Une sphère dont le volume est 8π est inscrite dans un cube. Trouvez le volume du cube.
Solution
Soit a le côté du cube. Alors le volume du cube est V = a 3.
Puisque la balle est inscrite dans un cube, le rayon de la balle est égal à la moitié arêtes du cube, soit R = a/2 (voir figure).
Le volume de la balle est égal à V w = (4/3)πR 3 et égal à 8π, donc
(4/3)πR 3 = 8π,
Et le volume du cube est V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Tâche B9 ( Options typiques 2015)
Le volume du cône est de 32. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base cône plus petit avec le même haut. Trouvez le volume du plus petit cône.
Solution
Considérons les tâches :
72353. Le volume du cône est de 10. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base d'un cône plus petit avec le même sommet. Trouvez le volume du plus petit cône.
Notons tout de suite que le cône original et coupé sont similaires et si l'on considère le cône coupé par rapport à celui d'origine, on peut dire ceci : le plus petit cône est similaire au plus grand avec un coefficient égal à la moitié ou 0,5. . On peut écrire :
On pourrait écrire :
On pourrait le penser !
Considérons le cône d'origine par rapport à celui coupé. On peut dire que le plus grand cône est semblable à celui coupé avec un coefficient égal à deux, écrivons :
Regardez maintenant la solution sans utiliser les propriétés de similarité.
Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de l'aire de sa base et de sa hauteur :
Considérons une projection latérale (vue de côté) avec la section indiquée :
Soit le rayon du plus grand cône égal à R, la hauteur égale à H. La section (la base du plus petit cône) passe par le milieu de la hauteur, ce qui signifie que sa hauteur sera égale à H/2. Et le rayon de la base est égal à R/2, cela découle de la similitude des triangles.
Notons le volume du cône d'origine :
Le volume du cône coupé sera égal à :
Donc solutions détaillées sont présentés afin que vous puissiez voir comment le raisonnement peut être construit. Agissez de quelque manière que ce soit - l'essentiel est que vous compreniez l'essence de la décision. Même si la voie que vous avez choisie n’est pas rationnelle, le résultat (le résultat correct) est important.
Réponse : 1,25
318145. Dans un récipient en forme de cône, le niveau de liquide atteint la moitié de sa hauteur. Le volume de liquide est de 70 ml. Combien de millilitres de liquide faut-il ajouter pour remplir complètement le récipient ?
Cette tâche est similaire à la précédente. Même si l’on parle ici d’un liquide, le principe de la solution est le même.
Nous avons deux cônes - c'est le récipient lui-même et le "petit" cône (rempli de liquide), ils sont similaires. On sait que les volumes corps similaires sont liés comme suit :
Le cône initial (récipient) s'apparente à un cône rempli de liquide avec un coefficient égal à 2, puisqu'on dit que le niveau du liquide atteint la moitié de la hauteur. Vous pouvez écrire plus en détail :
On calcule :
Il faut donc ajouter :
Autres problèmes avec les liquides.
74257. Trouver le volume V d'un cône dont la génératrice est égale à 44 et est inclinée par rapport au plan de la base d'un angle de 30 0. Veuillez indiquer V/Pi dans votre réponse.
Volume du cône :
On trouve la hauteur du cône en utilisant la propriété d'un triangle rectangle.
La jambe opposée à l’angle de 30° est égale à la moitié de l’hypoténuse. Hypoténuse, en dans ce cas, est le générateur du cône. La hauteur du cône est donc de 22.
On trouve le carré du rayon de la base à l'aide du théorème de Pythagore :
*Nous avons besoin du carré du rayon, pas du rayon lui-même.
Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.
Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.
Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.
Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.
2. Combien de fois le volume d'un cône est-il décrit autour du bon pyramide quadrangulaire, est supérieur au volume du cône inscrit dans cette pyramide ?
C'est simple : dessinez la vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.
Un autre point important. Rappelez-vous que dans les problèmes de la partie B Options d'examen d'État unifié en mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou fini décimal. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».
Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.
Une sphère dont le volume est 8π est inscrite dans un cube. Trouvez le volume du cube.
Solution
Soit a le côté du cube. Alors le volume du cube est V = a 3.
Puisque la boule est inscrite dans un cube, le rayon de la boule est égal à la moitié du bord du cube, soit R = a/2 (voir figure).
Le volume de la balle est égal à V w = (4/3)πR 3 et égal à 8π, donc
(4/3)πR 3 = 8π,
Et le volume du cube est V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Tâche B9 (Options types 2015)
Le volume du cône est de 32. Au milieu de la hauteur, parallèlement à la base du cône, une section est dessinée, qui est la base d'un cône plus petit avec le même sommet. Trouvez le volume du plus petit cône.
Solution
Le volume du plus grand cône est égal à V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.
Le volume du plus petit cône est égal à V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .
Cela signifie que le volume du plus petit cône est 8 fois inférieur et est égal à 4.
Tâche B9 (Options types 2015)
Le volume du cône est de 40. Au milieu de la hauteur, parallèlement à la base du cône, une section est dessinée, qui est la base d'un cône plus petit avec le même sommet. Trouvez le volume du plus petit cône.
Solution
Puisque la section passe par le milieu de la hauteur du cône, alors AP = 1/2 AO et PK = 1/2 OB. Autrement dit, la hauteur et le rayon du plus petit cône sont respectivement 2 fois inférieurs à la hauteur et au rayon du plus grand cône.
Le volume du plus grand cône est égal à V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.
Le volume du plus petit cône est égal à V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .
Cela signifie que le volume du plus petit cône est 8 fois inférieur et est égal à 5.
Tâche B9 (Options types 2015)
Dans le cube ABCDA1B1C1D1 points E,F, E1 et F1 sont respectivement les milieux des arêtes BC, DC, B1C1 et D1C1. Le volume du prisme coupé du cube par le plan EFF1 est de 15. Trouvez le volume du cube.
Solution
Le volume du prisme est égal à V = S principal H =S CEF *CC1 = 15.
Notons l'arête du cube par a. Alors le volume du prisme est égal à : V = 1/2 * a/2 * a/2 * a = 1/8 a 3 = 15.
Le volume du cube est V = a 3 = 15*8 = 120.
Réponse : 120.
Tâche B9 (Options types 2015)
Le volume du cône est de 152. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base d'un cône plus petit ayant le même sommet. Trouvez le volume du plus petit cône.
Volume d'un cône. Nous avons maintenant atteint les cônes et les cylindres. En plus de ceux déjà publiés, il y aura environ neuf articles, nous considérerons tous les types de tâches. Si au cours de l'année banque ouverte De nouvelles tâches seront ajoutées, bien entendu, elles seront également publiées sur le blog. Cet article présente la théorie et des exemples dans lesquels il est utilisé. Il ne suffit pas de connaître la formule du volume d’un cône, la voici d’ailleurs :
On peut écrire :
Pour résoudre quelques exemples, vous devez comprendre comment les volumes de corps similaires sont liés. Il s’agit de comprendre, et pas seulement d’apprendre la formule :
Autrement dit, si nous augmentons (diminuons) les dimensions linéaires du corps de k fois, alors le rapport entre le volume du corps résultant et le volume de l'original sera égal à k 3 .
VEUILLEZ NOTER! Peu importe la manière dont vous définissez les volumes :
Le fait est que lors du processus de résolution de problèmes lors de l'examen de corps similaires, certains peuvent se confondre avec le coefficient k. La question peut se poser : à quoi est-ce égal ?
(en fonction de la valeur spécifiée dans la condition)
Tout dépend de « quel côté » vous regardez. Il est important de comprendre cela ! Regardons un exemple : étant donné un cube, l'arête du deuxième cube est trois fois plus grande :
Dans ce cas, le coefficient de similarité est de trois (le bord est augmenté trois fois), ce qui signifie que le rapport ressemblera à ceci :
Autrement dit, le volume du cube résultant (plus grand) sera 27 fois plus grand.
Vous pouvez regarder de l'autre côté.
Étant donné un cube, l’arête du deuxième cube est trois fois plus petite :
Le coefficient de similarité est égal à un tiers (en réduisant le bord de trois fois), ce qui signifie que le rapport ressemblera à :
Autrement dit, le volume du cube résultant sera 27 fois inférieur.
Conclusion! Les indices ne sont pas importants lorsqu'il s'agit d'indiquer des volumes ; il est important de comprendre comment les corps sont perçus les uns par rapport aux autres.
Il est clair que :
— si le corps d'origine augmente, alors le coefficient sera supérieur à un.
— si le corps d'origine diminue, alors le coefficient sera inférieur à un.
On peut dire ce qui suit à propos des rapports de volume :
- si dans le problème on divise le volume corps plus grand par un plus petit, nous obtenons alors le cube du coefficient de similarité, et le coefficient lui-même sera supérieur à un.
— si nous divisons le volume d'un corps plus petit par un corps plus grand, nous obtiendrons le cube du coefficient de similarité, et le coefficient lui-même sera inférieur à un.
La chose la plus importante à retenir est que lorsqu'il s'agit du VOLUME de corps similaires, le coefficient de similarité a un TROISIÈME degré, et non un deuxième degré, comme c'est le cas pour les aires.
Encore un point concernant.
La condition contient un concept tel que la génératrice d'un cône. Il s'agit d'un segment reliant le haut du cône aux points du cercle de base (indiqués par la lettre L sur la figure).
Il convient de noter ici que nous analyserons les problèmes uniquement avec un cône droit (ci-après simplement un cône). Générateurs cône droitégal
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
