Définition. Laissez la fonction \(y = f(x) \) être définie dans un certain intervalle contenant le point \(x_0\) en lui-même. Donnons à l'argument un incrément \(\Delta x \) tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction \(\Delta y \) (lors du passage du point \(x_0 \) au point \(x_0 + \Delta x \)) et composons la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). S'il existe une limite à ce rapport à \(\Delta x \rightarrow 0\), alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction\(y=f(x) \) au point \(x_0 \) et notons \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée." Notez que y" = f(x) est nouvelle fonctionnalité, mais naturellement associé à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).
Signification géométrique dérivé est la suivante. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
\(k = f"(a)\)
Puisque \(k = tg(a) \), alors l'égalité \(f"(a) = tan(a) \) est vraie.
Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction \(y = f(x)\) avoir une dérivée dans point précis\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), c'est-à-dire \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction \(y = x^2\) l'égalité approximative \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.
Formulons-le.
Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?
1. Corrigez la valeur de \(x\), recherchez \(f(x)\)
2. Donnez à l'argument \(x\) un incrément \(\Delta x\), allez à nouveau point\(x+ \Delta x \), trouver \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trouvez l'incrément de la fonction : \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Créez la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.
Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).
Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?
Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.
Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) est vraie. Si dans cette égalité \(\Delta x \) tend vers zéro, alors \(\Delta y \) tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.
Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.
L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.
Un autre exemple. La fonction \(y=\sqrt(x)\) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Coefficient de pente une telle ligne n'en a pas, ce qui signifie que \(f"(0) \) n'existe pas non plus
Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?
La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.
Règles de différenciation
L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C- nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tableau des dérivées de certaines fonctions
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Considérez la figure suivante.
Il montre le graphique de la fonction y = x^3 – 3*x^2. Considérons un intervalle contenant le point x = 0, par exemple de -1 à 1. Un tel intervalle est aussi appelé voisinage du point x = 0. Comme on peut le voir sur le graphique, dans ce voisinage la fonction y = x ^3 – 3*x^2 prend la plus grande valeur précisément au point x = 0.
Fonction maximale et minimale
Dans ce cas, le point x = 0 est appelé point maximum de la fonction. Par analogie avec cela, le point x = 2 est appelé le point minimum de la fonction y = x^3 – 3*x^2. Parce qu'il existe un voisinage de ce point dans lequel la valeur en ce point sera minime parmi toutes les autres valeurs de ce quartier.
Point maximum la fonction f(x) est appelée le point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x non égal à x0 à partir de ce voisinage, l'inégalité f(x) est vraie< f(x0).
Point minimum la fonction f(x) est appelée le point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x non égal à x0 à partir de ce voisinage, l'inégalité f(x) > f(x0) est vraie.
Aux points de maximum et de minimum des fonctions, la valeur de la dérivée de la fonction est nulle. Mais ce n'est pas état suffisant pour l'existence au point de maximum ou de minimum d'une fonction.
Par exemple, la fonction y = x^3 au point x = 0 a une dérivée égal à zéro. Mais le point x = 0 n'est pas le point minimum ou maximum de la fonction. Comme vous le savez, la fonction y = x^3 augmente sur tout l'axe numérique.
Ainsi, les points minimum et maximum seront toujours parmi les racines de l’équation f’(x) = 0. Mais toutes les racines de cette équation ne seront pas des points maximum ou minimum.
Points stationnaires et critiques
Les points auxquels la valeur de la dérivée de la fonction est nulle sont appelés points stationnaires. Il peut également y avoir des points de maximum ou de minimum aux points auxquels la dérivée de la fonction n'existe pas du tout. Par exemple, y = |x| au point x = 0 a un minimum, mais la dérivée n'existe pas à ce stade. Ce point sera le point critique de la fonction.
Les points critiques d'une fonction sont les points auxquels la dérivée est égale à zéro, ou la dérivée n'existe pas en ce point, c'est-à-dire que la fonction en ce point est non différentiable. Afin de trouver le maximum ou le minimum d’une fonction, une condition suffisante doit être remplie.
Soit f(x) une fonction différentiable sur l'intervalle (a;b). Le point x0 appartient à cet intervalle et f’(x0) = 0. Alors :
1. si, en passant par un point stationnaire x0, la fonction f(x) et sa dérivée changent de signe, de « plus » à « moins », alors le point x0 est le point maximum de la fonction.
2. si, en passant par un point stationnaire x0, la fonction f(x) et sa dérivée changent de signe, de « moins » à « plus », alors le point x0 est le point minimum de la fonction.
La fonction s'incrémente jusqu'à l'incrément de l'argument, qui tend vers zéro. Pour le trouver, utilisez la table des dérivées. Par exemple, la dérivée de la fonction y = x3 sera égale à y’ = x2.
Égalez cette dérivée à zéro (en dans ce cas x2=0).
Trouvez la valeur de la variable donnée. Ce seront les valeurs auxquelles la dérivée donnée sera égale à 0. Pour ce faire, remplacez x dans l'expression par des nombres arbitraires, auxquels l'expression entière deviendra nulle. Par exemple:
2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1
Tracez les valeurs obtenues sur la ligne de coordonnées et calculez le signe de la dérivée pour chacune des valeurs obtenues. Les points sont marqués sur la ligne de coordonnées, qui sont pris comme origine. Pour calculer la valeur dans les intervalles, remplacez les valeurs arbitraires qui correspondent aux critères. Par exemple, pour la fonction précédente avant l'intervalle -1, vous pouvez sélectionner la valeur -2. Pour les valeurs de -1 à 1, vous pouvez sélectionner 0, et pour les valeurs supérieures à 1, sélectionner 2. Remplacez ces nombres par la dérivée et découvrez le signe de la dérivée. Dans ce cas, la dérivée avec x = -2 sera égale à -0,24, soit négatif et il y aura un signe moins sur cet intervalle. Si x=0, alors la valeur sera égale à 2, et un signe est placé sur cet intervalle. Si x=1, alors la dérivée sera également égale à -0,24 et un moins est mis.
Si, en passant par un point sur la ligne de coordonnées, la dérivée change de signe de moins à plus, alors c'est un point minimum, et si de plus à moins, alors c'est un point maximum.
Vidéo sur le sujet
Pour trouver la dérivée, il existe des services en ligne qui calculent valeurs requises et afficher le résultat. Sur ces sites, vous pouvez trouver des dérivés jusqu'au 5ème ordre.
Sources :
- L'un des services de calcul des dérivés
- point maximum de la fonction
Les points maximum d’une fonction, ainsi que les points minimum, sont appelés points extremum. À ces moments-là, la fonction change de comportement. Les extrema sont déterminés sur des intervalles numériques limités et sont toujours locaux.
Instructions
Processus de recherche extrêmes locaux est appelé une fonction et est effectué en analysant les dérivées première et seconde de la fonction. Avant de commencer l'étude, assurez-vous que la plage spécifiée de valeurs d'arguments appartient à valeurs acceptables. Par exemple, pour la fonction F=1/x l'argument x=0 n'est pas valide. Ou pour la fonction Y=tg(x) l'argument ne peut pas avoir la valeur x=90°.
Assurez-vous que la fonction Y est différentiable sur tout l'intervalle donné. Trouvez la dérivée première de Y." Évidemment, avant d'atteindre le point de maximum local, la fonction augmente, et en passant par le maximum, la fonction devient décroissante. La dérivée première dans son signification physique caractérise le taux de changement d’une fonction. Tandis que la fonction augmente, la vitesse de ce processus est positive. En passant par un maximum local, la fonction commence à diminuer et le taux de variation de la fonction devient négatif. La transition du taux de variation de la fonction jusqu'à zéro se produit au point de maximum local.
Par exemple, la fonction Y=-x²+x+1 sur le segment de -1 à 1 a une dérivée continue Y"=-2x+1. A x=1/2 la dérivée est nulle, et en passant par ce point la dérivée change de signe de " +" à "-". La dérivée seconde de la fonction Y"=-2. Tracez un graphique point par point de la fonction Y=-x²+x+1 et vérifiez si le point d'abscisse x=1/2 est un maximum local sur un segment donné de l'axe des nombres.
Définition 1. Points extrêmes fonctions – points de minimum et maximum de la fonction.
Définition 2. Point X= X 0 est appelé point maximum (maximum) fonctions f(X X f(x) < f(X 0) pour tous les points X≠ X 0 de cette zone.
Définition 3. Point X= X 0 est appelé point minimum (min) fonctions f(x), s'il existe un δ-voisinage de ce point X 0 dans lequel l'inégalité est vraie f(X) > f(X 0) pour tous les points X≠ X 0 de cette zone.
Sur la fig. 7 X 1 – point minimum, X 2 – points maximum.
Définition 4. La valeur de la fonction au point max (min) est appelée maximum (minimum ) fonctions. Le maximum ou le minimum d'une fonction est appelé extrême (extrait) fonctions.
La notion d'extremum est associée à un certain voisinage d'un point du domaine de définition de la fonction. Une fonction ne peut donc avoir qu’un extremum dans points internes domaine de définition.
Considérons les conditions d'existence extrait fonctions.
Théorème 1. (Théorème de Fermat) ( condition nécessaire points supplémentaires ). Si la fonction différentiable f(X) a un extremum au point x 0 , alors sa dérivée en ce point est égale à zéro: f'(X 0) = 0.
Preuve. Soit, pour être précis, X 0 – point maximum. Cela signifie qu'à proximité du point X 0 égalité est valable f(X 0) >f(X 0 +Δ x) ou f(X 0 +Δ x) – f(X 0) < 0. Тогда, если Δx> 0, alors 
,
si Δ x < 0, то 
. D'après les conditions du théorème, il existe une dérivée 
. Passage à la limite en Δ x→ 0, dans le cas de Δ x> 0 on obtient f'(X 0) ≤ 0, et pour Δ x < 0 получим f'(X 0) ≥ 0.
C'est pourquoi f'(X 0) = 0.
L’énoncé du théorème se prouve de la même manière si X 0 – point min.
Signification géométrique du théorème de Fermat: au point extremum de la fonction différentiable, la tangente à son graphe est parallèle à l'axe Bœuf.
Remarque 1. La réciproque du théorème de Fermat est fausse, c'est-à-dire Si f'(X 0) = 0, alors cela ne veut pas dire que X 0 – point extrême.
Par exemple, pour la fonction oui = x 3 son dérivé oui" = 3x 2 est égal à zéro à x= 0 (à ce stade la tangente au graphique est horizontale), mais x= 0 n'est pas un point supplémentaire (Fig. 5).
Remarque 2. Il existe des fonctions qui n'ont pas de dérivée aux points extrêmes.
Par exemple, une fonction continue oui = |x| au point x= 0 n'a pas de dérivée, bien qu'il s'agisse du point minimum (Fig. 8).
Définition 5. Points auxquels la dérivée fonction continue est nul ou n'existe pas sont appelés critique .
En utilisant ce terme, nous pouvons résumer Théorème de Fermat: chaque point extrême d'une fonction est son point critique(dans celui-ci, la dérivée est nulle ou n'existe pas).
L'affirmation inverse est fausse, c'est-à-dire tous les points critiques ne sont pas des points supplémentaires.
Par exemple, pour les fonctions oui = x 3 (Fig. 3) et à= 2x+ |X| (Fig. 2) point X= 0 est critique, mais ne constitue pas un point supplémentaire.
Sur la fig. 9 sur le segment [ un, b] sept points critiques sont présentés : x 1 , x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ,x 7. Parmi eux, seulement deux ( x 3 et x 6) ne sont pas des points supplémentaires.
Points x 1 , x 4 ,x 7 – points maximum ; points x 2 ,x 5 – points minimum.
Aux points extr X 2 et X 4 tangentes au graphique sont parallèles à l'axe Oh(les dérivés sont nuls). Aux points extrêmes x 1 ,x 5 , x Le graphique 7 présente des plis (les dérivés n'existent pas à ces points).
Puisque les points extr se situent à l’intérieur du domaine de définition de la fonction, ils sont également appelés maximum local Et minimum local .
Définition 6. Les points auxquels la dérivée est nulle sont appelés stationnaire .
Sur la fig. 9 trois points fixes : x 2 ,x 3 , x 4 .
Par exemple, pour la fonction oui = x 3 (Fig. 3) point X= 0 est stationnaire, et pour les fonctions à= 2x+ |X| (Fig. 2) ou à= |X| (Fig. 8) – non.
D'après le 2ème théorème de Weierstrass, une fonction continue sur un intervalle fermé atteint ses valeurs maximale et minimale.
Sur la fig. 9 points x= x 4 et X= b sont maximum global Et minimum global (le plus grand et valeur la plus basse ) f(x) sur l'intervalle fermé [ UN, b]. Le maximum global coïncide avec le maximum local au point X=X 4 , et le minimum global – avec la fin de l’intervalle x= b.
Fin des travaux -
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Recherche fonctionnelle
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Définitions :
Extrême appelé le maximum ou valeur minimale fonctions sur un ensemble donné.
Point extrême est le point auquel la valeur maximale ou minimale de la fonction est atteinte.
Point maximum est le point auquel il est atteint valeur maximale fonctions.
Point minimum est le point auquel la valeur minimale de la fonction est atteinte.
Explication.
Sur la figure, au voisinage du point x = 3, la fonction atteint sa valeur maximale (c'est-à-dire qu'au voisinage de ce point particulier il n'y a pas de point plus haut). Au voisinage de x = 8, il a encore une valeur maximale (précisons encore : c'est dans ce voisinage qu'il n'y a pas de point plus haut). À ces moments-là, l’augmentation cède la place à une diminution. Ce sont les points maximum :
x maximum = 3, x maximum = 8.
Au voisinage du point x = 5, la valeur minimale de la fonction est atteinte (c'est-à-dire qu'au voisinage de x = 5 il n'y a pas de point en dessous). A ce stade, la diminution cède la place à une augmentation. C'est le point minimum :
Les points maximum et minimum sont points extrêmes de la fonction, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.
Critique et points fixes Caractéristiques:
Condition nécessaire pour un extremum :
Condition suffisante pour un extremum :
Sur un segment la fonction oui = f(x) peut atteindre le plus petit ou valeur la plus élevée soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.
Algorithme pour étudier une fonction continueoui = f(x) pour la monotonie et les extrema :
