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(université nationale de recherche)"
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Département des technologies de l'information et de la mesure
Résumé sur le sujet
« Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ? »
dans la discipline "Théorie des probabilités et statistiques mathématiques"
À carreaux:
______________/ A.P. Lapin
Complété:
élève du groupe PS-236
_______________/Zagoskin Y.S./
Tcheliabinsk 2015
INTRODUCTION
1. VARIABLE ALÉATOIRE
CONCLUSION
LISTE BIBLIOGRAPHIQUE
INTRODUCTION
La théorie des probabilités est une branche des mathématiques relativement jeune, mais déjà classique. Son développement en tant que science distincte s'est produit en milieu du 17ème siècle siècle, et a commencé avec la correspondance de deux célèbres Mathématiciens français: Blaise Pascal et Pierre de Fermat. Cependant, les tâches liées au calcul des probabilités dans jeu d'argent, les scientifiques ont commencé à s’y intéresser bien plus tôt. Par exemple, le mathématicien italien Luca Pacioli, en 1494, dans son ouvrage « Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitа »), a examiné l'un des problèmes liés aux probabilités, mais a malheureusement pris une décision erronée.
Aujourd'hui, les méthodes de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques font partie intégrante de presque toutes les disciplines, tant techniques qu'humanitaires. Les lois de distribution des variables aléatoires se sont révélées applicables non seulement aux mathématiques, à la physique, à la chimie, etc., mais également à des disciplines de nature en partie prédictive, comme la sociologie, l'économie, les sciences politiques, etc.
Dans ce travail, nous nous familiariserons avec les concepts, termes et lois de base de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques, ainsi qu'avec l'application de ces dernières dans la pratique.
1. VARIABLE ALÉATOIRE
1.1 Définition variable aléatoire
Une variable aléatoire est notion fondamentale théorie des probabilités et statistiques mathématiques.
Chaque auteur formule à sa manière la notion de variable aléatoire. E.S. Wentzel, par exemple, définit une variable aléatoire comme une valeur qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, et on ne sait pas à l'avance laquelle.
En d’autres termes, une variable aléatoire est une valeur qui possède un ensemble entier valeurs acceptables, mais il n'accepte qu'une chose, et laquelle il est impossible de dire avec certitude à l'avance.
Officiel définition mathématique une variable aléatoire ressemble à ceci :
Soit (Ш, F, P) - espace de probabilité, alors la fonction X est appelée une variable aléatoire : Ш > R.
Une variable aléatoire en pratique est généralement notée en majuscules, par exemple : X, Y, Z, alors les valeurs possibles de la quantité elle-même sont déterminées par des caractères minuscules : x, y, z.
1.2 Types et exemples de variables aléatoires
Il existe deux types de variables aléatoires : discrètes et continues.
Discrètes sont les variables aléatoires dont l'ensemble de valeurs est fini ou fixe. Un exemple de variable aléatoire discrète peut être considéré comme le nombre de coups sur la cible lorsque un certain nombre coups de feu.
Une variable aléatoire continue est une variable dont l'ensemble de valeurs est indénombrable ou infini. À titre d'exemple de variable aléatoire continue, vous pouvez prendre le nombre de cercles sur l'eau après avoir heurté une pierre, ou la distance parcourue par une flèche avant de tomber au sol.
Toutes les variables aléatoires ont, entre autres, un caractéristique importante- une plage de valeurs admissibles, qui, à leur tour, peuvent être limitées ou illimitées. On a donc, en fonction du nombre de valeurs admissibles, des variables aléatoires limitées, dont le nombre de valeurs admissibles est fini ou fixe, et illimité, dont le nombre de valeurs admissibles est infini.
Les variables aléatoires discrètes peuvent avoir une plage limitée et illimitée de valeurs possibles, tandis que les variables continues ne peuvent avoir qu'une plage illimitée.
En pratique, en théorie des probabilités et statistiques mathématiques, en règle générale, ne traitent que des variables aléatoires continues.
2. LOIS DE LA DISTRIBUTION VARIABLE ALÉATOIRE
2.1 Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
Toute relation entre les valeurs admissibles d'une variable aléatoire et les probabilités de leur apparition est appelée loi de distribution d'une variable aléatoire discrète.
Il existe deux manières de préciser la loi de répartition :
· Analytiquement, lorsque la loi de distribution est précisée sous la forme d'un tableau de correspondance entre les valeurs d'une variable aléatoire et leur probabilité, appelée série de distribution :
Tableau 1 - série de distribution de variables aléatoires
Ici, la première ligne contient les valeurs possibles de la variable aléatoire, et la deuxième ligne contient leurs probabilités, la somme de toutes les probabilités étant égale à un :
· Graphiquement, lorsqu'une table de distribution de valeurs aléatoires accepte un polygone de distribution :
Figure 1 - Polygone de distribution de variables aléatoires
Où la somme de toutes les ordonnées du polygone est la probabilité de toutes les valeurs admissibles de la variable aléatoire, donc également égale à un.
Il existe également une loi binomiale de distribution d'une variable aléatoire discrète ou, en second lieu, la loi de distribution de Bernoulli.
Définition : une variable aléatoire discrète o est distribuée selon la loi binomiale si la probabilité que l'événement A se produise exactement m fois dans une série de n essais selon le schéma de Bernoulli est égale à :
Ou sous forme de tableau :
Tableau 2 - séries de distribution binomiale
Un exemple est le contrôle de qualité sélectif des produits de production, dans lequel la sélection des produits à tester est effectuée selon un schéma d'échantillonnage aléatoire répété, c'est-à-dire lorsque les articles inspectés sont renvoyés dans le lot d'origine. Alors le nombre de produits non standards parmi ceux sélectionnés est une variable aléatoire avec loi binomiale distributions de probabilité.
Une variable aléatoire discrète est dite distribuée selon la loi de Poisson si elle a un ensemble dénombrable illimité de valeurs admissibles 0, 1, 2, ..., m, ... Ensuite, les probabilités correspondantes sont déterminées par la formule (3) :
M = 0, 1, 2,… ; (3)
Un exemple de phénomène distribué selon la loi de Poisson est la séquence désintégration radioactive particules.
2.2 Lois de distribution d'une variable aléatoire continue
probabilité de la théorie des variables aléatoires
Les règles de distribution d'une variable aléatoire discutées ci-dessus ne sont valables que par rapport à quantités discrètes, du fait que toutes les lois énumérées sont construites uniquement à partir du fait que le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire est fini et strictement fixe. C'est pourquoi, par exemple, il ne sera pas possible de distribuer une variable aléatoire continue selon la loi de Poisson ou de Bernoulli, puisqu'il est impossible d'énumérer le nombre de valeurs admissibles d'une valeur donnée - il est infini.
Les lois suivantes existent pour décrire la distribution de variables aléatoires continues :
Considérons les valeurs de la variable aléatoire X telles que X<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):
L'égalité (4) s'écrit :
La probabilité qu'une valeur aléatoire X se trouve à gauche d'une valeur x est déterminée par la fonction de distribution F(x).
Figure 2 - Représentation graphique de la fonction de distribution r.v.
Il convient de noter que sous la forme d'une fonction de distribution, des variables aléatoires continues et discrètes peuvent être décrites - il s'agit d'une caractéristique universelle.
Pour les variables aléatoires continues, en pratique, avec la fonction de distribution F(x), il est également habituel d'utiliser une autre loi de distribution - la densité de distribution de probabilité de la variable aléatoire :
L'égalité (5) est la loi de distribution différentielle d'une variable aléatoire, qui exprime la pente de la fonction de distribution F(x).
Figure 3 - Représentation graphique de la loi de distribution différentielle de r.v.
Notez que la loi différentielle de distribution d'une variable aléatoire n'est pas universelle - elle s'applique exclusivement aux variables aléatoires continues.
L'une des lois souvent utilisées dans la pratique est la loi de distribution normale - la loi de distribution gaussienne. La loi caractérise la densité de probabilité d'une variable aléatoire X normalement distribuée et a la forme :
Où les paramètres de distribution a et y ont les valeurs suivantes :
La courbe de distribution (Figure 4a), ou courbe de Gauss, est obtenue symétriquement par rapport au point x = a - le point maximum. À mesure que la valeur de y diminue, l'ordonnée du point maximum augmente infiniment, tandis que la courbe diverge proportionnellement le long de l'axe des abscisses, gardant l'aire du graphique constante, égale à un (Figure 4b).
Figure 4 - Courbes de distribution :
4a - Courbe de Gauss,
4b - comportement de la courbe gaussienne lorsque le paramètre y change ;
En pratique, la distribution normale joue un rôle important dans de nombreux domaines de la connaissance, mais une attention particulière lui est accordée en physique. Une grandeur physique obéit à la loi de Gauss lorsqu'elle est soumise à un grand nombre de perturbations aléatoires, ce qui est une situation extrêmement courante, de sorte que la distribution normale se retrouve le plus souvent dans la nature, d'où son nom.
Une variable aléatoire continue est dite uniformément distribuée sur l'intervalle (a, b) si toutes ses valeurs possibles appartiennent à cet intervalle et que la densité de distribution de probabilité est constante - la loi de distribution uniforme d'une variable aléatoire continue, qui a la forme :
Pour une variable aléatoire X uniformément distribuée dans l'intervalle (a, b) (Figure 5), la probabilité de tomber dans n'importe quel intervalle (x1, x2) situé à l'intérieur de l'intervalle (a, b) est égale à :
Figure 5 - Graphique de densité de distribution uniforme
Comme exemple de quantités uniformément réparties, nous pouvons prendre les erreurs d'arrondi. Ainsi, si toutes les valeurs tabulaires d'une certaine fonction sont arrondies au même chiffre, alors en choisissant une valeur tabulaire au hasard, nous considérons que l'erreur d'arrondi du nombre sélectionné est une variable aléatoire uniformément répartie dans l'intervalle où.
Une variable aléatoire continue X est dite à distribution exponentielle si sa densité de distribution de probabilité a la forme :
A titre d'exemple, prenons le temps de fonctionnement sans panne T d'un système informatique, où T est une variable aléatoire qui a une distribution exponentielle de paramètre l, dont la signification physique est le nombre moyen de pannes par unité de temps, sans compter temps d'arrêt du système pour réparations.
Figure 6 - Graphique de densité de distribution exponentielle
CONCLUSION
Les méthodes, outils et lois de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques à toutes les étapes de la formation de la discipline étaient pertinents, comme ils le restent encore aujourd'hui. Le principe principal des méthodes, qui ont permis d'aborder un si grand nombre d'industries et de domaines de connaissances, est l'universalité. Ils peuvent être facilement appliqués dans n'importe quelle discipline, tout en ne perdant pas leur pouvoir et en restant justes.
Mais jamais auparavant la théorie des probabilités n’a été aussi demandée qu’aujourd’hui. Cela est principalement dû au rythme incroyable du développement et de la croissance de la technologie informatique. Chaque année, cela devient de plus en plus complexe, la vitesse augmente, le nombre d'opérations effectuées par seconde augmente, et tout cela ne se produit pas sans la participation des statistiques mathématiques, qui, à leur tour, contribuent à optimiser le fonctionnement des systèmes et complexes informatiques, augmente la précision des calculs et remplit une fonction prédictive.
Ce travail permet en partie de comprendre les bases de la discipline. Présente des concepts fondamentaux tels que les variables aléatoires discrètes et continues et explique la différence entre ces dernières. Présente les lois de leur distribution, avec l'application ultérieure de toutes les connaissances acquises dans la pratique.
LISTE BIBLIOGRAPHIQUE
1. Ventzel, E.S. Théorie des probabilités / E.S. Ventzel-M. : Nauka, 1969.
2. Smirnov, N.V. Cours de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques pour applications techniques./ N.V. Smirnov, I.V. Dunin-Barkovsky - M. : « Science », 1969.
3. Pustylnik, E.I. Méthodes statistiques d'analyse et de traitement des observations : manuel / E.I. Léonure. - M. : « Sciences », 1968.
4. Johnson, N. Statistiques et planification en science et technologie / N. Johnson, F. Lyon - M. : « Mir », 1969.
5.http://www.wikipedia.org/
Annotation
Zagoskin Y.S. « Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ? »
Tcheliabinsk : Yuurgu
Bibliographie Liste - 5 noms.
Objectif du résumé : Se familiariser avec les termes de base de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques.
Objectifs abstraits : Comprendre le concept de variable aléatoire.
Le concept de variable aléatoire est considéré, la classification des variables aléatoires est déterminée, les lois de leur distribution sont considérées, des exemples d'application de lois et de méthodes dans la pratique et les perspectives de la discipline sont analysées.
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Le concept de variable aléatoire
Aléatoire est une quantité qui, à la suite d'un test, prend l'une ou l'autre (mais une seule) valeur possible, inconnue à l'avance, variant d'un test à l'autre et en fonction de circonstances aléatoires. Contrairement à un événement aléatoire, qui est une caractéristique qualitative d’un résultat de test aléatoire, une variable aléatoire caractérise quantitativement le résultat du test. Des exemples de variables aléatoires incluent la taille de la pièce, l'erreur dans le résultat de mesure de tout paramètre d'un produit ou d'un environnement. Parmi les variables aléatoires rencontrées en pratique, on peut distinguer deux types principaux : discrètes et continues.
Discret est une variable aléatoire qui prend un ensemble dénombrable fini ou infini. Par exemple : taux de réussite avec trois tirs ; nombre de produits défectueux dans un lot de n pièces ; le nombre d'appels reçus au central téléphonique dans la journée ; le nombre de défaillances des éléments de l'appareil sur une certaine période de temps lors des tests de fiabilité ; nombre de tirs jusqu'au premier coup sur la cible, etc.
Continu est une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle fini ou infini. Évidemment, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infini. Par exemple : erreur lors de la mesure de la portée du radar ; disponibilité du microcircuit ; erreur de fabrication des pièces ; concentration de sel dans l'eau de mer, etc.
Les variables aléatoires sont généralement désignées par les lettres X,Y, etc., et leurs valeurs possibles par x,y, etc. Pour définir une variable aléatoire, il ne suffit pas de lister toutes ses valeurs possibles. Il faut également savoir à quelle fréquence certaines de ses valeurs peuvent apparaître à la suite de tests effectués dans les mêmes conditions, c'est-à-dire qu'il faut fixer les probabilités de leur apparition. L'ensemble de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes constitue la distribution de la variable aléatoire.
Lois de la distribution des variables aléatoires
Loi de répartition une variable aléatoire est la correspondance entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes. On dit qu’une variable aléatoire obéit à une loi de distribution donnée. Deux variables aléatoires sont appelées indépendant, si la loi de distribution de l'une d'elles ne dépend pas des valeurs possibles prises par l'autre quantité. Sinon, les variables aléatoires sont appelées dépendant. Plusieurs variables aléatoires sont appelées mutuellement indépendant, si les lois de distribution d'un certain nombre d'entre elles ne dépendent pas des valeurs possibles prises par les autres quantités.
La loi de distribution d'une variable aléatoire peut être spécifiée sous la forme d'un tableau, d'une fonction de distribution ou d'une densité de distribution. Un tableau contenant les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes est la forme la plus simple pour spécifier la loi de distribution d'une variable aléatoire.
\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(tableau)
La définition tabulaire de la loi de distribution ne peut être utilisée que pour une variable aléatoire discrète avec un nombre fini de valeurs possibles. La forme tabulaire permettant de spécifier la loi d'une variable aléatoire est également appelée série de distribution.
Pour plus de clarté, les séries de distribution sont présentées graphiquement. Lorsqu'elles sont affichées graphiquement dans un système de coordonnées rectangulaires, toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont tracées le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes sont tracées le long de l'axe des ordonnées. Les points (x_i,p_i) reliés par des segments de droite sont appelés polygone de distribution(Fig.5). Il ne faut pas oublier que la connexion des points (x_i,p_i) est effectuée uniquement dans un souci de clarté, car dans les intervalles entre x_1 et x_2, x_2 et x_3, etc. il n'y a aucune valeur que la variable aléatoire X peut prendre , donc la probabilité de son apparition dans ces intervalles est égale à zéro.
Un polygone de distribution, comme une série de distribution, est l'une des formes de spécification de la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. Ils peuvent avoir des formes différentes, mais ils ont tous une propriété commune : la somme des ordonnées des sommets du polygone de distribution, qui est la somme des probabilités de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire, est toujours égale à un. . Cette propriété découle du fait que toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire X forment un groupe complet d'événements incompatibles dont la somme des probabilités est égale à un.
Fonction de distribution de probabilité et ses propriétés
La fonction de distribution est la forme la plus générale de spécification de la loi de distribution. Il est utilisé pour spécifier des variables aléatoires discrètes et continues. Il est généralement noté F(x) . Fonction de distribution détermine la probabilité qu'une variable aléatoire X prenne des valeurs inférieures à un nombre réel fixe x, c'est-à-dire F(x)=P\(X
L'interprétation géométrique de la fonction de distribution est très simple. Si une variable aléatoire est considérée comme un point aléatoire X de l'axe Ox (Fig. 6), qui, à la suite du test, peut prendre l'une ou l'autre position sur l'axe, alors la fonction de distribution F(x) est la probabilité que le point aléatoire X à la suite du test tombera aux points gauches x.
Pour une variable aléatoire discrète X, qui peut prendre des valeurs, la fonction de distribution a la forme
F(x)=\somme\limites_(x_i Une variable aléatoire continue a une fonction de distribution continue, le graphique de cette fonction a la forme d'une courbe lisse (Fig. 8). Considérons les propriétés générales des fonctions de distribution. Propriété 1. La fonction de distribution est non négative, une fonction comprise entre zéro et un : 0\leqslant(F(x))\leqslant1 La validité de cette propriété découle du fait que la fonction de distribution F(x) est définie comme la probabilité d'un événement aléatoire consistant dans le fait que X Propriété 2. La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle [\alpha;\beta) est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle, c'est-à-dire P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Il s’ensuit que la probabilité d’une valeur individuelle d’une variable aléatoire continue est nulle. Propriété 3. La fonction de distribution d'une variable aléatoire est une fonction non décroissante, c'est-à-dire F(\bêta)\geqslant(F(\alpha)). Propriété 4. À moins l'infini, la fonction de distribution est égale à zéro, et à plus l'infini elle est égale à un, c'est-à-dire \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 Et \lim_(x\to+\infty)F(x)=1. Exemple 1. La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est donnée par l'expression F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Trouvez le coefficient a et tracez F(x) . Déterminez la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur sur l'intervalle à la suite de l'expérience. Solution. Puisque la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X est continue, alors pour x=3 nous obtenons a(3-1)^2=1. D'où a=\frac(1)(4) . Le graphique de la fonction F(x) est présenté sur la Fig. 9. Sur la base de la deuxième propriété de la fonction de distribution, nous avons P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est sa caractéristique probabiliste. Mais il présente l'inconvénient qu'il est difficile d'en juger la nature de la distribution d'une variable aléatoire dans un petit voisinage de l'un ou l'autre point de l'axe numérique. Une idée plus claire de la nature de la distribution d'une variable aléatoire continue est donnée par une fonction appelée densité de distribution de probabilité, ou fonction de distribution différentielle d'une variable aléatoire. Densité de distribution f(x) est égal à la dérivée de la fonction de distribution F(x), c'est-à-dire F(x)=F"(x). La signification de la densité de distribution f(x) est qu'elle indique la fréquence à laquelle une variable aléatoire X apparaît dans un voisinage d'un point x lors de la répétition d'expériences. Une courbe représentant la densité de distribution f(x) d'une variable aléatoire est appelée courbe de distribution. Considérons propriétés de densité de distribution. Propriété 1. La densité de distribution est non négative, c'est-à-dire F(x)\geqslant0. Propriété 2. La fonction de distribution d'une variable aléatoire est égale à l'intégrale de la densité dans l'intervalle de -\infty à x, c'est-à-dire F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx. Propriété 3. La probabilité qu'une variable aléatoire continue X tombe dans une section (\alpha;\beta) est égale à l'intégrale de la densité de distribution prise sur cette section, c'est-à-dire P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx. Propriété 4. L'intégrale sur les limites infinies de la densité de distribution est égale à l'unité : \int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1. Exemple 2. La variable aléatoire X est soumise à une loi de distribution avec densité F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0 Déterminer le coefficient a ; construire un graphique de densité de distribution ; trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans la zone de 0 à \frac(\pi)(2), déterminer la fonction de distribution et construire son graphique. \int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a. En prenant en compte la propriété 4 de la densité de distribution, on trouve a=\frac(1)(2) . La densité de distribution peut donc être exprimée comme suit : F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 Graphique de densité de distribution sur la Fig. 10. Par propriété 3, on a P\!\gauche\(0 Pour déterminer la fonction de distribution, nous utilisons la propriété 2 : F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x). Ainsi nous avons F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 Le graphique de la fonction de distribution est présenté sur la Fig. 11 La loi de distribution caractérise pleinement une variable aléatoire d'un point de vue probabiliste. Mais pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques, il n'est pas nécessaire de connaître toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes, mais il est plus pratique d'utiliser certains indicateurs quantitatifs. De tels indicateurs sont appelés numériques caractéristiques d'une variable aléatoire. Les principaux sont l'espérance mathématique, la dispersion, les moments d'ordres divers, le mode et la médiane. L'espérance mathématique est parfois appelée valeur moyenne d'une variable aléatoire. Considérons une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x_1,x_2,\ldots,x_n avec des probabilités en conséquence p_1,p_2,\ldots,p_n Déterminons la moyenne arithmétique des valeurs d'une variable aléatoire, pondérée par les probabilités de leur apparition. Ainsi, on calcule la valeur moyenne d'une variable aléatoire, ou son espérance mathématique M(X) : M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( je = 1) ^ (n) p_i). Considérant que \somme\limites_(i=1)^(n)p_i=1 nous obtenons M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1) Donc, espérance mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités correspondantes. Pour une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx. Attente d'une variable aléatoire continue X dont les valeurs possibles appartiennent au segment, M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2) En utilisant la fonction de distribution de probabilité F(x), l'espérance mathématique d'une variable aléatoire peut être exprimée comme suit : M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)). Propriété 1. L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : M(X+Oui)=M(X)+M(Oui). Propriété 2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : M(XY)=M(X)M(Oui). Propriété 3. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à la constante elle-même : M(c)=c. Propriété 4. Le multiplicateur constant d'une variable aléatoire peut être retiré du signe de l'espérance mathématique : M(cX)=cM(X). Propriété 5. L'espérance mathématique de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique est égale à zéro : M(X-M(X))=0. Exemple 3. Trouvez l'espérance mathématique du nombre de produits défectueux dans un échantillon de cinq produits, si la variable aléatoire X (le nombre de produits défectueux) est donnée par une série de distribution. \begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(tableau) Solution. En utilisant la formule (4.1) on trouve M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.
Mode M_0 d'une variable aléatoire discrète sa valeur la plus probable est appelée. Mode M_0 d'une variable aléatoire continue on appelle sa valeur, qui correspond à la plus grande valeur de la densité de distribution. Géométriquement, le mode est interprété comme l'abscisse du point maximum global de la courbe de distribution (Fig. 12). Médiane M_e d'une variable aléatoire sa valeur est appelée pour laquelle l'égalité est vraie P\(X D'un point de vue géométrique, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire de la figure, délimitée par la courbe de distribution de probabilité et l'abscisse, est divisée en deux (Fig. 12). Puisque toute l'aire délimitée par la courbe de distribution et l'axe des x est égale à l'unité, la fonction de distribution au point correspondant à la médiane est égale à 0,5, c'est-à-dire F(M_e)=P\(X En utilisant la dispersion et l'écart type, on peut juger de la dispersion d'une variable aléatoire autour de l'espérance mathématique. Comme mesure de la dispersion d'une variable aléatoire, l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique est utilisée, appelée variance d'une variable aléatoire X et désignent D[X] : D[X]=M((X-M(X))^2). Pour une variable aléatoire discrète, la variance est égale à la somme des produits des carrés des écarts des valeurs de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique et les probabilités correspondantes : D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i. Pour une variable aléatoire continue dont la loi de distribution est spécifiée par la densité de distribution de probabilité f(x) , la variance D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx. La dimension de la variance est égale au carré de la dimension de la variable aléatoire et ne peut donc pas être interprétée géométriquement. L'écart type d'une variable aléatoire, calculé par la formule, ne présente pas ces inconvénients \sigma=\sqrt(D[X]). Propriété 1. La variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des variances de ces variables : D=D[X]+D[Y]. Propriété 2. La variance d'une variable aléatoire est égale à la différence entre l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire X et le carré de son espérance mathématique : D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3). Propriété 3. La variance d'une valeur constante est nulle : D[c]=0. Propriété 4. Le multiplicateur constant d'une variable aléatoire peut être retiré du signe de dispersion en le mettant d'abord au carré : D=c^2D[X]. Propriété 5. La variance du produit de deux variables aléatoires indépendantes X et Y est déterminée par la formule D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X]. Exemple 4. Calculez la variance du nombre de produits défectueux pour la distribution de l'exemple 3. Solution. Par définition de la variance Une généralisation des caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire est le concept de moments d'une variable aléatoire. Moment initial du qème ordre une variable aléatoire est l'espérance mathématique de la valeur X^q : Le moment initial du premier ordre représente l'espérance mathématique et le moment central du deuxième ordre représente la variance de la variable aléatoire. Le moment central normalisé du troisième ordre caractérise l'asymétrie ou l'asymétrie de la distribution ( coefficient d'asymétrie): A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3). Le moment central normalisé du quatrième ordre sert de caractéristique de la pointe ou de la planéité de la distribution ( excès): E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3. Exemple 5. La variable aléatoire X est spécifiée par la densité de distribution de probabilité F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&0 Trouvez le coefficient a, l'espérance mathématique, la dispersion, l'asymétrie et l'aplatissement. Solution. L'aire limitée par la courbe de distribution est numériquement égale à \int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a. Considérant que cette aire doit être égale à l'unité, on trouve a=\frac(3)(8) . En utilisant la formule (4.2), nous trouvons l'espérance mathématique : M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5. Déterminons la dispersion à l'aide de la formule (4.3). Pour ce faire, on trouve d'abord l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire : M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4. Ainsi, \begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligné) A l'aide des moments initiaux, on calcule les moments centraux du troisième et du quatrième ordre : \begin(aligné)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\fin(aligné) Laisser x_1,x_2,\ldots,x_n- valeurs de la variable aléatoire X obtenues dans n tests indépendants. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est M(X) et sa variance est D[X] . Ces valeurs peuvent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes X_1,X_2,\ldots,X_n avec les mêmes attentes et variances mathématiques : M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n. La moyenne arithmétique de ces variables aléatoires \overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n). En utilisant les propriétés d’espérance mathématique et de dispersion d’une variable aléatoire, on peut écrire : \begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligné) L’un des concepts de base les plus importants de la théorie des probabilités est le concept de variable aléatoire. Une variable aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, et on ne sait pas à l'avance laquelle. Exemples de variables aléatoires : 1) nombre de coups sûrs avec trois tirs ; 2) le nombre d'appels reçus au central téléphonique par jour ; 3) taux de réussite avec 10 tirs. Dans ces trois exemples, les variables aléatoires peuvent prendre des valeurs distinctes et isolées qui peuvent être énumérées à l'avance. Ainsi, dans l'exemple 1) ces valeurs sont : dans l'exemple 2) : dans l'exemple 3) 0; 0,1; 0,2; …; 1,0. De telles variables aléatoires, qui ne prennent que des valeurs distinctes pouvant être énumérées à l'avance, sont appelées variables aléatoires discontinues ou discrètes. Il existe d'autres types de variables aléatoires, par exemple : 1) abscisse du point d'impact lors du tir ; 2) erreur de pesée du corps sur les balances analytiques ; 3) la vitesse de l'avion au moment où il atteint une altitude donnée ; 4) le poids d'un grain de blé pris au hasard. Les valeurs possibles de ces variables aléatoires ne sont pas séparées les unes des autres ; ils comblent continuellement un certain vide, qui a parfois des limites clairement définies, et le plus souvent des frontières vagues, très vagues. De telles variables aléatoires, dont les valeurs possibles remplissent continuellement un certain intervalle, sont appelées variables aléatoires continues. Le concept de variable aléatoire joue un rôle très important dans la théorie des probabilités. Si la théorie « classique » des probabilités fonctionnait principalement avec des événements, alors la théorie moderne des probabilités préfère, dans la mesure du possible, fonctionner avec des variables aléatoires. Donnons des exemples de méthodes de transition d'événements vers des variables aléatoires typiques de la théorie des probabilités. Une expérience est réalisée à la suite de laquelle un événement peut apparaître ou non. Au lieu d'un événement, on peut considérer une variable aléatoire, qui est égale à 1 si l'événement se produit et égale à 0 si l'événement ne se produit pas. La variable aléatoire est évidemment discontinue ; elle a deux valeurs possibles : 0 et 1. Cette variable aléatoire est appelée variable aléatoire caractéristique de l'événement. En pratique, il s’avère souvent plus pratique d’opérer avec leurs variables aléatoires caractéristiques plutôt qu’avec des événements. Par exemple, si une série d'expériences est réalisée, dans chacune desquelles l'apparition d'un événement est possible, alors le nombre total d'occurrences de l'événement est égal à la somme des variables aléatoires caractéristiques de l'événement dans toutes les expériences. Pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, l’utilisation de cette technique s’avère très pratique. D'autre part, très souvent, pour calculer la probabilité d'un événement, il s'avère pratique d'associer cet événement à une sorte de variable aléatoire continue (ou système de variables continues). Par exemple, mesurons les coordonnées d'un objet O afin de construire un point M, représentant cet objet dans un panorama (scan) de la zone. Nous nous intéressons au cas où l'erreur R sur la position du point M ne dépassera pas la valeur spécifiée (Fig. 2.4.1). Désignons les erreurs aléatoires dans la mesure des coordonnées d'un objet. Évidemment, l'événement est équivalent à un point aléatoire M dont les coordonnées se situent dans un cercle de rayon ayant pour centre le point O. En d'autres termes, pour que l'événement se produise, les variables aléatoires et doivent satisfaire l'inégalité La probabilité d’un événement n’est rien d’autre que la probabilité que l’inégalité (2.4.1) soit satisfaite. Cette probabilité peut être déterminée si les propriétés des variables aléatoires sont connues. Une telle connexion organique entre les événements et les variables aléatoires est très caractéristique de la théorie moderne des probabilités, qui, autant que possible, passe du « schéma des événements » au « schéma des variables aléatoires ». Ce dernier schéma, par rapport au premier, est un appareil beaucoup plus flexible et universel pour résoudre des problèmes liés aux phénomènes aléatoires. Variable aléatoire- il s'agit d'une grandeur qui, à la suite d'une expérience, prend l'une des nombreuses valeurs, et l'apparition de l'une ou l'autre valeur de cette grandeur ne peut être prédite avec précision avant sa mesure. La définition mathématique formelle est la suivante : soit un espace de probabilité, alors une variable aléatoire est une fonction mesurable par rapport à la σ-algèbre de Borel sur . Le comportement probabiliste d'une variable aléatoire individuelle (indépendante des autres) est complètement décrit par sa distribution. Définition [modifier] Espace d'événements élémentaires L'espace des événements élémentaires dans le cas du lancer de dé Lorsqu'un dé est lancé, la face supérieure résultante peut être l'une des six faces avec un nombre de points allant de un à six. La perte de toute arête dans ce cas en théorie des probabilités est appelée un événement élémentaire, c'est-à-dire L'ensemble de tous les visages Algèbre des événements Un ensemble d’événements aléatoires forme une algèbre d’événements si les conditions suivantes sont remplies : Si au lieu de la troisième condition il satisfait une autre condition : l'union d'une sous-famille dénombrable de appartient également à , alors l'ensemble des événements aléatoires forme une σ-algèbre d'événements. L'algèbre des événements est un cas particulier de la σ-algèbre des ensembles. La plus petite parmi toutes les -algèbres possibles, dont les éléments sont tous des intervalles sur la droite réelle, est appelée σ-algèbre de Borel sur l'ensemble des nombres réels. Probabilité Si chaque événement élémentaire est associé à un nombre pour lequel la condition est satisfaite : on considère alors que les probabilités des événements élémentaires sont données. La probabilité d'un événement, en tant que sous-ensemble dénombrable de l'espace des événements élémentaires, est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui appartiennent à cet événement. L’exigence de comptabilisation est importante car sinon le montant ne sera pas déterminé. Prenons un exemple de détermination de la probabilité de divers événements aléatoires. Par exemple, si un événement est un ensemble vide, alors sa probabilité est nulle : Si un événement est un espace d'événements élémentaires, alors sa probabilité est égale à un : La probabilité d'un événement (un sous-ensemble de l'espace des événements élémentaires) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires que comprend l'événement en question. Définition d'une variable aléatoire Une variable aléatoire est une fonction mesurable par rapport à la σ-algèbre de Borel sur . Une variable aléatoire peut être définie d'une autre manière équivalente. Une fonction est appelée variable aléatoire si pour des nombres réels et un ensemble d'événements tels que Exemples égal à la moyenne arithmétique de toutes les valeurs acceptées. c'est-à-dire que l'espérance mathématique n'est pas définie. Classement[modifier] Les variables aléatoires peuvent prendre des valeurs discrètes, continues et discrètes-continues. En conséquence, les variables aléatoires sont classées en discrètes, continues et discrètes-continues (mixtes). Dans le schéma de test, il est possible de définir à la fois une variable aléatoire distincte (unidimensionnelle/scalaire) et tout un système de variables aléatoires unidimensionnelles interdépendantes (multidimensionnelles/vecteur). D'une part, plusieurs valeurs numériques qui doivent être analysées ensemble peuvent être associées simultanément à un schéma de test et à des événements individuels. Étant donné que les valeurs des caractéristiques numériques des schémas de test correspondent à certains événements aléatoires du schéma (avec leurs certaines probabilités), alors ces valeurs elles-mêmes sont aléatoires (avec les mêmes probabilités). Par conséquent, ces caractéristiques numériques sont généralement appelées variables aléatoires. Dans ce cas, la distribution des probabilités selon les valeurs d'une variable aléatoire est appelée loi de distribution d'une variable aléatoire. Méthodes de description Vous pouvez spécifier partiellement une variable aléatoire, décrivant ainsi toutes ses propriétés probabilistes comme une variable aléatoire distincte, en utilisant la fonction de distribution, la densité de probabilité et la fonction caractéristique, déterminant les probabilités de ses valeurs possibles. La fonction de distribution F(x) est la probabilité que les valeurs de la variable aléatoire soient inférieures au nombre réel x. De cette définition, il s'ensuit que la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle Une variable aléatoire, d'une manière générale, peut prendre des valeurs dans n'importe quel espace mesurable. On l'appelle alors plus souvent vecteur aléatoire ou élément aléatoire. Par exemple, Voir aussi[modifier] Remarques [modifier] Littérature Définition d'une variable aléatoire. De nombreux événements aléatoires peuvent être quantifiés par des variables aléatoires. L'aléatoire est une quantité qui prend des valeurs en fonction d'une combinaison de circonstances aléatoires. Les variables aléatoires sont : le nombre de patients à un rendez-vous chez le médecin, le nombre d'étudiants dans le public, le nombre de naissances dans une ville, l'espérance de vie d'un individu, la vitesse d'une molécule, la température de l'air, l'erreur de mesure d'un valeur, etc. Si vous numérotez les boules dans une urne comme ceci, comme cela se fait lors d'un tirage au sort, alors retirer aléatoirement une boule de l'urne affichera un nombre qui est une variable aléatoire. Il existe des variables aléatoires discrètes et continues. Une variable aléatoire est dite discrète si elle prend un ensemble dénombrable de valeurs : le nombre de lettres sur une page arbitraire d'un livre, l'énergie d'un électron dans un atome, le nombre de cheveux sur la tête d'une personne, le nombre de grains dans les épis de maïs, le nombre de molécules dans un volume de gaz donné, etc. Une variable aléatoire continue prend n'importe quelle valeur dans un certain intervalle : température corporelle, poids des grains Vépis de blé, la coordonnée de l'endroit où la balle touche la cible (on prend la balle comme point matériel), etc. Distribution d'une variable aléatoire discrète. Une variable aléatoire discrète est considérée comme donnée si ses valeurs possibles et les probabilités correspondantes sont indiquées. Désignons une variable aléatoire discrète X, ses significations x1x2,….,
et les probabilités P(x1)= p 1, P(x 2)= page 2 etc. Collection X Et P est appelé la distribution d'une variable aléatoire discrète(Tableau 1). Tableau 1 La variable aléatoire est le numéro du sport dans le jeu « Sportlo-10 ». Le nombre total d'espèces est de 49. Indiquez la répartition de cette variable aléatoire (tableau 3). Tableau 3
Depuis quand l = 1 deux autres événements complexes se produisent également : (A et A et A) et (A et A et A), alors il faut, à l'aide du théorème d'addition de probabilité (2.4), obtenir la probabilité totale pour l = 1, en ajoutant l'expression précédente trois fois : Signification Je = La figure 2 correspond au cas dans lequel l'événement A s'est produit dans deux des trois essais. En utilisant des arguments similaires à ceux donnés ci-dessus, nous obtenons la probabilité totale pour ce cas : À 1 = 3
l'événement A apparaît dans les trois essais. En utilisant le théorème de multiplication de probabilité, on trouve Sur la base de nombreuses années d'observations, appeler un médecin dans une maison donnée est estimé avec une probabilité de 0,5. Trouvez la probabilité que quatre appels au médecin aient lieu dans un délai de six jours ; PENNSYLVANIE)= 0,5, n = 6,1
= 4. T Utilisons la formule (2.10) : Caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète. Dans de nombreux cas, parallèlement ou à la place de la distribution d'une variable aléatoire, des informations sur ces quantités peuvent être fournies par des paramètres numériques appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire.
Regardons les plus courants d'entre eux. L'espérance mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles Soit, avec un grand nombre de tests n variable aléatoire discrète X prend des valeurs x v x 2,..., xn respectivement m 1, m g,..., tp une fois. La valeur moyenne est Si n est grand, alors les fréquences relatives t 1 / p, t 2 / p,... tendra vers les probabilités, et la valeur moyenne tendra vers l'espérance mathématique. C'est pourquoi l'espérance mathématique est souvent identifiée à la valeur moyenne. Trouvez l'espérance mathématique pour une variable aléatoire discrète, qui est spécifiée par le nombre sur le visage lors du lancement d'un dé (voir tableau 2). On utilise la formule (2.11) : Trouvez l'espérance mathématique pour une variable aléatoire discrète, qui est déterminée par la circulation Sportloto (voir tableau 3). D'après la formule (2.11), on trouve Les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète sont dispersées autour de son espérance mathématique, certaines d'entre elles dépassent M(X), partie - moins M(X). Comment estimer le degré de dispersion d’une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne ? Il peut sembler que pour résoudre un tel problème, il faut calculer les écarts de toutes les variables aléatoires par rapport à son espérance mathématique. X-M(X), puis trouvez l'espérance mathématique (valeur moyenne) de ces écarts : M[X - M(X)]. En prenant la preuve, nous constatons que cette valeur est égale à zéro, puisque les écarts des variables aléatoires par rapport à l'espérance mathématique ont des valeurs à la fois positives et négatives. Il convient donc de prendre en compte soit les valeurs absolues des écarts M[X - M(X)], ou leurs carrés M[X - M(X)] 2 . La deuxième option s'avère préférable, et c'est ainsi qu'on arrive à la notion de dispersion d'une variable aléatoire. La variance d'une variable aléatoire est l'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique : Cela signifie que la variance est égale à la différence entre l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire X et le carré de son espérance mathématique. Trouvez la variance de la variable aléatoire, qui est donnée par le nombre sur le bord lors du lancement d'un dé (voir tableau 2). L'espérance mathématique de cette distribution est de 3,5. Notons les valeurs des carrés de l'écart des variables aléatoires par rapport à l'espérance mathématique : (1 - 3,5) 2 = 6,25 ; (2 - 3,5) 2 = 2,25 ; (3 - 3,5) 2 = 0,25 ; (4 - 3,5) 2 = 0,25 ; (5 - 3,5) 2 = 2,25 ; (6 - 3,5) 2 = 6,25. A l'aide de la formule (2.12), prenant en compte (2.11), on trouve la variance : Comme il ressort de (2.12), la variance a la dimension du carré de la dimension de la variable aléatoire. Afin d'estimer la distance d'une variable aléatoire en unités de même dimension, le concept est introduit écart type, qui s'entend comme la racine carrée de la variance : Distribution et caractéristiques d'une variable aléatoire continue. Une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée par la même loi de distribution qu'une variable discrète. Dans ce cas, procédez comme suit. Soit dP la probabilité qu'une variable aléatoire continue X prend des valeurs entre X Et X+ dx.Évidemment, Irm est un intervalle plus long dx, plus la probabilité est grande dP : dP ~ dx. De plus, la probabilité doit aussi dépendre de la Quantité aléatoire elle-même, près de laquelle se situe l'intervalle, donc Où f(x)- densité de probabilité, ou fonction de distribution de probabilité. Il montre comment la probabilité liée à l'intervalle change dx variable aléatoire, en fonction de la valeur de cette variable elle-même : En intégrant l'expression (2.15) dans les limites appropriées, nous trouvons la probabilité que la variable aléatoire prenne n'importe quelle valeur dans l'intervalle (ab) : La condition de normalisation pour une variable aléatoire continue a la forme Comme le montre (2.19), cette fonction est égale à la probabilité que la variable aléatoire prenne des valeurs inférieures à X : Pour une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique et la variance s'écrivent respectivement sous la forme
où inégalité x_i 
Densité de distribution de probabilité et ses propriétés
Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Propriétés de l'espérance mathématique
Propriétés de dispersion des variables aléatoires
Caractéristiques numériques de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires indépendantes
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forme un espace d’événements élémentaires dont des sous-ensembles sont appelés événements aléatoires. Dans le cas d'un lancer de dé une fois, des exemples d'événements sont
, appartient à .
.
,
Signification 1 = 0
correspond au cas où l'événement trois fois de suite UN cela ne s'est pas produit. La probabilité de cet événement complexe, selon le théorème de multiplication des probabilités (2.6), est égale à
Signification Je = 1 fait référence au cas dans lequel l’événement A s’est produit dans l’un des trois procès. En utilisant la formule (2.6) on obtient
En général, la distribution binomiale permet de déterminer la probabilité que l'événement A se produise je fois à népreuves :
sur les probabilités de ces valeurs :
