Si une séquence converge vers un nombre fini a, alors écrivez
.
Plus tôt, nous avons pris en compte les séquences infiniment grandes. Nous avons supposé qu'ils étaient convergents et avons indiqué leurs limites avec les symboles et . Ces symboles représentent pointe à l'infini

. Ils n’appartiennent pas à l’ensemble des nombres réels. Mais la notion de limite permet d'introduire de tels points et fournit un outil pour étudier leurs propriétés à l'aide de nombres réels.
Définition Sans fin point éloigné
, ou infini non signé, est la limite vers laquelle tend une séquence infiniment grande. Pointer vers l'infini plus l'infini
, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes positifs. Pointer vers l'infini moins l'infini

, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes négatifs. Pour n'importe qui nombre réel
;
.

a les inégalités suivantes sont vraies : En utilisant des nombres réels, nous avons introduit le concept.
voisinage d'un point à l'infini
Le voisinage d’un point est l’ensemble.
Enfin, le voisinage d’un point est l’ensemble.

Ici M est un nombre réel arbitraire et arbitrairement grand. Ainsi, nous avons élargi l'ensemble des nombres réels en y introduisant de nouveaux éléments. À cet égard, il y a:

définition suivante Droite numérique étendue ou ensemble étendu de nombres réels
.

est l'ensemble des nombres réels complétés par les éléments et : Tout d’abord, nous allons écrire les propriétés que les points et . Nous considérons ensuite la question de la stricte

définition mathématique

opérations pour ces points et preuves de ces propriétés..
; ;
; ;

Propriétés des points à l'infini.
; ; ;
;
;
; ; .

Somme et différence.
Produit et quotient
; ;
; ; ; .
Relation avec les nombres réels > 0 Soit a un nombre réel arbitraire. Alors
; ; .
Relation avec les nombres réels < 0 Soit a un nombre réel arbitraire. Alors
; .

Laissez un.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

Alors

Nous avons déjà donné des définitions pour les points à l'infini. Nous devons maintenant leur définir des opérations mathématiques. Puisque nous avons défini ces points à l’aide de séquences, les opérations avec ces points doivent également être définies à l’aide de séquences.

Donc, somme de deux points
c = une + b,
appartenant à l'ensemble étendu des nombres réels,
,
nous appellerons la limite
,
où et sont des séquences arbitraires ayant des limites
Et .

Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
Alors la différence de deux points :
- c'est la limite : .
Produit de points :
- c'est la limite : .
Privé:
- c'est la limite : .
Ici et sont des séquences arbitraires dont les limites sont respectivement a et b . DANS ce dernier cas, .

Preuves de propriétés

Pour prouver les propriétés des points à l’infini, nous devons utiliser les propriétés de séquences infiniment grandes.

Considérez la propriété :
.
Pour le prouver, il faut montrer que
,

En d’autres termes, nous devons prouver que la somme de deux suites qui convergent vers plus l’infini converge vers plus l’infini.

1 les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .

Cela signifie que.

D’autres propriétés peuvent être démontrées de la même manière. A titre d'exemple, donnons une autre preuve.
.
Montrons que :
,
Pour ce faire, nous devons montrer que

où et sont des séquences arbitraires, avec des limites et .

Autrement dit, nous devons prouver que le produit de deux séquences infiniment grandes est une séquence infiniment grande. 1 les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .

Prouvons-le. Puisque et , alors il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif M

Opérations non définies Partie opérations mathématiques

avec des points à l'infini ne sont pas définis. Pour montrer leur incertitude, il est nécessaire de donner quelques cas particuliers où le résultat de l'opération dépend du choix des séquences qui y sont incluses.
.
Considérez cette opération :

Il est facile de montrer que si et , alors la limite de la somme des séquences dépend du choix des séquences et .

En effet, prenons-le.

Les limites de ces séquences sont .

Plafond de montant.

est égal à l'infini. Prenons maintenant . Les limites de ces séquences sont également égales.

Mais la limite de leur montant

Le point à l'infini.

Soit la fonction analytique dans un voisinage d'un point infiniment distant (sauf pour le point lui-même). Ils disent que c'estpoint singulier amovible, pôle ou point essentiellement singulierfonctions en fonction defini, infini ou inexistant .

Disons et, alors ce sera analytique dans un certain voisinage du point. Celui-ci sera pour un point singulier du même type que pour. L'agrandissement du quartier Laurent peut être obtenu par une simple substitution dans l'agrandissement du quartier Laurent. Mais avec un tel remplacement, la bonne pièce est remplacée par la pièce principale, et vice versa. Il est donc juste

Théorème 1. Dans le cas d'une singularité amovible à l'infini point éloigné, le développement de Laurent de la fonction au voisinage de ce point ne contient pas degrés positifs, dans le cas d'un poteauen contient un nombre fini, et dans le cascaractéristique essentielle - infinie.

Si c'est le cas au point amovible fonctionnalité, on dit généralement qu'ilanalytique à l'infini, et acceptez. Dans ce cas, la fonction est évidemment limitée au voisinage du point.

Soit la fonction analytique dans un plan complet. De l'analyticité d'une fonction en un point à l'infini, il résulte qu'elle est bornée au voisinage de ce point ; laissez-le. En revanche, de l'analyticité à cercle vicieux suit sa limitation dans ce cercle ; qu'il soit dedans. Mais la fonction est alors limitée à l’ensemble du plan : pour tous ceux que nous avons. Ainsi, le théorème de Liouvillepeut être donné sous la forme suivante.

Théorème 2. Si une fonction est analytique dans le plan complet, alors elle est constante.

Introduisons maintenant le conceptrésidu à l'infini. Supposons que la fonction soit analytique dans un certain voisinage d'un point (sauf peut-être ce point lui-même) ; soussoustraire la fonction à l'infini comprendre

où est un cercle suffisamment grand parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre (pour que le cercle du point reste à gauche).

De cette définition il résulte immédiatement que le résidu d'une fonction à l'infini est égal au coefficient at dans son développement de Laurent au voisinage d'un point, pris avec le signe opposé :

Théorème 3. Si une fonction a un nombre fini de points singuliers dans le plan complet, alors la somme de tous ses résidus, y compris le résidu à l'infini, est égale à zéro.

Preuve. En fait, laissez une 1 ,…une n les points singuliers finaux de la fonction et - le cercle les contenant tous à l'intérieur. Par la propriété des intégrales, le théorème des résidus et la définition du résidu en un point à l'infini on a :

Etc.

Applications de la théorie des résidus au calcul des intégrales.

Soit il faut calculer l'intégrale de fonction réelle le long d'un segment (fini ou infini) ( a,b) axe des x. Ajoutons (a , b ) une courbe délimitant avec ( une, b ) région et poursuivre l'analyse dans.

Nous appliquons le théorème des résidus à la suite analytique construite :

(1)

Si l’intégrale peut être calculée ou exprimée en termes d’intégrale souhaitée, alors le problème de calcul est résolu.

Dans le cas de segments infinis ( une, b ) considèrent généralement des familles de contours d'intégration infiniment étendus, qui sont construits de telle manière que, par passage à la limite, on obtienne une intégrale sur ( une, b ). Dans ce cas, l'intégrale over dans la relation (1) ne peut pas être calculée, mais seule sa limite peut être trouvée, qui s'avère souvent être nulle.

Ce qui suit est très utile :

Lemme (Jordanie). Si sur une séquence d'arcs de cercle,(, UN fixe) la fonction tend vers zéro uniformément par rapport à, puis pour

. (2)

Preuve. Notons

Par les conditions du lemme, quand tend aussi vers zéro, et Soit un >0 ; sur les arcs AB et CD nous avons.

Par conséquent, l'intégrale de l'arc AB, CD tend vers zéro à.

Puisque l'inégalité est valable pour, alors sur l'arcÊTRE

Par conséquent, et tend donc également vers zéro à. Si sur un arc SE Si l'angle polaire est compté dans le sens des aiguilles d'une montre, la même estimation sera obtenue. Dans le cas où la preuve est simplifiée, car il serait inutile d'estimer l'intégrale sur les arcs AB et CD. Le lemme est prouvé.

Remarque 1. La séquence d'arcs de cercle dans le lemme peut être remplacée famille d'arcs

alors, si la fonction at tend vers zéro uniformément par rapport à then pour

. (3)

La preuve est toujours valable.

Remarque 2. Remplaçons la variable : iz=p , alors les arcs de cercle du lemme seront remplacés par des arcs, et on obtient cela pour toute fonction F(p ), tendant vers zéro comme uniformément relatif et pour tout positif t

. (4)

Remplacer p dans (4) par (-p ) on obtient cela dans les mêmes conditions pour

, (5)

où est l'arc de cercle (voir figure).

Regardons des exemples de calcul d'intégrales.

Exemple 1. .

Choisissons une fonction auxiliaire. Parce que fonction satisfait l’inégalité, alors elle tend uniformément vers zéro comme, et par le lemme de Jordan, comme

Car nous avons par le théorème des résidus

A la limite de on obtient :

En séparant les parties réelles et en utilisant la parité de la fonction, on trouve

Exemple 2. Pour calculer l'intégrale

Prenons une fonction auxiliaire. Le contour d'intégration contourne le point singulier z =0. Par le théorème de Cauchy

D’après le lemme de Jordan, cela ressort clairement. Pour estimer, considérons le développement de Laurent au voisinage du point z =0

où est régulier en un point z =0 fonction. De là il ressort clairement que

Ainsi, le théorème de Cauchy peut être réécrit comme

Remplacer dans la première intégrale x par x , on trouve qu'il est égal, on a donc

Dans la limite à et enfin :

. (7)

Exemple 3. Calculer l'intégrale

Introduisons une fonction auxiliaire et choisissons le contour d'intégration de la même manière que dans l'exemple précédent. Au sein de ce contour, le logarithme permet d'identifier une branche à valeur unique. Notons la branche déterminée par l'inégalité. La fonction a au point z = je pôle de deuxième ordre avec résidu

Par le théorème des résidus.

Quand, à partir de quelques suffisamment grands R. , ainsi, .

De même car, à partir de quelques suffisamment petits r, donc

Dans la première intégrale après remplacement z=-x on obtient :

et donc à la limite à on a :

La comparaison des parties réelles et imaginaires donne :

, .

Exemple 4. Pour l'intégrale

Sélectionnons la fonction auxiliaire et le contour indiqué sur la figure. À l'intérieur, le contour est sans ambiguïté, si l'on suppose cela.

Sur les rives supérieure et inférieure de la coupe, incluse dans ce contour, prend les valeurs et, par conséquent, les intégrales s'annulent, ce qui permet de calculer l'intégrale requise. A l'intérieur du contour se trouvent deux pôles de la fonction du premier ordre avec des résidus respectivement égaux à :

Où. En appliquant le théorème des résidus, on obtient :

Conformément à ce qui précède, nous avons :

Tout comme dans l’exemple précédent, on prouve que, et alors à la limite, on aura :

De là, en comparant les parties imaginaires, on obtient :

Exemple 5. Calculer la valeur principale de l'intégrale spéciale

Sélectionnons la fonction auxiliaire et le contour indiqué sur la figure. A l'intérieur du contour la fonction est régulière. Sur la rive inférieure de la coupe le long du demi-axe positif. Ainsi, d'après le théorème de Cauchy :

(8).

Évidemment, quand et quand. Ainsi, nous avons respectivement et, où passe respectivement de 0 à et de à. Ainsi,

En passant (8) à la limite en on obtient donc

d'où l'intégrale requise est égale à

Exemple 6. Calculer l'intégrale

Considérons la fonction. Faisons une coupe*) .

Disons-le. Lorsque vous parcourez un chemin fermé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (voir figure, ligne pointillée) et obtenez un incrément,

donc, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 est également incrémenté. Ainsi, dans l'apparence de la coupe, la fonction se divise en 3 branches régulières, différant les unes des autres par le choix de l'élément initial de la fonction, c'est-à-dire valeur à un moment donné.

Nous considérerons la branche de la fonction qui sur la face supérieure de la coupe (-1,1) prend valeurs positives, et prenons le contour,

___________________

*) En fait, deux coupes ont été faites : et cependant sur l'axe x à droite du point x =1 la fonction est continue : au dessus de la coupe, en dessous de la coupe.

montré sur la figure. À terre, nous avons, c'est-à-dire , sur la rive II (après avoir contourné la pointe z =1 dans le sens des aiguilles d'une montre) (c'est-à-dire), c'est-à-dire , les intégrales sur les cercles et, évidemment, tendent vers zéro**) à. Par conséquent, d’après le théorème de Cauchy pour les domaines multiconnectés

Pour le calcul, on utilise le développement de la branche 1/ au voisinage du point à l'infini. Retirons-le sous le signe racine, puis on obtient où et sont les branches de ces fonctions qui sont positives sur le segment (1,) axe réel.

sur un segment de l'axe réel. En développant ce dernier à l'aide de la formule binomiale :

on retrouve le résidu de la branche sélectionnée 1/ au point à l'infini : (coefficient à 1/ z avec le signe opposé). Mais l'intégrale est égale à ce résidu multiplié par, c'est-à-dire nous sommes enfin où

Exemple 7. Considérons l'intégrale.

__________________

**) Considérons, par exemple, l'intégrale over. Sur nous avons, c'est-à-dire

Posons donc ainsi :

A l'intérieur d'un cercle, l'intégrande a un pôle II commande avec déduction

Par le théorème des résidus on a

Exemple 8. Calculons de la même manière l'intégrale

Après substitution on a :

L'un des pôles de l'intégrande se trouve à l'intérieur cercle unitaire, et l'autre est en dehors de lui, car par les propriétés des racines équation quadratique, et en vertu de la condition, ces racines sont réelles et différentes. Ainsi, par le théorème des résidus

(9)

où se trouve le pôle situé à l’intérieur du cercle. Parce que côté droit(9) est valide, alors il donne l’intégrale requise

Définition. Pointer vers l'infini plan complexe appelé point singulier isolé non ambigu fonction analytiquef(z), Si dehors cercle d'un certain rayon R.,

ceux. pour , il n’y a pas de point singulier fini de la fonction f(z).

Pour étudier la fonction en un point à l'infini, on fait la substitution
Fonction

aura une singularité au point ζ = 0, et ce point sera isolé, puisque

à l'intérieur du cercle
Il n'y a pas d'autres points singuliers selon la condition. Être analytique dans ce domaine

cercle (à l'exception de ce qu'on appelle ζ = 0), fonction
peut être étendu dans une série Laurent en puissances ζ . La classification décrite dans le paragraphe précédent reste totalement inchangée.

Cependant, si l'on revient à la variable d'origine z, puis séries en puissances positives et négatives z«changer» de place. Ceux. Le classement des points à l'infini ressemblera à ceci :

Exemples. 1.
. z = Point je

2.
− pôle du 3ème ordre. z = ∞ . Point − de manière significative.

point singulier

§18. Résidu d'une fonction analytique en un point singulier isolé. z Laissons le point

f(z 0 est un point singulier isolé d'une fonction analytique à valeur unique f(z) peut être représenté uniquement par la série Laurent :
Où

Définition.Déduction fonction analytique f(z) en un point singulier isolé z 0

appelé nombre complexe, égal à la valeur de l'intégrale
, pris dans le sens positif le long de tout contour fermé situé dans le domaine d'analyticité de la fonction et contenant en lui un seul point singulier z 0 .

La déduction est indiquée par le symbole Res [f(z),z 0 ].

Il est facile de voir que le résidu en un point singulier régulier ou amovible est égal à zéro.

En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient Avec-1 rang Laurent :

.

Exemple. Trouver le résidu d'une fonction
.

(Que ce soit facile de voir que

coefficient Avec-1 est obtenu en multipliant les termes par n= 0:Rés[ f(z),Point ] =
}

Il est souvent possible de calculer les résidus de fonctions sur d'une manière simple. Laissez la fonction f(z) a incl. z 0 pôle du premier ordre. Dans ce cas, le développement de la fonction dans une série de Laurent a la forme (§16) :. Multiplions cette égalité par (z−z 0) et allons à la limite en
. Le résultat nous obtenons : Res[ f(z),z 0 ] =
Alors, dans

Dans le dernier exemple, nous avons Res[ f(z),Point ] =
.

Pour calculer les résidus aux pôles d'ordre supérieur, multipliez la fonction

sur
(m− ordre des pôles) et différencier la série résultante ( m − 1) fois.

Dans ce cas on a : Res[ f(z),z 0 ]

Exemple. Trouver le résidu d'une fonction
à z= −1.

{Rés[ f(z), −1] }

. Ils n’appartiennent pas à l’ensemble des nombres réels. Mais la notion de limite permet d'introduire de tels points et fournit un outil pour étudier leurs propriétés à l'aide de nombres réels.
Voisinage d'un point réel x 0 Tout intervalle ouvert contenant ce point est appelé :
.
Ici ε 1 et ε 2 - des nombres positifs arbitraires.

Epsilon - voisinage du point x 0 est l'ensemble des points à la distance à partir de laquelle pointer x 0 inférieur à ε :
.

Un quartier perforé du point x 0 est le voisinage de ce point dont le point x lui-même est exclu 0 :
.

Quartiers des points de terminaison

Au tout début, une définition du voisinage d'un point a été donnée. Il est désigné comme .
(1) .
Mais vous pouvez indiquer explicitement que le voisinage dépend de deux nombres en utilisant les arguments appropriés :

Autrement dit, un voisinage est un ensemble de points appartenant à un intervalle ouvert. 1 Égalisation de ε 2 à ε
(2) .
, on obtient epsilon - voisinage :
Un voisinage epsilon est un ensemble de points appartenant à un intervalle ouvert dont les extrémités sont équidistantes.

Bien entendu, la lettre epsilon peut être remplacée par n'importe quelle autre et considérer δ - quartier, σ - quartier, etc.

En théorie des limites, on peut utiliser une définition du voisinage basée à la fois sur l'ensemble (1) et sur l'ensemble (2). L'utilisation de l'un de ces quartiers donne des résultats équivalents (voir). Mais la définition (2) est plus simple, c'est pourquoi epsilon est souvent utilisé - le voisinage d'un point déterminé à partir de (2). Les notions de quartiers de gauche, de droite et perforés sont également largement utilisées. points de terminaison

Voisinage gauche d'un point réel x 0 est un intervalle semi-ouvert situé sur l'axe réel à gauche du point x 0 , y compris le point lui-même :
;
.

Voisinage du côté droit d'un point réel x 0 est un intervalle semi-ouvert situé à droite du point x 0 , y compris le point lui-même :
;
.

Quartiers perforés des points de terminaison

Quartiers perforés du point x 0 - ce sont les mêmes quartiers dont le point lui-même est exclu. Ils sont indiqués par un cercle au-dessus de la lettre. Voici leurs définitions.

Voisinage perforé du point x 0 :
.

Epsilon perforé - voisinage du point x 0 :
;
.

Proximité côté gauche percé:
;
.

Proximité du côté droit perforé:
;
.

Quartiers de points à l'infini

Outre les points finaux, des voisinages de points à l'infini sont également introduits. Ils sont tous perforés car il n'y a pas de nombre réel à l'infini (le point à l'infini est défini comme la limite à l'infini grande séquence).

.
;
;
.

Il était possible de déterminer les voisinages de points à l'infini comme ceci :
.
Mais au lieu de M, nous utilisons , de sorte que le quartier avec ε plus petit soit un sous-ensemble du quartier avec ε plus grand, comme pour les quartiers de points finaux.

Propriété de quartier

Ensuite, on utilise la propriété évidente du voisinage d'un point (fini ou à l'infini). Cela réside dans le fait que les voisinages des points avec valeurs plus petitesε sont des sous-ensembles de quartiers avec de grandes valeurs de ε.

Voici des formulations plus strictes.
Qu'il y ait un point final ou infiniment éloigné. Et qu'il en soit ainsi.
;
;
;
;
;
;
;
.

Alors

L’inverse est également vrai.

Equivalence des définitions de la limite d'une fonction selon Cauchy

Nous allons maintenant montrer que pour déterminer la limite d'une fonction selon Cauchy, vous pouvez utiliser à la fois un voisinage arbitraire et un voisinage aux extrémités équidistantes.
Théorème

Les définitions de Cauchy de la limite d'une fonction qui utilisent des quartiers arbitraires et des quartiers aux extrémités équidistantes sont équivalentes.

Preuve Formulons.
première définition de la limite d'une fonction Le nombre a est la limite d'une fonction en un point (fini ou infiniment distant), si pour tout nombres positifs
.

Preuve il y a des nombres dépendant de et qui pour tout , appartient au voisinage correspondant du point a :.
deuxième définition de la limite d'une fonction
.

Un nombre a est la limite d'une fonction en un point si pour tout nombre positif il existe un nombre qui en dépend pour tous :

Preuve 1 ⇒ 2

Soit la première définition satisfaite. Cela signifie qu'il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif, ce qui suit est valable :
à, où.

Puisque les nombres sont arbitraires, nous les assimilons :
.
Ensuite, il existe de telles fonctions et , donc pour tout ce qui suit est valable :
à, où.

Noter que .
Soit le plus petit des nombres positifs et .
.
Ensuite, d'après ce qui a été noté ci-dessus,

Si, alors.
à, où.
Autrement dit, nous avons trouvé une telle fonction, donc pour n'importe quelle fonction, ce qui suit est valable :

Cela signifie que le nombre a est la limite de la fonction selon la deuxième définition.

Preuve 2 ⇒ 1

Montrons que si un nombre a est la limite d'une fonction par la 2ème définition, alors c'est aussi une limite par la 1ère définition.
.

Laissez la deuxième définition être satisfaite. Prenons deux nombres positifs et .
.

Et que ce soit le moindre d'entre eux. Alors, selon la deuxième définition, il existe une telle fonction , de sorte que pour tout nombre positif et pour tout , il s'ensuit que
.

Mais selon , .

Donc, de ce qui suit,

Ensuite pour tout nombre positif et , nous avons trouvé deux nombres, donc pour tout :
Cela signifie que le nombre a est une limite selon la première définition. Le théorème est prouvé. Littérature utilisée :

L.D. Kudryavtsev. Bien analyse mathématique (∞, ε ) = {z ∈ | |. Tome 1. Moscou, 2003. Nous avons défini le voisinage de ce point comme l'extérieur des cercles centrés à l'origine : z U z = f (z | > ε). Point z = ∞ est un point singulier isolé de la fonction analytique z w z = f (z ), si dans un voisinage de ce point il n'y a pas d'autres points singuliers de cette fonction. Pour déterminer le type de ce point singulier, on fait un changement de variable, et le point = ∞ va au point z 1 = 0, fonction z = f (z ) prendra la forme z . Type de point singulier z = φ (z = ∞ fonctions z = f (z ) nous appellerons le type de point singulier z 1 = 0 fonctions z 1). Si l'extension de la fonction z ) par degrés z à proximité d'un point z = ∞, c'est-à-dire à des valeurs de module suffisamment grandes z 1 = 0 fonctions z , a alors la forme , en remplaçant
le, nous recevrons. Ainsi, avec un tel changement de variable, les parties principales et régulières de la série de Laurent changent de place, et le type du point singulier z = ∞ est déterminé par le nombre de termes dans la partie correcte du développement de la fonction dans la série de Laurent en puissances = 0. Donc 0);
1. Pointer z = ∞ est un point singulier amovible si ce développement ne contient pas la bonne partie (sauf peut-être pour le terme n UN 2. Pointer · = ∞ - pôle ;
-ième ordre si la partie droite se termine par un terme z Un

z n z= ∞ est un point singulier amovible, alors cette limite existe et est finie si z= ∞ est un pôle, alors cette limite est infinie si z= ∞ est un point essentiellement singulier, alors cette limite n'existe pas (ni finie ni infinie).

Exemples : 1. f (z ) = -5 + 3. Tome 1. Moscou, 2003. 2 - z 6. La fonction est déjà un polynôme en puissances z , le degré le plus élevé est le sixième, donc z
Le même résultat peut être obtenu d’une autre manière. Nous remplacerons z sur, alors . Pour la fonction φ (z 1) point z 1 = 0 est un pôle du sixième ordre, donc pour f (z ) indiquer z = ∞ - pôle du sixième ordre.
2. . Pour cette fonction, procurez-vous une extension de puissance z difficile, alors trouvons : ; la limite existe et est finie, donc le point z
3. . Partie correcte de l'extension de puissance z contient une infinité de termes, donc z = ∞ est un point essentiellement singulier. Sinon, ce fait peut être établi sur la base du fait qu'il n'existe pas.

Résidu d'une fonction en un point singulier infiniment éloigné.

Pour le dernier point singulier un , Où γ - un circuit n'en contenant aucun autre sauf un , points singuliers, parcourus de telle sorte que la zone délimitée par celui-ci et contenant le point singulier reste à gauche (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Définissons de la même manière : , où Γ − est le contour limitant un tel voisinage analyse mathématique (∞, r ) points z = ∞, qui ne contient pas d'autres points singuliers, et est traversable pour que ce voisinage reste à gauche (c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre). Ainsi, tous les autres points singuliers (finaux) de la fonction doivent être situés à l’intérieur du contour Γ − . Changeons la direction de parcours du contour Γ − : . Par le théorème principal sur les résidus , où la sommation est effectuée sur tous les points singuliers finis. Donc finalement

,

ceux. résidu en un point singulier infiniment éloigné égal à la somme résidus sur tous les points singuliers finis, pris avec le signe opposé.

En conséquence, il y a théorème de la somme totale: si fonction z = f (z ) est analytique partout dans le plan AVEC , sauf nombre fini points singuliers z 1 , z 2 , z 3 , …,zk , alors la somme des résidus en tous les points singuliers finis et du résidu à l'infini est égale à zéro.

Notez que si z = ∞ est un point singulier amovible, alors le résidu en celui-ci peut être différent de zéro. Donc pour la fonction, évidemment, ; z = 0 est le seul point singulier fini de cette fonction, donc , malgré le fait que, c'est-à-dire z = ∞ est un point singulier amovible.