangente au graphique tracé au point forme angle vif; avec une direction d'axe positive. Cela signifie que la dérivée en ce point est positive.

Au point où notre fonction diminue. La tangente forme en ce point un angle obtus ; avec une direction d'axe positive. Puisque la tangente d’un angle obtus est négative, la dérivée en ce point est négative.

Voici ce qui se passe :

Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive.

Si elle diminue, sa dérivée est négative.

Que se passera-t-il aux points maximum et minimum ? On voit qu'aux points (point maximum) et (point minimum) la tangente est horizontale. Par conséquent, la tangente de la tangente en ces points est nulle et la dérivée est également nulle.

Point - point maximum. A ce stade, l’augmentation de la fonction est remplacée par une diminution. Par conséquent, le signe de la dérivée change au point de « plus » à « moins ».

Au point - le point minimum - la dérivée est également nulle, mais son signe passe de « moins » à « plus ».

Conclusion : grâce à la dérivée, on peut découvrir tout ce qui nous intéresse sur le comportement d'une fonction.

Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.

Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.

Au point maximum, la dérivée est nulle et change de signe de « plus » à « moins ».

Au point minimum, la dérivée est également nulle et change de signe du moins au plus.

Écrivons ces conclusions sous forme de tableau :

Apportons deux petites précisions. Vous en aurez besoin pour résoudre le problème. Un autre - en première année, avec une étude plus sérieuse des fonctions et des dérivées.

Il est possible que la dérivée d'une fonction à un moment donné soit égale à zéro, mais la fonction n'a ni maximum ni minimum à ce stade. C'est ce qu'on appelle :

En un point, la tangente au graphique est horizontale et la dérivée est nulle. Cependant, avant ce point, la fonction augmentait - et après ce point, elle continue d'augmenter. Le signe de la dérivée ne change pas - il reste positif comme avant.

Il arrive aussi qu'au point de maximum ou de minimum la dérivée n'existe pas. Sur le graphique, cela correspond à une rupture brutale, lorsqu'il est impossible de tracer une tangente en un point donné.

Comment trouver la dérivée si la fonction est donnée non pas par un graphique, mais par une formule ? Dans ce cas, cela s'applique

DANS chapitre précédent il a été montré qu'en choisissant un certain système de coordonnées sur l'avion, nous pouvons propriétés géométriques, qui caractérise les points de la droite considérée, s'exprime analytiquement par une équation entre les coordonnées courantes. On obtient ainsi l'équation de la droite. Ce chapitre examinera les équations des droites.

Écrire l’équation d’une droite en Coordonnées cartésiennes, vous devez d'une manière ou d'une autre définir les conditions qui déterminent sa position par rapport aux axes de coordonnées.

Dans un premier temps, nous introduirons la notion de coefficient angulaire d'une droite, qui est l'une des grandeurs caractérisant la position d'une droite sur un plan.

Appelons l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe Ox l'angle dont l'axe Ox doit être tourné pour qu'il coïncide avec la ligne donnée (ou lui soit parallèle). Comme d'habitude, nous considérerons l'angle en tenant compte du signe (le signe est déterminé par le sens de rotation : antihoraire ou horaire). Puisqu'une rotation supplémentaire de l'axe Ox d'un angle de 180° l'alignera à nouveau avec la droite, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe ne peut pas être choisi sans ambiguïté (jusqu'à un terme multiple de ) .

La tangente de cet angle est déterminée de manière unique (puisque changer l'angle ne change pas sa tangente).

La tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe Ox est appelée coefficient angulaire de la droite.

Le coefficient angulaire caractérise la direction de la droite (on ne distingue pas les deux mutuellement directions opposées droit). Si la pente d’une droite est nulle, alors la droite est parallèle à l’axe des x. Avec un coefficient angulaire positif, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera aigu (on considère ici le plus petit valeur positive angle d'inclinaison) (Fig. 39); De plus, plus le coefficient angulaire est grand, plus angle plus grand son inclinaison par rapport à l'axe Ox. Si le coefficient angulaire est négatif, alors l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera obtus (Fig. 40). A noter qu'une droite perpendiculaire à l'axe Ox n'a pas de coefficient angulaire (la tangente de l'angle n'existe pas).