Le volume d'un cône s'exprime par la même formule que le volume d'une pyramide : V = 1 / 3 S h,
où V est le volume du cône, S est l'aire de la base du cône, h- sa hauteur.
Finalement V = 1 / 3 πR 2 h, où R est le rayon de la base du cône.
L’obtention de la formule du volume d’un cône peut s’expliquer par le raisonnement suivant :
Soit un cône (fig). Écrivons-le pyramide correcte, c'est-à-dire, construisons une pyramide à l'intérieur du cône, dont le sommet coïncide avec le sommet du cône et dont la base est polygone régulier, inscrit à la base du cône.
Le volume de cette pyramide sera exprimé par la formule : V’ = 1 / 3 S’ h, où V est le volume de la pyramide,
S’ est l’aire de sa base, h- hauteur de la pyramide.
Si l'on prend comme base de la pyramide un polygone de très un grand nombre côtés, alors l'aire de la base de la pyramide différera très peu de l'aire du cercle, et le volume de la pyramide différera très peu du volume du cône. Si l'on néglige ces différences de taille, alors le volume du cône s'exprime par la formule suivante :
V=1/3S h, où V est le volume du cône, S est l'aire de la base du cône, h- hauteur du cône.
En remplaçant S par πR 2, où R est le rayon du cercle, on obtient la formule : V = 1 / 3 πR 2 h, exprimant le volume du cône.
Note. Dans la formule V = 1 / 3 S h un signe d'égalité exacte et non approximative est placé, même si sur la base du raisonnement effectué, nous pourrions le considérer comme approximatif, mais au lycée lycée il est prouvé que l'égalité
V=1/3S h exact, pas approximatif.
Volume d'un cône arbitraire
Théorème. Le volume d'un cône arbitraire est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur, ceux.
V = 1/3 QH, (1)
où Q est l'aire de la base et H est la hauteur du cône.
Considérons un cône de sommet S et de base Ф (Fig.).
Soit l'aire de la base Φ égale à Q, et la hauteur du cône soit égale à H. Il existe alors des séquences de polygones Φ n et F' n avec des zones Q n et Q' n tel que
F n⊂ Ф n⊂ Ф' n et \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= Q.
Il est évident qu'une pyramide ayant un sommet S et une base F' n sera inscrit dans un cône donné, et une pyramide de sommet S et de base Ф n- décrit autour du cône.
Les volumes de ces pyramides sont respectivement égaux
V n= 1 / 3Q n H, V' n= 1 / 3Q' n H
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V' n= 1 / 3 QH
alors la formule (1) est prouvée.
Conséquence. Le volume d'un cône dont la base est une ellipse de demi-axes a et b est calculé par la formule
V = 1/3π un ab H (2)
En particulier, volume d'un cône dont la base est un cercle de rayon R, calculé par la formule
V = 1 / 3 π R 2 H (3)
où H est la hauteur du cône.
Comme on le sait, l'aire d'une ellipse à demi-axes UN Et bégal à π un ab, et donc la formule (2) est obtenue à partir de (1) avec Q = π un ab. Si une = b= R, alors la formule (3) est obtenue.
Volume d'un cône circulaire droit
Théorème 1. Volume direct cône circulaire avec une hauteur H et un rayon de base R est calculé par la formule
V = 1 / 3 π R 2 H
Ce cône peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle dont les sommets sont aux points O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) autour de l'axe Oh(riz.).
Le triangle OAB est trapèze courbé, fonction correspondante
y = R / H X, X∈ . Par conséquent, en utilisant formule bien connue, nous obtenons
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$
Conséquence. Le volume d'un cône circulaire droit est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur, c'est-à-dire
où Q - surface de base, et H - hauteur du cône.
Théorème 2. Le volume d'un cône tronqué de rayons de base r et R et de hauteur H est calculé par la formule
V = 1 / 3πH( r 2 + R 2 + r R).
Un tronc de cône peut être obtenu en tournant autour d'un axe Oh trapèze O ABC (fig.).
La droite AB passe par les points (0; r) et (H; R), il a donc l'équation
$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$
nous obtenons
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$
Pour calculer l'intégrale, on fait le remplacement
$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$
Évidemment, quand X varie de 0 à H, variable Et varie de rà R, et donc
$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$
Volume d'un cône. Nous avons maintenant atteint les cônes et les cylindres. En plus de ceux déjà publiés, il y aura environ neuf articles, nous considérerons tous les types de tâches. Si au cours de l'année banque ouverte De nouvelles tâches seront ajoutées, bien entendu, elles seront également publiées sur le blog. Cet article présente la théorie et des exemples dans lesquels il est utilisé. Il ne suffit pas de connaître la formule du volume d’un cône, la voici d’ailleurs :
On peut écrire :
Pour résoudre quelques exemples, vous devez comprendre comment les volumes sont liés corps similaires. Il s’agit de comprendre, et pas seulement d’apprendre la formule :
Autrement dit, si nous augmentons (diminuons) les dimensions linéaires du corps de k fois, alors le rapport entre le volume du corps résultant et le volume de l'original sera égal à k 3 .
VEUILLEZ NOTER! Peu importe la façon dont vous définissez les volumes :
Le fait est qu'en résolvant les problèmes liés à l'examen de tels corps, certains peuvent se tromper avec le coefficient k. La question peut se poser : à quoi est-ce égal ?
(en fonction de la valeur spécifiée dans la condition)
Tout dépend de « quel côté » vous regardez. Il est important de comprendre cela ! Regardons un exemple : étant donné un cube, l'arête du deuxième cube est trois fois plus grande :
DANS dans ce cas, le coefficient de similarité est de trois (le bord est augmenté trois fois), ce qui signifie que le rapport ressemblera à ceci :
Autrement dit, le volume du cube résultant (plus grand) sera 27 fois plus grand.
Vous pouvez regarder de l'autre côté.
Étant donné un cube, l’arête du deuxième cube est trois fois plus petite :
Le coefficient de similarité est égal à un tiers (en réduisant le bord de trois fois), ce qui signifie que le rapport ressemblera à :
Autrement dit, le volume du cube résultant sera 27 fois inférieur.
Conclusion! Les indices ne sont pas importants lorsqu'il s'agit d'indiquer des volumes ; il est important de comprendre comment les corps sont perçus les uns par rapport aux autres.
Il est clair que :
— si le corps d'origine augmente, alors le coefficient sera supérieur à un.
— si le corps d'origine diminue, alors le coefficient sera inférieur à un.
On peut dire ce qui suit à propos des rapports de volume :
- si dans le problème on divise le volume corps plus grand par un plus petit, nous obtenons alors le cube du coefficient de similarité, et le coefficient lui-même sera supérieur à un.
— si nous divisons le volume d'un corps plus petit par un corps plus grand, nous obtiendrons le cube du coefficient de similarité, et le coefficient lui-même sera inférieur à un.
La chose la plus importante à retenir est que lorsqu'il s'agit du VOLUME de corps similaires, le coefficient de similarité a un TROISIÈME degré, et non un deuxième degré, comme c'est le cas pour les aires.
Encore un point concernant.
La condition contient un concept tel que la génératrice d'un cône. Il s'agit d'un segment reliant le haut du cône aux points du cercle de base (indiqués par la lettre L sur la figure).
Il convient de noter ici que nous analyserons les problèmes uniquement avec un cône droit (ci-après simplement un cône). Les génératrices d'un cône droit sont égales
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.
Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.
Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.
Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.
2. Combien de fois le volume d'un cône est-il décrit autour du bon pyramide quadrangulaire, est supérieur au volume du cône inscrit dans cette pyramide ?
C'est simple : dessinez la vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.
Un autre point important. Rappelez-vous que dans les problèmes de la partie B Options d'examen d'État unifié en mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou fini décimal. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».
Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.
Une sphère dont le volume est 8π est inscrite dans un cube. Trouvez le volume du cube.
Solution
Soit a le côté du cube. Alors le volume du cube est V = a 3.
Puisque la balle est inscrite dans un cube, le rayon de la balle est égal à la moitié arêtes du cube, soit R = a/2 (voir figure).
Le volume de la balle est égal à V w = (4/3)πR 3 et égal à 8π, donc
(4/3)πR 3 = 8π,
Et le volume du cube est V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Tâche B9 ( Options typiques 2015)
Le volume du cône est de 32. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base cône plus petit avec le même haut. Trouvez le volume du plus petit cône.
Solution
Considérons les tâches :
72353. Le volume du cône est de 10. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base d'un cône plus petit avec le même sommet. Trouvez le volume du plus petit cône.
Notons tout de suite que le cône original et coupé sont similaires et si l'on considère le cône coupé par rapport à celui d'origine, on peut dire ceci : le plus petit cône est similaire au plus grand avec un coefficient égal à la moitié ou 0,5. . On peut écrire :
On pourrait écrire :
On pourrait le penser !
Considérons le cône d'origine par rapport à celui coupé. On peut dire que le plus grand cône est semblable à celui coupé avec un coefficient égal à deux, écrivons :
Regardez maintenant la solution sans utiliser les propriétés de similarité.
Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de l'aire de sa base et de sa hauteur :
Considérons la projection latérale (vue de côté) avec la section indiquée :
Soit le rayon du plus grand cône égal à R, la hauteur égale à H. La section (la base du plus petit cône) passe par le milieu de la hauteur, ce qui signifie que sa hauteur sera égale à H/2. Et le rayon de la base est égal à R/2, cela découle de la similitude des triangles.
Notons le volume du cône d'origine :
Le volume du cône coupé sera égal à :
Donc solutions détaillées sont présentés afin que vous puissiez voir comment le raisonnement peut être construit. Agissez de quelque manière que ce soit - l'essentiel est que vous compreniez l'essence de la décision. Même si la voie que vous avez choisie n’est pas rationnelle, le résultat (le résultat correct) est important.
Réponse : 1,25
318145. Dans un récipient en forme de cône, le niveau de liquide atteint la moitié de la hauteur. Le volume de liquide est de 70 ml. Combien de millilitres de liquide faut-il ajouter pour remplir complètement le récipient ?
Cette tâche est similaire à la précédente. Même si l’on parle ici d’un liquide, le principe de la solution est le même.
Nous avons deux cônes - c'est le récipient lui-même et le "petit" cône (rempli de liquide), ils sont similaires. On sait que les volumes de ces organismes sont les suivants :
Le cône initial (récipient) s'apparente à un cône rempli de liquide avec un coefficient égal à 2, puisqu'on dit que le niveau du liquide atteint la moitié de la hauteur. Vous pouvez écrire plus en détail :
On calcule :
Il faut donc ajouter :
Autres problèmes avec les liquides.
74257. Trouver le volume V d'un cône dont la génératrice est égale à 44 et est inclinée par rapport au plan de la base d'un angle de 30 0. Veuillez indiquer V/Pi dans votre réponse.
Volume du cône :
On trouve la hauteur du cône en utilisant la propriété d'un triangle rectangle.
La jambe opposée à l’angle de 30° est égale à la moitié de l’hypoténuse. L'hypoténuse, dans ce cas, est la génératrice du cône. La hauteur du cône est donc de 22.
On trouve le carré du rayon de la base à l'aide du théorème de Pythagore :
*Nous avons besoin du carré du rayon, pas du rayon lui-même.
